2.1 认识一元二次方程-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025八下·杭州期末）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.当a=0时，2ax2+x+1=0不是关于的一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.，分母中含有未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C.xy+x=0中未知数x的最高次数是1，不是关于x一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.x2+x=0是关于x一元二次方程，故本选项符合题意；
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程.
2．（2019九上·赛罕期末）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题知：m+1≠0，则m≠-1，
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可。
3．（2021九上·德阳月考）关于 的一元二次方程 化为一般形式后不含一次项，则 的值为（ ）
A．0 B． C．3 D．-3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化为一般式为（m-3）x2+（m2-9）x+5=0，
∵方程不含一次项，
∴m2-9=0，
∴m=±3，
∵m≠3，
∴m=-3.
故答案为：D.
【分析】先把一元二次方程化为一般式，再根据一元二次方程的二次项系数不为0，得出m≠3，根据方程不含一次项得出m=±3，即可得出m=-3.
4．（2024九上·珠海期中）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵当时，方程可化为；
∴方程必有一根为．
故选：B.
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解．
5．（2023九上·西塘期中）一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这个小组有x个人，
由题意得，．
故选C．
【分析】设这个小组有x个人，根据题意建立方程即可求出答案.
6．（2021九上·富县期末）若m是一元二次方程 的根，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=m代入原式可得：m2-4m=1，
∴原式=4m-m2=-1，
故答案为：B.
【分析】直接把x=m代入方程即可.
7．（2020九上·衡阳月考）若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是
A．2018 B．2008 C．2014 D．2012
【答案】A
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，
∴a 12+b 1+5=0，即a+b=﹣5。
∴2013﹣a﹣b=2013﹣（a+b）=2013﹣（﹣5）=2018。
故选A。
8．（2023九上·鄂州月考）关于x的方程（a﹣1）x2＋x＋2=0是一元二次方程，则a的取值范围是( )
A．a≠1 B．a≥－1且a≠1
C．a＞－1且a≠1 D．a≠±1
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（a-1）x2+x+2=0是一元二次方程，
∴a-1≠0，a+1≥0，
解得：a≥-1，且a≠1．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件可得a-1≠0，a+1≥0，再求出a的取值范围即可.
二、填空题
9．（2021九上·四会月考）一元二次方程x2＋6x＝3x＋2化成一般式为： ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： x2＋6x＝3x＋2
移项得：
故答案为：
【分析】先求出，再求解即可。
10．（2021九上·平凉期中）若一元二次方程 的一个根为0，则 .
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把 代入得： ，
解得： ，
又因为： 为一元二次方程，
所以： ，
所以： .
故答案为： .
【分析】将x=0代入方程中可得a的值，由一元二次方程的概念可得a≠-1，据此可得a的值.
11．（2025八下·永康期末）写一个二次项系数为1，两根分别为-2和3的一元二次方程： .
【答案】x2-x-6=0
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得方程为：(x+2)(x-3)=0，
整理得x2-x-6=0，
故答案为：x2-x-6=0.
【分析】根据二次方程根与系数的关系(韦达定理)，利用已知根反推方程的具体形式.
12．（2019九上·江油开学考）已知m是一元二次方程 的一个根 ， 则代数式 的值是
【答案】-2
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】当 时，方程 为 ，
即 ，
所以， .
故答案为：-2.
【分析】把 代入方程 ，得出关于m的一元二次方程，再整体代入.
13．（2024九上·北京市开学考）若方程是关于x的一元二次方程，则 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的定义，得且，
解得.
故答案为：2
【分析】利用一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，列出方程且，再求出m的值即可.
14．（2025九上·台州期末）关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则 ．
【答案】或
【知识点】解二元一次方程组；一元二次方程的根
【解析】【解答】∵，
∴为方程的一个根，
∵一元二次方程的两根分别为，，且，
∴方程的另一个根为2或者
当方程的两根分别为，2时，得
得，
∴
当方程的两根分别为，时，得
得，即
∴
故答案为：或．
【分析】先得到是方程的一个根，即可得到方程的另一个根，然后解关于a，b的二元一次方程组，再求比值即可．
三、解答题
15．（2024九上·龙华月考）已知关于的方程．
（1）当为何值时，该方程是一元二次方程？
（2）当为何值时，该方程是一元一次方程？
【答案】（1）解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
答：当时，该方程是一元二次方程；
（2）解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得：，
答：当时，该方程是一元一次方程．
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（）根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的不等式，解不等式即可求解；
（）根据一元一次方程的“含有一个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的不等式，解不等式即可求解.
（1）解：根据题意，，
解得：，
故当时，该方程是一元二次方程；
（2）解根据题意，且，
解得：，
故当时，该方程是一元一次方程．
16．（2016九上·海淀期末）已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
【答案】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ．
∴ ．
∴
．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】根据m是方程的一个根，代入得到m2+m=1；化简代数式，得到代数式的值.
17．（2021九上·海淀期末）已知a是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】解： = ．
∵ a是方程的根
∴．
∴．
∴ 原式 = 6．
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】将x=a代入方程可得，再将其整体代入计算即可。
18．（2025八下·杭州月考）已知关于的方程．
（1）若这个方程是一元二次方程，求的值；
（2）若是它的一个根，求的值．
【答案】（1）解：移项合并同类项得：
由题意得：
答：的值不等于；
（2）解：是方程的一个根
整理得：
答：的值为或.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）先移项并合并同类项化方程为一般形式，由于一元二次方程的二次项系数不变0，可得到字母m的取值范围；
（2）利用方程解的概念把未知数的值代入到原方程中得到关于m的一元二次方程，并解方程即可.
19．（2023九上·南昌开学考）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长.
（1）如果是方程的一个根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
【答案】（1）解：是等腰三角形，
理由：∵是方程的根，∴，∴，
∴，∴，∴是等腰三角形；
（2）解：如果是等边三角形，则，原方程可化为：，
∴，解得：，.
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】 (1)根据题意把x=1代入方程，整理得到a=c，故可判定三角形是等腰三角形；(2)试求方程的根，则可根据等边三角形三边相等即a=b=c，把方程中的三个未知系数变成一个未知系数，又通过系数化简得到一个只含有未知数x的一元二次方程，可解。
20．（2022九上·应城月考）若a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2019a+的值．
【答案】解：把x＝a代入方程，可得：a2﹣2018a+1＝0，
所以a2﹣2018a＝﹣1，a2+1＝2018a，
所以a2﹣2019a＝﹣a﹣1，
所以a2﹣2019a+＝﹣a﹣1+＝﹣1，即a2﹣2019a+＝﹣1．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】 把x＝a代入方程，可得 a2﹣2018a＝﹣1，a2+1＝2018a， 从而求出a2﹣2019a＝﹣a﹣1， 再代入原式即可求解.
四、阅读理解题
21．（2016九上·桑植期中）阅读理解题：
问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x
从而x=
把x= 代入已知方程，得：（ ）2+
整理，得：y2+2y﹣4=0
因此，所求方程为：y2+2y﹣4=0
请你用上述思路解决下列问题：
已知方程x2+x﹣2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．
【答案】解：设所求方程的根为y，则y=﹣x，所以x=﹣y．
把x=﹣y代入已知方程，得y2﹣y﹣2=0，
故所求方程为y2﹣y﹣2=0
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
22．（2024九上·龙华月考）阅读下列材料：
方程两边同时除以，得，即．因为，所以．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知方程，则_____；_____．
（2）若m是方程的根，求的值．
【答案】（1）4，18
（2）解：∵m是方程的根，
∴，
∴（时不满足原方程），
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴；
两边平方得：，
∴，
∴，
故答案为：4；18.
【分析】（1）仿照题意，将已知的方程两边同时除以x，移项即可求得x-的值；把x-=4两边分别平分并整理即可求解；
（2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，同理即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4；18；
（2）解：∵m是方程的根，
∴，
∴（时不满足原方程），
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 12.1 认识一元二次方程-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025八下·杭州期末）下列方程中，一定是关于x的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019九上·赛罕期末）若关于x的方程 是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·德阳月考）关于 的一元二次方程 化为一般形式后不含一次项，则 的值为（ ）
A．0 B． C．3 D．-3
4．（2024九上·珠海期中）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·西塘期中）一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·富县期末）若m是一元二次方程 的根，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
7．（2020九上·衡阳月考）若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是
A．2018 B．2008 C．2014 D．2012
8．（2023九上·鄂州月考）关于x的方程（a﹣1）x2＋x＋2=0是一元二次方程，则a的取值范围是( )
A．a≠1 B．a≥－1且a≠1
C．a＞－1且a≠1 D．a≠±1
二、填空题
9．（2021九上·四会月考）一元二次方程x2＋6x＝3x＋2化成一般式为： ．
10．（2021九上·平凉期中）若一元二次方程 的一个根为0，则 .
11．（2025八下·永康期末）写一个二次项系数为1，两根分别为-2和3的一元二次方程： .
12．（2019九上·江油开学考）已知m是一元二次方程 的一个根 ， 则代数式 的值是
13．（2024九上·北京市开学考）若方程是关于x的一元二次方程，则 ．
14．（2025九上·台州期末）关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则 ．
三、解答题
15．（2024九上·龙华月考）已知关于的方程．
（1）当为何值时，该方程是一元二次方程？
（2）当为何值时，该方程是一元一次方程？
16．（2016九上·海淀期末）已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
17．（2021九上·海淀期末）已知a是方程的一个根，求代数式的值．
18．（2025八下·杭州月考）已知关于的方程．
（1）若这个方程是一元二次方程，求的值；
（2）若是它的一个根，求的值．
19．（2023九上·南昌开学考）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长.
（1）如果是方程的一个根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
20．（2022九上·应城月考）若a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2019a+的值．
四、阅读理解题
21．（2016九上·桑植期中）阅读理解题：
问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x
从而x=
把x= 代入已知方程，得：（ ）2+
整理，得：y2+2y﹣4=0
因此，所求方程为：y2+2y﹣4=0
请你用上述思路解决下列问题：
已知方程x2+x﹣2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．
22．（2024九上·龙华月考）阅读下列材料：
方程两边同时除以，得，即．因为，所以．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知方程，则_____；_____．
（2）若m是方程的根，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.当a=0时，2ax2+x+1=0不是关于的一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.，分母中含有未知数，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C.xy+x=0中未知数x的最高次数是1，不是关于x一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.x2+x=0是关于x一元二次方程，故本选项符合题意；
故答案为：B.
【分析】一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题知：m+1≠0，则m≠-1，
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可。
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化为一般式为（m-3）x2+（m2-9）x+5=0，
∵方程不含一次项，
∴m2-9=0，
∴m=±3，
∵m≠3，
∴m=-3.
故答案为：D.
【分析】先把一元二次方程化为一般式，再根据一元二次方程的二次项系数不为0，得出m≠3，根据方程不含一次项得出m=±3，即可得出m=-3.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵当时，方程可化为；
∴方程必有一根为．
故选：B.
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解．
5．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这个小组有x个人，
由题意得，．
故选C．
【分析】设这个小组有x个人，根据题意建立方程即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=m代入原式可得：m2-4m=1，
∴原式=4m-m2=-1，
故答案为：B.
【分析】直接把x=m代入方程即可.
7．【答案】A
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，
∴a 12+b 1+5=0，即a+b=﹣5。
∴2013﹣a﹣b=2013﹣（a+b）=2013﹣（﹣5）=2018。
故选A。
8．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（a-1）x2+x+2=0是一元二次方程，
∴a-1≠0，a+1≥0，
解得：a≥-1，且a≠1．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件可得a-1≠0，a+1≥0，再求出a的取值范围即可.
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： x2＋6x＝3x＋2
移项得：
故答案为：
【分析】先求出，再求解即可。
10．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把 代入得： ，
解得： ，
又因为： 为一元二次方程，
所以： ，
所以： .
故答案为： .
【分析】将x=0代入方程中可得a的值，由一元二次方程的概念可得a≠-1，据此可得a的值.
11．【答案】x2-x-6=0
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得方程为：(x+2)(x-3)=0，
整理得x2-x-6=0，
故答案为：x2-x-6=0.
【分析】根据二次方程根与系数的关系(韦达定理)，利用已知根反推方程的具体形式.
12．【答案】-2
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【解答】当 时，方程 为 ，
即 ，
所以， .
故答案为：-2.
【分析】把 代入方程 ，得出关于m的一元二次方程，再整体代入.
13．【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的定义，得且，
解得.
故答案为：2
【分析】利用一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，列出方程且，再求出m的值即可.
14．【答案】或
【知识点】解二元一次方程组；一元二次方程的根
【解析】【解答】∵，
∴为方程的一个根，
∵一元二次方程的两根分别为，，且，
∴方程的另一个根为2或者
当方程的两根分别为，2时，得
得，
∴
当方程的两根分别为，时，得
得，即
∴
故答案为：或．
【分析】先得到是方程的一个根，即可得到方程的另一个根，然后解关于a，b的二元一次方程组，再求比值即可．
15．【答案】（1）解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
答：当时，该方程是一元二次方程；
（2）解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得：，
答：当时，该方程是一元一次方程．
【知识点】一元一次方程的概念；一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【分析】（）根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的不等式，解不等式即可求解；
（）根据一元一次方程的“含有一个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的不等式，解不等式即可求解.
（1）解：根据题意，，
解得：，
故当时，该方程是一元二次方程；
（2）解根据题意，且，
解得：，
故当时，该方程是一元一次方程．
16．【答案】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ．
∴ ．
∴
．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】根据m是方程的一个根，代入得到m2+m=1；化简代数式，得到代数式的值.
17．【答案】解： = ．
∵ a是方程的根
∴．
∴．
∴ 原式 = 6．
【知识点】代数式求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】将x=a代入方程可得，再将其整体代入计算即可。
18．【答案】（1）解：移项合并同类项得：
由题意得：
答：的值不等于；
（2）解：是方程的一个根
整理得：
答：的值为或.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】（1）先移项并合并同类项化方程为一般形式，由于一元二次方程的二次项系数不变0，可得到字母m的取值范围；
（2）利用方程解的概念把未知数的值代入到原方程中得到关于m的一元二次方程，并解方程即可.
19．【答案】（1）解：是等腰三角形，
理由：∵是方程的根，∴，∴，
∴，∴，∴是等腰三角形；
（2）解：如果是等边三角形，则，原方程可化为：，
∴，解得：，.
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】 (1)根据题意把x=1代入方程，整理得到a=c，故可判定三角形是等腰三角形；(2)试求方程的根，则可根据等边三角形三边相等即a=b=c，把方程中的三个未知系数变成一个未知系数，又通过系数化简得到一个只含有未知数x的一元二次方程，可解。
20．【答案】解：把x＝a代入方程，可得：a2﹣2018a+1＝0，
所以a2﹣2018a＝﹣1，a2+1＝2018a，
所以a2﹣2019a＝﹣a﹣1，
所以a2﹣2019a+＝﹣a﹣1+＝﹣1，即a2﹣2019a+＝﹣1．
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】 把x＝a代入方程，可得 a2﹣2018a＝﹣1，a2+1＝2018a， 从而求出a2﹣2019a＝﹣a﹣1， 再代入原式即可求解.
21．【答案】解：设所求方程的根为y，则y=﹣x，所以x=﹣y．
把x=﹣y代入已知方程，得y2﹣y﹣2=0，
故所求方程为y2﹣y﹣2=0
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【分析】根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
22．【答案】（1）4，18
（2）解：∵m是方程的根，
∴，
∴（时不满足原方程），
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴；
两边平方得：，
∴，
∴，
故答案为：4；18.
【分析】（1）仿照题意，将已知的方程两边同时除以x，移项即可求得x-的值；把x-=4两边分别平分并整理即可求解；
（2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，同理即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4；18；
（2）解：∵m是方程的根，
∴，
∴（时不满足原方程），
∴，
∴，
∴，
∴．
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