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第 2节 排列组合
【题型一】 相邻问题
把相邻元素“捆绑”为一个大元素，同时将捆绑后的大元素内部进行全排列，然后再与其余元素全排列。
【例1】五名同学站成一排合影，若站在两端，和相邻，则不同的站队方式共有___________种.（用数字作答）
【答案】24
【详解】C，相邻，将排在一起并看成一个整体，有2种方法，站两端，有2种方法，与，进行3个元素的全排列，有种方法，故不同的站队方式共有种.
故答案为：24
【例2】甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
【答案】C
【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种.
故选：C.
变式1已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（ ）
A．288 B．144 C．72 D．36
【答案】C
【详解】方法1：2位父亲的排队方式种数为，2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体，放进父母的中间共有种排队方式，所以不同的排队方式种数为.
方法2：2位父亲的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体与2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，所以不同的排队方式种数为.
故选：C.
变式2 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．32种 D．40种
【答案】B
【详解】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有种情况，
甲站在两端的情况有种情况，
甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有种.
故选：B．
题型二 不相邻问题
（1）两元素不相邻，可以将其中一个元素最后单独插空；
【例3】为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲 乙 丙 丁 戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（ ）种．
A．40 B．24 C．20 D．12
【答案】B
【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，
则不同的排法共有种，
故选：．
变式3 6个人排成一行,其中甲、乙两人相邻，甲，丙两人不相邻的不同排法共有 种。
【详解】方法1：分类讨论，①丙和甲乙捆绑的组合不相邻，②丙和甲乙捆绑的组合相邻，即甲乙丙或者丙乙甲两种站法。
方法2：先把甲乙进行捆绑，再安排除丙以外的其余元素，最后把丙进行插空，
（2）多元素不相邻，先排其余元素，然后将不相邻元素插入到其余元素排列的空中。
【例4】在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．
【答案】36
【详解】如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，
两个2捆绑看作一个元素与7，1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素，
那么小明可以设置的不同密码共有．
故答案为：36.
【例5】在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为
A．30 B．36 C．60 D．72
【详解】记事件位男生连着出场，即将位男生捆绑，与其他位女生形成个元素，所以，事件的排法种数为，
记事件女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件的排法种数为，
事件女生甲排在第一位，且位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将位男生与其他个女生形成三个元素，所以，事件的排法种数为种，
因此，出场顺序的排法种数
种，故选C．
【例6】5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）．
【详解】因为任意2个女孩中间至少站1个男孩，则有且仅有2个男孩站在一起，
先把5个女孩排成一个圈，这是个圆形排列，因此排法共有(种)，
把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组有种分法，
最后把5组男孩放入5个女孩构成圆排列的5个间隔中有种方法，而站在一起的两个男孩有顺序性，有2种站法，
所以，由分步乘法计数原理得，不同的排法共有(种). 故答案为：86400
变式4 3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的情况为______．
【答案】84
【详解】解：3名男同学、2名女同学排成一行的总的方法数为：，
则至多2名男生相邻的方法总数为：，
变式5 三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有
A．72种 B．108种 C．36种 D．144种
【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有种方法，再与另一个男生排列，则有种方法，
三名女生任选两名“捆绑”，有种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有种方法，
利用分步乘法原理，共有种.
故选：D．
两种条件交叉- - 减法计数
或
【例7】甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁不相邻，则不同的排列方式共有（ ）
A．40种 B．48种 C．12种 D．24种
【答案】B
【详解】记事件A：甲不站两端，事件B：丙和丁不相邻。
则事件A：，事件；故
故选：B
变式6 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
【答案】B
【详解】因为乙和丙之间恰有人，所以乙丙及中间人占据首四位或尾四位，
①当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，
所以有种方法；
②当乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法，
所以有种方法；
由分类加法计数原理可知，一共有种排法，
故选：B.
【题型三】 分组问题（不同元素之间的分组问题，且注意分组的时候不需要考虑顺序排列）
（1）平均分组。个元素平均分成组，每组个元素，
第一步：分组：；第二步：如需对分的组分配任务，则：。
【例8】 为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法共有______种.
【答案】40
【详解】①选1名医生和3名护士的方法数为种；
②由第一步得到两组医护人员，将其安排到2所学校的方法数为种.
所以不同的分配方法共有种.
故答案为：40
变式7 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
（2）部分平均分组。第一步：对平均分组的元素进行分组，第二步：如需对分的组分配任务，再进行排列。
【例9】将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）
【答案】36
【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，
可先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有种方法，
则共有种分配方案.
故答案为：36
【例10】安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的情况有 种
【答案】36
【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；
当分为3,1,1人时，有种实习方案，
当分为2,2,1人时，有种实习方案，即共有种实习方案，
其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种，
变式8 甲 乙 丙三人报名参加英语 数学 物理 化学四科的学科竞赛,要求每科均有人参加且只能报一人,每人至少报一科，并且不能同时报名参加物理 化学两科,则不同的报名方法共有 种(用数字作答).
【答案】30
【详解】由题可知必有一人选两科,先从四科中任选两科看作一个整体,然后将三个元素进行全排列,共有种,再从中排除同时选择物理和化学的情况,共有种,所以不同的报名方法有种.
故答案为：30
变式9 2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（ ）
A．36 B．81 C．120 D．180
【答案】D
【详解】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，有种不同的选派方案，
再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，
有种不同的选派方案，
所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有种.故选：.
（3）非平均分组。 按元素个数分组即可，非平均分组由于自身人数的不同，可以理解为本身已排序。
【例11】2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到、、三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（ ）
A．630种 B．600种 C．540种 D．480种
【答案】C
【详解】把6名工作人员分成1,1,4三组，再安排到三个村有：种；
把6名工作人员分成2,2,2三组，再安排到三个村有：种；
把6名工作人员分成1,2,3三组，再安排到三个村有：种；
所以共有90+90+360=540种.
故选：C.
变式10 为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【详解】甲和乙必须安装不同的吉祥物，则有种情况，剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有，
然后分配到参与两个吉祥物的安装，有，则共有种，故选：．
【题型四】先选后排
【例12】现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（ ）
A．84 B．108 C．132 D．144
【答案】B
【详解】当甲跑第1棒时，则有种选择方法；
当甲跑第4棒时，乙参加比赛则有种选择方法，乙不参加比赛则有种选择方法．
故合适的选择方法种数为种．
故选：B
变式11 现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100m接力赛，其中已确定甲跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2、3棒，丁不能跑第1棒，那么合适的选择方法种数为（ ）
A．56 B．60 C．84 D．120
【答案】B
【详解】由题设六人中确定甲跑第1棒或第4棒，乙、丙只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒
当甲排第1棒时，乙、丙均不参与则有种，乙、丙至少有一人参与则有种；
当甲排第4棒时，乙、丙均不参与则有种，乙、丙至少有一人参与则有种．
故合适的选择方法种数为种．
故选：B．
【例13】甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是
【答案】216
【详解】①若三人站在一个台阶上，有种站法，②若三人站在两个台阶上，有种站法，
③若三人站在三个台阶上，有种站法，所以，一共有种站法
【例14】某医院分配3名医生和6名护士紧急前往三个小区协助做核酸检测，要求每个小区1名医生和2名护士，（1）问共有多少种分配方案？
【答案】
（2）若其中刘医生和李护士是夫妻，安排去同一个小区，问共有多少种分配方案？
【答案】
（3）若其中刘医生和李护士是夫妻，安排去同一个小区，且王医生不能去小区A，问共有多少种分配方案？
【答案】
（4）若其中刘医生和李护士是夫妻，安排去同一个小区，且张医生和赵护士不能分在同一组，同时王医生不能去小区A，问共有多少种分配方案？
【答案】
变式12 某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数，要求写出计算过程.
【答案】840种
【详解】这4名旅客通过安检口有4种情况：从1个安检口通过，从2个安检口通过，从3个安检口通过，从4个安检口通过。
从1个安检口通过共有：种方案；
从2个安检口通过，可能有1个安检口通过1人，另一个安检口通过3人有：种方案；
从2个安检口通过，可能每一个安检口都通过2人有：种方案；
从3个安检口通过，可能有2个安检口各通过1人，有1个安检口通过2人有：种方案；
从4个安检口通过共有：种方案，
所以这4个旅客进站的不同方案有：种.
【例15】（多选题）柜子里有4双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是（ ）
A．“取出的鞋不成双”的情况数为24
B．“取出的鞋都是左鞋”的情况数为6
C．“取出的鞋都是一只脚的”的情况数为12
D．“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的情况数为10
【答案】ABC
【详解】对于A，可以先取两双鞋再各分配一只即可得到“取出的鞋不成双”的可能情况数，
所以“取出的鞋不成双”的情况数为，故A正确；
对于B，从4只左鞋里面取两只即可得到“取出的鞋都是左鞋”的可能情况数，
所以“取出的鞋都是左鞋”的情况数等于，故B正确；
对于C，由B选项可知，“取出的鞋都是左鞋”的情况数6，同理“取出的鞋都是右鞋”的情况数6，
所以“取出的鞋都是一只脚的”的情况数等于，故C正确；
对于D，可以先取两双鞋，再分步取鞋使得它们一只是左脚的，一只是右脚的，满足题意的可能情况数，
所以“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的情况数为，故D错误.
故选：ABC.
变式13 双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出只，试求各有多少种情况出现如下结果：
(1)只鞋子没有成双的；
(2)只鞋子恰成两双；
(3)只鞋中有只成双，另只不成双．
【答案】(1)，(2)，(3)
【详解】（1）解：从双鞋子中选取双，有种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有种取法，根据分步计数原理，选取种数为(种)．
即只鞋子没有成双有种不同取法．
（2））从双鞋子中选取双有种取法，
所以选取种数为 (种)
即只鞋子恰成两双有种不同取法．
（3）先选取一双有种选法，再从双鞋中选取双有种选法，每双鞋只取一只各有种取法．根据分步计数原理，不同取法为 (种)．
题型四 分类讨论思想（以元素如何选择位置为角度进行分类，以位置该谁站为角度进行分类）
【例16】A B C三人报名参加英语 数学 物理 化学四科的学科竞赛，要求每科均有人参加，每人参加两个兴趣小组且不能同时报名同一个学科，三人不能同时参加同一个兴趣小组，则不同的报名方法共有 种
【答案】90
一共6次报名机会，共4门学科，分组方法为2,2,1,1.
方法一（以位置该谁站为角度进行分类）：以单独“1”分组进行分类，①两个“1”是同一个人，②两个“1”是两个人；
①两个“1”是同一个人，例如：AB，AB，C，C，此时2个分组一模一样则为种。
②两个“1”是两个人，例如：AB，AC，B，C，此时4个分组都不一样，则为种。共90种。
方法二（以位置该谁站为角度进行分类）：以两个“2”分组进行分类，①两个“2”是两个人，②两个“2”是三个人；
①两个“2”是两个人，例如：AB，AB，C，C，此时2个分组一模一样则为种。
②两个“2”是三个人，例如：AB，AC，B，C，此时4个分组都不一样，则为种。共90种。
方法三（以元素如何选择位置为角度进行分类）：以AB两个人报名的学科结果分类，①AB报名一致，在同一个分组，②AB报名不一样，不在同一个分组；
①AB报名的学科一致，例如：AB，AB，C，C，此时2个分组一模一样则为种。
②AB报名的学科不一样，例如：AB，AC，B，C，此时4个分组都不一样，则为种。共90种。
变式14 中秋节假期间，某医院要安排某科室的2名男职工和2名女职工进行3天值班（分白班和夜班，每班1名职工），其中女职工不值夜班，且每个人至少要值班一次，则不同的安排方法共有 种（用数字作答）．
【答案】120
【详解】若白班无男职工，则不同的安排方法共有（种）．
若白班有男职工，则值白班的不同的安排方法共有（种），
①当值白班的男职工不值晚班时，则值晚班不同的安排方法共有1种；
②当值白班的男职工也值晚班时，则值晚班不同的安排方法共有（种），
则不同的安排方法共有（种）．
综上，不同的安排方法共有（种）．
故答案为：120
变式15 为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲 乙 丙 丁 戊共五名学生担任冰球 冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的情况有
【答案】100
【详解】根据题意小组有2种情况，分别是2,2,1；以及3,1,1两种分组情况，接下来进行分类；
方法一（以位置该谁站为角度进行分类）：以谁去冰球项目为分类，①若只有1人去冰球项目做志愿者，有；
②若恰有2人去冰球项目做志愿者，有；
③若有3人去冰球项目做志愿者，有，
所以共有种安排法，
方法二（以元素如何选择位置为角度进行分类）：以甲去哪个分组为分类，①甲去2,2,1人组中的“2”，选一人和甲在一起，再分好其他两组，最后安排这三个组去对应的项目：；②甲去2,2,1人组中的“1”，；③甲去3,1,1人组中的“3”，选两人和甲在一起，再分好其他两组，最后安排这三个组去对应的项目：；④甲去3,1,1人组中的“1”，，共100
【例17】 某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山 黄山 庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（ ）
A．564 B．484 C．386 D．640
【答案】A
【详解】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况.
第一种情况分成2人，2人，4人：女生去同一处景点，当成2人组时，
其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生不同组，有种方法；
当在4人组时，有种方法.
第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有种方法；
当在3人组时，有种方法.
故这8名同学游玩行程的方法数为.
故选：A.
【例18】一个综艺节目中，3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈，则参与者连续站在一起的人数不超过13人的方案是 .
【答案】
【详解】记3名主持人分别为甲、乙、丙，3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈，
将主持人甲作为参照物，只需考虑剩下的35人从甲开始顺时针排列的顺序，
则3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈有种站法，
参与者连续站在一起的人数不超过13人，
则主持人乙、丙将33位参与者分隔成3组，按照顺时针方向记为第一、二、三组，
由，
考虑的情况，第一、二、三组人数有、，三种分组方法，
考虑，第一、二、三组人数有种分组方法，
考虑，第一、二、三组人数有1种分组方法，
同理可知，共有种分组方法，
则参与者连续站在一起的人数不超过13人共有种站法，
故答案为
变式16 甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是 .（用数字作答）
【答案】 30
【详解】因为甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案.
当分配方案为2、2、1时，共有种；
当分配方案为3、1、1时，共有种；
所以不同的选择和数是.
变式17 已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（ ）
A．150 B．240 C．390 D．1440
【答案】C
【详解】因为或
所以5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中
（1）5个球放到编号2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三个盒子中有两种方法：
各放1个，2个，2个的方法有种.
各放3个，1个，1个的方法有种.
（2）5个球放到编号1、2、3、5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有
种.
综上，总的放球方法数为种.
故选：C
题型六 隔板法（相同元素的分组问题）
个元素中有个空挡(不算头尾)，把个隔板分别放于这些空挡中。只能适用于相同元素之间的分组问题，不同于前面的分组（不相同的元素之间分组）。而且与插空法比较类似。
【例19】某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有个班，现将个参赛名额分配给这个班，每班至少个参赛名额，则不同的分配方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【详解】将个参赛名额分配给这个班，名额之间并无区别，将个参赛名额采用“隔板法”分成份即可，每份至少一个名额，
共有种. 故选：B.
【例20】某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有个班，现将个参赛名额分配给这个班，则不同的分配方法共有 。
【答案】每个班先预先借一个名额，再还回去。此时共8+6=14名额，其中有13个空隙，选5个空隙放入板子，则为。
变式18 （1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法；
（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法；
（3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法；
（4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？
【答案】（1）256；（2）144；（3）84；（4）18.
【详解】（1）每个小球有4种方法，共有种放法；
（2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，最后分到3个盒子，共有种放法；
（3）9个空中插入3个板即可，种放法；
（4）先选2个空盒，再3个空中插入1个板即可，共有种放法.
变式19 某校银杏大道上共有20盏路灯排成一列，为了节约用电，学校打算关掉3盏路灯，头尾两盏路灯不能关闭，关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，则不同的方案种数是（ ）
A．324 B．364 C．560 D．680
【答案】B
【详解】将路灯分2盏(为保证关闭路灯之间至少有两盏亮)、15盏、3盏(需关闭的路灯)，
首先15盏亮的路灯先排成一排，把3盏关掉的路灯插空，而头尾两盏路灯不能关闭，
所以是除头尾之外的14个位置上插入三盏关掉的灯，共种，
在每两盏关掉的路灯之间再各放入一盏路灯且路灯无差异，保证关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，只有1种方法.
综上，共有种方案数.
故选：B
题型七 定序问题
作商处理：对于给定元素顺序确定，再插入其它元素进行排列：顺序确定的元素为个，新插入的元素为个，则排列数为:。
【例21】一张节目单上原有8个节目，现临时再插入A，B，C三个新节目，如果保持原来8个节目的相对顺序不变，节目B要排在另外两个新节目之间（也可以不相邻），则有__________种不同的插入方法．
【答案】330
【详解】法1：第一步，从11个位置中选3个位置，共有种方法；
第二步，三个位置中节目B位置确定，节目A，C的顺序为，
由分步计数原理可得共有种方法.
法2：先插入节目A，再插入节目B，最后插入节目C，共有：种，
其中节目B与两个新节目的位置关系有3种，由消序法可得总数为.
故答案为：330
【例22】已知现有“恭喜发财，四季平安”共8个灯笼，需要将这8个灯笼悬挂在门前，规定“恭喜发财”从上至下且挂门的左边，“四季平安”从上至下挂门的右边，挂灯笼的顺序不特定，一共有 种方法。
【答案】
变式20甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（ ）
A．20种 B．30种 C．50种 D．60种
【答案】A
【详解】每个人被安排在另外两个人前面的机会是均等的，故共有种方法.
故选：A
变式21 某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有 种.
【答案】
【详解】分以下两种情况讨论：
第一种，第一步，先取、、号球，第二步，再取、、号球依次取个球，
最后一步，从剩余两球依次摸取，此时不同的抽法种数为种；
第二种，将、、视为三个整体，
前三个球从其中一个整体和每支不与号球相邻的小球中依次摸取，有种，
以、、为例，可依次为、、，共种，
剩余、、、号球，先从、号球中摸一个，有种情况，
比如先取号球，剩余三个相邻的小球，接下来从、号球中取一个，有种情况，
最后剩余两球摸取的先后顺序任意，
此时，不同的取法种数为.
综上所述，不同的取法种数为种.
故答案为：.
【例23】如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.（用数字作答）
(1)由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？
(2)由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？
(3)求出图中总计有多少个矩形？
【答案】(1)，(2)，(3)
【详解】（1）由题意转化条件为点A需向右移动3次、向上移动3次，结合组合的知识即可得解；
（2）设出直线上其它格点为、、，按照、、、分类，结合分步乘法、组合的知识即可得解；
（3）由题意转化条件为从竖线中选出两条、横线中选出两条组成图形，按照矩形的边在不在上分类，利用分步乘法、组合的知识即可得解.
（1）由题意点A沿着图中的线段到达点E的最近路线需要移动6次：向右移动3次，向上移动3次，故点A到达点E的最近路线的条数为；
（2）设点、、的位置如图所示：
则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况：
①沿着，共有条最近路线；
②沿着（不经过E），共有条最近路线；
③沿着（不经过E、G），共有条最近路线；
④沿着（不经过E、G、H），共有条最近路线；
故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有条；
（3）由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：
①矩形的边不在上，共有个矩形；
②矩形的一条边在上，共有个矩形；
故图中共有个矩形.
变式22 如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，
距离最短的走法中，经过点的方法数为 .
距离最短的走法有
【答案】60，132
【详解】（1）从点A到点C一共有（一共六步需要向下走两步），
点C到点B一共有（一共四步向右走一步），
则根据分步计数原理得从点出发沿实线走到点经过点C的情况数为；
（2）
变式23（多选题）商场某区域的行走路线图可以抽象为一个的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从，两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，为止，下列说法正确的是（ ）
A．甲从必须经过到达的方法数共有9种
B．甲从到的方法数共有180种
C．甲、乙两人在处相遇的情况为种
D．甲、乙两人相遇的情况为种
【答案】ACD
【详解】对于A，从点到点，需要向上走2步，向前走1步，
从点到点，需要向右走2步，向前走1步，
所以，甲从必须经过到达的方法数为种，A正确；
对于B,从点到点，一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，
所以，甲从到的方法数为种，B错误；
对于C，甲从点运动到点，需要向上、前、右各走一步，
再从点运动到点，也需要向上、前、右各走一步，
所以，甲从点运动到点，且经过点，不同的走法种数为种，
乙从点运动到点，且经过点，不同的走法种数也为36种，
所以，甲、乙两人在处相遇的情况为，C正确；
对于D，若甲、乙两人相遇，则甲、乙两人只能在点、、、、、、，
甲从点运动到点，需要向上走2步，向前走1步，再从点运动到点，需要向前走1步，向右走2步，
所以甲从点运动到点且经过点的走法种数为，
所以甲、乙两人在点处相遇的走法种数为，
同理可知，甲、乙两人在点、、、、处相遇的走法种数都为，
因此，甲、乙两人相遇的情况为种，D正确．
故选：ACD．
题型八 正难则反问题
对于正面不好解决的排列、组合问题,考虑反面，一般在题目中有字眼“至多、至少”等体现。
【例24】如图，在的两边、上分别有5个点和6个点（都不同于点O），这连同点O在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？
【答案】
【详解】当取到点时，在、上各取一点（与点不同），有种；
当不取到点时，
一是从上取两点（与点不同），在上取一个点（与点不同），有种；
二是从上取两点（与点不同），在上取一个点（与点不同），有种.
所以这连同点O在内的12个点可以确定的不同的三角形共有种.
【例25】在过长方体任意两个顶点的直线中任取两条，其中异面直线有（ ）对.
A．152 B．164 C．174 D．182
【答案】C
【详解】在同一个平面内的4个点共有12组（6组为对角面，6组为正方体的底面和侧面），
故不在同一个平面的4个点有组，
每一组不共面的4个点形成3对异面直线，故共有条异面直线. 故选：C.
【例26】将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有 ．
【答案】3648
【详解】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法.
变式24 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面点，不同取法有 种.
【答案】141
【详解】任取4个点共有种，再考虑不满足条件的取法，①每个表面六个点中任取四个点共面，即；②每一条棱与对棱中点四个点共面，有6种；③与对棱平行的平行四边形共面，有3种，共有210-60-6-3=141种.故答案为：141．
变式25 某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（ ）种
A．9 B．36 C．54 D．108
【答案】C
【详解】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的选派方案有种，
选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有种，
所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有种
故选：C
题型九 涂色问题
分组涂色，1.按照相邻或不相邻的原则，把所有区域分成两部分；2.进行分类(1)不相邻区域用1种颜色；(2)不相邻区域用2种颜色；(3)不相邻区域用3种颜色 ... ...
【例27】如图，一花坛分成1，2，3，4，5五个区域，现有4种不同的花供选种，要求在每个1区域里面种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为 ．
【答案】
【详解】①若只有2，4区域种的花相同，则有种种法；
②若只有3，5区域种的花相同，则有种种法；
③若2、4区域种的花相同，3，5种的花也相同，则有种种法，由分类加法计数原理知共有种不同的种法.故答案为：
变式26 如图，一扇形花坛分成，，，，，六块，现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为 .
【答案】120
【详解】首先安排处的花有4种选择.
①若，种植相同的花，有3种选择，，可以种植剩余2种花，有2种方法，则有2种选择，此时，共有种方法.
②若，种植不相同的花，有种不同的方法，只有1种方法种植花；若，种植不相同的花，则只有1种情况，只有1种情况；若，种植相同的花，则有2种情况.此时，共有种不同的方法.
综上所述，不同的种法总数为.
故答案为：120.
【例28】用四种不同的颜色为正六边形（如图）中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有 种不同的涂色方法．
【答案】
【详解】如图，记六个区域的涂色数为，若涂色相同，则相当于5个区域涂色，记5个区域涂色数为，
同理只有4个区域时涂色数记为，易知，
．
变式27 如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G，H八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有 种.
【答案】
【详解】①对涂4种颜色，对于剩下的各剩2种颜色，且相邻的都含一种颜色是相同的，即当某个点取一种颜色时，其他点的颜色是确定的，那么共有2种情况，共有种，
②对涂3种颜色，对于从4种颜色中取3种，即，从这3种颜色中取1种来作重复的一种，即，再对这四种颜色进行排列，重复的那种只能在对角，有2个对角，再对其他不重复的2种进行排列，即对于剩下的同①一样，各剩2个颜色，当其中一点取一种颜色时，其他点颜色是确定的，共有2种，故共有种，
③涂2种颜色，则选2种颜色，涂在对角位置，有种方法，共2种颜色，故共有种方法，
所以一共有种方法.
故答案为：
【例29】如图，给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有______种.
【答案】264
【详解】计算不同涂色方法数有两类办法：
当涂四色时，先涂A，E，D，有种涂法，再从B，F，C中选一点涂第四种颜色，如B，再涂F，
若F与D同色，则C有2种涂法，若F与D异色，则C有1种涂法，于是得有种涂法，
当涂三色时，先涂A，E，D，有种涂法，再涂B，有2种涂法，则F，C各有1种涂法，于是得有种涂法，
利用分类加法计数原理得不同涂色方法数为：(种)，
所以不同的涂色方法共有264种.
故答案为：264
变式28 用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有
A．24种 B．48种 C．64种 D．72种
【答案】D
【详解】解法一：假设四种颜色为红、黑、白、黄，先考虑三点的涂色方法，有种，若与不同色，则、点只有种涂色的方法，有种涂法；若与同色，则点有种涂色的方法，共种涂法，所以不同的涂法共有种．
解法二：用种颜色涂色时，即与，与都同色，共有种涂色的方法，用种颜色时，有与，与中一组同色，有种情况，共有种，故共有种，故选D．
课后测
名同学，其中名男同学，名女同学：
（1）站成一排，共有多少种不同的排法？
（2）站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？
（3）站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？
（4）站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
（5）站成三排，前排名同学，中间排名同学，后排名同学，其中甲站在中间排的中间位置，共有多
少种不同的排法？
（6）站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
（7）站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
（8）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？
（9）站成一排，名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起.
（10）站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
（11）站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？
（12）站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？
（13）站成一排，名男同学都不能相邻，名女同学也不能相邻的排法共有多少种？
（14）站成一排，甲必要站在乙的前面(可以相邻也可以不相邻)的排法共有多少种？
（15）名同学座圆桌吃饭，只考虑谁挨着谁的排法共有多少种？
【答案】（1）5040；（2）5040；（3）144；（4）720；（5）720；（6）240；（7）2400；（8）1440；（9）288；（10）960；（11）3600；（12）1440；（13）144；（14）2520；（15）720.
【详解】（1）问题可以看作个元素的全排列，故有种排列方法.
（2）根据分步计数原理，共有种排列方法.
（3）根据分步计数原理，共有种排列方法.
（4）首先先把甲放在中间的位置，则问题可以看作余下的个元素的全排列，
共有种排列方法.
（5）首先把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看作余下的个元素的全排列，
共有种排列方法.
（6）第一步甲、乙站在两端有种，第二步余下的名同学进行全排列有种，
∴共有种排列方法.
（7）第一步从(除去甲、乙)其余的名同学中选名同学站在排头和排尾有种方法，
第二步从余下的名同学中选名进行排列(全排列)有种方法，
∴一共有种排列方法；
（8）先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种方法，
再与其余的个元素(同学)一起进行全排列有种方法，
∴这样的排法一共有种方法.
（9）先将名女同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种情况，
再将名男同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种情况，
这时一共有个整合的后元素，有种情况，
∴一共有排法种数：(种).
（10）将甲、乙“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有个元素，
∵丙不能站在排头和排尾，
∴可以从其余的个元素中选取个元素放在排头和排尾，有种方法，
将剩下的个元素进行全排列有种方法，
最后将甲、乙“松绑”进行排列有种方法，
∴这样的排法一共有种方法.
（11） (排除法)七名同学全排，有种可能，甲、乙两名同学相邻，有种可能，
则甲、乙两名同学不能相邻有种方法.
（12）先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，
再将甲、乙和丙三名同学分别插入这五个“空”有种方法，
∴一共有种.
（13）先将名女同学排好有种方法，此时她们留下四个“空”，
再将名男同学分别插入这四个“空”有种方法，
∴一共有种.
（14）先将名同学全排有种方法，再将甲、乙两名同学全排有种方法，
∵甲必要站在乙的前面，∴只需要总数的种方法，∴一共有种.
（15）把任意一名同学固定在任意一个位置，
再把其他名同学往其他位置里全排，有种方法，则一共有种方法.
课后作业
1．某班级星期一上午要排5节课，语文、数学、英语、音乐、体育各1节，考虑到学生学习的效果，第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有
A．14种 B．16种 C．20种 D．30种
【详解】把语文和英语看作一个复合元素和数学全排，形成了三个空，把音乐和体育插入到其中 个空中，故有 种，若第一节排数学, 节只能排语文和英语, 节只能排音乐和体育，故有 种，故第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有 种，故选 .
已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的情况有 种
【答案】21600
【详解】恰有2只兔子相邻走出房子的方案为：先排5只鸡，会产生6个空隙，再从3只兔子中选2只捆绑排列，最后与剩下的兔子排列到6个空隙中共有：种方案，
故：21600
中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．408种 B．240种 C．1092种. D．120种
【详解】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为，
其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为，
于是得，
所以“六艺”讲座不同的次序共有408种. 故选：A
某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安排在周六、周日完成，要求每天至少完成两科，且数学，物理作业不在同一天完成，则完成作业的不同顺序种数为
A．600 B．812 C．1200 D．1632
【详解】分两类：一天2科，另一天4科或每天各3科.
①第一步，安排数学、物理两科作业，有种方法；，
第二步，安排另4科一组1科，一组3科，有种方法；
第三步，完成各科作业，有种方法，
所以共有种.
②两天各3科，数学、物理两科各一组，另4科每组2科，
第一步，安排数学、物理两科作业，有种方法；
第二步，安排另4科每组2科，有种方法；
第三步，完成各科作业，有种方法，
所以共有种，
综上，共有种.故选C.
某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ．
【答案】5040
【详解】若有人参加“演讲团”，则从人选人参加该社团，其余人去剩下个社团，人数安排有种情况：和，
故人参加“演讲团”的不同参加方法数为；
若无人参加“演讲团”，则人参加剩下个社团，人数安排安排有 种情况：和，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为，
故满足条件的方法数为，
故答案为：5040
《周礼 夏官 马质》中记载“马量三物：一日戎马，二日田马，三日驽马”，其意思为马按照品种可以分为三个等级，一等马为戎马，二等马为田马，三等马为驽马．假设在唐朝的某个王爷要将7匹马（戎马3匹，田马、驽马各2匹）赏赐给甲、乙、丙3人，每人至少2匹，则甲和乙都得到一等马的分法总数为 ．
【答案】348
【详解】由题设条件可知甲、乙二人都分得一等马的情况有如下两类：
①甲、乙每人分得一匹一等马，有种；
②甲、乙二人中一人得一匹一等马，另一人得两匹一等马，
有种，
因此，满足题意的分法总数为. 故答案为：.
身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲、丁不相邻的不同的排法种数为
A．12 B．14 C．16 D．18
【详解】从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊人的身高可记为.要求不相邻，分四类：①先排时，则只有种排法，在剩余的两个位上，这样有种排法；②先排时，则只有种排法，在剩余的两个位上，这样有种排法；③先排时，则只有种排法，在剩余的两个位上，这样有种排法；④先排时，则这样的排法只有两种，即.综上共有种，故选B.
已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为 .
【答案】600
【详解】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有种不同的取法.
恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3, 1, 1或者2, 2, 1,
三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法有 种，
三种号码分别出现2，2，1 且6次时停止的取法有 种，
由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有种取法，
现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是 .（用数字作答）
【答案】180
【详解】6本书分给甲乙丙3人，每人至少1本.
则3人书籍本数分为1，1，4；1，2，3；2，2，2三大类情况.
第一类1，1，4情况：
若甲分1本，已分得书籍，则另两人一人1本，1人4本，共有种，
若甲分4本，即再取3本，则剩余2本书分给乙丙，一人一本，则共有种，
故第一类情况共有种；
第二类1，2，3情况：
若甲分1本，已分得书籍，另两人一人2本，1人3本，共有种，
若甲分2本，另两人一人1本，1人3本，共有种，
若甲分3本，另两人一人1本，1人2本，共有种，
故第二类情况共有种；
第三类2，2，2情况：
每人都两本，故甲再取1本，乙丙平均分剩下4本，则共有种；
所以不同的分发方式种数共.
故答案为：180.
10．如图，2根绳子上共挂有7只气球，绳子上的气球数依次为3，4.每枪恰打破一只气球，而且同一条绳上，只有打破下面的气球才能打上面的气球，将这些气球都打破的不同打法有 种（请用数字作答）.
【答案】35
【详解】将7只气球进行编号为1，2，3，4，5，6，7号，从中选3个球按下方气球号码小于上方气球号码挂在左边绳上有，
剩下的4个球根据下方气球号码小于上方气球号码挂在右边绳上有1 种挂法，由分步计数原理得，共有种方法．
因为一种挂法就是一种排列方法，也就是打破球的方法，所以将这些气球都打破的不同打法数为35种方法.
故答案为：35.
11．一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有 种.
【答案】11
【详解】（1）先贴如图这块瓷砖，
然后再贴剩下的部分，按如下分类：
5个： ，
3个，2个：，
1个，4个：，
（2）左侧两列如图贴砖，
然后贴剩下的部分：
3个：，
1个，2个：，
综上，一共有（种）.
故答案为：11.
12．如图，平行直线a，b上分别有4个和5个不同的点，
(1)任取这9个点中的两个连一条直线，则一共可以连多少条不同的直线？
(2)任取这9个点中的三个首尾相连，则一共可以组成多少个不同的三角形？
【答案】(1)22；(2)70
【详解】（1）当任取的两点同在直线或直线上时，共能确定2条不同直线，
当任取的两点，一点在直线上，一点在直线上时，共能确定不同直线条，
因此共能确定不同直线条.
（2）在直线上任取一点，在直线上任取两点，则能组成个不同的三角形，
在直线上任取两点，在直线上任取一点，则能组成个不同的三角形，
因此一共可以组成个不同的三角形.
如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是( )
A．420 B．210 C．70 D．35
【答案】A
【分析】将不同的染色方案分为：相同和不同两种情况，相加得到答案.
【详解】按照的顺序：
当相同时：染色方案为
当不同时：染色方案为
不同的染色方案为：种
故答案为A
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§ 排列组合
【题型一】 相邻问题
把相邻元素“捆绑”为一个大元素，同时将捆绑后的大元素内部进行全排列，然后再与其余元素全排列。
【例1】五名同学站成一排合影，若站在两端，和相邻，则不同的站队方式共有___________种.（用数字作答）
【答案】24
【详解】C，相邻，将排在一起并看成一个整体，有2种方法，站两端，有2种方法，与，进行3个元素的全排列，有种方法，故不同的站队方式共有种.
故答案为：24
【例2】甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
【答案】C
【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，有：种.
故选：C.
变式1已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩.现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（ ）
A．288 B．144 C．72 D．36
变式2 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．32种 D．40种
【题型二】 不相邻问题
（1）两元素不相邻，可以将其中一个元素最后单独插空；
【例3】为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲 乙 丙 丁 戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（ ）种．
A．40 B．24 C．20 D．12
【答案】B
【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，
则不同的排法共有种，
故选：．
变式3 6个人排成一行,其中甲、乙两人相邻，甲，丙两人不相邻的不同排法共有 种。
（2）多元素不相邻，先排其余元素，然后将不相邻元素插入到其余元素排列的空中。
【例4】在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．
【答案】36
【详解】如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，
两个2捆绑看作一个元素与7，1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素，
那么小明可以设置的不同密码共有．
故答案为：36.
【例5】在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为
A．30 B．36 C．60 D．72
【详解】记事件位男生连着出场，即将位男生捆绑，与其他位女生形成个元素，所以，事件的排法种数为，
记事件女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件的排法种数为，
事件女生甲排在第一位，且位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将位男生与其他个女生形成三个元素，所以，事件的排法种数为种，
因此，出场顺序的排法种数
种，故选C．
【例6】5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）．
【答案】86400
【详解】因为任意2个女孩中间至少站1个男孩，则有且仅有2个男孩站在一起，
先把5个女孩排成一个圈，这是个圆形排列，因此排法共有(种)，
把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组有种分法，
最后把5组男孩放入5个女孩构成圆排列的5个间隔中有种方法，而站在一起的两个男孩有顺序性，有2种站法，所以，由分步乘法计数原理得，不同的排法共有(种). 故答案为：86400
变式4 3名男同学、2名女同学排成一行，则至多2名男生相邻的情况为______．
变式5 三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有
A．72种 B．108种 C．36种 D．144种
两种条件交叉- - 减法计数
或
【例7】甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁不相邻，则不同的排列方式共有（ ）
A．40种 B．48种 C．12种 D．24种
【答案】B
【详解】记事件A：甲不站两端，事件B：丙和丁不相邻。
则事件A：，事件；故
故选：B
变式6 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
【题型三】分组问题（不同元素之间的分组问题，且注意分组的时候不需要考虑顺序排列）
（1）平均分组。个元素平均分成组，每组个元素，
第一步：分组：；第二步：如需对分的组分配任务，则：。
【例8】 为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法共有______种.
【答案】40
【详解】①选1名医生和3名护士的方法数为种；
②由第一步得到两组医护人员，将其安排到2所学校的方法数为种.
所以不同的分配方法共有种，故答案为：40
变式7 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 ( )
A. B. C. D.
（2）部分平均分组。第一步：对平均分组的元素进行分组，第二步：如需对分的组分配任务，再进行排列。
【例9】将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）
【答案】36
【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，
可先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有种方法，
则共有种分配方案.
故答案为：36
【例10】安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的情况有 种
【答案】36
【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；
当分为3,1,1人时，有种实习方案，
当分为2,2,1人时，有种实习方案，
即共有种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种，
变式8 甲 乙 丙三人报名参加英语 数学 物理 化学四科的学科竞赛,要求每科均有人参加且只能报一人,每人至少报一科，并且不能同时报名参加物理 化学两科,则不同的报名方法共有 种(用数字作答).
变式9 2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（ ）
A．36 B．81 C．120 D．180
（3）非平均分组。 按元素个数分组即可，非平均分组由于自身人数的不同，可以理解为本身已排序。
【例11】2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到、、三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（ ）
A．630种 B．600种 C．540种 D．480种
【答案】C
【详解】把6名工作人员分成1,1,4三组，再安排到三个村有：种；
把6名工作人员分成2,2,2三组，再安排到三个村有：种；
把6名工作人员分成1,2,3三组，再安排到三个村有：种；
所以共有90+90+360=540种，
故选：C.
变式10 为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【题型四】先选后排
【例12】现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为（ ）
A．84 B．108 C．132 D．144
【答案】B
【详解】当甲跑第1棒时，则有种选择方法；
当甲跑第4棒时，乙参加比赛则有种选择方法，乙不参加比赛则有种选择方法．
故合适的选择方法种数为种．
故选：B
变式10 现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100m接力赛，其中已确定甲跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2、3棒，丁不能跑第1棒，那么合适的选择方法种数为（ ）
A．56 B．60 C．84 D．120
【例13】甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是
【答案】216
【详解】①若三人站在一个台阶上，有种站法，②若三人站在两个台阶上，有种站法，
③若三人站在三个台阶上，有种站法，所以，一共有种站法
【例14】某医院分配3名医生和6名护士前往三个小区协助做核酸检测，要求每个小区1名医生和2名护士，（1）问共有多少种分配方案？
【答案】
（2）若其中刘医生和李护士是夫妻，安排去同一个小区，问共有多少种分配方案？
【答案】
（3）若其中刘医生和李护士是夫妻，安排去同一个小区，且王医生不能去小区A，问共有多少种分配方案？
【答案】
（4）若其中刘医生和李护士是夫妻，安排去同一个小区，且张医生和赵护士不能分在同一组，同时王医生不能去小区A，问共有多少种分配方案？
【答案】
变式12 某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数，要求写出计算过程.
【例15】（多选题）柜子里有4双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是（ ）
A．“取出的鞋不成双”的情况数为24
B．“取出的鞋都是左鞋”的情况数为6
C．“取出的鞋都是一只脚的”的情况数为12
D．“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的情况数为10
【答案】ABC
【详解】对于A，可以先取两双鞋再各分配一只即可得到“取出的鞋不成双”的可能情况数，
所以“取出的鞋不成双”的情况数为，故A正确；
对于B，从4只左鞋里面取两只即可得到“取出的鞋都是左鞋”的可能情况数，
所以“取出的鞋都是左鞋”的情况数等于，故B正确；
对于C，由B选项可知，“取出的鞋都是左鞋”的情况数6，同理“取出的鞋都是右鞋”的情况数6，
所以“取出的鞋都是一只脚的”的情况数等于，故C正确；
对于D，可以先取两双鞋，再分步取鞋使得它们一只是左脚的，一只是右脚的，满足题意的可能情况数，
所以“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的情况数为，故D错误. 故选：ABC.
变式13 双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出只，试求各有多少种情况出现如下结果：
(1)只鞋子没有成双的；
(2)只鞋子恰成两双；
只鞋中有只成双，另只不成双．
【题型五】 分类讨论思想（以元素如何选择位置为角度进行分类，以位置该谁站为角度进行分类）
【例16】A B C三人报名参加英语 数学 物理 化学四科的学科竞赛，要求每科均有人参加，每人参加两个兴趣小组且不能同时报名同一个学科，三人不能同时参加同一个兴趣小组，则不同的报名方法共有 种
【答案】90
一共6次报名机会，共4门学科，分组方法为2,2,1,1.
方法一（以位置该谁站为角度进行分类）：以单独“1”分组进行分类，①两个“1”是同一个人，②两个“1”是两个人；
①两个“1”是同一个人，例如：AB，AB，C，C，此时2个分组一模一样则为种。
②两个“1”是两个人，例如：AB，AC，B，C，此时4个分组都不一样，则为种。共90种。
方法二（以元素如何选择位置为角度进行分类）：以AB两个人报名的学科结果分类，①AB报名一致，在同一个分组，②AB报名不一样，不在同一个分组；
①AB报名的学科一致，例如：AB，AB，C，C，此时2个分组一模一样则为种。
②AB报名的学科不一样，例如：AB，AC，B，C，此时4个分组都不一样，则为种。共90种。
变式14 中秋节假期间，某医院要安排某科室的2名男职工和2名女职工进行3天值班（分白班和夜班，每班1名职工），其中女职工不值夜班，且每个人至少要值班一次，则不同的安排方法共有 种．
变式15 为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲 乙 丙 丁 戊共五名学生担任冰球 冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的情况有
【例17】 某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山 黄山 庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（ ）
A．564 B．484 C．386 D．640
【答案】A
【详解】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况.
第一种情况分成2人，2人，4人：女生去同一处景点，当成2人组时，
其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生不同组，有种方法；
当在4人组时，有种方法.
第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有种方法；
当在3人组时，有种方法.
故这8名同学游玩行程的方法数为.
故选：A.
【例18】一个综艺节目中，3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈，则参与者连续站在一起的人数不超过13人的方案是 .
【答案】
【详解】记3名主持人分别为甲、乙、丙，3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈，
将主持人甲作为参照物，只需考虑剩下的35人从甲开始顺时针排列的顺序，
则3名主持人与33位参与者随机站成一个圆圈有种站法，
参与者连续站在一起的人数不超过13人，
则主持人乙、丙将33位参与者分隔成3组，按照顺时针方向记为第一、二、三组，
由，
考虑的情况，第一、二、三组人数有、，三种分组方法，
考虑，第一、二、三组人数有种分组方法，
考虑，第一、二、三组人数有1种分组方法，
同理可知，共有种分组方法，
则参与者连续站在一起的人数不超过13人共有种站法，
故答案为
变式16 甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是 .（用数字作答）
变式17 已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（ ）
A．150 B．240 C．390 D．1440
【题型六】 隔板法（相同元素的分组问题）
个元素中有个空挡(不算头尾)，把个隔板分别放于这些空挡中。只能适用于相同元素之间的分组问题，不同于前面的分组（不相同的元素之间分组）。而且与插空法比较类似。
【例19】某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有个班，现将个参赛名额分配给这个班，每班至少个参赛名额，则不同的分配方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【详解】将个参赛名额分配给这个班，名额之间并无区别，将个参赛名额采用“隔板法”分成份即可，每份至少一个名额，共有种. 故选：B.
【例20】某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校高一年级共有个班，现将个参赛名额分配给这个班，则不同的分配方法共有 。
【答案】每个班先预先借一个名额，再还回去。此时共8+6=14名额，其中有13个空隙，选5个空隙放入板子，则为。
变式18 （1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法；
（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法；
（3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法；
（4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？
变式17 某校银杏大道上共有20盏路灯排成一列，为了节约用电，学校打算关掉3盏路灯，头尾两盏路灯不能关闭，关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，则不同的方案种数是（ ）
A．324 B．364 C．560 D．680
【题型七】 定序问题
作商处理：对于给定元素顺序确定，再插入其它元素进行排列：顺序确定的元素为个，新插入的元素为个，则排列数为:。
【例21】一张节目单上原有8个节目，现临时再插入A，B，C三个新节目，如果保持原来8个节目的相对顺序不变，节目B要排在另外两个新节目之间（也可以不相邻），则有__________种不同的插入方法．
【答案】330
【详解】法1：第一步，从11个位置中选3个位置，共有种方法；
第二步，三个位置中节目B位置确定，节目A，C的顺序为，
由分步计数原理可得共有种方法.
法2：先插入节目A，再插入节目B，最后插入节目C，共有：种，
其中节目B与两个新节目的位置关系有3种，由消序法可得总数为.
故答案为：330
【例22】已知现有“恭喜发财，四季平安”共8个灯笼，需要将这8个灯笼悬挂在门前，规定“恭喜发财”从上至下且挂门的左边，“四季平安”从上至下挂门的右边，挂灯笼的顺序不特定，一共有 种方法。
【答案】
变式20 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（ ）
A．20种 B．30种 C．50种 D．60种
变式21 某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有 种.
【例23】如图，已知图形ABCDEF，内部连有线段.（用数字作答）
(1)由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条？
(2)由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条？
(3)求出图中总计有多少个矩形？
【答案】(1)，(2)，(3)
【详解】（1）由题意点A沿着图中的线段到达点E的最近路线需要移动6次：向右移动3次，向上移动3次，故点A到达点E的最近路线的条数为；
（2）设点、、的位置如图所示：
则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况：
①沿着，共有条最近路线；
②沿着（不经过E），
共有条最近路线；
③沿着（不经过E、G），共有条最近路线；
④沿着（不经过E、G、H），共有条最近路线；
故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有条；
（3）由题意，要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条，可分为两种情况：
①矩形的边不在上，共有个矩形；
②矩形的一条边在上，共有个矩形；故图中共有个矩形.
变式22 如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，
距离最短的走法中，经过点的方法数为 .
距离最短的走法有
变式23 （多选题）商场某区域的行走路线图可以抽象为一个的正方体道路网（如图，图中线段均为可行走的通道），甲、乙两人分别从，两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，为止，下列说法正确的是（ ）
A．甲从必须经过到达的方法数共有9种
B．甲从到的方法数共有180种
C．甲、乙两人在处相遇的情况为种
D．甲、乙两人相遇的情况为种
【题型八】 正难则反问题
对于正面不好解决的排列、组合问题,考虑反面，一般在题目中有字眼“至多、至少”等体现。
【例24】如图，在的两边、上分别有5个点和6个点（都不同于点O），这连同点O在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？
【答案】
【详解】当取到点时，在、上各取一点（与点不同），有种；
当不取到点时，（1）是从上取两点（与点不同），在上取一个点（与点不同），有种；
（2）是从上取两点（与点不同），在上取一个点（与点不同），有种.
所以这连同点O在内的12个点可以确定的不同的三角形共有种.
【例25】在过长方体任意两个顶点的直线中任取两条，其中异面直线有（ ）对.
A．152 B．164 C．174 D．182
【答案】C
【详解】在同一个平面内的4个点共有12组（6组为对角面，6组为正方体的底面和侧面），
故不在同一个平面的4个点有组，
每一组不共面的4个点形成3对异面直线，故共有条异面直线. 故选：C.
【例26】将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有 ．
【答案】3648
【详解】7个人从左到右排成一排，共有种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有种不同的站法，
甲站在最右端有种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有种不同的站法，
故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有种不同的站法.
变式24 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面点，不同取法有 种。
变式25 某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（ ）种
A．9 B．36 C．54 D．108
【题型九】涂色问题---分组涂色
按照相邻或不相邻的原则，把所有区域分成两部分；
进行分类(1)不相邻区域用1种颜色；(2)不相邻区域用2种颜色；(3)不相邻区域用3种颜色 ... ...
【例27】如图，一花坛分成1，2，3，4，5五个区域，现有4种不同的花供选种，要求在每个1区域里面种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为 ．
【答案】
【详解】①若只有2，4区域种的花相同，则有种种法；②若只有3，5区域种的花相同，则有种种法；③若2、4区域种的花相同，3，5种的花也相同，则有种种法，
由分类加法计数原理知共有种不同的种法.故答案为：
变式26 如图，一扇形花坛分成，，，，，六块，现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为 .
【例28】用四种不同的颜色为正六边形（如图）中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有 种不同的涂色方法．
【答案】
【详解】记六个区域的涂色数为，若涂色相同，则相当于5个区域涂色，记5个区域涂色数为，
同理只有4个区域时涂色数记为，易知
．
变式27 如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G，H八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有 种.
【例29】如图，给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有______种.
【答案】264
【详解】计算不同涂色方法数有两类办法：
当涂四色时，先涂A，E，D，有种涂法，再从B，F，C中选一点涂第四种颜色，如B，再涂F，
若F与D同色，则C有2种涂法，若F与D异色，则C有1种涂法，于是得有种涂法，
当涂三色时，先涂A，E，D，有种涂法，再涂B，有2种涂法，则F，C各有1种涂法，有种涂法，
利用分类加法计数原理得不同涂色方法数为：(种)，
所以不同的涂色方法共有264种.
变式28 用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有
A．24种 B．48种 C．64种 D．72种
课后测
名同学，其中名男同学，名女同学：
站成一排，共有多少种不同的排法？
站成两排，前排名同学，后排名同学，共有多少种不同的排法？
站成两排，前排名女同学，后排名男同学，共有多少种不同的排法？
站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
站成三排，前排名同学，中间排名同学，后排名同学，其中甲站在中间排的中间位置，有几种？
站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？
站成一排，名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起.
站成一排，甲、乙两名同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
站成一排，甲、乙两名同学不能相邻的排法共有多少种？
站成一排，甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？
站成一排，名男同学都不能相邻，名女同学也不能相邻的排法共有多少种？
站成一排，甲必要站在乙的前面(可以相邻也可以不相邻)的排法共有多少种？
（15）名同学座圆桌吃饭，只考虑谁挨着谁的排法共有多少种？
课后作业
1．某班级星期一上午要排5节课，语文、数学、英语、音乐、体育各1节，考虑到学生学习的效果，第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有
A．14种 B．16种 C．20种 D．30种
已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的情况有 种
中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．408种 B．240种 C．1092种. D．120种
某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安排在周六、周日完成，要求每天至少完成两科，且数学，物理作业不在同一天完成，则完成作业的不同顺序种数为
A．600 B．812 C．1200 D．1632
某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ．
《周礼 夏官 马质》中记载“马量三物：一日戎马，二日田马，三日驽马”，其意思为马按照品种可以分为三个等级，一等马为戎马，二等马为田马，三等马为驽马．假设在唐朝的某个王爷要将7匹马（戎马3匹，田马、驽马各2匹）赏赐给甲、乙、丙3人，每人至少2匹，则甲和乙都得到一等马的分法总数为 ．
身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲、丁不相邻的不同的排法种数为
A．12 B．14 C．16 D．18
已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的情况数为 .
现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是 .（用数字作答）
10．如图，2根绳子上共挂有7只气球，绳子上的气球数依次为3，4.每枪恰打破一只气球，而且同一条绳上，只有打破下面的气球才能打上面的气球，将这些气球都打破的不同打法有 种（请用数字作答）.
11．一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有 种.
12．如图，平行直线a，b上分别有4个和5个不同的点，
(1)任取这9个点中的两个连一条直线，则一共可以连多少条不同的直线？
(2)任取这9个点中的三个首尾相连，则一共可以组成多少个不同的三角形？
13.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是( )
A．420 B．210 C．70 D．35
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