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§3 二项分布与超几何分布
知识点一 次独立重复试验
定义
一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．
注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
2．特点
（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；
（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
知识点二 二项分布
1.定义
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
… …
… …
由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．
注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．
2.二项分布的适用条件及实质
(1)适用条件：
①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数．
(2)实质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
3.二项分布的期望、方差
若，则，．
知识点三 超几何分布
1.定义
在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列.如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布，记作.
0 1 …
…
2.超几何分布的适用条件及实质
（1）适用条件：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布．
（2）实质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
3.超几何分布的期望
若，则．
【例1】袋中有个白球、个黑球，从中随机地连续抽取次，每次取个球．求：
（1）有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列；
（2）不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列．
【解析】（1）有放回抽样时，取到的黑球数可能的取值为，，，．又由于每次取到黑球的概率均为，次取球可以看成次独立重复试验，则．故；
；
；
．
因此，的分布列为
（2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：；；．
因此，的分布列为
知识点四 二项分布与超几何分布的区别与联系
区别：
特征 是否放回 实验概率不变
超几何分布 不放回 一次性完成实验
二项分布 有放回 重复实验多次，并且每次实验的概率不变
联系：两者之间的关系：样本个数越大，超几何分布和二项分布对应的概率值差别就越小，当样本个数为时，超几何分布和二项分布对应的概率就相等，换言之，超几何分布的极限就是二项分布.
场景一：100件商品，98件好的，2件次品，从中挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？
场景二：一堆商品，其中好的有，次品10%，从中挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？
场景三：1000件商品，其中好的有，次品10%，随机选取10件商品，并从中依次挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？
场景四：1000件商品，其中好的有，次品10%，按分层抽样的方式选取10件商品，并从中依次挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？
场景五：1000件商品，其中好的有，次品10%，按分层抽样的方式选取10件商品，并从中有放回的依次挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？
知识点五 有限制的二项分布与超几何分布
若第n次（最后一次）结果是确定的，那么除去最后一次，前n-1次满足二项分布或超几何分布
【例2】 一次核酸检测中，每个人阳性的概率为0.2，现有5份样本需要检测。求恰好第4次检测出2份阳性样本的概率。
【详解】
【例3】一次核酸检测中，每个人阳性的概率为0.2，现有5份样本需要检测。已知5份样本中，有2份阳性。
求恰好第4次检测出全部两份阳性样本的概率。
【详解】
【例4】已知每个人阳性的概率为0.2，现有5份样本需要检测，其中2份阳性样本。恰好第X次检测出2份阳性样本，求X的分布列。
【详解】
X 2 3 4 5
【题型一】二项分布
【例5】根据已知的调查可知，大学生创业成功与失败的概率分别为a，b，且，则某高校四名大学生毕业后自主创业，其中至少有两名大学生创业成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，解得，则四名大学生至少有两名创业成功的概率，故选：B．
变式5体育课上进行投篮测试，每人投篮3次，至少投中1次则通过测试．某同学每次投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.064 B．0.600 C．0.784 D．0.936
【答案】D
【解析】该同学通过测试的概率为，
故选：D
【例6】高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块（如图所示），并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】小球落到第⑤个格子的概率是.
故选：A
【例7】如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为．
(1)当时，求后质点移动到点0的位置的概率；
(2)记后质点的位置对应的数为，若随机变量的期望，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次，
所求概率为：．
（2）所有可能的取值为，且
，，
，，
由，解得，
又因为，故的取值范围为．
【例8】为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次篮，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分.设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响.
（1）经过1轮投篮，记甲的得分为，求的分布列及期望；
（2）用表示经过第轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，求.
（1）分布列见解析，；（2），，
【解析】（Ⅰ）解：（1）的可能取值为，0，1.由题意知，，，.∴的分布列为
0 1
则.
（Ⅱ）由（1）知，，经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：
一是两轮甲各得1分，二是两轮有一轮甲得0分，有一轮得1分，
∴，
经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得1分；二是三轮有两轮各得1分，一轮得0分；三是1轮得1分，两轮各得0分；四是两轮各得1分，1轮得-1分，
∴.
变式6 为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得该产品能销售的概率为，
易知X的所有可能取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，
设表示一箱产品中可以销售的件数，则，
所以，
所以，，
，
故，
故选：B．
变式7（多选题）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．移动次后质点位于原点的概率最大
【答案】ABD
【详解】设随机变量表示“移动次后质点向右移动的次数”，则，
由题意知，即.
对于A：，A正确；
对于B：，B正确；
对于C：，C错误；
对于D：的所有可能取值有，，，
当时，最大，最大，D正确.
故选：ABD.
变式8 高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.
（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？
（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望.
【解析】（Ⅰ）记“小球落入4号容器”为事件，
若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左，
∴理论上，小球落入4号容器的概率.
（Ⅱ）落入4号容器的小球个数的可能取值为0，1，2，3，
∴，，
，，
∴的分布列为：
0 1 2 3
∴.
【题型二】有限制的二项分布
【例9】某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲 乙两人比赛，甲每局获胜的概率为.
(1)在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列；
(2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.
【解析】（1）由题意可知，可能取值为，，， ，
当时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，
则，
当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，
则；
当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，
则，
当时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，
则，
故的概率分布列如下：
0 1 2 3
（2）设甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为事件，
则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，
故，
故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为.
变式9“民族要复兴，乡村必振兴”，为了加强乡村振兴宣传工作，让更多的人关注乡村发展，某校举办了有关城乡融合发展、人与自然和谐共生的知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响.
(1)求选手甲被淘汰的概率；
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望.
【解析】（1）设“选手甲被淘汰”为事件A，
因为甲答对每个题的概率均为，所以甲答错每个题的概率均为.
则甲答了3题都错，被淘汰的概率为；
甲答了4个题，前3个1对2错，被淘汰的概率为；
甲答了5个题，前4个2对2错，被淘汰的概率为.
所以选手甲被海的概率.
（2）易知X的可能取值为3，4，5，对应甲被淘汰或进入复赛的答题个数，
则，
，
.
X的分布列为
X 3 4 5
P(X)
则.
【例10】杭州亚运会正在进行，乒乓球被称为中国的“国球”，赛事备受关注.乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成10∶10平后，发球权的次序仍然不变，但实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，已知某局比赛甲先发球.
(1)求该局比赛中，打完前4个球时甲得3分的概率；
(2)若在该局双方比分打成10∶10平后，两人又打了X个球该局比赛结束，求事件“”的概率.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由题意，甲发球时甲失分的概率为，乙发球时甲失分的概率为，
若打完前4个球时甲得3分，则甲失一球，这个球可能是甲发也可能是乙发，
所以打完前4个球时甲得3分的概率为；
（2）若在该局双方比分打成10∶10平后，则接下来是甲发球，
若，则或，
，
，
所以.
变式10第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．
(1)已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；
(2)已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）设“甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”为事件，
若两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，所以；
（2）设“该局比赛甲得11分获胜”为事件，
甲得11分获胜有两类情况：甲连得3分，则甲获胜；
甲得3分，乙得1分，则甲获胜，此时有三种情况，每球得分方分别为乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，
所以.
【题型三】超几何分布
【例10】从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )
A．2 B．1 C．3 D．4
【答案】C
【解析】的可能取值为.
，，.
∴的分布列为：
ξ 0 1 2
P
于是，
故.
故选：C.
【例12】为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.
(1)求n的值；
(2)若一次抽取4个城市，
①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率；
②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.
【详解】（1）从个城市中一次抽取2个城市，有种情况，
其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为，
解得（负值舍去）.
（2）①由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，
相应的概率分别记为，
，，
，，
.
②若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况；
若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况，
所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为.
变式11 某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.
【解析】（1）乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则.
（2）由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3，
，，，，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以.
所以甲闯关成功的概率为，因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大.
变式12某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为.
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.
【解析】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有，故全是小集团的概率是，
整理得到即，解得．
若2个全是大集团，共有种情况；
若2个全是小集团，共有种情况；
故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为大集团的概率为．
（2）由题意知，随机变量的可能取值为，
计算，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
数学期望为．
课后练习
1．某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率 0.5 0.3 0.2
球队胜率 0.6 0.8 0.7
(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
(3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由．
【答案】(1)0.32；(2)；(3)边锋，理由见解析.
【详解】（1）设表示“甲球员担当边锋”； 表示“甲球员担当前卫”； 表示“甲球员担当中场”； 表示“球队赢了某场比赛”，
则
，
该球队某场比赛输球的概率为，
（2）由（1）知： ,
所以 ，
所以球员甲担当前卫的概率为
（3）同（2）
由于，所以应多安排甲球员担任边锋，来增大赢球的几率.
2．某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个.已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜.
（1）求甲、乙两人共答对个问题的概率；
（2）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由；
（3）求乙答对题目数的分布列和期望.
【答案】（1）（2）乙胜出的可能性更大，详见解析（3）分布列见解析；期望为
【详解】（1）甲、乙共答对个问题分别为：两人共答题，甲答对个，乙答对个；两人共答题，甲答对个，乙答对个.
所以甲、乙两保学生共答对个问题的概率：
.
（2）设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答题甲获胜”和“两人共答题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为，，，，，六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为，，三种情况，所以甲获胜的概率
，
设乙获胜为事件，则为对立事件，
所以，
所以乙胜出的可能性更大.
（3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为，
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
所以期望.
3．甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．
(1)求第三局结束时乙获胜的概率；
(2)求甲获胜的概率．
【答案】(1)；(2)
【详解】(1)设事件A为“第三局结束乙获胜”
由题意知，乙每局获胜的概率为，不获胜的概率为．
若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．
故
(2)设事件B为“甲获胜”．
若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率．
若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．
此时的概率．
若第四局结束甲以积分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情
况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．
此时的概率
若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．
此时的概率
故
4．足球比赛全场比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时成绩持平，且该场比赛需要决出胜负，则需进行30分钟的加时赛：若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球（每两人为一轮，当轮开始后两队均需踢完），累计进球个数多者胜；②若在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如第4轮结束时，双方进球数比为2：0．则不需再踢第5轮了，③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方获胜．
(1)已知小明在点球训练中踢进点球的概率是．在一次赛前训练中，小明踢了3次点球，且每次踢点球互不影响，记X为踢进点球的次数，求X的分布列与期望；
(2)现有甲，乙两支球队在冠军赛中相遇，比赛120分钟后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负．设甲队每名球员踢进点球的概率为，乙队每名球员踢进点球的概率为．每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．求甲队在点球大战中比赛4轮并以3∶1获得冠军的概率．
【答案】(1)分布列见解析，；(2)
【详解】（1）由题意可知小明踢进点球的次数，所以X的取值可能是0，1，2，3．
因为； ；
；．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以．
（2）设“甲队在点球大战中比赛4轮并以3:1获得冠军”为事件A．
当甲队前三个点球都进时，乙队前三个点球必进一个球，
﹔
当甲队前三个点球有一个没进时，.
所以.
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二项分布与超几何分布
知识点一 次独立重复试验
定义
一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．
注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
2．特点
（1）每次试验中，事件发生的概率是相同的；
（2）每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例．
知识点二 二项分布
1.定义
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
… …
… …
由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．
注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．
2.二项分布的适用条件及实质
(1)适用条件：
①各次试验中的事件是相互独立的；②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；
③随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数．
(2)实质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的．
3.二项分布的期望、方差
若，则，．
知识点三 超几何分布
1.定义
在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列.如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布，记作.
0 1 …
…
2.超几何分布的适用条件及实质
（1）适用条件：
①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布．
（2）实质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的．
3.超几何分布的期望
若，则．
【例1】袋中有个白球、个黑球，从中随机地连续抽取次，每次取个球．求：
（1）有放回抽样时，取到黑球的个数的分布列；
（2）不放回抽样时，取到黑球的个数的分布列．
【解析】（1）有放回抽样时，取到的黑球数可能的取值为，，，．又由于每次取到黑球的概率均为，次取球可以看成次独立重复试验，则．故；
；
；
．
因此，的分布列为
（2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0，1，2，且有：；；．
因此，的分布列为
知识点四 二项分布与超几何分布的区别与联系
区别：
特征 是否放回 实验概率不变
超几何分布 不放回 一次性完成实验
二项分布 有放回 重复实验多次，并且每次实验的概率不变
联系：两者之间的关系：样本个数越大，超几何分布和二项分布对应的概率值差别就越小，当样本个数为时，超几何分布和二项分布对应的概率就相等，换言之，超几何分布的极限就是二项分布.
场景一：100件商品，98件好的，2件次品，从中挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？
场景二：一堆商品，其中好的有，次品10%，从中挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？
场景三：1000件商品，其中好的有，次品10%，随机选取10件商品，并从中依次挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？
场景四：1000件商品，其中好的有，次品10%，按分层抽样的方式选取10件商品，并从中依次挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？
场景五：1000件商品，其中好的有，次品10%，按分层抽样的方式选取10件商品，并从中有放回的依次挑3件商品送检，X为次品数目，X满足什么分布？为什么？
知识点五 有限制的二项分布与超几何分布
若第n次（最后一次）结果是确定的，那么除去最后一次，前n-1次满足二项分布或超几何分布
【例2】 一次核酸检测中，每个人阳性的概率为0.2，现有5份样本需要检测。求恰好第4次检测出2份阳性样本的概率。
【详解】
【例3】一次核酸检测中，每个人阳性的概率为0.2，现有5份样本需要检测。已知5份样本中，有2份阳性。求恰好第4次检测出全部两份阳性样本的概率。
【详解】
【例4】已知每个人阳性的概率为0.2，现有5份样本需要检测，其中2份阳性样本。恰好第X次检测出2份阳性样本，求X的分布列。
【详解】
X 2 3 4 5
【题型一】二项分布
【例5】根据已知的调查可知，大学生创业成功与失败的概率分别为a，b，且，则某高校四名大学生毕业后自主创业，其中至少有两名大学生创业成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，解得，则四名大学生至少有两名创业成功的概率，故选：B．
变式5体育课上进行投篮测试，每人投篮3次，至少投中1次则通过测试．某同学每次投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.064 B．0.600 C．0.784 D．0.936
【例6】高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块（如图所示），并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，于是碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块.如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解析】小球落到第⑤个格子的概率是. 故选：A
【例7】如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为．
(1)当时，求后质点移动到点0的位置的概率；
(2)记后质点的位置对应的数为，若随机变量的期望，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次，
所求概率为：．
（2）所有可能的取值为，且
，，
，，
由，解得，又因为，故的取值范围为．
【例8】为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次篮，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分.设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响.
（1）经过1轮投篮，记甲的得分为，求的分布列及期望；
（2）用表示经过第轮投篮后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率，求.
（1）分布列见解析，；（2），，
【解析】（Ⅰ）解：（1）的可能取值为，0，1.由题意知，，，.∴的分布列为
0 1
则.
（Ⅱ）由（1）知，，经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：
一是两轮甲各得1分，二是两轮有一轮甲得0分，有一轮得1分，
∴，
经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得1分；二是三轮有两轮各得1分，一轮得0分；三是1轮得1分，两轮各得0分；四是两轮各得1分，1轮得-1分，
∴.
变式6 有关部门要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则（ ）
A． B． C． D．
变式7（多选题）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．移动次后质点位于原点的概率最大
变式8 从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.
（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？
（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望.
【题型二】有限制的二项分布
【例9】某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分.已知甲 乙两人比赛，甲每局获胜的概率为.
(1)在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列；
(2)求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率.
【解析】（1）由题意可知，可能取值为，，， ，
当时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，
则，
当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，
则；
当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，
则，
当时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，
则，
故的概率分布列如下：
0 1 2 3
（2）设甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为事件，
则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，
故，
故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为.
变式9 某校举办了知识竞赛.比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响.
(1)求选手甲被淘汰的概率；
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望.
【例10】杭州亚运会正在进行，乒乓球被称为中国的“国球”，赛事备受关注.乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成10∶10平后，发球权的次序仍然不变，但实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，已知某局比赛甲先发球.
(1)求该局比赛中，打完前4个球时甲得3分的概率；
(2)若在该局双方比分打成10∶10平后，两人又打了X个球该局比赛结束，求事件“”的概率.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由题意，甲发球时甲失分的概率为，乙发球时甲失分的概率为，
若打完前4个球时甲得3分，则甲失一球，这个球可能是甲发也可能是乙发，
所以打完前4个球时甲得3分的概率为；
（2）若在该局双方比分打成10∶10平后，则接下来是甲发球，
若，则或，
，
，
所以.
变式10第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．
(1)已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；
(2)已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．
【题型三】超几何分布
【例11】从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )
A．2 B．1 C．3 D．4
【解析】的可能取值为.
，，.
∴的分布列为：
ξ 0 1 2
P
于是，故.故选：C.
【例12】 为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.
(1)求n的值；(2)若一次抽取4个城市，
①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率；
②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.
【详解】（1）从个城市中一次抽取2个城市，有种情况，
其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为，解得（负值舍去）.
（2）①由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，
相应的概率分别记为，，，
，，.
②若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况；
若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况，
所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为.
变式11 某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.
变式12 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为.
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.
课后练习
1．某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示．
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率 0.5 0.3 0.2
球队胜率 0.6 0.8 0.7
(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
(3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由．
2．某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个.已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜.
（1）求甲、乙两人共答对个问题的概率；
（2）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由；
（3）求乙答对题目数的分布列和期望.
3．甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．
(1)求第三局结束时乙获胜的概率；
(2)求甲获胜的概率．
4．足球比赛全场比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时成绩持平，且该场比赛需要决出胜负，则需进行30分钟的加时赛：若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球（每两人为一轮，当轮开始后两队均需踢完），累计进球个数多者胜；②若在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如第4轮结束时，双方进球数比为2：0．则不需再踢第5轮了，③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方获胜．
(1)已知小明在点球训练中踢进点球的概率是．在一次赛前训练中，小明踢了3次点球，且每次踢点球互不影响，记X为踢进点球的次数，求X的分布列与期望；
(2)现有甲，乙两支球队在冠军赛中相遇，比赛120分钟后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负．设甲队每名球员踢进点球的概率为，乙队每名球员踢进点球的概率为．每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．求甲队在点球大战中比赛4轮并以3∶1获得冠军的概率．
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