第一章 1.1 1.1.1
一、选择题
1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是( )
A．② B．③
C．②③ D．①②③
[答案] C
[解析] 高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.
2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
[答案] B
[解析] ∵x2－2x＋1＝0，∴x＝1.故集合为单元素集合．故选B.
3．已知集合A＝{x|x≤10}，a＝＋，则a与集合A的关系是( )
A．a∈A B．a?A
C．a＝A D．{a}∈A
[答案] A
[解析] 由于＋＜10，所以a∈A.
4．方程组的解集是( )
A.
B．{x，y|x＝3且y＝－7}
C．{3，－7}
D．{(x，y)|x＝3且y＝－7}
[答案] D
[解析] 解方程组得，
用描述法表示为{(x，y)|x＝3且y＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D.
5．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
[答案] D
[解析] 由集合中元素的互异性知a，b，c互不相等，故选D.
6．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0?M B．2∈M
C．－4?M D．4∈M
[答案] D
[解析] 分别对x，y，z进行分析，知M的元素有4,0，－4，∴4∈M.故选D.
二、填空题
7．用符号∈与?填空：
(1)0________N*；________Z；
0________N；(－1)0________N*；
＋2________Q；________Q.
(2)3________{2,3}；3________{(2,3)}；
(2,3)________{(2,3)}；(3,2)________{(2,3)}．
(3)若a2＝3，则a________R，若a2＝－1，则a________R.
[答案] (1)? ? ∈ ∈ ? ∈ (2)∈ ? ∈ ? (3)∈ ?
[解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．
8．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.
[答案] 2
[解析] 显然a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，＝－1，所以a＝－1，b＝1，b－a＝2.
三、解答题
9．用适当的方法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集.
(1)不超过10的非负质数的集合；
(2)大于10的所有自然数的集合．
[解析] (1)不超过10的非负质数有2,3,5,7，用列举法表示为{2,3,5,7}，是有限集．
(2)大于10的所有自然数有无限个，故可用描述法表示为{x|x>10，x∈N}，是无限集．
10．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}.
(1)若A是单元素集合，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
[分析] 将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax2－3x＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．
[解析] (1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝{}，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，
则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意．
综上所述，当a＝0时，A＝{}，当a＝时，A＝{}．
(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意；
当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0.
综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤.
[点评] “a＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是“a＝0”，即它是一元一次方程；二是“a≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“Δ”来解决.
一、选择题
1．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
[答案] B
[解析] {x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.
2．下列六种表示法：①{x＝－1，y＝2}；②{(x，y)|x＝－1，y＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；
⑥{(x，y)|x＝－1或y＝2}．
能表示方程组的解集的是( )
A．①②③④⑤⑥ B．②③④⑤
C．②⑤ D．②⑤⑥
[答案] C
[解析] 方程组的解是故选C.
3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0或2或3
[答案] B
[解析] 因为2∈A，所以m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝2或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B.
4．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A＋B中元素的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] B
[解析] 当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.∴A＋B＝{3,4,5,6}，共4个元素．
二、填空题
5．已知P＝{x|2＜x＜k，x∈N，k∈R}，若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围是________.
[答案] {k|5＜k≤6}
[解析] x只能取3,4,5，故5＜k≤6.
6．用列举法写出集合{∈Z|x∈Z}＝________.
[答案] {－3，－1,1,3}
[解析] ∵∈Z，x∈Z，
∴3－x为3的因数．
∴3－x＝±1，或3－x＝±3.
∴＝±3，或＝±1.
∴－3，－1,1,3满足题意．
三、解答题
7．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．若∈A，求集合中的其他元素.
[分析] 已知a∈A，∈A，将a＝代入即可求得集合中的另一个元素，依次，可得集合中的其他元素．
[解析] ∵∈A，∴＝2∈A，∴＝－3∈A，
∴＝－∈A，∴＝∈A.
故当∈A时，集合中的其他元素为2，－3，－.
8．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”.
(1)判断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；
(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．
[解析] (1)由于2的倒数为不在集合A中，故集合A不是可倒数集．
(2)若a∈A，则必有∈A，现已知集合A中含有3个元素，故必有一个元素有a＝，即a＝±1，故可以取集合A＝{1,2，}或{－1,2，}或{1,3，}等．
课件57张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.1 集合第一章 1.1.1 集合的含义与表示一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民．
有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”1.集合的概念
(1)含义：一般地，我们把________统称为元素，把一些元素组成的______叫做集合(简称为集)．
(2)集合相等：只要构成两个集合的______是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．研究对象总体元素[知识点拨] 集合中的元素必须满足如下性质：
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系是∈不是不属于3．集合的表示法
(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．
(2)字母表示法：用一个大写__________表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：拉丁字母NN*或N＋ZQR
(3)列举法：把集合的____一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的________及_________________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的________．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．元素一般符号取值(或变化)范围共同特征[答案] D
[解析] “著名的数学家”和“较胖的人”无明确的标准，对于某人是否“著名”或“较胖”无法客观地判断，因此“著名的数学家”和“较胖的人”不能组成集合；“很大的数”也无明确的标准，所以也不能组成集合；任意给定一个整数，能够判定是否小于3，有明确的标准，故D能组成一个集合．[答案] ③
[解析] ①违背了集合中元素的互异性；②中全体实数本身就是集合，不能再加大括号；④中用描述法表示的集合，未写出代表元素，应为{x|x－5＞0}．[答案] (1){0,1,2,3,4} (2){3} (3){x|3＜x≤8}
[解析] (1)因为x∈N，且x＜5，所以x＝0,1,2,3,4.(2)由x2－6x＋9＝0，得x1＝3，x2＝3.(3)实数x大于3且不大于8可表示为3＜x≤8.集合的基本概念 [解析] ①中的“年龄较小”、④中的“近似值”，这些标准均不明确，即元素不确定，所以①④不能组成集合．
⑤中有两个数相等，不符合互异性，所以⑤也不能组成集合．②③中的对象都是确定的、互异的，所以②③可以组成集合．填②③.
[规律总结] 1.确定性是判断一组对象能否构成集合的标准．
2．判断集合中的元素个数时，要注意相同的对象归入同一集合时只能算作一个，即集合中的元素满足互异性．[解析] (1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.元素和集合的关系
[思路分析] 解题的关键是理解自然数集N的意义和集合与元素间的关系．
[解析] 自然数集中最小的元素是0，故①③不正确；对于②，若a∈N，即a是自然数，当a＝0时，－a仍为自然数，所以②也不正确．故选A.
[答案] A
[规律总结] 1.对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用N＋，N，Z，Q，R来表示，这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数集的表示方法，应当熟练掌握．
2．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．集合中元素的特性 [解析] (1)当x2＝0时，得x＝0，此时集合中有两个相同的元素0，舍去；
(2)当x2＝1时，得x＝±1.
若x＝1，集合中有两个相同的元素1，舍去．
若x＝－1，集合中含有元素0,1，－1，符合题意；
(3)当x2＝x时，得x＝0或x＝1，由(1)(2)可知都不符合题意．
综合所述，x＝－1.[规律总结] 1.确定性：作为一个集合的元素，必须是明确的．
不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．
2．互异性：对于给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或说是互异的)．
集合中的任意两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．
3．无序性：集合中的元素是没有顺序的．用列举法表示集合
[规律总结] 1.用列举法表示集合，要注意是数集还是点集．
2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然．
因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键．用描述法表示集合 [解析] (1){x|3x＋2>2x＋1}或{x|x>－1}；
(2){(x，y)|x>0，y>0，且x，y∈R}；
(3){x|x＝2k－1，k∈N＋}．
[规律总结] 1.用描述法表示相应集合时，首先明确代表元素是点集还是数集，在此基础上，结合描述的定义给出集合的表示．
2．用描述法表示集合时，其代表元素的范围务必明确，如果省略不写，则默认为x∈R.[错因分析] 当x＝1，y∈0时，A＝B＝{1,1，y}，不满足集合元素的互异性，当x＝1，y＝1时，A＝B＝{1,1,1}也不满足元素的互异性，当x＝－1，y＝0，A＝B＝{1，－1,0}，满足题意．
[点评] 在实际解答过程中，很多同学只是把答案算出来后就结束了，根本不考虑求解出来的答案是不是合乎题目要求，有没有出现遗漏或增根．在实际解答中要根据元素的特征，结合题目要求和隐含条件，加以重视.[答案] C
[解析] 语句①“污染不太大”没有明确的标准；②中四大名著指的是《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》；③④中的对象也都满足确定性、互异性、无序性．[解析] A项中M＝{(3,2)}中的元素是(3,2)，N＝{(2,3)}中的元素是(2,3)，所以这是两个不同的集合；B项中M＝{3,2}中的元素是3,2，N＝{2,3}中的元素是2,3，由集合中元素的无序性可知，这是两个相同的集合；C项中集合M中的代表元素是(x，y)，是直线x＋y＝1上的点，而集合N中的代表元素是y，是直线x＋y＝1上点的纵坐标，因此是两个不同的集合；D项中两集合M的元素分别是3、2，而N中含有一个元素(3,2)，因此它们是两个不同的集合．第一章 1.1 1.1.2
一、选择题
1．下列命题中，正确的有( )
①空集是任何集合的真子集；②若A?B，B?C，则A?C；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A?B.
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
[答案] C
[解析] ①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性；故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确，故选C.
2．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )
A．A?B B．C?B
C．D?C D．A?D
[答案] B
[解析] ∵等腰直角三角形必是等腰三角形，∴C?B.
3．下列四个集合中，是空集的是( )
A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}
C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}
[答案] B
[解析] 选项A、C、D都含有元素．而选项B无元素，故选B.
4．如果集合A＝{x|x≤}，a＝，那么( )
A．a?A B．{a}?A
C．{a}∈A D．a?A
[答案] B
[解析] a＝<，
∴a∈A，A错误．由元素与集合之间的关系及集合与集合之间的关系可知，C、D错，B正确．
5．设A＝{x|－1
a}，若A?B，则a的取值范围是( )
A．{a|a≥3} B．{a|a≤－1}
C．{a|a>3} D．{a|a<－1}
[答案] B
[解析] 由A?B，画出数轴如图可求得a≤－1，注意端点能取否得－1是正确求解的关键．
6．若集合A?{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
[答案] D
[解析] 集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．
二、填空题
7．已知集合{2x，x＋y}＝{7,4}，则整数x＝________，y＝________.
[答案] 2 5
[解析] 由集合相等的定义可知
或
解得或，又x，y∈Z.
故x＝2，y＝5.
8．已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B?A，则m＝________.
[答案] 0或2或－1
[解析] 由B?A得m∈A，所以m＝m3或m＝2，所以m＝2或m＝－1或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1.所以m＝0或2或－1.
三、解答题
9．判断下列集合间的关系：
(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；
(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．
[解析] (1)∵A＝{x|x－3＞2}＝{x|x＞5}，
B＝{x|2x－5≥0}＝{x|x≥}，
∴利用数轴判断A、B的关系．
如图所示，A?B.
(2)∵A＝{x∈Z|－1≤x<3}＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x＝|y|，y∈A，∴B＝{0,1,2}，∴B?A.
10．已知集合M＝{x|x＝m＋，m∈Z}，N＝{x|x＝－，n∈Z}，P＝{x|x＝＋，p∈Z}，试确定M，N，P之间的关系.
[解析] 解法一：集合M＝{x|x＝m＋，m∈Z}，
对于集合N，当n是偶数时，设n＝2t(t∈Z)，
则N＝{x|x＝t－，t∈Z}；
当n是奇数时，设n＝2t＋1(t∈Z)，
则N＝{x|x＝－，t∈Z}＝{x|x＝t＋，t∈Z}．
观察集合M，N可知M?N.
对于集合P，当p是偶数时，设p＝2s(s∈Z)，则
P＝{x|x＝s＋，s∈Z}，
当p是奇数时，设p＝2s－1(s∈Z)，则
P＝{x|x＝＋，s∈Z}
＝{x|x＝s－，s∈Z}．
观察集合N，P知N＝P.
综上可得：M?N＝P.
解法二：∵M＝{x|x＝m＋，m∈Z}
＝{x|x＝，m∈Z}＝{x|x＝，m∈Z}，
N＝{x|x＝－，n∈Z}＝{x|x＝，n∈Z}
＝{x|x＝，n－1∈Z}，
P＝{x|x＝＋，p∈Z}＝{x|x＝，p∈Z}，
比较3×2m＋1,3(n－1)＋1与3p＋1可知，3(n－1)＋1与3p＋1表示的数完全相同，
∴N＝P,3×2m＋1只相当于3p＋1中当p为偶数时的情形，
∴M?P＝N.
综上可知M?P＝N.
一、选择题
1．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( )
A．P?M B．M?P
C．M＝P D．MP
[答案] C
[解析] ?
∴M＝P.
2．集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是( )
A．1∈A B．B?A
C．(1,1)?B D．?∈A
[答案] B
[解析] B＝＝{(1,1)}，故选B.
3．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B?A，则a的值不可能是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] 由题意知，a＝0时，B＝?，满足题意；a≠0时，由∈A?a＝1,2，所以a的值不可能是3.
4．集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为( )
A．7 B．12
C．32 D．64
[答案] D
[解析] 集合P*Q的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故P*Q的子集个数为26＝64.
二、填空题
5．已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝?，则实数m的取值范围是________.
[答案] m≥1
[解析] ∵M＝?，∴2m≥m＋1，∴m≥1.
6．集合?{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.
[答案] 2
[解析] 解方程组得，
代入y＝3x＋b得b＝2.
三、解答题
7．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?且B?A，求实数a、b的值.
[解析] ∵B中元素是关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根，且B?{－1,1}，
∴关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.
∵B＝{x|x2－2ax＋b＝0}?A＝{－1,1}，且B≠?，
∴B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1,1}．
当B＝{－1}时，
Δ＝4a2－4b＝0且1＋2a＋b＝0，
解得a＝－1，b＝1.
当B＝{1}时，
Δ＝4a2－4b＝0且1－2a＋b＝0，
解得a＝b＝1.
当B＝{－1,1}时，
有(－1)＋1＝2a，(－1)×1＝b，
解得a＝0，b＝－1.
8．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.
(1)若B?A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；
(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
[解析] (1)当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝?，满足B?A.
当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B?A成立，
只需即2≤m≤3.
综上，当B?A时，m的取值范围是{m|m≤3}．
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
∴集合A的非空真子集个数为28－2＝254.
(3)∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，
B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，
又不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，
∴当B＝?，即m＋1>2m－1，得m<2时，符合题意；
当B≠Q，即m＋1≤2m－1，得m≥2时，
或解得m>4.
综上，所求m的取值范围是{m|m<2或m>4}．
课件45张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.1 集合第一章1.1.2 集合间的基本关系根据集合的定义，我们知道集合有无数多个，可以用集合来区分事物．如{四足动物}，{两足动物}，{绿色植物}，{菌类植物}，{植物}，{动物}，{汽车}．但有些集合之间有密切的关系．如{四足动物}与{动物}，前一个集合的元素都是后一个集合的元素，且后一个集合元素的个数比前一个集合元素的个数多很多，这两个集合之间的关系如何用简短的数学语言来表达呢？学完本节内容就明白了！1.子集任何一个包含A?BB?A?2．集合相等与真子集子集子集?BA元素?子集
[答案] C
[解析] 根据题意可知，M中的任意一个元素都是N中的元素，故C正确．[答案] D
[解析] ∵1∈{1,2,3}，∴{1}?{1,2,3}．故选D.[答案] B
[解析] ?与{0}不是同一个概念，①不正确；空集有且只有一个子集，即它本身，②③不正确；④的说法正确，故选B.[答案] 4
[解析] 因为B?A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，比较A，B中的元素可知m＝4.[答案] ②⑤
[解析] 充分利用元素与集合，集合与集合之间的关系判断．元素与集合、集合与集合之间的关系
[答案] A
[规律总结] 当给定的问题涉及元素与集合、集合与集合的关系时，要抓住基本概念去解题．此时要注意辨明集合中元素的特征，对“包含”与“包含于”、“真包含”与“真包含于”、“属于”与“不属于”等符号要进行仔细辨认，以避免因疏忽而出错．集合与集合之间的包含关系 集合相等
[规律总结] 1.两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等．数轴在表示集合之间的关系中的应用 [解析] 随着a在x轴上运动，集合N也在变化，满足M?N的情况如图，显见a＜1，故选B.
[答案] B
[规律总结] 要特别注意a能否取到1，若把其他条件不变，分别只改以下条件时，结论如何：
①M＝{x|x≥1}；②N＝{x|x≥a}；③M?N；④M?N；⑤M?N.
[答案] ①B ②A ③A ④C ⑤D
[答案] (1)a≤3 (2)a≥3 (3)a>3 (4)3
[思路分析] ?是任何集合的子集，这一点一定不要忘记．第一章 1.1 1.1.3 第一课时
一、选择题
1．下面四个结论：①若a∈(A∪B)，则a∈A；②若a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，则a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B.其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] ①不正确，②③④正确，故选C.
2．已知集合M＝{x|－33}，则M∪N＝( )
A．{x|x>－3} B．{x|－3C．{x|3[答案] A
[解析] 在数轴上表示集合M，N，如图所示，
则M∪N＝{x|x>－3}．
3．(2016·北京文，1)已知集合A＝{x|25}，则A∩B＝( )
A．{x|25}
C．{x|25}
[答案] C
[解析] 在数轴上表示集合A与集合B，由数轴可知，A∩B＝{x|24．(2015·浙江省期中试题)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}
[答案] D
[解析] A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D.
5．已知集合A＝{2，－3}，集合B满足B∩A＝B，那么符合条件的集合B的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] 由B∩A＝B可得B?A，因此B就是A的子集，所以符合条件的集合B一共有4个：?，{2}，{－3}，{2，－3}．
6．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝?，则实数a的取值集合为( )
A．{a|a<2} B．{a|a≥－1}
C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}
[答案] C
[解析] 如图．
要使A∩B＝?，应有a<－1.
二、填空题
7．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.
[答案] 0,1或－2
[解析] 由已知得B?A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知x≠2，∴x＝0,1或－2.
8．已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝________.
[答案] 6
[解析] 用数轴表示集合A、B如图所示．由于A∩B＝{x|5≤x≤6}，得m＝6.
三、解答题
9．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a的值.
[解析] ∵A∩B＝{－3}，
∴－3∈B.
∵a2＋1≠－3，
∴a－3＝－3或2a－1＝－3.
①若a－3＝－3，则a＝0，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，
但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，
∴a≠0.
②若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}．
综上可知a＝－1.
10．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}.
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
[解析] (1)∵B＝{x|x≥2}，A＝{x|－1≤x＜3}，
∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．
(2)∵C＝{x|x＞－}，B∪C＝C?B?C，
∴－<2，∴a＞－4.
一、选择题
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M且a≠b}，则M∪N＝( )
A．{0,1} B．{－1,0}
C．{－1,0,1} D．{－1,1}
[答案] C
[解析] 由题意可知，集合N＝{－1,0}，所以M∪N＝M.
2．(2016·全国卷Ⅲ理，1)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( )
A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)
[答案] D
[解析] ∵S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}＝{x|x≤2或x≥3}，且T＝{x|x>0}，
∴S∩T＝{x|03．下列关系式中，正确的个数为( )
①(M∩N)?N；②(M∩N)?(M∪N)；
③(M∪N)?N；④若M?N，则M∩N＝M.
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] B
[解析] 借助韦恩图可知①②④正确，故选B.
4．当x∈A时，若x－1?A，且x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′，则M′∪N′＝( )
A．{0,1,3,4} B．{1,4}
C．{1,3} D．{0,3}
[答案] D
[解析] 由条件及孤星集的定义知，M′＝{3}，N′＝{0}，则M′∪N′＝{0,3}．
二、填空题
5．集合A＝{x|2[答案] a>2
[解析] 在数轴上表示出A，B.
由图可知，要使A∩B≠?，则a>2.
6．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2－px－2q＝0}，且A∩B＝{－1}，则A∪B＝________.
[答案] {－2，－1,4}
[解析] 因为A∩B＝{－1}，所以－1∈A，－1∈B，即－1是方程x2＋px＋q＝0和x2－px－2q＝0的解，
所以
解得
所以A＝{－1，－2}，B＝{－1,4}，
所以A∪B＝{－2，－1,4}．
三、解答题
7．已知A＝{x|2a＜x≤a＋8}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，A∪B＝R，求a的取值范围.
[解析] ∵B＝{x|x＜－1或x＞5}，A∪B＝R，
∴解得－3≤a＜－.
8．设A＝{x|x2＋8x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0}，其中a∈R.如果A∩B＝B，求实数a的取值范围.
[解析] ∵A＝{x}x2＋8x＝0}＝{0，－8}，A∩B＝B，
∴B?A.
当B＝?时，方程x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0无解，
即Δ＝4(a＋2)2－4(a2－4)＜0，得a＜－2.
当B＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式
Δ＝4(a＋2)2－4(a2－4)＝0，得a＝－2.
将a＝－2代入方程，解得x＝0，∴B＝{0}满足．
当B＝{0，－8}时，可得a＝2.
综上可得a＝2或a≤－2.
[点评] (1)当集合B?A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时，要考虑B＝?的情形，切不可漏掉．(2)利用集合运算性质化简集合，有利于准确了解集合之间的关系．
课件48张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.1 集合第一章1.1.3 集合的基本运算第一课时 并集和交集 已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多少是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断吗？
事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”．应用本小节集合运算的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了.1.并集和交集的定义或A∪B且A∩Bx∈Ax∈B
[知识点拨] (1)简单地说，集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集；(2)当集合A，B无公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集合B的元素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同．2．并集和交集的性质AAA?[答案] C
[解析] 图中阴影表示A∪B，又因为A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，所以A∪B＝{1,2,3,4,6}，故选C.并集的概念及运算
[规律总结] 并集运算应注意的问题
(1)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．
(2)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．交集的概念及其运算 ③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为?)．
(2)方法
①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用虚点表示．(3)已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，则A∩B＝________.
[答案] (1)D (2)C (3){x|x是等腰直角三角形}
[解析] (1)M＝{－4，－1}，N＝{4,1}，M∩N＝?，故选D.
(2)在数轴上表示集合A、B，如下图所示，则A∩B＝{x|2＜x＜3}，故选C.
(3)既是等腰又是直角的三角形为等腰直角三角形．所以A∩B＝{x|x是等腰直角三角形}.集合交集、并集运算的性质及应用 利用交集、并集运算求参数 [解析] (1)∵9∈A∩B，∴9∈A.
∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.
检验知：a＝5或a＝－3满足题意．
(2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B，
∴a＝5或a＝－3.检验知：a＝5时，A∩B＝{－4,9}不合题意，∴a＝－3.
[规律总结] (1)中检验的是集合A、B中的元素是否是互异的，a＝3时，B中元素a－5与1－a相同，所以a＝3应舍去；(2)中进一步检验A与B有没有不是9的公共元素，a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，这时A∩B＝{－4,9}≠{9}，所以a＝5应舍去．[答案] D
[解析] 由交集运算可知A∩B＝{3,9}．[答案] C
[解析] B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1∴B＝{0,1}，∴A∪B＝{0,1,2,3}，故选C.第一章 1.1 1.1.3 第二课时
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅲ文，1)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则?AB＝( )
A．{4,8} B．{0,2,6}
C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}
[答案] C
[解析] 依据补集的定义，从集合A＝{0,2,4,6,8,10}中去掉集合B＝{4,8}，剩下的四个元素为0,2,6,10，故?AB＝{0,2,6,10}，故应选答案C.
2．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B为( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
[答案] C
[解析] 因为U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，所以?UA＝{0,4}，故?UA∪B＝{0,2,4}．
3．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )
A．M∪N B．M∩N
C．(?UM)∪(?UN) D．(?UM)∩(?UN)
[答案] D
[解析] 根据已知可知，M∪N＝{1,2,3,4}，M∩N＝?，(?UM)∪(?UN)＝{1,4,5,6}∪{2,3,5,6}＝{1,2,3,4,5,6}，(?UM)∩(?UN)＝{1,4,5,6}∩{2,3,5,6}＝{5,6}，因此选D.
4．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则?UA的所有非空子集的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] B
[解析] ∵?UA＝{2,4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B.
5．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )
A．P?Q B．Q?P
C．(?RP)?Q D．Q??RP
[答案] C
[解析] ∵P＝{x|x＜1}，∴?RP＝{x|x≥1}．又Q＝{x|x＞－1}，∴(?RP)?Q，故选C.
6．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜2}，且A∪(?RB)＝R，则a满足( )
A．a≥2 B．a＞2
C．a＜2 D．a≤2
[答案] A
[解析] ?RB＝{x|x≥2}，则由A∪(?RB)＝R得a≥2，故选A.
二、填空题
7．U＝R，A＝{x|－23}，B＝{x|x≥4}，则?UA＝________，?AB＝________.
[答案] {x|x≤－2或18．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
[答案] －3
[解析] ∵?UA＝＝{1,2}，∴A＝{0,3}．
∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根．
∴0＋3＝－m.∴m＝－3.
三、解答题
9．已知全集U＝{2,3，a2－2a－3}，A＝{2，|a－7|}，?UA＝{5}，求a的值.
[解析] 解法一：由|a－7|＝3，得a＝4或a＝10.
当a＝4时，a2－2a－3＝5，
当a＝10时，a2－2a－3＝77?U，∴a＝4.
解法二：由A∪?UA＝U知，∴a＝4.
10．(2016·唐山一中月考试题)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2[分析] 利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出?UA及?UB，然后求解．
[解析] 如图所示，
∵A＝{x|－2∴?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
?UB＝{x|x<－3或2∴A∩B＝{x|－2(?UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(?UB)＝{x|2[点评] (1)数轴与Venn图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行数集的交、并、补运算时，经常借助数轴求解．
(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集.
一、选择题
1．如图，阴影部分用集合A、B、U表示为( )
A．(?UA)∩B B．(?UA)∪(?UB)
C．A∩(?UB) D．A∪(?UB)
[答案] C
[解析] 阴影部分在A中，不在B中，故既在A中也在?UB中，因此是A与?UB的公共部分．
2．设P＝{x|x>4}，Q＝{x|－2A．P?Q B．Q?P
C．P??RQ D．Q??RP
[答案] D
[解析] ∵Q＝{x|－2而?RP＝{x|x≤4}，
∴Q??RP.
3．已知集合P＝{x|x2＋2ax＋a<0}，若2?P，则实数a的取值范围是( )
A．a>－ B．a≥－
C．a<－ D．a≤－
[答案] B
[解析] 由2?P知2∈?RP，即2∈{x|x2＋2ax＋a≥0}，
因此2满足不等式x2＋2ax＋a≥0，
于是22＋4a＋a≥0，解得a≥－.
4．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，(?US)∩T＝{4}，(?US)∩(?UT)＝{1,5}则有( )
A．3∈S,3∈T B．3∈S,3∈?UT
C．3∈?US,3∈T D．3∈?US,3∈?UT
[答案] B
[解析] 若3∈S,3∈T，则3∈S∩T，排除A；
若3∈?US，3∈T，则3∈(?US)∩T，排除C；
若3∈?US,3∈?UT，则3∈(?US)∩(?UT)，排除D，
∴选B，也可画图表示．
二、填空题
5．已知全集为R，集合M＝{x∈R|－2＜x＜2}，P＝{x|x≥a}，并且M??RP，则a的取值范围是________.
[答案] a≥2
[解析] M＝{x|－2＜x＜2}，?RP＝{x|x＜a}．
∵M??RP，∴由数轴知a≥2.
6．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，?UA＝{x|x＜3或x＞4}，则ab＝________.
[答案] 12
[解析] ∵A∪(?UA)＝R，∴a＝3，b＝4，∴ab＝12.
三、解答题
7．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(?UA)∩B＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值.
[提示] 由2∈B,4∈A，列方程组求解．
[解析] ∵(?UA)∩B＝{2}，∴2∈B，
∴4－2a＋b＝0.①
又∵A∩(?UB)＝{4}，∴4∈A，
∴16＋4a＋12b＝0.②
联立①②，得解得
经检验，符合题意：∴a＝，b＝－.
[点评] 由题目中所给的集合之间的关系，通过分析得出元素与集合之间的关系，是解决此类问题的关键．
8．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a[分析] 本题从条件B??RA分析可先求出?RA，再结合B??RA列出关于a的不等式组求a的取值范围．
[解析] 由题意得?RA＝{x|x≥－1}．
(1)若B＝?，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B??RA.
(2)若B≠?，则由B??RA，得2a≥－1且2a即－≤a<3.
综上可得a≥－.
课件45张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.1 集合第一章1.1.3 集合的基本运算第二课时 补集如果你所在班级共有60名同学，要求你从中选出56名同学参加体操比赛，你如何完成这件事呢？
你不可能直接去找张三、李四、王五、……，一一确定出谁去参加吧？如果按这种方法做这件事情，可就麻烦多了．若确定出4位不参加比赛的同学，剩下的56名同学都参加，问题可就简单多了．不要小看这个问题的解决方法，它可是这节内容(补集)的现实基础.1.全集全集U2.补集不属于全集U?UA?[答案] D
[解析] ∵U＝{1,2,3,4,5}，∴?UB＝{1,3,4}，∴A∩?UB＝{1,3}．[答案] 5
[解析] 由?AB＝{5}知5∈A，∴m＝5.[答案] {钝角三角形或锐角三角形}
[解析] {三角形}＝{直角三角形，锐角三角形，钝角三角形}结合补集的定义求得．补集的基本运算
[规律总结] 求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法．
(2)两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解．
②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
[答案] (1)B (2)2交集、并集、补集的综合运算 [思路分析] (1)有限集利用Venn图求解；(2)无限集利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出?UA及?UB，再求解．
[答案] (1){1,2,3} (2)B补集性质的应用 [规律总结] “正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.
补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．q＝6时，A＝{2,3}，?UA＝{1,4,5}．
q＝4时，A＝{1,4}，?UA＝{2,3,5}．
所以q＝0时，?UA＝{1,2,3,4}，
q＝4时，?UA＝{2,3,5}，
q＝6时，?UA＝{1,4,5}．
[错因分析] 错解中没有注意到A?U，当q＝0时，A＝{0,5}U，另外，当A＝?时，?UA＝U，此时方程x2－5x＋q＝0无实数解．[答案] B
[解析] 由补集定义并结合数轴易知?RA＝{x|x<0或x>6}，故选B.[答案] C
[解析] 利用数轴分析，可知A＝{x|x≥2}．[答案] D
[解析] ∵A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴?U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．故选D.[答案] {7,9}
[解析] 由题意，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故?UA＝{4,6,7,9,10}，所以(?UA)∩B＝{7,9}．第一章 1.1 1.1.3 第三课时
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅰ理，1)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )
A．(－3，－) B．(－3，)
C．(1，) D．(，3)
[答案] D
[解析] A＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|10}＝{x|x>}．
故A∩B＝{x|2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(?UB)等于( )
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
[答案] B
[解析] 画出数轴，如图所示，?UB＝{x|x≤1}，则A∩?UB＝{x|0＜x≤1}，故选B.
3．图中阴影部分所表示的集合是( )
A．B∩(?U(A∪C)) B．(A∪B)∪(B∪C)
C．(A∪C)∩(?UB) D．[?U(A∩C)]∪B
[答案] A
[解析] 阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(?U(A∪C))，故选A.
4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞4}，那么集合(?UA)∩(?UB)等于( )
A．{x|3＜x≤4} B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|3≤x＜4} D．{x|－1≤x≤3}
[答案] A
[解析] 方法1：?UA＝{x|x＜－2或x＞3}，?UB＝{x|－2≤x≤4}
∴(?UA)∩(?UB)＝{x|3＜x≤4}，故选C.
方法2：A∪B＝{x|x≤3或x＞4}，(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{x|3＜x≤4}．故选A.
5．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|－1≤x≤a}，且(A∪B)?(A∩B)，则实数a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] ∵(A∪B)?(A∩B)，∴(A∪B)＝(A∩B)，
∴A＝B，∴a＝1.
6．设U为全集，对集合X，Y定义运算“*”，X*Y＝?U(X∩Y)，对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝( )
A．(X∪Y)∩?UZ B．(X∩Y)∪?UZ
C．(?UX∪?UY)∩Z D．(?UX∩?UY)∪Z
[答案] B
[解析] X*Y＝?U(X∩Y)
(X*Y)*Z＝?U[?U(X∩Y)∩Z]＝?U(?U(X∩Y))∪?UZ＝(X∩Y)∪?UZ，故选B.
二、填空题
7．U＝{1,2}，A＝{x|x2＋px＋q＝0}，?UA＝{1}，则p＋q＝________.
[答案] 0
[解析] 由?UA＝{1}，知A＝{2}即方程
x2＋px＋q＝0有两个相等根2，∴p＝－4，q＝4，
∴p＋q＝0.
8．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x－1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若m∈A，m∈B，则m为________.
[答案] (4,7)
[解析] 由m∈A，m∈B知m∈(A∩B)，
由，得，∴A∩B＝{(4,7)}．
三、解答题
9．已知全集U＝R，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}，求：
(1)(?RA)∩(?RB) (2)?R(A∪B)
(3)(?RA)∪(?RB) (4)?R(A∩B)
[分析] 在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A、B，然后求出A∩B，A∪B，?RA，?RB，最后可逐一写出各小题的结果．
[解析] 如图所示，可得
A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}．
?RA＝{x|x<2或x≥5}，
?RB＝{x|x<3或x≥7}．
由此求得
(1)(?RA)∩(?RB)＝{x|x<2或x≥7}．
(2)?R(A∪B)＝{x|x<2或x≥7}．
(3)(?RA)∪(?RB)＝{x|x<2或x≥5}∪{x<3或x≥7}＝{x|x<3或x≥5}．
(4)?R(A∩B)＝{x|x<3或x≥5}．
[点评] 求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现．
10．已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(?UA)∩B＝{2}，(?UB)∩A＝{4}，求A∪B.
[分析] 先确定p和q的值，再明确A与B中的元素，最后求得A∪B.
[解析] ∵(?UA)∩B＝{2}，∴2∈B且2?A.
∵A∩(?UB)＝{4}，∴4∈A且4?B.
∴解得p＝－7，q＝6，
∴A＝{3,4}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{2,3,4}.
一、选择题
1．设A、B、C为三个集合，(A∪B)＝(B∩C)，则一定有( )
A．A?C B．C?A
C．A≠C D．A＝?
[答案] A
[解析] ∵A∪B＝(B∩C)?B，
又B?(A∪B)，∴A∪B＝B，∴A?B，
又B?(A∪B)＝B∩C，且(B∩C)?B，
∴(B∩C)＝B，∴B?C，∴A?C.
2．设P＝{3,4}，Q＝{5,6,7}，集合S＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则S中元素的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] D
[解析] S＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D.
3．(2015·陕西模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合?U(A∪B)中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析] 因为集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，所以?U(A∪B)＝{3,5}．
4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩(?UA)≠?，则( )
A．k＜0 B．k＜2
C．0＜k＜2 D．－1＜k＜2
[答案] C
[解析] ∵U＝R，A＝{x|x≤1或x≥3}，
∴?UA＝{x|1＜x＜3}．
∵B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，
∴当B∩(?UA)＝?时，有k＋1≤1或k≥3(不合题意，舍去)，如图所示，
∴k≤0，∴当B∩(?UA)≠?时，0＜k＜2，故选C.
二、填空题
5．若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：
①a＝1；②b≠1；③c＝2，④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________.
[答案] 6
[解析] 根据题意可分四种情况：
(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组有0个；
(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)；
(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；
(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，(3,1,4,2)．
所以共有6个．故答案为6.
6．设数集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________.
[答案]
[解析] 如图，设AB是一长度为1的线段，a是长度为的线段，b是长度为的线段，a，b可在线段AB上自由滑动，a，b重叠部分的长度即为M∩N的“长度”，显然，当a，b各自靠近线段AB两端时，重叠部分最短，其值为＋－1＝.
三、解答题
7．已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，试探求a取何实数时，(A∩B)??与A∩C＝?同时成立.
[解析] B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{2，－4}，由A∩B??与A∩C＝?同时成立可知，3是方程x2－ax＋a2－19＝0的解，将3代入方程得a2－3a－10＝0，解得a＝5或a＝－2.
当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，此时A∩C＝{2}，与此题设A∩C＝?矛盾，故不适合．当a＝－2时，A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，此时(A∩B)??与A∩C＝?同时成立，则满足条件的实数a＝－2.
8．设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A，且x?B}.
(1)试举出两个数集，求它们的差集；
(2)差集A－B与B－A是否一定相等？说明理由；
(3)已知A＝{x|x>4}，B＝{x|－6[解析] (1)如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，
则A－B＝{1}．
(2)不一定相等，
由(1)B－A＝{4}，而A－B＝{1}，故A－B≠B－A.
又如，A＝B＝{1,2,3}时，
A－B＝?，B－A＝?，此时A－B＝B－A，
故A－B与B－A不一定相等．
(3)因为A－B＝{x|x≥6}，
B－A＝{x|－6A－(A－B)＝{x|4B－(B－A)＝{x|4课件41张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.1 集合第一章1.1.3 集合的基本运算第三课时 集合习题课网络构建
[解析] 由M∪N＝M知N?M.
∴a2＝0，或a2＝1.
∴a＝0，或a＝1，或a＝－1.
而当a＝0，或a＝1时，不满足集合中元素的互异性．
∴a＝－1.
[答案] A
[解析] 集合A是数集，是二次函数y＝x2－4的自变量组成的集合，即A＝R；集合B也是数集，是二次函数的因变量组成的集合，即B＝{y|y≥－4}；而集合C是点集，是二次函数图象上所有的点组成的集合．
[答案] D
[解析] 从所给图形可以发现：集合A、B、C三者之间具有以下关系：A?B，A∩C＝?，B∩C∩A＝?.
据此进一步得出：?UB??UA，A∪B?B∪C，
但不能得出B∩C?A.
[答案] D[解析] P∩Q＝{x|x＝6n，n∈N＋}，
所以P∩Q中最小元素为6.
[答案] 6
专题二 数轴分析法
对数集进行交集、并集、补集运算时，往往由于运算能
力差或考虑不全面而极易出错．利用数轴来解决数集的运算，即数轴分析法能把复杂问题直观化，能够顺利决问题．要注意端点是实心还是空心，以免产生增解或漏解．[解析] 根据定义确定集合A*B中的元素，注意不要重复，
∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，∴A*B＝{2,3,4,5}．
∴A*B中的所有元素之和为2＋3＋4＋5＝14.故选B.
如果忽视集合中元素的互异性，求出的答案将是选项D，是错误的．
[答案] B[解析] 当M∩P≠?时，由Venn图知，M－P为图形中的阴影部分，则M－(M－P)显然为M∩P.
当M∩P＝?时，M－P＝M，则M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M且x?M}＝?.
[答案] B
[点评] 本题是差集问题，可以从所给的定义入手转化为集合的交、并运算式进行推理，也可直接从M－(M－P)的意义上去考虑．[答案] B
[解析] ?UB＝{1,5,6}，A∩(?UB)＝{1}，故选B.[答案] D
[解析] 集合A表示的是数集，而集合B表示的是点集，所以A∩B＝?.[答案] 6
[解析] 若S(A)＝8，则A＝{8}，A＝{1,7}，A＝{2,6}，A＝{3,5}，A＝{1,2,5}和A＝{1,3,4}，共6种可能．[分析] 与集合交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴分析法分析求解．
[解析] ?RB＝{x|x≤1或x≥3}，利用数轴画出集合A与?RB，如下图
∵A∪?RB＝R，∴应满足a≥3
故a的取值范围为{a|a≥3}．第一章 1.2 1.2.1
一、选择题
1．下列四种说法中，不正确的是( )
A．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域一定是无限集合
C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了
D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素
[答案] B
2．f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．R D．[－1,1)∪(1，＋∞)
[答案] D
[解析] 解得故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.
3．各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是( )
[答案] A
[解析] 因为垂直x轴的直线与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点，故选A.
4．(2016·曲阜二中月考试题)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是( )
A．f︰x→y＝x B．f︰x→y＝x
C．f︰x→y＝x D．f︰x→y＝
[答案] C
[解析] 对于选项C，当x＝4时，y＝＞2不合题意．故选C.
5．下列各组函数表示相等函数的是( )
A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z
[答案] C
[解析] A项中y＝可化为y＝x＋3(x≠3)，
∴定义域不同；B项中y＝－1＝|x|－1.∴定义域相同，但对应关系不同；D项中定义域相同，但对应关系不同；C项正确，故选C.
6．函数y＝f(x)的图象与直线x＝m的交点个数为( )
A．可能有无数个 B．只有一个
C．至多一个 D．至少一个
[答案] C
[解析] 根据函数定义，一个自变量x只能对应一个函数值y，而y＝f(x)的定义域中不一定含有m.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝，又知f(t)＝6，则t＝________.
[答案] －
[解析] f(t)＝＝6.∴t＝－.
8．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________；
(2){x|2＜x≤4}＝________；
(3){x|x＞－1且x≠2}＝________.
[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞)
三、解答题
9．求下列函数的定义域，并用区间表示：
(1)y＝－；
(2)y＝.
[分析] ??
[解析] (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．
(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，
解得x≤5，且x≠±3，
即函数定义域为{x|x≤5，且x≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．
[规律总结] 定义域的求法：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．
(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．
函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．
10．求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝.
[解析] (1)y＝＝2＋，
∵≠0，∴y≠2，
∴函数的值域为{y|y∈R，且y≠2}．
(2)y＝＝1－，
∵x2＋1≥1，∴0<≤2，
∴－1≤1－<1，
∴函数的值域为[－1,1).
一、选择题
1．给出下列从A到B的对应：
①A＝N，B＝{0,1}，对应关系是：A中的元素除以2所得的余数
②A＝{0,1,2}，B＝{4,1,0}，对应关系是f：x→y＝x2
③A＝{0,1,2}，B＝{0,1，}，对应关系是f：x→y＝
其中表示从集合A到集合B的函数有( )个.( )
A．1 B．2
C．3 D．0
[答案] B
[解析] 由于③中，0这个元素在B中无对应元素，故不是函数，因此选B.
2．下列函数中，不满足：f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
[答案] C
[解析] f(x)＝kx与f(x)＝k|x|均满足：f(2x)＝2f(x)得：A，B，D满足条件．
3．A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是( )
[答案] B
[解析] A、C、D的值域都不是[1,2]，故选B.
4．(2016·盘锦高一检测)函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝( )
A．[－1，＋∞) B．[－1，)
C．(－1，) D．(－∞，)
[答案] B
二、填空题
5．若函数f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3,4a]，则a的取值范围是________.
[答案] (1,2)
[解析] 由区间的定义知?1＜a＜2.
6．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________.
[答案] [－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5]
[解析] 观察函数图象可知
f(x)的定义域是[－3,0]∪[2,3]；
只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5]．
三、解答题
7．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝－＋.
[解析] (1)要使函数有意义，需??x≤1且x≠0，所以函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
(2)由得∴x＜0且x≠－1，
∴原函数的定义域为{x|x＜0且x≠－1}．
(3)要使函数有意义，需
解得－≤x＜2且x≠0，所以函数y＝－＋的定义域为[－，0)∪(0,2)．
[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：
(1)列出使函数有意义的x所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．
8．已知函数f(x)＝，
(1)求f(x)的定义域．
(2)若f(a)＝2，求a的值．
(3)求证：f＝－f(x)．
[解析] (1)要使函数f(x)＝有意义，只需1－x2≠0，解得x≠±1，
所以函数的定义域为{x|x≠±1}．
(2)因为f(x)＝，且f(a)＝2，
所以f(a)＝＝2，即a2＝，解得a＝±.
(3)由已知得f＝＝，
－f(x)＝－＝，
∴f＝－f(x)．
课件67张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.2 函数及其表示第一章1.2.1 函数的概念某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元，6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧．可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱．当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱．同学们，你知道顾客是怎么晓得店主骗人的吗？1.函数的概念
设A，B是非空的______，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的________数x，在集合B中都有________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做______，x的取值范围A叫做函数y＝f(x)的______；与x的值相对应的y值叫做______，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数y＝f(x)的______，则值域是集合B的____．数集任意一个唯一确定自变量定义域函数值值域子集[知识点拨] (1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应，这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数．Rx≠0R定义域对应关系对应关系一定相同定义域不同[a，b](a，b)[a，b)(a，b]
[知识点拨] 并不是所有的数集都能用区间来表示．例如，数集M＝{1,2,3,4}就不能用区间表示．由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言．只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示．[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)[答案] A
[解析] 从函数的概念来看，一个自变量x对应一个y；而A中x＝y2中一个x对应两个y.
∴A不是函数．[答案] D
[解析] 只有D是相等的函数，A与B中定义域不同，C是对应法则不同．[答案] C
[解析] f(5)＝2×5＋1＝11，故选C.函数概念的理解 [思路分析] (1)如何利用函数定义．对于集合A中的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应进行判断．
(2)当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系．
(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．[答案] (1)B (2)C
[规律总结] 1.判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．(2)(2016·甘肃兰州高一月考试题)如图所示，能够作为函数y＝f(x)的图象的有________．[解析] (1)①A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
②对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数；
③A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数；
④对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数．
(2)根据函数的定义，一个函数图象与垂直于x轴的直线最多有一个交点，这是通过图象判断其是否构成函数的基本方法.求函数的定义域 [规律总结] 求函数的定义域：
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．(2)已知矩形的周长为1，它的面积S与矩形的一条边长x之间的函数关系为________，其定义域为________．相等函数的判断 [思路分析] 解决此类问题，要充分理解相等函数的概念，准确求出函数的定义域，认准对应关系，按判断相等函数的步骤求解．[规律总结] 从函数的概念可知，函数有定义域、值域、对应法则三要素，其中，定义域是前提，对应法则是核心，值域是由定义域和对应法则确定的．因此，
(1)当两个函数的定义域不同或对应法则不同，它们就不是同一个函数．只有当定义域和对应法则都相同时它们才是相等函数．
(2)对应法则f是函数关系的本质特征，要深刻理解，准确把握，它的核心是“法则”．通俗地说，就是给出了一个自变量后的一种“算法”，至于这个自变量是用x还是用t或者别的符号表示，那不是“法则”的本质，因此，对应法则与自变量所用的符号无关．
(3)从本题我们也得到这样的启示：在对函数关系变形或化简时，一定要注意使函数的定义域保持不变，否则，就变成了不同的函数．这也正说明了函数的定义域是函数不可忽视的一个重要组成部分．例如f(x)＝x2－x (x≥1)，f(3)＝32－3＝6，但f(－1)是无意义的，不能得出f(－1)＝(－1)2－(－1)＝2，因为只有当x取定义域[1，＋∞)内的值时，才能按这个法则x2－x进行计算．求函数值
[规律总结] 此类求值问题，一般要求的式子较多，不能逐个求解，求解时，注意观察所要求的式子，发掘它们之间的关联，进而去验证，从而得到问题的解决方法．求函数的值域
根据x∈[－5，－2]时的抛物线上升，则
当x＝－5时，y取最小值，且ymin＝－12；
当x＝－2时，y取最大值，且ymax＝3.
故y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．
[规律总结] 遇到求解一般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化简为y＝m(x＋n)2＋d的形式，从而轻易找出函数的最值，进而求得函数的值域．
[规律总结] 求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意根号下变量的取值范围．[错因分析] 该解法中忽视了区间[a，b]中的隐含条件am－1，即m>－1这个隐含条件；而集合B＝{x|m－1≤x≤2m}中的m没有这个隐含条件．
[思路分析] 用区间表示含字母的集合时，字母就有了隐含条件，但用集合表示时，却没有这个限制．因此在面对B＝{x|m－1≤x≤2m}这样的集合时，就要注意讨论m的范围，B可能为空集或只有一个元素的集合．
[正解] 当m>－1时，A＝B，但m≤－1时集合B不能用区间A表示．[答案] D
[解析] 判断y是否为x的函数，主要是看是否满足函数的定义，即一对一或多对一，不能一个自变量对应多个y值，故③错，①②④正确，故选D.[答案] [－3,1]
[解析] 3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，因此定义域为[－3,1]．[答案] C
[解析] 作x轴的垂线，只有图象C与直线最多有一个交点，即为函数图象，故选C.第一章 1.2 1.2.2 第一课时
一、选择题
1．已知y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为( )
A．y＝ B．y＝－
C．y＝ D．y＝－
[答案] C
[解析] 设y＝，由1＝得，k＝2，因此，y关于x的函数关系式为y＝.
2．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为( )
A．y＝20－2x B．y＝20－2x(0＜x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10)
[答案] D
[解析] 由题意得y＋2x＝20，∴y＝20－2x.
又∵2x＞y，∴2x＞20－2x，即x＞5.由y＞0，即20－2x＞0得x＜10，∴5＜x＜10.故选D.
3．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的解析式是( )
A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1
C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7
[答案] B
[解析] ∵g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3，∴令x＋2＝t，则x＝t－2，g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1.
∴g(x)＝2x－1.
4．下表列出了一项实验的统计数据，表示将皮球从高处h落下时，弹跳高度d与下落高度h的关系，则下面的式子能表示这种关系的是( )
h
50
80
100
150
…
d
25
40
50
75
…
A.d＝ B．d＝2h
C．d＝h－25 D．d＝
[答案] D
[解析] 观察图表中数据的关系，易知d＝.故选D.
5．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，在同一坐标系下，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．0或1均有可能
[答案] B
[解析] ∵1∈[－1,5]，∴y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点为1个．
6．若f(x)满足关系式f(x)＋2f()＝3x，则f(2)的值为( )
A．1 B．－1
C．－ D.
[答案] B
[解析]
①－②×2得－3f(2)＝3，
∴f(2)＝－1，选B.
二、填空题
7．某班连续进行了4次数学测验，其中元芳同学的成绩如下表所示，则在这个函数中，定义域是________，值域是________.
次序
1
2
3
4
成绩
145
140
136
141
[答案] {1,2,3,4} {145,140,136,141}
8．已知f＝x2＋，则函数值f(3)＝________.
[答案] 11
[解析] ∵f＝x2＋＝2＋2，
∴f(x)＝x2＋2，∴f(3)＝32＋2＝11.
三、解答题
9．已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域；
(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应．
[解析] (1)由图知定义域为[－3,0]∪[1,4]．
(2)由图知值域为[－2,2]．
(3)由图知：p∈(0,2]时，只有唯一的值与之对应．
10．(2015·济宁高一检测)已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．求函数f(x)的解析式.
[解析] ∵f(x)＝ax2＋bx，且方程f(x)＝x有两个相等的实数根，
∴Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1，
又∵f(2)＝0，∴4a＋2＝0，
∴a＝－，
∴f(x)＝－x2＋x.
一、选择题
1．已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2－2x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝x2＋2x－1 D．f(x)＝x2＋2x＋1
[答案] D
[解析] 令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，即f(x)＝x2＋2x＋1.
2．已知g(x)＝1－2x，f(g(x))＝(x≠0)，则f()等于( )
A．1 B．3
C．15 D．30
[答案] C
[解析] 令g(x)＝1－2x＝，∴x＝，
∴f(g(x))＝＝＝15，选C.
3．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)等于( )
A．12 B．6
C．3 D．2
[答案] B
[解析] 令x＝1，y＝1，则f(2)＝f(1)＋f(1)＋2＝6，令x＝2，y＝1，则f(3)＝f(2)＋f(1)＋4＝12，令x＝0，y＝0，则f(0)＝0，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)－2x2，
∴f(－x)＝f(0)－f(x)＋2x2，∴f(－3)＝f(0)－f(3)＋2×32＝0－12＋18＝6，选B.
4．观察下表：
x
－3
－2
－1
1
2
3
f(x)
4
1
－1
－3
3
5
g(x)
1
4
2
3
－2
－4
则f[g(3)－f(－1)]＝( )
A．3 B．4
C．－3 D．5
[答案] B
[解析] 由题表知，g(3)－f(－1)＝－4－(－1)＝－3，
∴f[g(3)－f(－1)]＝f(－3)＝4.
二、填空题
5．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
[答案] 1 2
[解析] ∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.
x
1
2
3
f(g(x))
1
3
1
g(f(x))
3
1
3
∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2.
6．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F()＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________.
[答案] F(x)＝3x＋
[解析] 设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0)，则F(x)＝kx＋.由F()＝16，F(1)＝8，
得，解得，所以F(x)＝3x＋.
三、解答题
7．设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，对于x∈R恒成立，且f(x)＝0的两个实数根的平方和为10，f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式.
[解析] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(x)图象过(0,3)点，
∴f(0)＝3，即c＝3.
又f(2＋x)＝f(2－x)，
∴a(2＋x)2＋b(2＋x)＋3＝a(2－x)2＋b(2－x)＋3，
整理解得：(4a＋b)x＝0，∴4a＋b＝0即b＝－4a，
∴f(x)＝ax2－4ax＋3.
∵ax2－4ax＋3＝0的两个实数根的平方和为10，
∴10＝x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－，
∴a＝1，∴f(x)＝x2－4x＋3.
8．若函数y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下面图中画出此函数的图象.
[解析] 本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．
课件51张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.2 函数及其表示第一章1.2.2 函数的表示法第一课时 函数的表示法如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容他；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容他；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容他；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容他．那么对于函数，又有哪些不同的表示方法呢？函数的表示法数学表达式图象表格[知识点拨] 三种表示法的优缺点如下表：[知识拓展] 画函数f(x)图象的基本方法
(1)若函数f(x)是正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等基本初等函数，则依据各种函数的图象特点，由关键点(与坐标轴交点，最高最低点)，直接画出f(x)的图象．
(2)若函数f(x)不是基本初等函数，则用描点法画出f(x)的图象，其步骤是：列表、描点、连线．
(3)图象变换法，利用基本图象进行平移、伸移、对称变换得到需要的函数图象．[答案] B
[解析] 因为π2∈R，所以f(π2)＝π.[答案] C
[解析] 由图象，知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．[答案] 2
[解析] 据图象，知f(3)＝1，所以f(f(3))＝f(1)＝2.③下图是我国人口出生率变化曲线．
[解析] 它们都表示函数，其中①是用解析法，②是用列表法，③是用图象法表示函数关系的．函数的三种表示方法 [解析] (1)列表法：
(2)图象法：如图所示：
(3)解析法：
y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．[易错警示] 本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应标明定义域．
[规律总结] 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在应用三种方法表示函数时要注意：
(1)解析法：必须注明函数的定义域；
(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
(3)图象法：是否连线．(2)是函数，因为对于集合{1,2，…，12}中任一个值，由表可知y都有唯一确定的值与它对应，所以由它可确定为y是t的函数．
(3)①不能确定为y是x的函数．因为当x>0或x<－1时，由上图①可知，y有两个值与它对应．
②能确定y是x的函数．因为当x在{x|x＜－1或x＞1}中任取一个值时，由上图②可确定唯一的y值与它对应．
③能确定y是x的函数．因为当x在{－3，－2，－1，0,1,2,3,4}中任取一个值时，由图③可确定y有唯一的值与它对应．
[规律总结] (1)对于有些函数，它的对应关系是客观存在的，但却不能用解析法来表示．如本例(2)中的函数，表中所给出的就是一个对应关系，但却无法用解析法来表示．
(2)判断一个在直角坐标系下的图形能否确定y是x的函数的方法是：任作垂直于x轴的直线，当直线与图形至多只有一个交点时，则该图形能确定y是x的函数；否则就不能确定y是x的函数.与函数图象有关的问题
(2)作函数图象时应注意以下几点：
①在定义域内作图；
②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．[答案] (1)C (2)见解析
[点评] (1)①A，B中图象没有扣除什么特殊点，定义域是R.②D中图象函数值取不到－2，也不符合题意．
[规律总结] 1.函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
2．画函数的图象时需注意函数的定义域．
3．一般用描点法画函数的图象，作图时要先找出关键“点”，再连线.求函数的解析式 [思路分析] 第(1)题已知f(x)是一次函数，用待定系数法求解；第(2)题用配凑法或换元法求解；第(3)题可用构造方程组求解法．[规律总结] 求函数解析式的常见方法：
(1)若已知函数类型，可用待定系数法求解．
(2)若不清楚函数类型，比如已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，可采用配凑法和换元法．配凑法是将f[g(x)]右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式；换元法是令g(x)＝t，然后解出x，即用t表示x，然后代入f[g(x)]中即可求得f(t)，从而求得f(x)．
(3)构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．[答案] A
[解析] 把x＝0,1,2,3分别代入y＝x2－2x中得y的值共三个为－1,0,3，故值域为{－1,0,3}．第一章 1.2 1.2.2 第二课时
一、选择题
1．下列从集合A到集合B的对应中为映射的是( )
A．A＝B＝N＋，对应关系f：x→y＝|x－3|
B．A＝R，B＝{0,1}，对应关系f：x→y＝
C．A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝±
D．A＝Z，B＝Q，对应关系f：x→y＝
[答案] B
[解析] 对A选项，当x＝3时，y＝0?B，排除A选项；对于C选项，对x的每一个值y有两个值与之对应，排除C选项；对于D选项，当x＝0时，在B中没有元素与之对应，排除D选项；只有B选项符合映射的概念，故选B.
2．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则四个图形中较符合该学生走法的是( )
[答案] D
[解析] ∵纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，∴当t＝0时，纵坐标表示家到学校的距离，不能为零，故排除A，C；又由于一开始是跑步，后来是走完余下的路，∴刚开始图象下降的较快，后来下降的较慢，故选D.
3．下列给出的函数是分段函数的是( )
①f(x)＝
②f(x)＝
③f(x)＝
④f(x)＝
A．①② B．①④
C．②④ D．③④
[答案] B
[解析] 对于②取x＝2，f(2)＝3或4，对于③取x＝1，f(1)＝5或1，所以②、③都不合题意．
4．已知f(x)＝则f＋f等于( )
A．－2 B．4
C．2 D．－4
[答案] B
[解析] f＝，
f＝f＝f＝.
∴f＋f＝4.
5．已知集合A中元素(x，y)在映射f下对应B中元素(x＋y，x－y)，则B中元素(4，－2)在A中对应的元素为( )
A．(1,3) B．(1,6)
C．(2,4) D．(2,6)
[答案] A
[解析] 由题意知解得
6．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地前往B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(小时)的函数表达式是( )
A．x＝60t
B．x＝60t＋50
C．x＝
D．x＝
[答案] D
[解析] 由于在B地停留1小时期间，距离x不变，始终为150千米，故选D.
二、填空题
7．已知a，b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值为________.
[答案] 1
[解析] 由题意知∴∴a＋b＝1.
8．已知函数f(x)＝若f(f(x))＝2，则x的取值范围是________.
[答案] {2}∪[－1,1]
[解析] 设f(x)＝t，∴f(t)＝2，当t∈[－1,1]时，满足f(t)＝2，此时－1≤f(x)≤1，无解，当t＝2时，满足f(t)＝2，此时f(x)＝2即－1≤x≤1或x＝2.
三、解答题
9．如图，函数f(x)的图象是由两条射线y1＝k1x＋b1(x≤1)，y2＝k2x＋b2(x≥3)及抛物线y3＝a(x－2)2＋2(1＜x＜3)的一部分组成，求函数f(x)的解析式.
[解析] 由图知解得所以左侧射线的解析式为y1＝－x＋2(x≤1)，
同理x≥3时，右侧射线的解析式为：y2＝x－2(x≥3)．
再设抛物线对应的二次函数的解析式为：
y3＝a(x－2)2＋2(1＜x＜3，a＜0)，所以a＋2＝1，a＝－1，
所以抛物线的解析式为y3＝－x2＋4x－2(1＜x＜3)．
综上所述，函数解析式为y＝
10．已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f(f(－))的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值；
(3)若f(m)>3m－5(m≥2)，求实数m的取值范围．
[分析] (1)形如f(f(x))的求值问题，应如何解决？
(2)在已知分段函数值的情况下，如何确定其对应的自变量的值？
[解析] (1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2(－)＝3－2.
∵f(－)＝－＋1＝－，而－2<－<2，
∴f(f(－))＝f(－)＝(－)2＋2×(－)＝－3＝－.
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．当－2所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.
(3)∵m≥2，∴f(m)＝2m－1，
即2m－1＞3m－5，
解得m＜4，
又m≥2，∴m的取值范围为[2,4).
一、选择题
1．已知集合M＝{x|0≤x≤9}，P＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系中，不能看作从M到P的映射的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
[答案] C
[解析] 首先对于四个对应关系，给一个x值都有唯一的y值对应，但需考查y值是否在集合P中，对于A，由0≤x≤9得x∈[0,3]?P，所以A是映射．
同理B，D都是映射，对于C，显然y＝x∈[0,9]P，所以C不是映射，故选C.
2．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为下列图中的( )
[答案] B
[解析] 由已知得y＝＝.故选B.
3．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应为f：x→y＝x2－2x＋2，若对实数k∈B，在集合中没有元素对应，则k的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] B
[解析] 设k＝x2－2x＋2即x2－2x＋2－k＝0，k没有元素对应即上述方程无解Δ＜0，(－2)2－4(2－k)＜0，∴k＜1故选B.
4．若函数f(x)＝φ(x)＝则当x＜0时，f[φ(x)]为( )
A．－x B．－x2
C．x D．x2
[答案] B
[解析] x＜0时，φ(x)＝－x2＜0，∴f(φ(x))＝－x2.
二、填空题
5．已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________.
[答案] {x|x≤1}
[解析] 当x≥0时，f(x)＝1，由xf(x)＋x≤2，知x≤1，∴0≤x≤1；
当x＜0时，f(x)＝0，∴x＜0.
综上，不等式的解集为{x|x≤1}．
6．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是________.
[答案] 3
[解析] 由f(－4)＝f(0)?(－4)2＋b×(－4)＋c＝c，
f(－2)＝－2?(－2)2＋b×(－2)＋c＝－2，
则f(x)＝
由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x?x2＋3x＋2＝0?x＝－2或x＝－1，即当x≤0时，有两个实数解；当x＞0时，有一个实数解x＝2.综上，f(x)＝x有3个实数解．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝1＋(－2＜x≤2).
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出该函数的图象；
(3)写出该函数的值域．
[解析] (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1；
当－2＜x＜0时，f(x)＝1＋＝1－x，
∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示：
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
8．如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左向右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左侧部分的面积y关于x的函数解析式.
[解析] 如图所示，过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，
底角为45°，AB＝2cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
当点F在BG上时，即x∈(0,2]时，y＝x2；
当点F在GH上时，即x∈(2,5]时，
y＝×2×2＋2(x－2)＝2x－2；
当点F在HC上时，即x∈(5,7]时，
y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2＝－(x－7)2＋10.
综上，y＝
课件43张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.2 函数及其表示第一章1.2.2 函数的表示法第二课时 分段函数与映射某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有六张扑克牌，不含王牌和牌号数相同的牌，让6位观众每人从他手里任摸一张，并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号，牌号数是这样规定的，A为1，J为11，Q为12，K为13，其余的以牌上的数字为准，然后，表演者让他们按如下的方法进行计算，将自己的牌号乘2加3后乘5，再减去25，把计算结果告诉表演者(要求数值绝对准确)，表演者便能立即准确地猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？1.分段函数
所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的__________的函数．
[知识点拨] 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．对应关系2．映射
(1)定义：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的__________元素x，在集合B中都有__________的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合____到集合____的一个映射．
[知识点拨] 满足下列条件的对应f：A→B为映射：
(1)A，B为非空集合；
(2)有对应法则f；
(3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一元素与之对应．任意一个唯一确定AB
(2)映射与函数的关系：函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为__________时，从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．
[知识点拨] 函数新概念，记准三要素；定义域值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见；函数变映射，只是数集变；不再是数集，任何集不限．非空数集
[答案] D
[解析] 结合映射的定义可知A，B，C均满足M中任意一个数x，在N中有唯一确定的y与之对应，而D中元素1在N中有a，b两个元素与之对应，故不是映射．[答案] D
[解析] 根据分段函数定义域的确定原则：将每一段上函数的自变量的范围取并集，即：[－5,0]∪[2,6)．分段函数及应用 [思路分析] 给出的函数是分段函数，应注意在不同的自变量取值范围内有不同的解析式．
(1)根据自变量的值，选用相应关系式求函数值．
(2)在不同的区间，依次画出函数图象．[点评] 本题易出现对分段函数的定义域与值域的求法不清楚而致错．
[规律总结] 1.解答本题第(1)、(2)题时，应注意自变量的取值范围．
2．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．
3．画图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可．映射的概念 [思路分析] (1)从集合A到B的映射中元素是怎样对应的？
(2)怎样判断一个对应是映射？
[解析] (1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0?B，故不是映射．
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射．分段函数的实际应用 [思路分析] (1)点P位置不同△ABP的形状一样吗？
(2)注意该函数的定义域．(3)即f(x)≥2，当0≤x≤4时，2x≥2，∴x≥1，
当8∴x≤11，∴x的取值范围是1≤x≤11.
[点评] (3)可以作直线y＝2与函数y＝f(x)的图象交于点A(1,2)，B(11,2)，要使y≥2，应有1≤x≤11.
[规律总结] 利用分段函数求解实际应用题的策略
(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言．
(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型．
(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．[错因分析] 以上解法的错误之处在于误解了映射的定义．a4＝10或a2＋3a＝10都有可能，因而要分类讨论．
[思路分析] 对于A映射f：A→B，A中的元素x的象可能是B中的任意一个元素，故在解此类题时要将问题考虑全面．A．①、②
B．①、④
C．②、⑤
D．①、②、③
[答案] D
[解析] 由图知①②中元素a1在B中对应元素不唯一，③中元素a2在B中无象，都不是映射，④⑤是映射，故选D.[答案] 5
[解析] f(2)＝2a－1＝3，
∴a＝2，∴f(x)＝2x－1，
∴f(3)＝5.[解析] 对于(1)，集合A中的元素在集合B中都有唯一的对应元素，因而能构成映射；对于(2)，集合A中的任一元素x在对应关系f下在B中都有唯一元素与之对应，因而能构成映射；对于(3)，由于当x＝3时，f(3)＝2×3－1＝5，在集合B中无对应元素，因而不满足映射的定义，从而不能构成映射；对于(4)，满足映射的定义，能构成映射．
[规律总结] 要判断两个集合能否构成映射，一般从映射的定义入手．若满足映射定义就能构成映射；若不满足映射定义，只要举一反例，即说明集合A中的某一元素在B中无对应元素即可．第一章 1.3 1.3.1 第一课时
一、选择题
1．下列函数在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝1－2x B．y＝
C．y＝ D．y＝－x2＋2x
[答案] D
[解析] 作出y＝1－2x，y＝的图象易知在(0,1)上为减函数，而y＝的定义域为[1，＋∞)不合题意．故选D.
2．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上没有单调性
[答案] C
[解析] 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．如0＜5，但f(0)＞f(5)，故选C.
3．函数f(x)＝的单调性为( )
A．在(0，＋∞)上为减函数
B．在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数
C．不能判断单调性
D．在(－∞，＋∞)上是增函数
[答案] D
[解析] 画出函数的图象，易知函数在(－∞，＋∞)上是增函数．
4．定义在R上的函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且在[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( )
A．f(3)C．f(－4)[答案] D
[解析] ∵f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴f(3)5．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间是( )
A．[－，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，－] D．(－∞，＋∞)
[答案] C
[解析] y＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，∴x≤－时单调递减．
6．(2016·黄冈中学月考题)函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
[答案] C
[解析] 因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3，故选C.
二、填空题
7．已知f(x)是定义在R上的增函数，下列结论中，①y＝[f(x)]2是增函数；②y＝是减函数；③y＝－f(x)是减函数；④y＝|f(x)|是增函数，其中错误的结论是________.
[答案] ①②④
8．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是________.
[答案] (－∞，40]∪[64，＋∞)
[解析] 对称轴为x＝，则≤5或≥8，得k≤40或k≥64.
三、解答题
9．(2015·安徽师大附中高一期中)已知函数f(x)＝，判断f(x)在(0，＋∞)上单调性并用定义证明.
[思路点拨] →→→
[解析] f(x)在(0，＋∞)上单增．
证明：任取x1＞x2＞0，f(x1)－f(x2)＝－＝，
由x1＞x2＞0知x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＞0，故f(x1)－f(x2)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上单增．
10．若函数f(x)＝在R上为增函数，求实数b的取值范围.
[分析] →
[解析] 由题意得，解得1≤b≤2.①
[注意] ①本题在列不等式组时很容易忽略b－1≥f(0)，即只考虑到了分段函数在各自定义域上的单调性，忽略了f(x)在整个定义域上的单调性．
[方法探究] 解决此类问题，一般要从两个方面思考：一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面要考虑端点处的衔接情况，由此列出另一部分的式子.
一、选择题
1．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(2x)>f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(，＋∞) D．(－∞，)
[答案] D
[解析] ∵f(x)在R上为减函数且f(2x)>f(1)．
∴2x<1，∴x<.
2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )
A．f(x1)＜f(x2) B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
[答案] D
3．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )
A．减函数且f(0)＜0 B．增函数且f(0)＜0
C．减函数且f(0)＞0 D．增函数且f(0)＞0
[答案] A
[解析] ∵y＝ax和y＝－在(0，＋∞)都是减函数，∴a＜0，b＜0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a＜0，故选A.
4．下列有关函数单调性的说法，不正确的是( )
A．若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)＋g(x)为增函数
B．若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为减函数
C．若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为增函数
D．若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)－g(x)为减函数
[答案] C
[解析] ∵若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)的增减性不确定．
例如f(x)＝x＋2为R上的增函数，当g(x)＝－x时，
则f(x)＋g(x)＝x＋2为增函数；当g(x)＝－3x，则f(x)＋g(x)＝－2x＋2在R上为减函数，∴不能确定．
二、填空题
5．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为________.
[答案] [0，]
[解析] y＝－(x－3)|x|＝作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，]．
6．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f()的大小关系为________.
[答案] f(a2－a＋1)≤f()
[解析] ∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥>0，又f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴f(a2－a＋1)≤f()．
三、解答题
7．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≥3.
[解析] (1)f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1，
又f(4)＝5，∴f(2)＝3.
(2)f(m－2)≥f(2)
∴，∴2＜m≤4.
∴m的范围为(2,4]．
8．(1)写出函数y＝x2－2x的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？
(2)写出函数y＝|x|的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？
(3)定义在[－4,8]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，y＝f(x)的部分图象如图所示，请补全函数y＝f(x)的图象，并写出其单调区间，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？
(4)由以上你发现了什么结论？(不需要证明)
[解析] (1)函数y＝x2－2x的单调递减区间是(－∞，1]，单调递增区间是[1，＋∞)；其图象的对称轴是直线x＝1；区间(－∞，1]和区间[1，＋∞)关于直线x＝1对称，函数y＝x2－2x在对称轴两侧的单调性相反．
(2)函数y＝|x|的单调减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)，图象关于直线x＝0对称，在其两侧单调性相反．
(3)函数y＝f(x)，x∈[－4,8]的图象如图所示．
函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，[2,5]；单调递减区间是[5,8]，[－1,2]；区间[－4，－1]和区间[5,8]关于直线x＝2对称．区间[－1,2]和区间[2,5]关于直线x＝2对称，函数y＝f(x)在对称轴两侧的对称区间内的单调性相反．
(4)发现结论：如果函数y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称，那么函数y＝f(x)在直线x＝m两侧对称区间内的单调性相反．
课件53张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.3 函数的基本性质第一章1.3.1 单调性与最大(小)值第一课时 函数的单调性德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，最初遗忘速度较快，以后逐渐缓慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线．如下图：
这条曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐变慢了．这条曲线表明了遗忘规律是“先快后慢”．通过这条曲线能说明什么数学问题呢？1.增函数和减函数任意＜＞上升下降
2．单调性
(1)定义：如果函数y＝f(x)在区间D上是______或______，那么就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的________．
(2)图象特征：函数y＝f(x)在区间D上具有单调性，则函数y＝f(x)在区间D上的图象是上升的或下降的．增函数减函数单调区间[归纳总结] 基本初等函数的单调区间如下表所示：[答案] B
[解析] 因为函数y＝f(x)在(a，b)上是减函数，且x1f(x2)，故选B.[答案] B
[解析] 分别画出各个函数的图象，在(0,2)上上升的图象只有B.[答案] D[答案] C
[解析] 根据单调性的定义可知，A、B、D均使Δx与Δy同号，故选C.[解析] 不能．显然x1＝－1，x2＝1时，满足x1y2不成立．利用图象求函数的单调区间 [思路分析] (1)函数f(x)在D上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？
(2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？
[解析] 函数的单调增区间为[－1.5,3)、[5,6)，单调减区间为[－4，－1.5)、[3,5)、[6,7]．
[规律总结] 函数单调区间的求法及表示方法
(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求．
[解析] 由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．
由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]、[1，＋∞)，减区间为[－1,0)、(0,1].用定义证明函数的单调性 [规律总结] 函数单调性的证明方法
证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：求函数的单调区间
[思路分析] (1)求解析式确定的二次函数的单调区间应把握的关键点是什么？
(2)求函数解析式确定的单调区间应本着什么优先的原则？
(3)求函数单调区间时，对于函数解析式中含有绝对值号的应如何处理？[规律总结] 求函数单调区间的两个方法及三个关注点
(1)两个方法
方法一：定义法，即先求定义域，再用定义法进行判断求解．
方示二：图象法，首先画出图象，根据函数图象求单调区间．
(2)三个关注点：
关注一：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域．
关注二：对于一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间作为常识性的知识，可以直接使用．
关注三：函数图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．函数单调性的简单应用
[点评] 本题易出现不能正确判断对称轴与直线x＝4的位置关系而致错．
[规律总结] 函数单调性应用的关注点
(1)函数单调性的定义具有“双向性”：利用函数单调性的定义可以判断，证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定函数中参数的范围．(2)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．例如，若函数f(x)的解析式是未知的，欲求x的取值范围，我们可以根据函数单调性的定义(也就是函数单调性的性质)，将符号“f”脱掉，只要注意到函数的定义域，即可列出关于x的不等式(组)．
(3)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
[正解] 因为函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2]，且函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－a，所以有－a＝2，即a＝－2.
[规律总结] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义．[答案] C
[解析] 结合图象分析可知，函数图象在区间[－3,1]是上升的，故其增区间是[－3,1]．[答案] B
[解析] 由二次函数f(x)＝8＋2x－x2＝－(x－1)2＋9的图象知B对，故选B.第一章 1.3 1.3.1 第二课时
一、选择题
1．函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如下图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．－2，f(2) B．2，f(2)
C．－2，f(5) D．2，f(5)
[答案] C
[解析] 由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)，故选C.
2．函数f(x)＝在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是( )
A.，1 B．1，
C.，1 D．1，
[答案] B
[解析] 函数f(x)＝在[2,6]上单调递减，当x＝2时，f(x)有最大值为1，当x＝6时，有最小值.
3．函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
[答案] A
[解析] ∵x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，
f(x)min＝2×1＋6＝8；
x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，
∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.
4．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
[答案] C
[解析] 由题意知a≠0，当a＞0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a＜0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.
5．函数y＝x＋的最值的情况为( )
A．最小值为，无最大值
B．最大值为，无最小值
C．最小值为，最大值为2
D．无最大值，也无最小值
[答案] A
[解析] ∵y＝x＋在定义域[，＋∞)上是增函数，∴函数最小值为，无最大值，故选A.
6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[答案] C
[解析] f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，
∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，
∴f(x)在[0,1]上单调递增．
又∵f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
二、填空题
7．函数f(x＋1)＝在x∈[3,4]上的最大值为________.
[答案] 3
[解析] ∵f(x＋1)＝＝，
∴f(x)＝＝＝1＋.
当x∈[3,4]时，f(x)为减函数．
所以当x＝3时，f(x)max＝3.
8．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________.
[答案] 1＜a≤3
[解析] 画f(x)＝x2－6x＋8的图象，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1＜a≤3.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x＋＋2，其中x∈[1，＋∞)．(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值.
[解析] (1)函数f(x)＝x＋＋2，
设1≤x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(－)＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2)，
∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，
∴2x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0.
即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
(2)从而当x＝1时，f(x)有最小值.
10．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题.
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[－1，]的最大值．
[解析] f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．
(1)f(x)在(－∞，－]和[0，＋∞)上是增函数，在[－，0]上是减函数，
因此f(x)的单调区间为(－∞，－]，[－，0]，[0，＋∞)．
(2)∵f(－)＝，f()＝，∴f(x)在区间[－1，]的最大值为.
一、选择题
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
[答案] A
[解析] y＝＋2在[1,4]上为减函数，当x＝1时y最大值为3，故选A.
2．(2015·石家庄高一检测)若函数y＝2ax－b 在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．1 B．－1
C．1或－1 D．0
[答案] C
[解析] 当a>0时，最大值为4a－b，最小值为2a－b，差为2a，∴a＝1；当a≤0时，最大值为2a－b，最大值为4a－b，差为－2a，∴a＝－1.
3．若0A．－2 B.
C．2 D．0
[答案] B
[解析] y＝－t在(0，]上为减函数，当t＝时y有最小值，故选B.
4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
[答案] D
[解析] f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故选D.
二、填空题
5．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a，b，总有＞0成立，且f(－3)＝2，f(－1)＝4，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是________.
[答案] 4
[解析] 由题意可知函数f(x)在R上为增函数，则其在[－3，－1]上最大值应为f(－1)＝4.
6．对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax＝－1叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2－4a＋6的下确界为________.
[答案] 2
[解析] a2－4a＋6＝(a－2)2＋2≥2，则a2－4a＋6的下确界为2.
三、解答题
7．(2015·湖北孝感期中)设f(x)是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f(1－x)＝x2－3x＋3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－5x＋1在[m，m＋1]上的最小值为－2，求实数m的取值范围．
[解析] (1)令1－x＝t，
得f(t)＝(1－t)2－3(1－t)＋3，
化简得f(t)＝t2＋t＋1，
即f(x)＝x2＋x＋1，x∈R.
(2)由(1)知g(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2(m≤x≤m＋1)，
∵g(x)min＝－2，
∴m≤2≤m＋1，∴1≤m≤2.
8．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.
(1)求f(1)的值；
(2)判定f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
[解析] (1)令x1＝x2，则f(1)＝f()＝f(x1)－f(x2)＝0.
(2)任取x1，x2满足0＜x1＜x2，则＞1，∴f()＜0.
∵f()＝f(x2)－f(x1)，
∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(3)∵f(3)＝f()＝f(9)－f(3)，∴f(9)＝2f(3)＝－2.
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)在[2,9]上是减函数．
∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)＝－2.
课件54张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.3 函数的基本性质第一章1.3.1 单调性与最大(小)值第二课时 函数的最值你知道2008年北京奥运会开幕式时间为什么由原定的7月25日推迟到8月8日吗？
通过查阅资料，我们了解到开幕式推迟的主要原因是天气，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事．
在日常生活中，我们会关心很多数据的变化(如食品的价格、燃油价格等)，所有这些数据的变化，用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小的问题，也就是本节我们所要研究的函数的最值问题.1.最大值和最小值≤≥f(x0)＝M高低[知识拓展] (1)定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．2．最值最大值最小值最高点最低点[答案] C
[解析] 因为二次函数开口向下，所以当x＝－1时，函数有最大值8，无最小值．利用图象求函数的最值 [规律总结] 利用图象法求函数最值的方法
(1)利用函数图象求函数最值是求函数最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对图象易作出的函数求最值较常用．
(2)图象法求最值的一般步骤是：[分析] 利用图象法求函数最值，要注意函数的定义域．函数的最大值、最小值分别是图象的最高点和最低点的纵坐标．利用函数的单调性求最值 [规律总结] 1.利用函数单调性求最值的一般步骤：
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值．
2．利用单调性求最值的三个常用结论
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．
(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．
(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
【互动探究】 本例中，若所给区间是[1,4]，则函数最值又是什么？
[解析] 按例题的证明方法，易证f(x)在区间[2,4]上是增函数，又函数在[1,2]上是减函数，所以函数f(x)的最小值是4.又f(1)＝f(4)＝5，所以函数的最大值是5.实际应用中的函数最值问题 (1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式；
(2)若此商品每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N*，试问该商品第几周每件销售利润最大？最大值是多少？(注：每件销售利润＝售价－进价)
[思路分析] (1)P与t间的关系用什么形式的函数来表示？
(2)分段函数的最值如何求？
[规律总结] (1)解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题．要注意自变量的取值范围．
(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数的最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．抽象函数的单调性及应用
[思路分析] (1)的求解是容易的；对于(2)，应利用单调性定义来证明，其中应注意f(x·y)＝f(x)＋f(y)的应用；对于(3)，应利用(2)中所得的结果及f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当配凑，将所给不等式化为f [g(x)]≥f(a)的形式，再利用f(x)的单调性来求解．[规律总结] 在处理分段函数单调性时，易错在当每一段函数为单调递增时，误以为整个函数也是单调递增，还需要看分界点处函数值的大小关系．[答案] B
[解析] y＝－3x2＋2的图象开口向下，对称轴为x＝0，因此在[－1,0]上递增在[0,2]上递减，在x＝0处取得最大值2，故选B.第一章 1.3 1.3.2 第一课时
一、选择题
1．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有( )
A．f(x)－f(－x)＞0 B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)＞0
[答案] C
[解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2.
又f(0)＝0，∴－[f(x)]2≤0，故选C.
2．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝2x2－3 B．y＝x3
C．y＝x2，x∈[0,1] D．y＝x
[答案] A
[解析] 对A项：f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，B、D项都为奇函数，C项中定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故选A.
3．下列说法正确的是( )
A．偶函数的图象一定与y轴相交
B．奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0
C．奇函数y＝f(x)的图象一定过原点
D．图象过原点的奇函数必是单调函数
[答案] B
[解析] A项中若定义域不含0，则图象与y轴不相交，C项中定义域不含0，则图象不过原点，D项中奇函数不一定单调，故选B.
4．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A．f(x)f(－x)是奇函数
B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数
D．f(x)＋f(－x)是偶函数
[答案] D
[解析] 令F1(x)＝f(x)·f(－x)，F2(x)＝f(x)|f(－x)|，F3(x)＝f(x)－f(－x)，F4(x)＝f(x)＋f(－x)，则F1(－x)＝f(－x)·f(x)＝F1(x)，即F1(x)为偶函数；
F2(－x)＝f(－x)·|f(x)|≠±F2(x)，
即F2(x)为非奇非偶函数；
F3(－x)＝f(－x)－f(x)
＝－(f(x)－f(－x))＝－F3(x)，
即F3(x)为奇函数；
F4(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F4(x)，
即F4(x)为偶函数．
结合选项知D正确．
5．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案] C
[解析] ∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a，且函数是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，∴1－a＝0，∴a＝1.
6．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx( )
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既非奇函数又非偶函数
[答案] A
[解析] ∵f(－x)＝f(x)，
∴a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c对x∈R恒成立．
∴b＝0.
∴g(x)＝ax3＋cx(c≠0)．
∴g(－x)＝－g(x)．
二、填空题
7．(2015·广东深圳期末)设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是________.
[答案] 4
[解析] ∵f(x)是奇函数，∴g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝4.
8．定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝，则常数m、n的值分别为________.
[答案] 0、0
[解析] 由题意知f(0)＝0，故得m＝0.由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，即＝－，
∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0.
三、解答题
9．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)、g(x)的表达式.
[解析] f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2
又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：
f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
10．已知f(x)是定义在R上的函数，对任意的x，y∈R都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.
(1)求证：f(0)＝1.
(2)判断函数的奇偶性．
[解析] (1)令x＝y＝0,2f(0)＝2f(0)2，
因f(0)≠0，则f(0)＝1.
(2)令x＝0，有f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，则f(－y)＝f(y)，
∴f(x)是偶函数.
一、选择题
1．函数f(x)＝－x的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
[答案] C
[解析] ∵f(x)＝－x(x≠0)，
∴f(－x)＝－＋x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－x的图象关于原点对称，故选C.
2．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于( )
A. B.
C. D．1
[答案] A
[解析] 方法一：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴＝－，
即(2x－1)(x＋a)＝(2x＋1)(x－a)恒成立，
整理得(2a－1)x＝0，
∴必须有2a－1＝0，∴a＝，故选A.
方法二：由于函数f(x)是奇函数，
所以必有f(－1)＝－f(1)，即＝－，
即1＋a＝3(1－a)，解得a＝，故选A.
3．(2015·河北衡水中学期中)已知f(x)＝x5－2ax3＋3bx＋2，且f(－2)＝－3，则f(2)＝( )
A．3 B．5
C．7 D．－1
[答案] C
[解析] 令g(x)＝x5－2ax3＋3bx，则g(x)为奇函数，∴f(x)＝g(x)＋2，f(－2)＝g(－2)＋2＝－g(2)＋2＝－3，∴g(2)＝5，f(2)＝g(2)＋2＝7.
4．若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是( )
A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数
C．f(x)＋1为奇函数 D．f(x)＋1为偶函数
[答案] C
[解析] 令x1＝x2＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，
∴f(0)＝－1.
令x1＝x，x2＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＋1，
∴f(－x)＋1＝－f(x)－1＝－(f(x)＋1)，∴f(x)＋1为奇函数．
二、填空题
5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数：①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x中奇函数为________(填序号).
[答案] ②④
[解析] ∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴①为偶函数；
∵f(－x)＝－f(x)，令g(x)＝－f(x)，则g(－x)＝－f(－x)＝f(x)＝－g(x)，∴②为奇函数；令F(x)＝xf(x)，则F(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)＝F(x)，故③是偶函数；令h(x)＝f(x)＋x，则h(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－h(x)，故④是奇函数．
6．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________.
[答案] 0
[解析] ∵偶函数的图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称．若y轴右侧的两根为x1，x2，则y轴左侧的两根为－x1，－x2，∴四根和为0.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x＋.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数．
[解析] (1)f(x)的定义域为{x|x≠0}，
∴定义域关于原点对称，
∴f(－x)＝－x＋＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)证明：设x1，x2∈(2，＋∞)且Δx＝x2－x1>0，
∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x2＋)－(x1＋)
＝(x2－x1)＋
＝(x2－x1)(1－)＝(x2－x1)()，
由题意知x2－x1＝Δx>0.
x1x2>0且x1x2－4>0，
∴Δy>0，∴f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
8．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a).
(1)求f(0)，f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论．
[解析] (1)令a＝b＝0，则f(0×0)＝0×f(0)＋0×f(0)＝0，
∴f(0)＝0.
令a＝b＝1，则f(1×1)＝f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)是奇函数．
证明：∵f(1)＝f[(－1)2]＝－f(－1)－f(－1)＝0，
∴f(－1)＝0.
令a＝－1，b＝x，
则f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)．
故f(x)为奇函数．
课件54张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.3 函数的基本性质第一章1.3.2 奇偶性第一课时 函数的奇偶性大自然是一个真正的设计师，它用对称的方法创造了千百万种不同的生命．被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型，是一只硕大无比、展开双翅的海鸥．它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高、更广阔的天地，创造更新、更宏伟的业绩．一些函数的图象也有着如此美妙的对称性，那么这种对称性体现了函数的什么性质呢？1.偶函数和奇函数任意f(x)－f(x)y轴原点[知识点拨] (1)奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数；由于f(－x)与f(x)有意义，则－x与x同时属于定义域，即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．
(2)函数f(x)是偶函数?对定义域内任意一个x，都有f(－x)－f(x)＝0?f(x)的图象关于y轴对称．
(3)函数f(x)是奇函数?对定义域内任意一个x，都有f(－x)＋f(x)＝0?f(x)的图象关于原点对称．2．奇偶性奇偶性[归纳总结] 基本初等函数的奇偶性如下：[答案] C
[解析] ∵定义域为(0,1)不关于原点对称，
∴函数为非奇非偶的函数，故选C.[答案] B
[解析] f(x)＝x－3是奇函数，A错误；
f(x)＝x－4是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，B正确；
f(x)＝x4是偶函数且在(0，＋∞)上增函数，C错误；
f(x)＝x2是偶函数且在(0，＋∞)上是增函数，D错误．[答案] 0
[解析] f(x)为偶函数，则对称轴为x＝m＝0.[答案] 8
[解析] ∵f(x)为[3－a,5]上的奇函数，
∴区间[3－a,5]关于坐标原点对称，
∴3－a＝－5，即a＝8.函数奇偶性的判断 [思路分析] (1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？
(2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？[分析] 根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条件．奇、偶函数图象的应用 [思路分析] 先利用函数的解析式得到函数f(x)的性质：f(－x)＝f(x)，根据函数图象关于y轴对称作出f(x)的图象．
[规律总结] 1.研究函数图象时，要注意对函数性质的研究，这样可避免作图的盲目性和复杂性．
2．利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．利用函数的奇偶性求解析式
[规律总结] 利用函数奇偶性求函数解析式
利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．[答案] －x＋1
[解析] x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，
又∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.利用函数奇偶性求值或参数
(2)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)，所以－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3.
即2(f(1)＋f(2))＝－6，f(1)＋f(2)＝－3.
(3)因为f(x)＝(m－2)x2－3mx＋1为偶函数，所以－3m＝0，解得m＝0，所以f(x)＝－2x2＋1，它的单调递增区间是(－∞，0].[错因分析] 要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)．有时还需要在定义域制约条件下将f(x)进行变形，以利于判定其奇偶性．
[错因分析] 错解忽略了函数的定义域关于原点对称这一条件，即－2b＋3b－1＝0.
[正解] ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即a＝0.
又定义域为[－2b,3b－1]，∴－2b＋3b－1＝0，∴b＝1，
∴f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，
∴函数f(x)的值域为[1,5]．[答案] B
[解析] ①④为奇函数，②的定义域关于原点不对称，③不满足奇函数定义．[答案] B
[解析] 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，由图可知只有选项B符合．[答案] D
[解析] ∵－f(a)＝f(－a)，∴点(－a，－f(a))在y＝f(x)的图象上，故选D.[答案] x|x＋2|
[解析] ∵x<0，∴－x>0.
∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x)|－x－2|＝x|x＋2|，
∴f(x)＝x|x＋2|.第一章 1.3 1.3.2 第二课时
一、选择题
1．下列函数中是奇函数且在(0,1)上递增的函数是( )
A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝x2－
C．f(x)＝ D．f(x)＝x3
[答案] D
[解析] ∵对于A，f(－x)＝(－x)＋＝－(x＋)＝－f(x)；对于D，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
∴A、D选项都是奇函数．易知f(x)＝x3在(0,1)上递增．
2．若f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则下列各式成立的是( )
A．f(－2)＞f(0)＞f(1) B．f(－2)＞f(1)＞f(0)
C．f(1)＞f(0)＞f(－2) D．f(0)＞f(－2)＞f(1)
[答案] B
[解析] 因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)．又因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＜f(1)＜f(2)，即f(－2)＞f(1)＞f(0)．故选B.
3．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是增函数，则有( )
A．a≥ B．a≤
C．a>－ D．a>
[答案] D
[解析] ∵y＝f(x)在R上为增函数，
∴2a－1>0，即a>.
4．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是( )
A．{x|－33} B．{x|x<－3或0C．{x|x<－3或x>3} D．{x|－3[答案] B
[解析] x>0时f(3)＝－f(－3)＝0，
又∵f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴x∈(0,3)时f(x)<0，
又∵f(x)为奇函数．当x<0时，只有x∈(－∞，－3)时f(x)<0，故选B.
5．已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为( )
A．－5 B．－1
C．－3 D．5
[答案] B
[解析] 令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，
则F(x)为奇函数．
∵x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5，
∴x∈(0，＋∞)时，F(x)＝h(x)－2≤3.
又x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴F(－x)≤3?－F(x)≤3
?F(x)≥－3.
∴h(x)≥－3＋2＝－1，选B.
6．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
[答案] D
[解析] 奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，＝<0.
由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)．
二、填空题
7．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
[答案] －1
[解析] f(x)＝(x＋1)(x＋a)为奇函数
?g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，
故g(－1)＝g(1)，∴a＝－1.
8．偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，若x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|，则f(x1)与f(x2)的大小关系是______.
[答案] f(x1)>f(x2)
[解析] ∵x1<0，∴－x1>0，
又|x1|>|x2|，x2>0，∴－x1>x2>0，
∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)>f(x2)，
又∵f(x)为偶函数，∴f(x1)>f(x2)．
此类问题利用奇偶函数的对称特征画出示意图一目了然．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．
[分析] (1)题需分情况讨论．(2)题用定义证明即可．
[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝x2，
对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)设2≤x1∵x1－x2<0，x1x2>4，
∴只需使a又∵x1＋x2>4，
∴x1x2(x1＋x2)>16，
故a的取值范围是(－∞，16]．
10．已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求证：函数f(x)在定义域上是增函数；
(3)求函数f(x)的最小值．
[解析] (1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足x＋1≥0，解得x≥－1，
所以函数f(x)的定义域是[－1，＋∞)．
(2)证明：设－10，
f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝＝.
∵－1∴x1－x2<0，>0，>0.
∴f(x1)0，
∴函数f(x)在定义域上是增函数．
(3)∵函数f(x)在定义域[－1，＋∞)上是增函数，
∴f(x)≥f(－1)＝0，
即函数f(x)的最小值是0.
一、选择题
1．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋b，则f(－1)等于( )
A．0 B．2
C．－2 D．1
[答案] C
[解析] ∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，即b＝0，∴当x≥0时，f(x)＝2x，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2，故选C.
2．已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[3a－2,2a＋]上的偶函数，则5a＋3b＝( )
A. B.
C．0 D．－
[答案] A
[解析] ∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)即ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0，又f(x)定义域为[3a－2,2a＋]，∴3a－2＋2a＋＝0，∴a＝.故5a＋3b＝.
3．已知函数f(x)是定义在(－6,6)上的偶函数，f(x)在[0,6)上是单调函数，且f(－2)＜f(1)，则下列不等式成立的是( )
A．f(－1)＜f(1)＜f(3) B．f(2)＜f(3)＜f(－4)
C．f(－2)＜f(0)＜f(1) D．f(5)＜f(－3)＜f(－1)
[答案] D
[解析] ∵f(－2)＝f(2)＜f(1)，∴f(x)在[0,6]上为减函数，在[－6,0]上为增函数，f(－5)＝f(5)，
∴f(－5)＜f(－3)＜f(－1)，故选D.
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[答案] B
[解析] ∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，又f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(6)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0.
二、填空题
5．已知偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则f(x)≥0的x的取值范围是________.
[答案] [－2,2]∪{－5,5}
[解析] ∵f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，
∴由f(x)在[0,5]上的图象
作出f(x)在[－5,0]上的图象，从而得到f(x)在[－5,5]上的图象(如图)．
根据图象可知：使f(x)≥0的x的取值范围为[－2,2]∪{－5,5}．
6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，若f(1－a)＋f(－2a)＜0，则实数a的取值范围是________.
[答案] (，＋∞)
[解析] ∵y＝f(x)为R上的奇函数，且在[0，＋∞)为增函数，∴f(x)在R上为增函数．
又f(1－a)＋f(－2a)＜0，
∴f(1－a)＜－f(－2a)＝f(2a－)．
∴1－a＜2a－，即a＞.
∴实数a的取值范围为(，＋∞)．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝1－.
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
[解析] (1)由已知得g(x)＝1－a－，
∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，即1－a－＝－(1－a－)，解得a＝1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝1－－(1－)＝.
∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞0，从而＜0，即f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．
8．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0.
(1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
[解析] (1)∵a＞b，∴a－b＞0，
由题意得＞0，
∴f(a)＋f(－b)＞0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，
∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
∴1＋m≥2m－3，∴m≤4.
∴实数m的取值范围为(－∞，4]．
课件40张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1 集合与函数的概念第一章1.3 函数的基本性质第一章1.3.2 奇偶性第二课时 函数性质习题课规律小结
(1)判断函数单调性的步骤：
①任取x1，x2∈R，且x1②作差：f(x1)－f(x2)；
③变形(通分、配方、因式分解)；
④判断差的符号，下结论．
(2)求函数单调性要先确定函数的定义域．
(3)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数．
(4)复合函数y＝f(g(x))的单调性遵循“同增异减”的原则．
(5)奇函数的性质：①图象关于原点对称；
②在关于原点对称的区间上单调性相同；
③若在x＝0处有定义，则有f(0)＝0.
(6)偶函数的性质：
①图象关于y轴对称；
②在关于原点对称的区间上单调性相反；
③f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
(7)若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则在区间[－b，－a]上有最小值－M；若偶函数f(x)在[a，b]上有最大值m，则在区间[－b，－a]上也有最大值m.函数单调性的应用 [思路分析] (1)如果分段函数为定义域上的减函数，那么在每个分段区间内的单调性是怎样的？
(2)要保证分段函数在整个定义域内单调递减，需要满足什么条件？
[解析] 由x≥1时，f(x)＝－x2＋2ax－2a是减函数，得a≤1；由x＜1时，函数f(x)＝ax＋1是减函数，得a＜0.
分段点x＝1处的值应满足－12＋2a×1－2a≤1×a＋1，
解得a≥－2.所以－2≤a＜0.
[答案] B
[规律总结] 在应用分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时，不仅要保证分段函数的每一段上的函数是单调的，而且还要求函数的特殊点——分段点处的值，也要结合函数的单调性比较大小，如本例中的分段点x＝1，即需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．奇偶性的应用 [答案] 0
[分析] 逆用偶函数的定义求a.
[解析] 显然x∈R，由已知得f(－x)＝(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x－a|，又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)，
即x2－|x＋a|＝x2－|x－a|，即|x＋a|＝|x－a|，
又x∈R，所以a＝0.奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上的单调性 [解析] 设a≤x1＜x2≤b，则－b≤－x2＜－x1≤－a.∵f(x)在[－b，－a]上是增函数．∴f(－x2)＜f(－x1)
又f(x)是偶函数，∴f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)
于是 f(x2)＜f(x1)，故f(x)在[a，b]上是减函数．
[点评] 由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的．
[规律总结] 函数的单调性与奇偶性的关系
(1)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致；若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反．
(2)奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数；偶函数在对称区间上的最值相同．[解析] (1)∵f(x)是偶函数，∴f(－5)＝f(5)，
∵f(x)在[2,6]上是减函数，∴f(5)(2)设－6≤x1∵f(x)在[1,6]上是增函数且最大值为10，最小值为4，∴4＝f(1)≤f(－x2)又∵f(x)为奇函数，∴4＝f(1)≤－f(x2)<－f(x1)≤f(6)＝10，
∴－10＝f(－6)≤f(x1)即f(x)在[－6，－1]上是增函数，且最小值为－10，最大值为－4.函数性质的综合应用 [答案] B
[规律总结] 可用数形结合法求解．由题意画出示意图如图所示可知选B.[分析] 给出函数关系而未给出解析式，要证明函数的奇偶性与单调性，关键是紧紧扣住条件f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，对其中的x，y不断赋值．
[解析] (1)令y＝－x，得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，
∴f(x)＋f(－x)＝f(0)．
又∵f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．(2)任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]
＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]
＝－f(x2－x1)．
∵x10，
又∵当x>0时，f(x)<0，
∴f(x2－x1)<0，
∴－f(x2－x1)>0，即f(x1)>f(x2)，
从而f(x)在R上是减函数．(3)∵f(x)在R上是减函数．
∴f(x)在[－3,3]上的最大值是f(－3)，最小值是f(3)．
f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×(－2)＝－6，
∴f(－3)＝－f(3)＝6.
从而f(x)在区间[－3,3]上的最大值是6，最小值是－6.
[规律总结] 对抽象函数的奇偶性与单调性的证明，围绕证明奇偶性与单调性所需要的关系式，对所给的函数关系式赋值．[答案] A
[解析] 偶函数图象关于y轴对称，如果在[－2，－1]上有最大值，那么该函数在[1,2]上也有最大值．[答案] C
[解析] y＝f(x－3)的图象可以由f(x)的图象向右平移8个单位得到，故其在(－1,10)上一定为增函数．[答案] C
[解析] ∵f(x)在R上为偶函数，
∴m＝0.
即：f(x)＝－x2＋3在(－3,1)上先增后减．[答案] ①②④
[解析] 根据奇函数的定义与性质一一验证即可．课件72张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修1集合与函数的概念第一章章末整合提升第一章1．集合的“三性”
正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性．在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意．
2．集合与集合之间的关系
集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A?B时，不要遗漏A＝?.3．集合与集合之间的运算
并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
4．函数的单调性
函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明f(x)在区间[a，b]上是增函数或减函数，必须证明对[a，b]上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)成立；若要证明f(x)在区间[a，b]上不是单调函数，只要举出反例，即只要找到两个特殊的x1，x2，不满足定义即可．单调函数具有下面性质：设函数f(x)定义在区间I上，且x1，x2∈I，则
(1)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则x1＝x2?f(x1)＝f(x2)．
(2)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则方程f(x)＝0在区间I上至多有一个实数根．
(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数f(x)＋g(x)亦与它们的单调性相同．
函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法．
5．函数的奇偶性
判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(－x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考查函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提．(2)设集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N＝( )
A．(0,1)，(0,2) B．{(0,1)，(0,2)}
C．{y|y＝1或y＝2} D．{y|y≥1}
[分析] 首先分析两个问题中集合中的元素特征，再求交集．
[解析] (1)集合A中的元素为数，即表示二次函数y＝x2自变量的取值集合；集合B中的元素为点，即表示抛物线y＝x2上的点的集合．这两个集合不可能有相同的元素，故A∩B＝?.(2)集合M，N的元素都是数，即分别表示定义域为实数集R时，函数y＝x2＋1与y＝x＋1的值域，不是数对或点，故选项A，B错误．而M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，N＝{y|y∈R}，所以M∩N＝M.故选D.
[答案] (1)? (2)D
[规律总结] 学习集合知识，要加强对集合中元素的认识与识别，注意区分数集与点集，知道集合的元素是什么是进行集合运算的前提．另外，集合语言的表达和转化是必须掌握的．[解析] 由题意a＋2＝1，或(a＋1)2＝1，或a2＋3a＋3＝1，解得a＝－1，或a＝－2，或a＝0.
当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1，不符合元素的互异性这一特点，故a≠－2.
同理a≠－1.
故a＝0.
[规律总结] 集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．在解含有参数的集合问题时，忽视元素(或参数)的特性，往往容易出现错误，要注意解题后的代入检验．[分析] 符号?UA隐含了A?U，注意不要忘记A＝?的情形．
[解析] 当A＝?时，方程x2－4x＋p＝0无实数解．
此时Δ＝16－4p＜0，∴p＞4，
∴?UA＝?U?＝U＝{1,2,3,4,5}．
当A≠?时，方程x2－4x＋p＝0的两个根x1，x2(x1＜x2)，必须来自于U.由于x1＋x2＝4，所以x1＝x2＝2或x1＝1，x2＝3.
当x1＝x2＝2时，p＝4，此时A＝{2}，?UA＝{1,3,4,5}；
当x1＝1，x2＝3时，p＝3，此时A＝{1,3}，?UA＝{2,4,5}．
综上所述，当p＞4时，?UA＝{1,2,3,4,5}；
当p＝4时，?UA＝{1,3,4,5}；
当p＝3时，?UA＝{2,4,5}．
[规律总结] 求集合的补集时，不要忘记?的情形．分类讨论是重要的数学思想方法之一，在集合的有关问题中常常用到．
专题二 求函数的定义域
求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．
(3)复合函数问题：
①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；
②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
[注意] ①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围．[分析] 此题关键在于对单调、减区间的理解，主要由对称轴与区间的位置决定．
[解析] 函数f(x)＝x2＋2(a－1)x－a＋2的对称轴为x＝1－a.
(1)由于减区间为(－∞，－1]，因此，1－a＝－1，
∴a＝2.
(2)由于函数在(－∞，－1]上递减，应满足1－a≥－1，∴a≤2.
(3)由于函数在[－1,2]上单调，应满足1－a≤－1或1－a≥2，∴a≥2或a≤－1.
专题四 二次函数的区间最值
解决二次函数的区间最值问题的思路是：抓住“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论思想即可解决问题．下面通过例题详细分析此类问题的解法．[解析] 作出函数的图象如图，当x＝1时，ymin＝－4；当x＝－2时，ymax＝5.
[点评] 本题已知二次函数在自变量x的给定区间[m，n]上的图象是抛物线的一段，那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．专题五 例析抽象函数单调性、奇偶性的解法
抽象函数是相对具体的函数而言的，是指没有给出具体的函数解析式或对应关系，只是给出函数所满足的一些条件或性质的一类函数．
抽象函数问题一般是由所给的条件或性质，讨论函数的其他性质，如单调性、奇偶性，或是求函数值、解析式等．下面对抽象函数的单调性、奇偶性问题举例说明．[规律总结] (1)含绝对值符号的函数图象的画法：
①根据绝对值定义去掉绝对值符号，将原函数化为分段函数；
②依次作每一段的图象．
(2)注意事项：
①若原函数具有奇偶性，可利用奇(偶)函数的对称性作图象；
②通常令绝对值号内的式子等于0，以求得讨论的分界点．2．分类讨论思想
分类讨论问题的实质是：把整体问题化为部分来解决，从而增加了题设条件，这也是解决分类问题的指导思想，根据题意，要适当划分讨论的层次．
解分类讨论问题的步骤是：
(1)确定分类讨论的对象，即对哪个参数进行讨论；
(2)对所讨论的对象要进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏，标准要统一，分层不越级)；
(3)逐类讨论，即对各类问题逐类讨论，逐个解决；
(4)归纳总结，即对各类问题总结归纳，得出结论．本章常见分类讨论的问题如下表：[规律总结] 观察能力是学习数学必须培养的一种重要能力．审题时，注意观察分析，找出解决问题的关键所在，本题中A＝B,0∈B，即是解题的突破口．
[规律总结] a[解析] ∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}符合题意．∴a＝2，故选C.
[答案] C[答案] D
[解析] 虽然1,2∈[0,3]，1＜2，且f(1)＜f(2)，但是1和2是区间[0,3]内的两个特殊值，不是区间[0,3]内的任意值，所以f(x)在[0,3]上的增减性不能确定．[答案] (1)2 (2)f(3)>f(1)
[解析] (1)∵奇函数的图象关于原点对称，且奇函数f(x)图象过点(2,1)和(4,2)，
∴必过点(－2，－1)和(－4，－2)，
∴f(－4)·f(－2)＝(－2)×(－1)＝2.
(2)∵偶函数f(x)满足f(－3)>f(－1)，
∴f(3)>f(1)．
[点评] (1)可由奇函数的性质，先去掉函数记号“f”内的负号，f(－4)·f(－2)＝－f(4)·[－f(2)]＝f(4)·f(2)＝2×1＝2.第一章综合测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·全国卷Ⅱ文，2)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝( )
A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}
C．{1,2,3} D．{1,2}
[答案] D
[解析] 由x2<9得，－32．设集合M＝{1,2}，则满足条件M∪N＝{1,2,3,4}的集合N的个数是( )
A．1 B．3
C．2 D．4
[答案] D
[解析] ∵M＝{1,2}，
M∪N＝{1,2,3,4}．
∴N＝{3,4}或{1,3,4}或{2,3,4}或{1,2,3,4}，即集合N有4个．
3．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝－3x＋2 B．y＝
C．y＝x2－4x＋5 D．y＝3x2＋8x－10
[答案] D
[解析] 显然A、B两项在(0,2)上为减函数，排除；对C项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在(－，＋∞)上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.
4．若奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值是1，则它在[－7，－3]上是( )
A．增函数且最小值是－1 B．增函数且最大值是－1
C．减函数且最大值是－1 D．减函数且最小值是－1
[答案] B
[解析] ∵奇函数在对称区间上的单调性相同，最值相反．
∴y＝f(x)在[－7，－3]上有最大值－1且为增函数．
5．已知集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是( )
A．P＝Q B．P?Q
C．P?Q D．P∩Q＝?
[答案] B
[解析] P＝{x|y＝}＝[－1，＋∞)，Q＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，所以Q?P.
6．设F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，若[－π，－]是函数F(x)的单调递增区间，则一定是F(x)单调递减区间的是( )
A．[－，0] B．[，π]
C．[π，π] D．[π，2π]
[答案] B
[解析] 因为F(－x)＝F(x)，所以F(x)是偶函数，因而在[，π]上F(x)一定单调递减．
7．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则( )
A．f(－1)C．f(2)[答案] B
[解析] 因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1)8．图中的图象所表示的函数的解析式为( )
A．y＝|x－1| (0≤x≤2)
B．y＝－|x－1| (0≤x≤2)
C．y＝－|x－1| (0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1| (0≤x≤2)
[答案] B
[解析] 0≤x≤1，y＝x,19．已知f(x)＝，则f()＋f()＝( )
A．－ B. C. D．－
[答案] A
[解析] f()＝2×－1＝－，f()＝f(－1)＋1＝f()＋1＝2×－1＋1＝，∴f()＋f()＝－，故选A.
10．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是( )
A．a≤2 B．a≥－2
C．－2≤a≤2 D．a≤－2或a≥2
[答案] D
[解析] ∵y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)，∴|a|≥2，得a≤－2或a≥2，故选D.
11．(2016·全国卷Ⅱ文，12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
[答案] B
[解析] 因为y＝f(x)，y＝|x2－2x－3|都关于x＝1对称，所以它们交点也关于x＝1对称，当m为偶数时，其和为2×＝m，当m为奇数时，其和为2×＋1＝m，因此选B.
12．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值是( )
A．最大值为3，最小值－1
B．最大值为7－2，无最小值
C．最大值为3，无最小值
D．既无最大值，又无最小值
[答案] B
[解析] 作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．函数y＝2x＋4的值域为________.
[答案] (－∞，4]
[解析] 令t＝，则x＝1－t2(t≥0)，y＝2x＋4＝2－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋4.
又∵t≥0，∴当t＝1时，ymax＝4.故原函数的值域是(－∞，4]．
14．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有________人.
[答案] 2
[解析] 结合Venn图可知，两种都没买的有2人．
15．若函数f(x)的定义域为[－1,2]则函数f(3－2x)的定义域为________.
[答案] [，2]
[解析] 由－1≤3－2x≤2解得≤x≤2，
故定义域为[，2]．
16．(2016·宁德高一检测)规定记号“Δ”表示一种运算，即aΔb＝＋a＋b，a，b∈R＋，若1Δk＝3，则函数f(x)＝kΔx的值域是________.
[答案] (1，＋∞)
[解析] 由题意，1Δk＝＋1＋k＝3，
得k＝1.
f(x)＝1Δx＝＋1＋x，
即f(x)＝x＋＋1
＝(＋)2＋，
由于x>0，∴(＋)2＋>1，
因此函数f(x)的值域为(1，＋∞)．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1＜x＜6}，C＝{x|x＞a}，U＝R.
(1)求A∪B，(?UA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求a的取值范围．
[解析] (1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1＜x＜6}＝{x|1＜x≤8}．
∵?UA＝{x|x＜2或x＞8}，
∴(?UA)∩B＝{x|1＜x＜2}．
(2)∵A∩C≠?，作图易知，只要a在8的左边即可，
∴a＜8.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.
(1)判断函数f(x)在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．
[解析] (1)函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
证明：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
易知x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数，则函数f(x)的最大值为f(4)＝，最小值为f(1)＝.
19．(本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－a－1}，B＝{x|x＞a＋2}，C＝{x|x＜0或x≥4}都是U的子集.
若?U(A∪B)?C，问这样的实数a是否存在？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解析] 因为?U(A∪B)?C，所以应分两种情况．
(1)若?U(A∪B)＝?，则A∪B＝R，
因此a＋2≤－a－1，即a≤－.
(2)若?U(A∪B)≠?，则a＋2＞－1－a，即a＞－.
又A∪B＝{x|x≤－a－1或x＞a＋2}，
所以?U(A∪B)＝{x|－a－1＜x≤a＋2}，
又?U(A∪B)?C，所以a＋2＜0或－a－1≥4，
即a＜－2或a≤－5，即a＜－2.
又a＞－，故此时a不存在．
综上，存在这样的实数a，且a的取值范围是{a|a≤－}．
20．(本小题满分12分)已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等实根.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的值域；
(3)若F(x)＝f(x)－f(－x)，试判断F(x)的奇偶性，并证明你的结论．
[解析] (1)由f(2)＝0，得4a＋2b＝0，即2a＋b＝0.①
方程f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，
即ax2＋(b－1)x＝0有两个相等实根，
且a≠0，∴b－1＝0，
∴b＝1，代入①得a＝－.
∴f(x)＝－x2＋x.
(2)由(1)知f(x)＝－(x－1)2＋.
显然函数f(x)在[1,2]上是减函数，
∴x＝1时，f(x)max＝，x＝2时，f(x)min＝0.
∴x∈[1,2]时，函数f(x)的值域是[0，]．
(3)F(x)是奇函数．
证明：F(x)＝f(x)－f(－x)＝(－x2＋x)－[－(－x)2＋(－x)]＝2x，
∵F(－x)＝2(－x)＝－2x＝－F(x)，
∴F(x)是奇函数．
21．(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x；当x>2时，y＝f(x)的图象是顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的一部分.
(1)求函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域和单调区间．
[解析] (1)当x>2时，设f(x)＝a(x－3)2＋4.
∵f(x)的图象过点A(2,2)，
∴f(2)＝a(2－3)2＋4＝2，∴a＝－2，
∴f(x)＝－2(x－3)2＋4.
设x∈(－∞，－2)，则－x>2，
∴f(－x)＝－2(－x－3)2＋4.
又因为f(x)在R上为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－2(－x－3)2＋4，
即f(x)＝－2(x＋3)2＋4，x∈(－∞，－2)．
(2)图象如图所示．
(3)由图象观察知f(x)的值域为{y|y≤4}．
单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]．
单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)．
22．(本小题满分12分)定义在R上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1，且对任意的x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝2.
(1)求f(0)的值；
(2)求证：对任意x∈R，都有f(x)>0；
(3)解不等式f(3－2x)>4.
[解析] (1)对任意x，y∈R，
f(x＋y)＝f(x)·f(y)．
令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，
即f(0)·[f(0)－1]＝0.
令y＝0，得f(x)＝f(x)·f(0)，对任意x∈R成立，
所以f(0)≠0，因此f(0)＝1.
(2)证明：对任意x∈R，
有f(x)＝f(＋)＝f()·f()＝[f()]2≥0.
假设存在x0∈R，使f(x0)＝0，
则对任意x>0，有
f(x)＝f[(x－x0)＋x0]＝f(x－x0)·f(x0)＝0.
这与已知x>0时，f(x)>1矛盾．
所以，对任意x∈R，均有f(x)>0成立．
(3)令x＝y＝1有
f(1＋1)＝f(1)·f(1)，
所以f(2)＝2×2＝4.
任取x1，x2∈R，且x1则f(x2)－f(x1)
＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)·f(x1)－f(x1)
＝f(x1)·[f(x2－x1)－1]．
∵x10，
由已知f(x2－x1)>1，
∴f(x2－x1)－1>0.
由(2)知x1∈R，f(x1)>0.
所以f(x2)－f(x1)>0，
即f(x1)故函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
由f(3－2x)>4，得f(3－2x)>f(2)，
即3－2x>2.
解得x<.
所以，不等式的解集是(－∞，)．
第一、二章综合测试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若集合M＝{－1,1}，N＝{－2,1,0}，则M∩N＝( )
A．{0，－1} B．{0}
C．{1} D．{－1,1}
[答案] C
[解析] M∩N＝{1}，故选C.
2．函数f(x)＝x3＋x的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
[答案] C
[解析] ∵f(－x)＝－f(x)，且定义域为R，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2} B．{4,6}
C．{1,3,5} D．{4,6,7,8}
[答案] B
[解析] 阴影部分表示的集合为B∩(?UA)．∵?UA＝{4,6,7,8}，∴B∩(?UA)＝{4,6}．
4．设f(x)＝，则f(5)的值是( )
A．9 B．11
C．13 D．15
[答案] D
[解析] f(5)＝f(f(7))＝f(f(f(9)))＝f(f(11))＝f(13)＝15.
5．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝ B．y＝x＋
C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex
[答案] D
[解析] y＝是偶函数，y＝x＋是奇函数，y＝2x＋是偶函数，y＝x＋ex非奇非偶函数，故选D.
6．化简(＋2)2 015(－2)2 016＝( )
A.＋2 B．2－
C．1 D．－1
[答案] B
[解析] (＋2)2015(－2)2016＝[(＋2)(－2)]2015·(－2)＝2－.故选B.
7．(2015·南昌模拟)函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[答案] B
[解析] f(x)变形为f(x)＝a＋，因为f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，所以1－2a＜0，得a＞，故选B.
8．函数y＝ax2＋bx与y＝x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
[答案] D
[解析] 若||＞1，则函数y＝x的图象为选项A，B中所示过点(1,0)的曲线，且||＞，故函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴x＝－应在区间(－∞，－)或(，＋∞)内，A，B都不正确；
若0＜||＜，故函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴x＝－应在区间(－，0)或(0，)内，C不正确，D正确．
9．函数f(x)＝＋lg(2x－1)的定义域为( )
A．(－∞，1) B．(0,1]
C．(0,1) D．(0，＋∞)
[答案] C
[解析] 要使函数解析式有意义，则有
即所以0＜x＜1，
即函数定义域为(0,1)，选C.
10．已知函数f(x)＝2x的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是( )
A．[，] B．[－1,1]
C．[，2] D．(－∞，]∪[，＋∞)
[答案] A
[解析] 由已知得，－≤x≤，
()≤x≤()－，即≤x≤，故选A.
11．f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
[答案] D
[解析] ∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b，∴f(0)＝1＋b＝0，∴b＝－1，∴f(1)＝2＋2－1＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝－3，故选D.
12．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a＝f(log)，b＝f(log)，c＝f(－2)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
[答案] C
[解析] 因为1＝log＜log＜log2＝2,0＜log＜log＝1，所以log＜log＜2.
因为f(log)＜f(log)＜f(2)．
因为f(x)是偶函数，
所以a＝f(log)＝f(－log)＝f(log)，
b＝f(log)＝f(－log)＝f(log)，
c＝f(－2)＝f(2)．
所以c＞a＞b.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知集合A＝{x∈R|ax2＋x＋2＝0}，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是________.
[答案] {a|a≤}
[解析] 当a＝0时，A＝{－2}符合题意；
当a≠0时，则Δ≥0，即1－8a≥0，解得a≤且a≠0.
综上可知，a的取值范围是{a|a≤}．
14．定义运算a*b＝则函数f(x)＝1] .
[答案] 1
[解析] 当x≥0时，2x≥1；当x＜0时，2x＜1.
∴f(x)＝1]1，x≥0，
2x，x＜0，
∴f(x)的最大值是1.
15．已知f(x)＝ax＋a－x(a>0，且a≠1)，且f(1)＝3，则f(0)＋f(2)＋f(3)＝________.
[答案] 27
[解析] 由f(1)＝3，得a＋＝3，f(0)＝a0＋a0＝2，f(2)＝a2＋a－2＝(a＋)2－2＝7，
f(3)＝a3＋a－3＝(a＋)(a2－1＋)＝3×6＝18，
∴f(0)＋f(2)＋f(3)＝27.
16．已知函数f(x)＝若f(2－a)＞f(a)，则a的取值范围是________.
[答案] (－∞，1)
[解析] 作出f(x)的图象，易知f(x)在R上是增函数，由f(2－a)＞f(a)，得2－a＞a，即2a＜2，解得a＜1.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设全集U＝{2,4，－(a－3)2}，集合A＝{2，a2－a＋2}，若?UA＝{－1}，求实数a的值.
[解析] 由?UA＝{－1}，可得
所以解得a＝4或a＝2.
当a＝2时，A＝{2,4}，满足A?U，符合题意；
当a＝4时，A＝{2,14}，不满足A?U，故舍去，
综上，a的值为2.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝10.
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(3)函数在(3，＋∞)上是增函数，还是减函数？并证明你的结论．
[解析] (1)f(1)＝1＋a＝10，∴a＝9.
(2)∵f(x)＝x＋，∴f(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(3)设x2>x1>3，f(x2)－f(x1)＝x2＋－x1－＝(x2－x1)＋(－)＝(x2－x1)＋＝，∵x2>x1>3，∴x2－x1>0，x1x2>9，∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)＝x＋在(3，＋∞)上为增函数．
19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1≤2x≤4}，B＝{x|x－a>0}.
(1)若a＝1，求A∩B，(?RB)∪A；
(2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
[解析] (1)∵1≤2x≤4，∴20≤2x≤22，∴0≤x≤2，
∴A＝[0,2]，∴a＝1，∴x>1，
∴B＝(1，＋∞)，所以A∩B＝(1,2]．
∴?RB＝(－∞，1]，(?RB)∪A＝(－∞，2]．
(2)∵A∪B＝B，∴A?B，∴[0,2]?(a，＋∞)，
∴a<0.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝b·ax(其中a、b为常数，a>0，a≠1)的图象过点，A(1，)，B(3，).
(1)求f(x)；
(2)若不等式()x＋()x－m≥0在x∈[1，＋∞)时恒成立，求m的取值范围．
[解析] (1)由已知得，解得，
∴f(x)＝×()x.
(2)()x＋()x－m＝2x＋3x－m，∴m≤2x＋3x，
∵y＝2x＋3x在[1，＋∞)上为增函数，
∴最小值为5，∴m≤5.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，
(1)若函数f(x)在[2,3]上的最大值与最小值的和为2，求a的值；
(2)将函数f(x)图象上所有的点向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数图象不经过第二象限，求a的取值范围．
[解析] (1)因为函数f(x)＝logax在[2,3]上是单调函数，所以loga3＋loga2＝2，所以a＝.
(2)依题意，所得函数g(x)＝loga(x＋2)－1，由g(x)函数图象恒过(－1，－1)点，且不经过第二象限，
可得，即
解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a＞0且a≠1).
(1)当a＝时，求f(x)的单调区间；
(2)当x∈[0，]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(3)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[2,3]上为增函数，并且f(x)的最大值为1.如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
[解析] (1)当a＝时，f(x)＝(3－x)的定义域{x|x＜6}，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，6)．
(2)因为a＞0且a≠1，设t＝3－ax，则t＝3－ax为减函数，x∈[0，]时，t最小值为3－a，当x∈[0，]，f(x)恒有意义，即x∈[0，]时，3－a＞0恒成立，解得a＜2；又a＞0且a≠1，所以a∈(0,1)∪(1,2)．
(3)令t＝3－ax，则y＝logat；
因为a＞0，所以函数t(x)为减函数，
又因为f(x)在区间[2,3]上为增函数，
所以y＝logat为减函数，所以0＜a＜1，
所以x∈[2,3]时，t(x)最小值为3－3a，此时f(x)最大值为loga(3－3a)；又f(x)的最大值为1，所以loga(3－3a)＝1，所以即
所以a＝，
故这样的实数a存在．
