中小学教育资源及组卷应用平台
§ 二项式定理
知识点一 二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有：
，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中第项的（字母的次数和组合数的上标相同）为二项展开式的通项，用表示，即，中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数。
注意：二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．
二项式的展开式的特点：
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次数从到，每一项中，，次数和均为；
④项的系数：二项式系数依次是，而项的系数是与的系数以及包括二项式系数在内．
两个常用的二项展开式：
①（）
②
【题型一】求二项展开式中的指定项
【例1】展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】展开式通项为，令，解得，
因此，展开式中常数项为.
故选：A.
【例2】的展开式中常数项为_________.
【答案】
【解析】中的常数项为,
故答案为:88
【例3】的展开式中，的系数为______.
【答案】30
【解析】 表示5个因式的乘积，
在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，
即可得到含 的项，故含的项系数是
故答案为：30
变式1 二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．210 B．－210 C．252 D．－252
变式2 的展开式中的常数项为__________．
变式3 在的展开式中，的系数为（ ）
A．55 B．60 C．75 D．90
【例4】已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（ ）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．4
【答案】C
【解析】由，令，解得，
所以项的系数为，解得．
故选：C
变式4 展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
变式5 二项式的展开式中含有常数项，则的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型二】 求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
【例5】的展开式中的常数项为（ ）
A．240 B． C．400 D．80
【答案】D
【解析】的展开式的通项为，
令，得，则的展开式中的常数项为，
令，得，则的展开式中含的项的系数为，
所以的展开式中的常数项为.
故选：D．
变式6 的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
知识点二 二项式展开式中的最值问题
二项式系数的性质
①．相邻的两个二项式系数的和等于最小的系数上下标均加“1”．
②首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
③二项式系数的和：令，则二项式系数的和为 ，
变形式：．
④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 ，则，
从而得到：．
⑤最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
【例6】解方程。
【解析】，，，则，，
变式7 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有个，则的展开式中，的系数是______.
【题型三】求系数最值
【例7】在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】当时，的展开式有8项，的展开式中二项式系数最大，
即第四项和第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有9项，的展开式中二项式系数最大，即第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有10项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项和第六项的二项式系数最大.
当时，的展开式有11项，的展开式中二项式系数最大，即第六项的二项式系数最大.
故选：D．
【例8】的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【解析】因为的展开式的通项公式为，令，即时，x的系数为，而二项式系数最大值为，所以，即．
故选：A．
【例9】若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．
【解析】展开式的通项公式为，由题意可得，，解得，设展开式中项的系数最大，则，解得，又∵，∴，
故展开式中系数最大的项为.故答案为：5376.
变式8 在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
变式9 的展开式中系数最小项为第______项．
变式10 展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为______.
知识点三 二项式展开式中系数和
常用赋值举例：
若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
（1）当为偶数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
（2）当为奇数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
变式1：若，同理可得．
赋值为令，，，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
变式2：若
赋值为令，，，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
【题型四】 求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
【例10】，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；
【解析】（1）令，得①.
（2）令，得②.
由①-②得，.
（3）相当于求展开式的系数和，令，得.
（4）展开式中二项式系数和是.
展开式中偶数项的二项系数和是.
【例11】已知，则=
【答案】180
【例12】已知，若，则_____________.
【答案】8
【解析】，所以，所以，
所以，即，解得：
故答案为：8
【例13】（多选题）下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A，因为，
令，得，则，故A错误；
对于B，因为，所以
，故B正确；
对于C，因为，
所以，故C正确.
对于D，，
对于，其含有的项的系数为，对于，要得到含有的项的系数，
须从第一个式子取出个，再从第二个式子取出个，
它们对应的系数为，所以，故D正确.
故选：BCD.
变式11 设，求的值．
变式12 （多选题）若，则下列选项正确的是（ ）
变式13 已知，则
变式14（多选题）已知，设，其中则（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【例14】我们称n（）元有序实数组（，，…，）为n维向量，为该向量的范数.已知n维向量，其中，，2，…，n.记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为.
（1）求和的值；
（2）当n为偶数时，求，（用n表示）.
【答案】（1），.（2），
【详解】解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：，，，，
它们的范数依次为1，1，1，1，故，.
（2）当n为偶数时，在向量的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：1，3，…，进行讨论：的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；
的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为；
的n个坐标中含个0，其余坐标为1或，
共有个，每个的范数为1；所以，
.
因为，①
，②
得，，所以.
解法1：因为，
所以.
.
解法2：得，.
又因为，
所以
.
变式15 有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则 ； ．（用含的式子表示）
【题型五】 整数和余数问题
【例15】已知能够被15整除，则的一个可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】D
【解析】,
75能够被15整除，要使原式能够被15整除，则需要能被15整除，将选项逐个检验可知的一个可能取值是，其他选项均不符合题意，故选：D
【例16】除以78的余数是（ ）
A． B．1 C． D．87
【答案】B
【解析】因为
所以，除了第一项之外，其余每一项都含有的倍数，
所以原式除以的余数为1.
故选:B．
变式16 设，且，若能被13整除，则（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
变式17 已知，则除以10所得的余数是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
课后作业
1．若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知展开式的二项式系数之和为，则展开式中系数为有理数的项的个数是________．
3．的展开式的常数项为
A． B． C． D．
4．在的展开式中，项的系数为（ ）
A． B． C．30 D．50
5．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
6．展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C．和 D．和
7．设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．
9．假如的二项展开式中项的系数是，则二项展开式中系数最小的项是__________.
10．若的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为___________.
11．若，则______.
12．已知
(1)求；
(2)求.
13．若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或 B． C．或3 D．
14．若，则（ ）
A．40 B．41 C． D．
15．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
在展开式中，x的所有奇数次幂项的系数之和为20，则_____________．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
§ 二项式定理
知识点一 二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
（1）二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有：
，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中第项的（字母的次数和组合数的上标相同）为二项展开式的通项，用表示，即，中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数。
注意：二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．
（2）二项式的展开式的特点：
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次数从到，每一项中，，次数和均为；
④项的系数：二项式系数依次是，而项的系数是与的系数以及包括二项式系数在内．
（3）两个常用的二项展开式：
①（）
②
【题型一】求二项展开式中的指定项
【例1】展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】展开式通项为，令，解得，
因此，展开式中常数项为.
故选：A.
【例2】的展开式中常数项为_________.
【答案】
【解析】中的常数项为,
故答案为:88
【例3】的展开式中，的系数为______.
【答案】30
【解析】 表示5个因式的乘积，
在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，故含的项系数是
故答案为：30
变式1 二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．210 B．－210 C．252 D．－252
【答案】A
【解析】二项式的展开式的通项为，
令可得，所以常数项为，
故选：A
变式2 的展开式中的常数项为__________．（用数字填写正确答案）
【答案】481
【解析】的通项公式为，，
对于，它的通项公式为，，
令，可得，或，或．
故的展开式中的常数项为，
故答案为：481．
变式3 在的展开式中，的系数为（ ）
A．55 B．60 C．75 D．90
【答案】A
【详解】从十个括号中选出9个，再从剩下一个括号中选出一个数相乘即含有项，
故的系数为，
故选：A
【例4】已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（ ）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．4
【答案】C
【解析】由，令，解得，
所以项的系数为，解得．
故选：C
变式4 展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．2
【答案】B
【解析】的展开式通项为，
∴令，解得，∴的展开式的常数项为，
∴∴故选：B.
变式5 二项式的展开式中含有常数项，则的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】二项式的展开式为，
令，，则，
因为所以当时，取得最小值3，
故选：B
【题型二】 求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
【例5】的展开式中的常数项为（ ）
A．240 B． C．400 D．80
【答案】D
【解析】的展开式的通项为，
令，得，
则的展开式中的常数项为，
令，得，
则的展开式中含的项的系数为，
所以的展开式中的常数项为.故选：D．
变式6 的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】；
展开式中的系数为；展开式中的系数为；
展开式中的系数为.故选：D.
知识点二 二项式展开式中的最值问题
二项式系数的性质
①．相邻的两个二项式系数的和等于最小的系数上下标均加“1”．
②首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
③二项式系数的和：令，则二项式系数的和为 ，
变形式：．
④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 ，则，
从而得到：．
⑤最大值：
如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
【例6】解方程。
【解析】，，，则，，
变式7 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有个，则的展开式中，的系数是______.（用数字作答）
【答案】2024
【解析】，则的系数是，，则的系数是2024
【题型三】求二项式系数最值
【例7】在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】当时，的展开式有8项，的展开式中二项式系数最大，
即第四项和第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有9项，的展开式中二项式系数最大，即第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有10项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项和第六项的二项式系数最大.
当时，的展开式有11项，的展开式中二项式系数最大，即第六项的二项式系数最大.
故选：D．
【例8】的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【解析】因为的展开式的通项公式为，令，即时，x的系数为，而二项式系数最大值为，所以，即．
故选：A．
【例9】若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．
【解析】展开式的通项公式为，由题意可得，，解得，设展开式中项的系数最大，则，解得，又∵，∴，
故展开式中系数最大的项为.故答案为：5376.
变式8 在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，第五项二项式系数最大，一共是9项，所以n=8，
二项式展开项的通项公式为： ，
，∴ 的系数为
故选：C.
变式9 的展开式中系数最小项为第______项．
【答案】6
【解析】的展开式的通项公式为，其中系数与二项式系数只有符号差异，
又第5项与第6项的二项式系数最大，第6项系数为负，则第6项系数最小.
故答案为：.
变式10 展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为______.
【答案】210
【解析】由己知展开式中只有第6项系数为最大，所以展开式有11项，
所以，即，又展开式的通项为，
令，解得，所以展开式的常数项为.
故答案为：210.
知识点三 二项式展开式中系数和
常用赋值举例：
若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
（1）当为偶数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
（2）当为奇数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
变式1：若，同理可得．
赋值为令，，，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
变式2：若
赋值为令，，，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
【题型四】 求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
【例10】，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；
【解析】（1）令，得①.
（2）令，得②.
由①-②得，
.
（3）相当于求展开式的系数和，令，得.
（4）展开式中二项式系数和是.
展开式中偶数项的二项系数和是.
【例11】已知，则=
【答案】180
【例12】已知，若，则_____________.
【答案】8
【解析】，所以，所以，
所以，即，解得：
故答案为：8
【例13】（多选题）下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A，因为，
令，得，则，故A错误；
对于B，因为，
所以
，故B正确；
对于C，因为，
所以，故C正确.
对于D，，
对于，其含有的项的系数为，
对于，要得到含有的项的系数，
须从第一个式子取出个，再从第二个式子取出个，
它们对应的系数为，
所以，故D正确.
故选：BCD.
变式11 设，求
(1)展开式中各二项式系数的和；
(2)的值．
【解析】（1）由题意，，
即展开式中各二项式系数的和为.
（2）由可知，
，
故令得：，
再令得：，
所以.
变式12 （多选题）若，则下列选项正确的是（ ）
【答案】AD
变式13 已知，则
【答案】40
变式14（多选题）已知，设，其中则（ ）
A． B．
C．若，则 D．
【答案】AC
【详解】A． ，A正确；
B．，
所以
（除非），B错；
C．设是中最大项，，即，
注意到，，又，
不等式组可解为，所以，所以，C正确；
D．例如时，，，
，D错误．
故选：AC．
【题型六】 整数和余数问题
【例14】已知能够被15整除，则的一个可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】D
【解析】,
75能够被15整除，要使原式能够被15整除，则需要能被15整除，将选项逐个检验可知的一个可能取值是，其他选项均不符合题意，
故选：D
【例15】除以78的余数是（ ）
A． B．1 C． D．87
【答案】B
【解析】因为
所以，除了第一项之外，其余每一项都含有的倍数，所以原式除以的余数为1.
故选:B．
变式15 设，且，若能被13整除，则（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
【答案】D
【解析】
因为能被13整除，所以能被13整除
因为，且，所以，
故选：D
变式16 已知，则除以10所得的余数是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】D
【解析】
，
所以除以10的余数为8．
故选：D．
课后作业
1．若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】由二项式定理知：含项为 ，
由题意 ， ，解得 ；故选：C.
2．已知展开式的二项式系数之和为，则展开式中系数为有理数的项的个数是________．
【解析】依题意，知，，
则展开式的第项为，
当时，展开式中系数为有理数，所以展开式中系数为有理数的项的个数为.
故答案为：4.
3．的展开式的常数项为
A． B． C． D．
【解析】∵，
∴的展开式中的常数项为.故选：A.
4．在的展开式中，项的系数为（ ）
A． B． C．30 D．50
【解析】表示5个因式的乘积，在这5个因式中，
有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；
或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，
故项的系数为，故选B．
5．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
【解析】因为的展开式为，
的展开式为和的和，
；，
所以在中令，即可得到的项的系数，是，故选：A.
6．展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C．和 D．和
【解析】展开式的通项公式为，
因为展开式共有8项，
所以第4项和第5项的二项式系数最大，
所以展开式中二项式系数最大的项为和，
即为和，故选：C
7．设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】的展开式中二项式系数的最大值为，故，的展开式中的二项式系数的最大值为或，两者相等，不妨令，则有，解得：.故选：C
8．已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．
【答案】
【解析】令，则的展开式各项系数之和为，则；
由的展开式通项公式知二项展开式的系数最大项在奇数项，
设二项展开式中第项的系数最大，
则，化简可得：
经验证可得，
则该展开式中系数最大的项为.
故答案为: .
9．假如的二项展开式中项的系数是，则二项展开式中系数最小的项是__________.
【解析】由二项式知：，而项的系数是，
∴时，有且为奇数，又由，
∴可得.
∴，要使系数最小，为奇数，由对称性知：，
∴.故答案为：.
10．若的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为___________.
【解析】取，则的展开式中各项系数的和为：.
故，则，
的展开式：；的展开式：
取得到：，取得到系数为；
取得到：，取得到系数为；
综上所述：该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为。故答案为：。
11．若，则______.
【解析】因为，
所以奇次方系数为负，偶次方系数为正，
所以，
对于，
令，得，
令，得，
两式相减，得，
即.故答案为：127
12．已知
(1)求；
(2)求.
【解析】（1）令，则.
令，则，①
故.
（2）令，则，②
①+②可得，
故.
13．若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或 B． C．或3 D．
【解析】在中，
令可得，即，
令，可得，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，或．故选：A
14．若，则（ ）
A．40 B．41 C． D．
【解析】令，则，
令，则，
故，故选：B.
15．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【解析】因为
,
四个选项中，只有时，除以10余数是1．故选：B．
在展开式中，x的所有奇数次幂项的系数之和为20，则_____________．
【解析】设
令得：①，
令得：②，
两式相减得：，
因为，x的所有奇数次幂项的系数之和为20，
所以，解得：.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
