2025年6月浙江省杭州市高二下学期期末教学质量检测数学试题(图片版,含答案)

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2024学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C D C C A B A A
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.AC 10.AC 11.ABD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 6 13. 2 = 8 14. (3,1)
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本题满分 13分）
1 √3
（1） ( ) = 2 + 2 = (2 + )2 2 3 ,

令 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 ( ∈ )，
2 3 2
5
解得 + ≤ ≤ + ( ∈ ),
12 12
5
所以 ( )的单调递增区间为[ + , + ] ( ∈ )12 12
3
（2）因为 0是函数 ( ) = ( ) 5的零点，
3 3
所以 ( 0) = ( 0) = 0，即 (2 0 + ) =5 3 5，
3
所以 ( 2 0) = [ (2 + )] = (2 + ) =6 2 0 3 0 3 5.
16.（1） ′( ) = ( + 2) , ′(0) = 2, (0) = 1，
切线方程为： = 2 + 1.
（2）由（1）得 ( )在( ∞, 2)单调递减，在( 2,+∞)单调递增，
1
当 = 2时， ( )有极小值 ( 2) = .
2
1
（3）当 < 2时，无解；
1
当 = 2或 ≥ 0时，有一解；
1
当 < < 02 时，有两解.
17.（1）由题意得： = 1, = √3，
则有 2 + 2 = 2，故 ⊥ ，
又 ⊥ 1 ，所以 ⊥ 平面 1 .
1 √3 1
（2） 1 = = × × √3 =1 3 4 4
（3）取 中点 ， 中点 ，
以 为坐标原点， ， , 1分别为 轴, 轴， 轴建立空间直角坐标系，
√3 1 1 √3 1 √3 √3
则 1 (0,0, ) , ( , 0,0) , ( , √3, 0) , (1, , 0) , ( , , )2 2 2 2 4 2 4 ,

3 √3 1 √3
= ( , 0, ) , 1 = ( , 0, ) , = (1, √3, 0)4 4 2 2 ，
可得平面 1 的法向量为 = (√3, 1, 1)，
设直线 与平面 1 所成角为 ，
故 = | ,
2√5
| =
5 ，
2√5
所以直线 与平面 1 所成角的正弦值为 5 .

18.（1）由题意得： = √3，即 = √3 ，又双曲线 经过点(√2，√3)，
2 3 2 3 1
得1 = 2 2 = = ，解得 = 1， 2 3 2 2
2
所以双曲线 的方程为
2 = 1.
3
0 3
（2） （ⅰ）由题意得：过点 的切线 方程为 0 = 1，即 (0, )， 3 0
又 1( 2,0)、 2(2,0)，则过 1, 2, 三点的圆的圆心为 (0, 1)，
2 2 3
2 2 3
有| | = | |，即( 2) + 1 = ( ) =
0
1 1 ， 1 3 2 , 0 0
2 2
2 2
= 4 + ( 0
3 4 9
所以 ) = 2 +
0 +
3 2 0 9 4 2
，
0
2 2 2 3
2
0 4
2 9
又| | =
0
0 + ( 0 + ) = 2 + +3 2 9 4 2， 0 0
即| |2 = 2，所以 1, 2, , 四点共圆.
（ⅱ）方法一：切线 的垂线方程为3 0 + 0 = 4 0 0，
1
令切线 交 轴于点 ( , 0) ，∠ 1 2的角平分线交切线 于点 ， 0
| | | 1| 2 +1
由角平分线定理得： = =
0 =
| | | | 1 01 +2 ，
0
所以 = 0 ，

代入坐标得 (1,
0 )
1+ ， 0

故∠ =
0 ( + 2)
1 2的角平分线方程为 3(1+ ) ， 0
设点 ( , )，


= 0 ( + 2)
0 = ( > 0)
( ) { 2

3 1+ 0
联立{ 3 3 0 + 0 = 4
，可得 = ，
0 0 0 2
2 3 2
所以点 的轨迹方程为 = 1( > 0).
4 4
方法二：由双曲线的光学性质得：切线 的垂线即为∠ 1 2的外角平分线，
所以点 为 1 2的旁心，
设圆 与 1 延长线、 2、 1 2延长线的切点分别为 , , ，点 ( , )，
则| 1| + | 2| = 1 + 2 0 + 2 0 1 = 4 0
= | 1| | | + | F| + | 2| = | 1 | + | 2 |
= 4 + 2| 2 | = 4 + 2( 2) = 2 ，
即 = 2 0，
易知切线 的垂线方程为3 0 + 0 = 4 0 0，

0 = ( > 0)
2 2 2 3 2
代入得 =
0 {
，故 3
3 0 =
，所以点 的轨迹方程为 =
4 4
2
1( > 0).
19.（1）（ⅰ）假设存在 > 0,使得 = 2 1 < ，
+1
则有 < ，
2
因为 ∈ ，所以数列{ }不具有性质 ；
1
因为 = ( ) < 12 ，且{ }为单调递减数列，
所以数列{ }具有性质 .
（ⅱ）数列{ }具有性质 ，
1 1 2 1
= 1 + 3 ( ) + + (2 1) ( )2 2 2 ,
1 1 2 1 3 1 +1
= 1 ( ) + 3 ( ) + + (2 1) ( )2 2 2 2 ,
1 1 1 2 1 3 1 1 +1
两式作差得： = + 2 ( ) + 2 ( ) + + 2 ( ) (2 1) ( )2 2 2 2 2 2
1 1 1
1 2 [1 (2) ] 1
+1
= + (2 1) ( )
2 11 2 2
3 3 1
= ( + ) ( )
2 2 2 ，
1
= 3 (2 + 3) ( ) < 32
所以数列{ }满足条件①；
1
因为 = (2 1) ( ) > 02 ,
所以{ }为单调递增数列，满足条件②，
数列{ }具有性质 .
（2）因为 = 0,1, ,2 , ∈ ,
记 是奇数时的概率和为 ， 是偶数时的概率和为 ,
0 1
0 3 2 1 1 3 2 1 1 2 1 3 1
+ = 2 ( ) ( ) +
1
2 ( ) ( ) + +
2 1 ( ) ( ) +
4 4 4 4 2 4 4
2 0
2
1 3
2 ( ) ( )4 4 ,
1 0 3 2 1 1 3 2 1 1 2 1 3 1
=
0 ( ) ( ) + 1 ( ) ( ) + + 2 1 2 2 2 ( ) ( ) +4 4 4 4 4 4
2 0
2
1 3
2 ( ) ( )4 4 ,
1
1 ( )
= 4
1
可得 < , 2 2
故 随着 的增大而增大，
所以数列{ }具有性质 .