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§1 如何建系
首先我们要找Z轴，利用题目中给出的垂直条件，找到或者证明某条线段是垂直于底面的，该线段为Z轴。然后就可以确定坐标系的原点，其次基于坐标原点以及底面的平面展开图找到Y轴，最后在底面展开图中找到（做出）垂直于Y轴的直线，就是X轴（注意一定要画出底面平面展开图）。总结为：
先确定Z轴（找到垂直于底面的直线）再确定原点再确定Y轴（通常水平向右）最后确定X轴（也是基于底面的平面展开图，找垂直于Y轴的直线）
建立了坐标系之后如何求点坐标主要分以下几种情况：
平面内的点坐标：一定要先画轴的平面展开图去求点的X，Y轴坐标，同时其Z轴坐标统一为0（强调要画平面展开图，不要在立体图中求坐标）.
平面外的点坐标：
方法一：投影法，例如找到平面外的点P在XY平面的投影点Q，并求出投影点Q的，坐标，以及投影距离|PQ|，则点P坐标为，，.
方法二：向量相等法，找到两个相等的向量例：，那么利用A，B，E三点坐标可以求出点F的坐标.
线段PA上的点Q：设，根据母子定理可得，，，
，求出动点Q的坐标，此时是用含的式子表示的坐标。
通常确定Z轴的情况有以下几种情况：
已知线垂直于平面
已知PA平面ABCD，且ABCD为矩形。
结论：PA为Z轴。
【例1】如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，面，，点为线段中点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
，，，，，
（2）已知平面垂直于平面
已知平面PAB平面ABCD，ABCD为矩形且PA=PB。
结论：利用面面垂直的性质，先找到两个垂直平面的交线AB，然后在竖直平面内做一条垂直于交线的直线OP（通常为中线），即为Z轴。
【例2】已知三棱柱，平面平面ABC，，
，E，F分别是AC，的中点，以E为坐标原点建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
，，，，，，，
（3）已知点到底面的投影
已知点P在平面ABCD的投影是AD上的点E，且平面ABCD为矩形。
结论：投影线段即为Z轴，投影点就是坐标系的原点。
【例3】如图，在四棱锥中，底面为矩形且，，点在底面上的射影为线段上一点，，且，为上的一点且，过、做平面交于点，于点且为的中点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标（N点除外）。
，，，，，，
三余弦模型（特征：侧棱与底面两边形成的夹角相等，则侧棱在底面的投影在角平分线上）
三余弦定理：。
【例4】 如图所示，在四棱锥中，，四边形为菱形，且．建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
，，，，，
§2 建立了坐标系之后如何求点坐标
【题型一】投影法+向量相等法
【例1】如图，在多面体ABCFDE中，四边形ABED是菱形，，，平面ABED，点G是线段CD的中点．= 2，以B为坐标原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
平面ABED，
如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，,,,过D做交于M。即点D在平面的投影为M，,且则,,
，同理，
【例2】如图，正方形的边长为，四边形是平行四边形，与交于点，为的中点，，且平面，以O为坐标原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
如图，取BC的中点H，连接OH，则OH∥BD，又四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，故以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则O(0，0，0)，A(3，0，0)，C(－1，0，0)，G(1，0，0)，F(0，0，)，D(1，－2，0)，B(1，2，0)，E(0，－4，)，
【题型二】设坐标法
（一）线段上的点，设一个未知数
【例3】在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，PD与底面ABCD所成的角为45°，且BE⊥DP，以A为坐标原点，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标．
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴PA＝AD＝4，AB＝2．
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)，∵＝(0，－4，4)，
设＝λ， ∴点E(0，4－4λ，4λ)，＝(－2，4－4λ，4λ)．
且BE⊥DP，∵BE⊥DP，∴·＝－4(4－4λ)＋4×4λ＝0，解得λ＝．∴点E(0，2，2)，
平面内一点，已知垂直或平行的位置关系条件，设两个未知坐标
【例4】四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB＝2，E为PD的中点．设AD的中点为O，以O为坐标原点，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标．
设AD的中点为O，连接OB，OP．∵△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，∴OP⊥AD．∵BC＝AD＝OD，且BC∥OD，
∴四边形BCDO为平行四边形，又∵CD⊥AD，∴OB⊥AD，
∵OP∩OB＝O，∴AD⊥平面OPB．
过点O在平面POB内作OB的垂线OM，交PB于M，
以O为原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．则有A(0，－1，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)．
因为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，点在线段的垂面上。这是只需要设两个未知数即可。
设P(x，0，z)(z>0)，由PC＝2，OP＝1，得得x＝－，z＝．即点P，而E为PD的中点，∴E．
【例5】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB＝AC＝2，AD＝2，PB＝，PB⊥AC．且∠PBA＝45°，以A为坐标原点，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标．
因为四边形ABCD是平行四边形，AD＝2，所以BC＝AD＝2，
又AB＝AC＝2，所以AB2＋AC2＝BC2，所以AC⊥AB，
又PB⊥AC，AB∩PB＝B，AB，PB 平面PAB，所以AC⊥平面PAB．
分别以AB，AC所在直线为x轴，y轴，平面PAB内过点A且与直线AB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(－2，2，0)，设点,
由∠PBA＝45°，PB＝，可得P(1，0，1)，
（三）空间内一点，没有与之相关的任何位置关系的条件，设三个未知坐标
【例6】在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，，以B为坐标原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在中，，
在中，
设，所以由可得：，
可得：，所以，
则，所以，
【例7】如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台，其中，．，以B为坐标原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
如图建立直角坐标系：，，，，
设点，根据，则；
且
又，则，联立方程组可得：；
同理设，根据，则；
且；又，则，
联立方程组可得：；
【例8】 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，已知与平面所成角为，以B为坐标原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
如右图，，，，，
设，根据，得出....①
根据平面平面，交线是，取中点，则,则，则得出两向量垂直，
则得出一个方程。
最后根据与平面所成角为，，
也可以得出一个方程，最后得出。
当然如果我们可以结合几何性质，可以证明出平面平面，从而点设，这样计算量会小一些。
【例9】 如图1，在边长为4的等边中，，分别是，的中点．将沿折至（如图2），使得．以为原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
如图，，，，，
设，根据，得出....①；
根据，得出..②；
根据，得出....③；
最后解方程得出
【题型三】三余弦模型
【例10】如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，，，．以O为坐标原点，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标。
则，,,
利用三余弦可得,则，，，
变式1如图，在三棱柱中，，=，．为线段的中点，以为原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
【详解】由题可知，平面，.
设，则，，
则以为原点，分别以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
变式2四棱锥中，面，，底面ABCD中，，，=2.为的中点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
【详解】因为面面，面面，
所以过点作于点，则面，
以为轴，以过点所作的垂线为轴，为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，设，则，
因为面，面，所以，
在中，根据，，可得，，，，
则，，，，，
变式3 如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，.以点C为坐标原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
【详解】作，垂足为，且，
由题知：平面，平面，
，，，，，，
，，则，
以为坐标原点，正方向为轴，
可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，
变式4 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，。以A为原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
【详解】在平面中，过点作，交延长线于点，连接，，，
由题得平面，且平面，所以，
且，平面，所以平面，
在中，，，
由余弦定理可得，即，
在中，，
在中，，
在中，，可得，，
则以A为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
变式5如图，在三棱锥中，平面平面，点在棱上，且．设是的中点，点在棱上，且平面，以点为坐标原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
【详解】因为平面，平面，平面平面，故，而是的中点，故为中位线，得，
又，故为中点，由题可知平面，
以点为坐标原点，以、所在直线分别为、轴，
过点且垂直于平面的直线作轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设点，其中，，，，
所以，，解得，
则，解得，故点，
变式6 三棱柱中，别为中点，且.
以点A为坐标原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
，，，，，，，
§3 空间向量的应用
知识点一 空间向量
1.空间向量的相关概念
（1）空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量．
（2）空间向量基本定理：
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得；
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底；
与（不共线）共面存在实数对，使；
若空间中四点共面，为空间中任意一点，则满足，且．
2.空间向量的相关运算
若空间向量；
（1）向量模长：；
（2）向量的加减：；
（3）向量的数乘：；
（4）向量的平行：；
（5）向量的垂直：若；
（6）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即．向量的夹角公式：．
3.法向量的求解与简单应用
（1）平面的法向量：
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
几点注意：
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．
第一步：写出平面内两个不平行的向；
第二步：那么平面法向量，满足．
第三步：令中的一个为1，在解出其余2个未知数，最后可以得到法向量。
（2）判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为 ，．
若∥，即，则； 若，即，则．
②直线与平面的位置关系： 直线的方向向量为，平面的法向量为，且．
若∥，即，则； 若，即，则．
（3）平面与平面的位置关系：平面的法向量为 ，平面的法向量为．
若∥，即，则； 若⊥，即，则⊥．
知识点二 空间中的夹角问题
1.线与线的夹角
(1)位置关系的分类：
(2)异面直线所成的角
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．
②范围：
③求法：（空间向量法）设直线的方向向量为，，其夹角为，则(其中φ为异面直线所成的角)
2.线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
③求法：
空间向量法：如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，两向量与的夹角为θ，
则有，或者
3.面与面的夹角（二面角）
①二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面.（二面角 或者是二面角）
②范围：
图1 图2
二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围 ．
③空间向量法
①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈，〉即为所求二面角的平面角．
②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．如图6所示，二面角，平面的法向量为，平面的法向量为，〈，〉，则二面角的大小为或．
即，取正还是负由二面角实际大小决定。
知识点三 空间中的距离
点到平面的距离
为平面外一点(如图)，为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线．
【小结】点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值．
总结：
如何证明线面垂直，平行？
如何证明面面垂直，平行？
如何求异面直线的夹角的余弦值，以及需要注意什么？
如何求线与面所成角的正弦值，以及需要注意什么？
如何求二面角的余弦值，以及需要注意什么？
如何求点到平面的距离？
空间向量坐标公式
一、空间向量的相关运算
若空间向量；
（1）向量模长：
（2）向量的加减：
（3）向量的数乘：
（4）向量的平行：
（5）向量的垂直：
（6）向量的夹角公式：
二、空间中的夹角问题
1.线与线的夹角
设直线的方向向量为，，其夹角为，其中φ为异面直线所成的角，则
2.线与面的夹角
如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，两向量与的夹角为θ，则有
3.面与面的夹角（二面角）
求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．如图所示，二面角，平面的法向量为，平面的法向量为，〈，〉，则二面角的大小为或．
则 ，取正还是负由 决定。
三、空间中的距离
点到平面的距离
为平面外一点(如图)，为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线．设AB与平面法向量所成角为。
总结：
如何证明线面垂直，平行？
如何证明面面垂直，平行？
如何求异面直线的夹角的余弦值，以及需要注意什么？
如何求线与面所成角的正弦值，以及需要注意什么？
如何求二面角的余弦值，以及需要注意什么？
如何求点到平面的距离？
空间向量的应用
【题型一】求线与面所成的角
【例1】四面体中，，E为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【解析】（1）因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小．
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以，
在中，，所以．
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为．
变式1 如图，在三棱锥P-ABC中，，平面平面ABC，点D在线段BC上，且，E，F分别为线段PC，AB的中点，点G是PD上的动点.
（1）证明：.
（2）当平面PAC时，求直线PA与平面EFG所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接PF,因为,F为AB的中点；所以.
又平面平面ABC,平面平面,
所以平面ABC,从而.
设BC的中点H,因为,DF是的中位线,
所以.
同理可知,所以
所以平面PDF
因为平面PDF,所以
（2）解：连接GH,因为FH是的中位线,所以.
因为平面PAC,平面PAC,所以平面PAC.
又因为平面PAC, ,所以平面平面PAC
因为平面PBC分别与平面FGH与PAC相交于GH,PC,
所以,且
易知FH,FA,FP两两垂直,以F为坐标原点,以FH.FA,FP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系F-xyz,如图所示,
则.
设平面EFG的法向量为,
由得,取,得
又,设PA与平面EFG所成角为
则
【题型二】二面角
【例2】如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为8的正三角形，，且，点G，H分别是BC，BF的中点．
（1）设AE与平面DGH相交于点M，求的值；
（2）求平面BDM与平面CDM夹角的余弦值．
【答案】(1);(2)
【详解】（1）延长FE交HM的延长线于点N，连接DN，取AE的中点K，连接KH，
∵，H是BF的中点，∴，且，
∵G，H分别是BC，BF的中点，∴，
平面，平面，∴平面，
平面，
又平面平面，∴，∴，
∵ABCD是正方形，∴，∴CDNF是平行四边形，
∵，∴，∴；
（2）取AD的中点O，连接OE，∵是正三角形，∴，
∵平面平面ABCD，∴平面ABCD，
以O为原点，OA，OG，OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设是平面BDM的一个法向量，则，∴，
取，则，，∴，
设是平面CDM的一个法向量，则，∴，
取，则，，∴，
∴，∴平面BDM与平面CDM夹角的余弦值为．
【例3】 如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，．是中点，是上一点．
（1）是否存在点使得平面，若存在求的长．若不存在，请说明理由；
（2）二面角的余弦值为，求的值．
【解析】（1）存在．理由如下：
方法一：如图，在上取点，且满足，
再过作的平行线交于点，则，且，
又，且是的中点，，
，是平行四边形，
，不在面内，平面，
平面，且，
在中，，．
（2）如图建立空间直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，过点A作面ABCD的垂线为z轴，
则，，，
设是平面的一个法向量，则，
取，则，故是平面的一个法向量，
设，，，
设是平面的一个法向量，，
取，则是平面的一个法向量，
则，解得或（舍去）．所以．
变式2 如图，在三棱柱中，，侧面是正方形，是平面上一点，且．已知二面角的大小是，求直线AB与平面所成角的正弦值．
【答案】
【详解】取BC的中点，连接，所以，
所以为二面角的平面角，
因为二面角的大小是，所以.
又在三棱柱中，为的中点，取BC的中点，
所以,所以四点共面.
又，，平面,所以平面,
又平面，所以平面平面,
过作平面ABC的垂线，交于点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：由题可得，
所以，
设平面的法向量为，则
即令，则，所以，
设直线AB与平面所成的角为，则，
所以直线AB与平面所成角的正弦值为.
变式3 如图，三棱柱的底面是等边三角形，平面平面，，，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)试问线段是否存在点，使得二面角的平面角的余弦值为，若存在，请计算的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，
【详解】（1）证明：因为是等边三角形，为的中点，，
又平面平面，平面平面，，
所以，面，
又平面，，
又，，平面.
（2）解：存在线段的中点满足题意.
因为面，，以点为坐标原点，、、的方向分别
为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，其中，
则，而平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，得，
取，则，
由题意可得，
，解得，此时，所以存在点满足题意，且.
【题型三】求点到面的距离
【例4】如图，在底面为正方形的四棱锥中，，，．
(1)求证：平面．
(2)若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半．求点到平面的距离；
【答案】(1)证明见解析；(2) ；
【详解】（1）因为四棱锥的底面为正方形，所以，
因为，，
所以在中，根据余弦定理得，
所以，所以，
又，平面，所以平面．
（2）①在底面为正方形的四棱锥中，以为坐标原点，，分别为，轴，过且垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，，
所以，，
因为，，
所以，所以，
因为，
所以，解得，所以，则，
又，所以，所以，，
连接，因为三棱锥的体积是四棱锥体积的一半，
所以，
又，平面，所以，且，所以，,
设平面的法向量为，则，得，取，则，
设点到平面的距离为，
因为，所以，即点到平面的距离为．
变式4 在三棱锥中，已知，，为的中点，平面，，为的中点.点在上，满足.求点到平面的距离；
【答案】
【详解】连接，∵，，∴，又平面，
以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
由为的中点，知，
设，又，知，
则设平面一个法向量为，，
， 令，∴
所以点到平面的距离为
★【例5】如图，直角梯形ABCD中，，，，，，点E为线段BC不在端点上的一点，过E作AB的平行线交AD于F，将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直，得到六面体
若，求BE的长;
求异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值.
【详解】连接DE，
平面平面ECDF，交线为EF，由，平面ABEF，有平面ECDF，
又平面ECDF，所以，当，，且BE、平面BDE，
所以平面BDE，
又平面BDE，所以，此时与相似，
故，设，由，解得：，所以
过C作EF的平行线交DF于点G，连接AG，由CG ，
所以四边形CGAB是平行四边形，故，
所以即为异面直线BC与AD所成的角，设，
，
当且仅当，即时，等号成立，所以锐角正切值的最大值为，
此时余弦值有最小值
所以异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值为
课后测
如图，在四棱锥中，，，，，，，．
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于？
【详解】（1）取中点为，连接，
在中，，，，
，，所以，
又，，而，所以，
又，，，
又，，平面
（2）存在点F是的中点，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于．
以A为坐标原点，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，设点，
因为点F在线段上，设，， ，
设平面的法向量为，，
则，令，则
设直线CF与平面所成角为，，
解得或（舍去），
，此时点F是的中点，所以存在点F．
课后作业
1．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，E为PA上一点，且．
(1)证明：平面平面PAC；
(2)求直线PB与平面BEC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵在直角梯形ABCD中，，，，，
∴，∴，∴，
又．平面PAC，平面PAC，∴BC⊥平面PAC，
∵平面EBC，∴平面EBC⊥平面PAC．
(2)以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）．
∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，
∴PA⊥AD，∵，，∴，
∵，∴，易知，，，．
则，，．
设是平面BCE的法向量．
则，即，所以可取
∵．
∴直线PB与平面BEC所成角的正弦值为．
如图，在四棱锥中，底面为矩形且，，点在底面上的射影为线段上一点，，且，为上的一点且，过、做平面交于点，于点且为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
【详解】（1）证明：解法一：取的四等分点，使，连接，，则，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面.
解法二：取的四等分点，使，连接，，
则，所以，
又因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
所以，，
，，
设平面的法向量为，则，
令，，得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，
令，得平面的一个法向量为，所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
3．如图，四棱锥的底面ABCD为正方形，面面ABCD，，G为的重心．
（1）若，且面，求值；
（2）若面PCD与面PAB所成的锐二面角为30°，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
【答案】 （1）；（2）.
【详解】（1）连接并延长交于点，由为的重心可知.在线段上取点，使，连接，所以，又，所以，又平面，平面，所以平面. 又因为平面，且，所以平面平面.又平面平面，平面平面，所以，故.
（2）依题意可知，又，且，所以平面.
设平面平面，如图，由（1）知平面，进而可得，由平面可知直线平面，所以，，即即为面与面所成的锐二面角的平面角，所以.
面面，其交线为，，所以平面，所以，所以两两垂直，故以为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图所示.
不妨设正方形的边长为1，则，则，，，，所以，，.
设平面的一个法向量为，则满足，即，取，得.
设直线与平面所成角为，则.
故直线与平面所成角的正弦值为
4．如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，．
（1）求证：当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四点共面．
（2）当，二面角的大小为时，求PN的长．
【详解】（1）因为平面ABCD，
所以，又因为，
所以平面PAB，所以，
又因为，平面PBC，平面PBC，所以，
又因为四边形ABCD为正方形，所以，所以，
所以当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四点共面．
（2）以A为原点，分别以AB，AD,AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设平面AND的一个法向量为，设平面ANC的一个法向量为，
设，因为，则，
又，则，即，
令，得，
又，则，即，
令，得，因为二面角的大小为，
所以，解得，
因为，所以.
5．如图，在四棱锥中，，，E为棱PA的中点，平面PCD．
（1）求AD的长；
（2）若，平面平面PBC，求二面角的大小的取值范围．
【详解】（1）如图所示：过E作，交PD于点M，连接，
因为平面PCD．平面BCME，
平面PCD平面BCME=MC，所以，
又因为，所以，
所以四边形BCME是平行四边形，所以，
又因为，所以.
（2）因为，E为棱PA的中点，所以，且 ，
所以，又因为平面平面PBC，平面平面PBC=BP，
所以平面PBC，
又因为平面PBC，所以，
则以点B为原点，分别以BA，BC所在直线为x，y轴，以经过点B且垂直与平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，由题意设，
则，设平面CDP的一个法向量为，
则，即，
令，得，则，易知平面BCP的一个法向量为，
则，
因为，所以，所以二面角的大小的取值范围是.
6．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点，分别为和的中点．
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见详解；(2)
【详解】（1）取的中点，连接,
由，易知为等腰直角三角形，
此时，又，所以.
因为,所以，
由，即，所以，
此时，,有四点共面，,
所以平面，又平面，所以.
（2）由且,所以平面.
由，得为等边三角形，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
,
设平面的法向量
由,即，取，，
又，设直线与平面所成角为，则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
7．如图，已知三棱柱的所有棱长均为1，且．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由题意，得四面体是正四面体．
如图，过点作平面的垂线，交平面于点，连接．
由对称性知，点为正三角形的中心．
易得，所以．
因为平面平面，所以．
所以直线与平面所成的角为．
因为，
又平面平面，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（2）因为平面平面，所以．
又，且，所以平面．
又平面，所以．
又，所以．
所以四边形为矩形．所以．
因为，
所以点到平面的距离为.
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§1 如何建系
首先我们要找Z轴，利用题目中给出的垂直条件，找到或者证明某条线段是垂直于底面的，该线段为Z轴。然后就可以确定坐标系的原点，其次基于坐标原点以及底面的平面展开图找到Y轴，最后在底面展开图中找到（做出）垂直于Y轴的直线，就是X轴（注意一定要画出底面XOY平面展开图）。总结为：
先确定Z轴（找到垂直于底面的直线）再确定原点再确定Y轴（通常水平向右）最后确定X轴（也是基于底面的平面展开图，找垂直于Y轴的直线）
建立了坐标系之后如何求点坐标主要分以下几种情况：
平面内的点坐标：一定要先画轴的平面展开图去求点的X，Y轴坐标，同时其Z轴坐标统一为0（强调要画平面展开图，不要在立体图中求坐标）.
平面外的点坐标：
方法一：投影法，例如找到平面外的点P在XY平面的投影点Q，并求出投影点Q的，坐标，以及投影距离|PQ|，则点P坐标为，，.
方法二：向量相等法，找到两个相等的向量例：，那么利用A，B，E三点坐标可以求出点F的坐标.
线段PA上的点Q：设，根据母子定理可得，，，
，求出动点Q的坐标，此时是用含的式子表示的坐标。
通常确定Z轴的情况有以下几种情况：
已知线垂直于平面
已知PA平面ABCD，且ABCD为矩形。
结论：PA为Z轴。
【例1】如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，面，，点为线段中点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
，，，，，
（2）已知平面垂直于平面
已知平面PAB平面ABCD，ABCD为矩形且PA=PB。
结论：利用面面垂直的性质，先找到两个垂直平面的交线AB，然后在竖直平面内做一条垂直于交线的直线OP（通常为中线），即为Z轴。
【例2】已知三棱柱，平面平面ABC，，
，E，F分别是AC，的中点，以E为坐标原点建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
，，，，，，，
（3）已知点到底面的投影
已知点P在平面ABCD的投影是AD上的点E，且平面ABCD为矩形。
结论：投影线段即为Z轴，投影点就是坐标系的原点。
【例3】如图，在四棱锥中，底面为矩形且，，点在底面上的射影为线段上一点，，且，为上的一点且，过、做平面交于点，于点且为的中点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标（N点除外）。
，，，，，，
三余弦模型（特征：侧棱与底面两边形成的夹角相等，则侧棱在底面的投影在角平分线上）
三余弦定理：。
【例4】 如图所示，在四棱锥中，，四边形为菱形，且．建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
，，，，，
§2 建立了坐标系之后如何求点坐标
【题型一】投影法+向量相等法
【例1】如图，在多面体ABCFDE中，四边形ABED是菱形，，，平面ABED，点G是线段CD的中点．= 2，以B为坐标原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
平面ABED，
如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，,,,过D做交于M。即点D在平面的投影为M，,且则,,
，同理，
【例2】如图，正方形的边长为，四边形是平行四边形，与交于点，为的中点，，且平面，以O为坐标原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
如图，取BC的中点H，连接OH，则OH∥BD，又四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，故以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则O(0，0，0)，A(3，0，0)，C(－1，0，0)，G(1，0，0)，F(0，0，)，D(1，－2，0)，B(1，2，0)，E(0，－4，)，
【题型二】设坐标法
（一）线段上的点，设一个未知数
【例3】在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，PD与底面ABCD所成的角为45°，且BE⊥DP，以A为坐标原点，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标．
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴PA＝AD＝4，AB＝2．
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)，∵＝(0，－4，4)，
设＝λ， ∴点E(0，4－4λ，4λ)，＝(－2，4－4λ，4λ)．
且BE⊥DP，∵BE⊥DP，∴·＝－4(4－4λ)＋4×4λ＝0，解得λ＝．∴点E(0，2，2)，
平面内一点，已知垂直或平行的位置关系条件，设两个未知坐标
【例4】四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB＝2，E为PD的中点．设AD的中点为O，以O为坐标原点，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标．
设AD的中点为O，连接OB，OP．∵△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，∴OP⊥AD．∵BC＝AD＝OD，且BC∥OD，
∴四边形BCDO为平行四边形，又∵CD⊥AD，∴OB⊥AD，
∵OP∩OB＝O，∴AD⊥平面OPB．
过点O在平面POB内作OB的垂线OM，交PB于M，
以O为原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图．则有A(0，－1，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)．
因为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，点在线段的垂面上。这是只需要设两个未知数即可。
设P(x，0，z)(z>0)，由PC＝2，OP＝1，得得x＝－，z＝．即点P，而E为PD的中点，∴E．
【例5】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB＝AC＝2，AD＝2，PB＝，PB⊥AC．且∠PBA＝45°，以A为坐标原点，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标．
因为四边形ABCD是平行四边形，AD＝2，所以BC＝AD＝2，
又AB＝AC＝2，所以AB2＋AC2＝BC2，所以AC⊥AB，
又PB⊥AC，AB∩PB＝B，AB，PB 平面PAB，所以AC⊥平面PAB．
分别以AB，AC所在直线为x轴，y轴，平面PAB内过点A且与直线AB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(－2，2，0)，设点,
由∠PBA＝45°，PB＝，可得P(1，0，1)，
（三）空间内一点，没有与之相关的任何位置关系的条件，设三个未知坐标
【例6】在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，，以B为坐标原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在中，，
在中，
设，所以由可得：，
可得：，所以，
则，所以，
【例7】如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台，其中，．，以B为坐标原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
如图建立直角坐标系：，，，，
设点，根据，则；
且
又，则，联立方程组可得：；
同理设，根据，则；
且；又，则，
联立方程组可得：；
【例8】 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面平面，，，已知与平面所成角为，以B为坐标原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
如右图，，，，，
设，根据，得出....①
根据平面平面，交线是，取中点，则,则，则得出两向量垂直，
则得出一个方程。
最后根据与平面所成角为，，
也可以得出一个方程，最后得出。
当然如果我们可以结合几何性质，可以证明出平面平面，从而点设，这样计算量会小一些。
【例9】 如图1，在边长为4的等边中，，分别是，的中点．将沿折至（如图2），使得．以为原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
如图，，，，，
设，根据，得出....①；
根据，得出..②；
根据，得出....③；
最后解方程得出
【题型三】三余弦模型
【例10】如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，，，．以O为坐标原点，建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐标。
则，,,
利用三余弦可得,则，，，
变式1如图，在三棱柱中，，，．为线段的中点，以为原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
变式2四棱锥中，面，，底面ABCD中，，，.为的中点，以为原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
变式3 如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，以为原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
变式4 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，。以A为原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
变式5 如图，在三棱锥中，平面平面，点在棱上，且．设是的中点，点在棱上，且平面，以点为坐标原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
变式6 三棱柱中，别为中点，且.以点A为坐标原点，建立合适的坐标系，并求出各点坐标。
§3 空间向量的应用
知识点一 空间向量
1.空间向量的相关概念
（1）空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量．
（2）空间向量基本定理：
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得；
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底；
与（不共线）共面存在实数对，使；
若空间中四点共面，为空间中任意一点，则满足，且．
2.空间向量的相关运算
若空间向量；
（1）向量模长：；
（2）向量的加减：；
（3）向量的数乘：；
（4）向量的平行：；
（5）向量的垂直：若；
（6）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即．向量的夹角公式：．
3.法向量的求解与简单应用
（1）平面的法向量：
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
几点注意：
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．
第一步：写出平面内两个不平行的向；
第二步：那么平面法向量，满足．
第三步：令中的一个为1，在解出其余2个未知数，最后可以得到法向量。
（2）判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为 ，．
若∥，即，则； 若，即，则．
②直线与平面的位置关系： 直线的方向向量为，平面的法向量为，且．
若∥，即，则； 若，即，则．
（3）平面与平面的位置关系：平面的法向量为 ，平面的法向量为．
若∥，即，则； 若⊥，即，则⊥．
知识点二 空间中的夹角问题
1.线与线的夹角
(1)位置关系的分类：
(2)异面直线所成的角
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．
②范围：
③求法：（空间向量法）设直线的方向向量为，，其夹角为，则(其中φ为异面直线所成的角)
2.线与面的夹角
①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
②范围：
③求法：
空间向量法：如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，两向量与的夹角为θ，
则有，或者
3.面与面的夹角（二面角）
①二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面.（二面角 或者是二面角）
②范围：
图1 图2
二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围 ．
③空间向量法
①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈，〉即为所求二面角的平面角．
②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．如图6所示，二面角，平面的法向量为，平面的法向量为，〈，〉，则二面角的大小为或．
即，取正还是负由二面角实际大小决定。
知识点三 空间中的距离
点到平面的距离
为平面外一点(如图)，为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线．
【小结】点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值．
总结：
如何证明线面垂直，平行？
如何证明面面垂直，平行？
如何求异面直线的夹角的余弦值，以及需要注意什么？
如何求线与面所成角的正弦值，以及需要注意什么？
如何求二面角的余弦值，以及需要注意什么？
如何求点到平面的距离？
空间向量坐标公式
一、空间向量的相关运算
若空间向量；
（1）向量模长：
（2）向量的加减：
（3）向量的数乘：
（4）向量的平行：
（5）向量的垂直：
（6）向量的夹角公式：
二、空间中的夹角问题
1.线与线的夹角
设直线的方向向量为，，其夹角为，其中φ为异面直线所成的角，则
2.线与面的夹角
如图所示，设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，两向量与的夹角为θ，则有
3.面与面的夹角（二面角）
求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．如图所示，二面角，平面的法向量为，平面的法向量为，〈，〉，则二面角的大小为或．
则 ，取正还是负由 决定。
三、空间中的距离
点到平面的距离
为平面外一点(如图)，为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线．设AB与平面法向量所成角为。
总结：
如何证明线面垂直，平行？
如何证明面面垂直，平行？
如何求异面直线的夹角的余弦值，以及需要注意什么？
如何求线与面所成角的正弦值，以及需要注意什么？
如何求二面角的余弦值，以及需要注意什么？
如何求点到平面的距离？
【题型一】求线与面所成的角
【例1】四面体中，，E为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【解析】（1）因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小．
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以，
在中，，所以．
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为．
变式1 如图，在三棱锥P-ABC中，，平面平面ABC，点D在线段BC上，且，E，F分别为线段PC，AB的中点，点G是PD上的动点.
（1）证明：.
（2）当平面PAC时，求直线PA与平面EFG所成角的正弦值.
【题型二】二面角
【例2】如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为8的正三角形，，且，点G，H分别是BC，BF的中点．
（1）设AE与平面DGH相交于点M，求的值；
（2）求平面BDM与平面CDM夹角的余弦值．
【答案】(1);(2)
【详解】（1）延长FE交HM的延长线于点N，连接DN，取AE的中点K，连接KH，
∵，H是BF的中点，∴，且，
∵G，H分别是BC，BF的中点，∴，
平面，平面，∴平面，
平面，
又平面平面，∴，∴，
∵ABCD是正方形，∴，∴CDNF是平行四边形，
∵，∴，∴；
（2）取AD的中点O，连接OE，∵是正三角形，∴，
∵平面平面ABCD，∴平面ABCD，
以O为原点，OA，OG，OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设是平面BDM的一个法向量，则，∴，
取，则，，∴，
设是平面CDM的一个法向量，则，∴，
取，则，，∴，
∴，∴平面BDM与平面CDM夹角的余弦值为．
【例3】 如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，．是中点，是上一点．
（1）是否存在点使得平面，若存在求的长．若不存在，请说明理由；
（2）二面角的余弦值为，求的值．
【解析】（1）存在．理由如下：
方法一：如图，在上取点，且满足，再过作的平行线交于点，
则，且，
又，且是的中点，，
，是平行四边形，
，不在面内，平面，
平面，且，
在中，，．
（2）如图建立空间直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，过点A作面ABCD的垂线为z轴，
则，，，
设是平面的一个法向量，则，
取，则，故是平面的一个法向量，
设，，，
设是平面的一个法向量，则，
取，则是平面的一个法向量，
则，
解得或（舍去）．所以．
变式2 如图，在三棱柱中，，侧面是正方形，是平面上一点，且．已知二面角的大小是，求直线AB与平面所成角的正弦值．
变式3 如图，三棱柱的底面是等边三角形，平面平面ABC，，AC=2，，O为AC的中点。
（I）求证：AC平面.
（Ⅱ）试问线段上是否存在点P，使得二面角P-OB-的平面角的余弦值为，若存在，请计算的值；若不存在，请说明理由。
【题型三】求点到面的距离
【例4】 如图，在底面为正方形的四棱锥中，，，．
(1)求证：平面．
(2)若，且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半．求点到平面的距离；
【答案】(1)证明见解析；(2) ；
【详解】（1）因为四棱锥的底面为正方形，所以，
因为，，
所以在中，根据余弦定理得，
所以，所以，
又，平面，所以平面．
（2）①在底面为正方形的四棱锥中，以为坐标原点，，分别为，轴，过且垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，，
所以，，
因为，，
所以，所以，
因为，
所以，解得，所以，则，
又，所以，所以，，
连接，因为三棱锥的体积是四棱锥体积的一半，
所以，
又，平面，所以，且，所以，,
设平面的法向量为，则，得，取，则，
设点到平面的距离为，
因为，所以，即点到平面的距离为．
变式4 在三棱锥中，已知，，为的中点，平面，，为的中点.点在上，满足.求点到平面的距离；
★【例5】如图，直角梯形ABCD中，，，，，，点E为线段BC不在端点上的一点，过E作AB的平行线交AD于F，将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直，得到六面体
若，求BE的长;
求异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值.
【详解】连接DE，平面平面ECDF，交线为EF，
由，平面ABEF，有平面ECDF，
又平面ECDF，所以，当，，且BE、平面BDE，
所以平面BDE，
又平面BDE，所以，此时与相似，
故，设，由，解得：，所以
过C作EF的平行线交DF于点G，连接AG，由CG ，
所以四边形CGAB是平行四边形，故，
所以即为异面直线BC与AD所成的角，设，
，
当且仅当，即时，等号成立，所以锐角正切值的最大值为，
此时余弦值有最小值
所以异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值为
课后测
如图，在四棱锥中，，，，，，，．
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在一点F，使直线CF与平面PBC所成角的正弦值等于？
课后作业
1．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，E为PA上一点，且．
(1)证明：平面平面PAC；
(2)求直线PB与平面BEC所成角的正弦值．
2.如图，在四棱锥中，底面为矩形且，，点在底面上的射影为线段上一点，，且，为上的一点且，过、做平面交于点，于点且为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
3．如图，四棱锥的底面ABCD为正方形，面面ABCD，，G为的重心．
（1）若，且面，求值；
（2）若面PCD与面PAB所成的锐二面角为30°，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
4．如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，．，二面角的大小为时，求PN的长．
5．如图，在四棱锥中，，，E为棱PA的中点，平面PCD．
（1）求AD的长；
（2）若，平面平面PBC，求二面角的大小的取值范围．
6．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点，分别为和的中点．
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
7．如图，已知三棱柱的所有棱长均为1，且．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求点到平面的距离．
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