2025-2026学年人教B版数学必修第一册课时练习：1.1.2集合的基本关系（含解析）

1.1.2集合的基本关系
一、选择题
1．已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，则(　　)
A．P∈Q　　B．P Q　　C．Q P　　D．Q∈P
2．已知A B，A C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，则A可以是(　　)
A．{1，8} B．{2，3}
C．{0} D．{9}
3．集合U，S，T，F的关系如图所示，下列关系正确的是(　　)
①S∈U；②F T；③S T；④S F；⑤S∈F；⑥F U．
A．①③ B．②③
C．③④ D．③⑥
4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
5．设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝(　　)
A．2 B．1
C． D．－1
6．(多选)若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若{x，y} A，则xy，x＋y∈A，且当x≠0时，∈A，则称集合A是“紧密集合”．下列说法正确的是(　　)
A．整数集是“紧密集合”
B．实数集是“紧密集合”
C．“紧密集合”可以是有限集
D．若集合A是“紧密集合”且x，y∈A，则x－y∈A
7．设集合M＝，N＝x，则(　　)
A．M＝N B．M N
C．N M D．无法确定
二、填空题
8．已知集合M＝{1，0，－1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M}，则集合N的子集个数为________，真子集个数为________．
9．已知M＝{x|x≥2，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π} M；③π M；④{π}∈M．其中正确的有________．(填序号)
10．已知集合A＝{a＋b，－2}，B＝{－2，ab}，则满足A＝B的一组有序实数对(a，b)可以为________．
11．已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．
12．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1三、解答题
13．指出下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}；
(3)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；
(4)M＝，N＝．
14．(1)已知A＝{x|m＋1≤x≤3m－1}，B＝{x|1≤x≤10}，且A B，求实数m的取值范围．
(2)若(1)中的“B＝{x|1≤x≤10}”改为“B＝{x|x>10或x<1}”，其余条件不变，求实数m的取值范围．
15．已知非空集合S的元素都是整数，且满足：对于任
意给定的x，y∈S(x，y可以相同)，有x＋y∈S且x－y∈S．
(1)集合S能否为有限集？若能，求出所有有限集；若不能，请说明理由．
(2)证明：若3∈S且5∈S，则S＝Z．
答案解析
1．C　[集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{－1，0，1}，由于集合Q中的元素都在集合P中，所以Q P．故选C．]
2．A　[由A B，A C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，3，8}，可知集合A中一定含有集合B，C的公共元素，结合选项可知只有A满足题意．]
3．D　[元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部涵盖，故②④错．]
4．D　[因为集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，所以当满足A C B时，集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，故满足条件的集合C的个数为4．]
5．B　[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0．当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A B，所以a＝1．故选B．]
6．BC　[A选项：若x＝2，y＝1，而 Z，故整数集不是“紧密集合”，A错误；B选项：根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确；C选项：集合{－1，0，1}是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；D选项：集合A＝{－1，0，1}是“紧密集合”，当x＝1，y＝－1时，x－y＝2 A，D错误．]
7．B　[由集合M＝，得x＝＝，分子是奇数，
由集合N＝，
得x＝＝，
8．8　7　[(法一：列举法)由题意，知集合N＝{1，0，－1}，所以N的子集有 ，{－1}，{0}，{1}，{0，1}，{0，－1}，{1，－1}，{0，1，－1}，共8个；真子集有 ，{－1}，{0}，{1}，{0，1}，{0，－1}，{1，－1}，共7个．
(法二：公式法)由题意，知集合N＝{1，0，－1}，所以N的子集个数为23＝8，N的真子集个数为23－1＝7．]
9．①②　[①②显然正确；③中π与M的关系为元素与集合的关系，不应该用“ ”符号；④中{π}与M的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号．]
10．(2，2)　[由题意可得a＋b＝ab，即(a－1)b＝a，显然a≠1，所以b＝，故(a，b)可以为(2，2)．]
11．201　[可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a≠2，b≠2，c＝0，所以a＝b＝1，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0，这与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c≠0，a＝2，b≠2，所以b＝0，c＝1，所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201．]
12．254　(－∞，－2]∪[－1，2]　[化简集合A＝{x|－2≤x≤5}．
(1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，
即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集个数为28－2＝254．
(2)①当m≤－2时，B＝ ，B A；
②当m>－2时，B≠ ，因此，要使B A，
则只要∴－1≤m≤2．
综上所述，m的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，2]．]
13．解：　(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A B．
(2)因为A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}＝ ，所以B A．
(3)由图形的特点可画出维恩图如图所示，
从而D B A C．
(4)对于集合M，其组成元素是，分子部分表示所有的整数；对于集合N，其组成元素是＋n＝，分子部分表示所有的奇数．由真子集的概念知，N M．
分子可以是奇数也可以是偶数，则M N，故选B．]
14．解：　(1)①A＝ 时，m＋1>3m－1，解得m<1，满足A B；
②A≠ 时，由A B可得
解得1≤m≤．
由①②得m≤，故m的取值范围是．
(2)①A＝ 时，m＋1>3m－1，
解得m<1，满足A B；
②A≠ 时，由A B可得或即m无解或m>9．
故m的取值范围是{m|m<1或m>9}．
15．解：　(1)能．若a∈S，且a≠0，由题意知a的所有整数倍的数都是S中的元素，所以S是无限集；
若a∈S，且a＝0，则S＝{0}，x＋y∈S，x－y∈S，符合题意，且S＝{0}是有限集，
所以集合S能为有限集，即S＝{0}．
(2)证明：因为非空集合S的元素都是整数，且x＋y∈Z，x－y∈Z，由5∈S，3∈S，
所以5－3＝2∈S，所以3－2＝1∈S，
所以1＋1＝2∈S，1＋2＝3∈S，1＋3＝4∈S，…，
1－1＝0∈S，0－1＝－1∈S，－1－1＝－2∈S，－2－1＝－3∈S，…，
所以非空集合S是所有整数构成的集合，所以S＝Z．
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