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第 2节 离散型随机变量的分布列与数字特征
知识点一 离散型随机变量的分布列
（一）随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．
（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上．
（3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量．
（二）离散型随机变量
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．
注意：
（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．
（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
【题型一】 离散型随机变量的概念
【例1】下面是离散型随机变量的是（ ）
A．电灯炮的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值
D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
【解析】对于A，电灯炮的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；
对于B，小明射击1次，击中目标的环数是变量，且其取值为，故X为离散型随机变量，故B符合题意；
对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意；
对于D，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意. 故选：B.
【例2】 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选：D．
变式1 （多选题）下列随机变量是离散型随机变量的是（ ）
A．某景点一天的游客数X
B．某寻呼台一天内收到寻呼次数X
C．水文站观测到江水的水位数X
D．某收费站一天内通过的汽车车辆数X
【解析】对四个选项，游客数、寻呼次数、汽车车辆数的取值都是随机的整数，满足题意；
但水位数是实数，不是离散型随机变量，不满足题意. 故选：ABD.
变式2 对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( )
A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
【解析】由题意表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为，因此前次检测到的都是正品，第次检测的是一件次品.故选D.
知识点二 离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
（一）离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；（2）．
（二）两点分布
若随机变量服从两点分布，即其分布列为
0 1
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
注意：
1.两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为；
2.两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛．
【题型二】 分布列的性质及其求法
【例3】设随机变量的概率分布列如下表：
1 2 3 4
则（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据随机变量分布列的概率分布列知，，解得．又，∴或，则．故选:C．
变式3 已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得：．故选:A
【例4】甲 乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，计分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.求：
(1)在一轮比赛中，甲的得分的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分的分布列及期望.
【解析】（1）依题意可得的可能取值为，，，
所以，
，
，
所以的分布列为
0 1
（2）依题意可得的可能取值为，，，，，
所以，，，
，
，
所以的分布列为
0 1 2
0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
所以．
【例5】一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，求随机变量ξ的分布列为
【解析】随机变量ξ的可能取值为1，2，3
故为：
1 2 3
变式4 已知袋内有5个白球和6个红球，从中摸出2个球，记，求X的分布列.
【解析】由题意得，X的可能取值为0，1，
，
.
可得X的分布列如表所示：
X 0 1
P
知识点三 离散型随机变量的均值与方差
（一）均值
若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
说明：（1）均值刻画的是取值的“中心位置”，这是随机变量的一个重要特征；
（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．
（二）均值的性质
（1）(为常数).
（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且.
（3）.
（4）如果相互独立，则.
（三）常用分布的均值
（1）两点分布：若随机变量服从参数为的两点分布，则．
（2）二项分布：若离散型随机变量，则．
说明：二项分布均值公式的直观解释：在一次试验中，试验成功的概率是，则在次独立重复试验中，试验成功的平均次数为．
（3）超几何分布：若服从参数，，的超几何分布，则.
（四）方差
若离散型随机变量的分布列为
则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
说明：（1）描述了相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；
（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．
（五）方差的性质
（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（2）方差公式的变形：．
（六）常用分布的方差
（1）两点分布：若随机变量服从参数为的两点分布，则．
（2）二项分布：若离散型随机变量，则．
【题型三】 离散型随机变量的均值与方差
【例6】已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P m
若，则___________.
【答案】
【解析】由随机变量分布列的性质，得，解得，
∴.
由，得，即.
故答案为： .
变式5 已知随机变量X的分布列是：
若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得，解得，因此，.
故选：C.
变式6 已知随机变量X的分布列如表所示，且．
X 0 1 x
P p
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【解析】（1）由题意可知，解得，
又∵，解得．∴．
（2）∵，∴．
（3）∵，∴．
【例7】 某精密仪器生产厂准备购买，，三种型号数控车床各一台，已知这三台车床均使用同一种易损件.在购进机器时，可以额外购买这种易损件作为备件，每个0.1万元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个0.2万元.现需要决策在购买机器时应同时购买几个易损件，为此搜集并整理了三种型号各120台车床在一年使用期内更换的易损零件数，得到如下统计表：
每台车床在一年中更换易损件的件数 5 6 7
频数 型号 60 60 0
型号 30 60 30
型号 0 80 40
将调查的每种型号车床在一年中更换的易损件的频率视为概率，每台车床在易损件的更换上相互独立.
（1）求一年中，，三种型号车床更换易损件的总数超过18件的概率；
（2）以一年购买易损件所需总费用的数学期望为决策依据，问精密仪器生产厂在购买车床的同时应购买18件还是19件易损件？
【答案】（1）；（2）时应当购买18件易损件.
【详解】（1）由表中数据可得三种型号更换的易损件的概率（频率）分布表为：
每台车床在一年中更换易损件的件数 5 6 7
概率（频率） 型号 0
型号
型号 0
设一年中，，三种型号车床更换易损件分别为，，，三种型号车床更换易损件的总数为，
，
，
所以，
所以一年中，，三种型号车床更换易损件的总数超过18件的概率为.
（2）由题意，所有可能取值为16，17，18，19，20，
由（1）可知，
故的概率分布列为：
19 20
设购买18件的总费用为，则的可能取值为1.8，2，2.2，
则万元，
设购买19件的总费用为，则的可能取值为1.9，2.1，
则万元，，所以在购买车床的同时应当购买18件易损件.
【例8】甲 乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，投进次数多者为胜，结束比赛，若甲 乙投进的次数相同，则甲 乙需要再各投1次（称为第3次投篮），结束比赛，规定3次投篮投进次数多者为胜，若3次投篮甲 乙投进的次数相同，则判定甲 乙平局.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，各次投进与否相互独立.
（1）求甲 乙需要进行第3次投篮的概率；
（2）若每次投篮投进得1分，否则得0分，求甲得分的分布列与数学期望.
【答案】(1)；(2)分布列答案见解析，数学期望：
【详解】（1）设甲第次投进为事件，乙第次投进为事件，
则，．
设甲、乙需要进行第3次投篮为事件，则事件包括以下两两互斥的三个事件：
① “甲、乙前2次都投进2次”，其概率为，
②“甲、乙前2次都投进1次”，其概率为，
③“甲、乙前2次都投进0次”，其概率为．
则由互斥事件的概率加法公式，可得．
（2）由题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
（提示：此时有三种情况，①甲前2次投进1次，乙前2次投进0次或2次；
②甲、乙前2次均投进1次，第3次甲未投进；③甲、乙前2次均未投进，第3次甲投进）
，
．
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以．
变式7 某公司在内部员工团建时，设置了一个抽奖环节，已知奖券藏在如图所示的袋子里面，标号为①②③④⑤的袋子中分别装有价值为（单位：元）的奖券．抽奖规则：每个人只能从其中一串的最下端取一个袋子，得到其中的奖券，若两串都有礼物袋，则每个人等可能选择一串抽取，直到礼物袋取完为止．现甲、乙、丙、丁、戊五人获得抽奖资格，并依次抽奖．
(1)求丙取得的奖券为50元的概率；
(2)在甲获得的奖券为50元的前提下，求丁获得的奖券为100元的概率；
(3)试预测乙、丙两人谁获得的奖券金额更大些，并说明理由.
【答案】(1)；(2)；(3)预测丙获得的奖券金额可能更大些，理由见解析
【详解】（1）由题意知，丙要取得50元的奖券，甲，乙，丙抽取的奖券袋子依次只能为①②③，
∴丙取得的奖券为50元的概率为.
（2）丁要想获得100元奖券，则乙，丙只能取①号或④号奖券，
∴丁取得的奖券为100元的概率为.
（3）甲，乙，丙三人的摸奖情况如图所示，
∴乙获得的奖券值可能为，
且，
元.
丙获得的奖券值可能为，其中
，，
，，，
元.
，∴预测丙获得的奖券金额可能更大些.
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第 2节 离散型随机变量的分布列与数字特征
知识点一 离散型随机变量的分布列
（一）随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．
（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上．
（3）随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量．
（二）离散型随机变量
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．
注意：
（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．
（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
【题型一】 离散型随机变量的概念
【例1】下面是离散型随机变量的是（ ）
A．电灯炮的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值
D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
【解析】对于A，电灯炮的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；
对于B，小明射击1次，击中目标的环数是变量，且其取值为，故X为离散型随机变量，故B符合题意；
对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意；
对于D，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意. 故选：B.
【例2】 甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选：D．
变式1 （多选题）下列随机变量是离散型随机变量的是（ ）
A．某景点一天的游客数X
B．某寻呼台一天内收到寻呼次数X
C．水文站观测到江水的水位数X
D．某收费站一天内通过的汽车车辆数X
变式2 对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( )
A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
知识点二 离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
（一）离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；（2）．
（二）两点分布
若随机变量服从两点分布，即其分布列为
0 1
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
注意：
1.两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为；
2.两点分布又称分布、伯努利分布，其应用十分广泛．
【题型二】 分布列的性质及其求法
【例3】设随机变量的概率分布列如下表：
1 2 3 4
则（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据随机变量分布列的概率分布列知，，解得．又，∴或，则．故选:C．
变式3 已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例4】抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别为a，b，记的取值为随机变量X，其中表示不超过的最大整数.
（1）求在的条件下，的概率；
（2）求X的分布列及其数学期望.
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【详解】（1）记抛掷骰子的样本点为，则样本空间为，则，
记事件“”，记事件“”，则，且，
又
，则，所以，
即在的条件下，的概率为；
（2）所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.
，，，
，，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3 4 5 6
所以.
【例5】一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，求随机变量ξ的分布列为
【解析】随机变量ξ的可能取值为1，2，3
，故为：
1 2 3
变式4 已知袋内有5个白球和6个红球，从中摸出2个球，记，求X的分布列.
知识点三 离散型随机变量的均值与方差
（一）均值
若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
（二）均值的性质
（1）(为常数).
（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且.
（3）.
（4）如果相互独立，则.
（三）常用分布的均值
（1）两点分布：若随机变量服从参数为的两点分布，则．
（2）二项分布：若离散型随机变量，则．
说明：二项分布均值公式的直观解释：在一次试验中，试验成功的概率是，则在次独立重复试验中，试验成功的平均次数为．
（3）超几何分布：若服从参数，，的超几何分布，则.
（四）方差
若离散型随机变量的分布列为
则称，即为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
（五）方差的性质
（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（2）方差公式的变形：．
（六）常用分布的方差
（1）两点分布：若随机变量服从参数为的两点分布，则．
（2）二项分布：若离散型随机变量，则．
【题型三】 离散型随机变量的均值与方差
【例6】已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P m
若，则___________.
【答案】
【解析】由随机变量分布列的性质，得，解得，
∴.
由，得，即.故答案为： .
变式5 已知随机变量X的分布列是：
若，则（ ）
A． B． C． D．
变式6 已知随机变量X的分布列如表所示，且．
X 0 1 x
P p
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
【例7】 某精密仪器生产厂准备购买，，三种型号数控车床各一台，已知这三台车床均使用同一种易损件.在购进机器时，可以额外购买这种易损件作为备件，每个0.1万元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个0.2万元.现需要决策在购买机器时应同时购买几个易损件，为此搜集并整理了三种型号各120台车床在一年使用期内更换的易损零件数，得到如下统计表：
每台车床在一年中更换易损件的件数 5 6 7
频数 型号 60 60 0
型号 30 60 30
型号 0 80 40
将调查的每种型号车床在一年中更换的易损件的频率视为概率，每台车床在易损件的更换上相互独立.
（1）求一年中，，三种型号车床更换易损件的总数超过18件的概率；
（2）以一年购买易损件所需总费用的数学期望为决策依据，问精密仪器生产厂在购买车床的同时应购买18件还是19件易损件？
【详解】解：（Ⅰ）由表中数据可得三种型号更换的易损件的概率（频率）分布表为：
每台车床在一年中更换易损件的件数 5 6 7
概率（频率） 型号 0
型号
型号 0
设一年中，，三种型号车床更换易损件分别为，，，三种型号车床更换易损件的总数为，
，
，
所以，
所以一年中，，三种型号车床更换易损件的总数超过18件的概率为.
（Ⅱ）由题意，所有可能取值为16，17，18，19，20，
由（Ⅰ）可知，
故的概率分布列为：
19 20
设购买18件的总费用为，则的可能取值为1.8，2，2.2，则万元，
设购买19件的总费用为，则的可能取值为1.9，2.1，则万元，
，所以在购买车床的同时应当购买18件易损件.
【例8】甲 乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，投进次数多者为胜，结束比赛，若甲 乙投进的次数相同，则甲 乙需要再各投1次（称为第3次投篮），结束比赛，规定3次投篮投进次数多者为胜，若3次投篮甲 乙投进的次数相同，则判定甲 乙平局.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，各次投进与否相互独立.
（1）求甲 乙需要进行第3次投篮的概率；
（2）若每次投篮投进得1分，否则得0分，求甲得分的分布列与数学期望.
【答案】(1)；(2)分布列答案见解析，数学期望：
【详解】（1）设甲第次投进为事件，乙第次投进为事件，
则，．
设甲、乙需要进行第3次投篮为事件，则事件包括以下两两互斥的三个事件：
① “甲、乙前2次都投进2次”，其概率为，
②“甲、乙前2次都投进1次”，其概率为，
③“甲、乙前2次都投进0次”，其概率为．
则由互斥事件的概率加法公式，可得．
（2）由题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
（提示：此时有三种情况，①甲前2次投进1次，乙前2次投进0次或2次；
②甲、乙前2次均投进1次，第3次甲未投进；③甲、乙前2次均未投进，第3次甲投进）
，
．
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以．
变式7 某公司在内部员工团建时，设置了一个抽奖环节，已知奖券藏在如图所示的袋子里面，标号为①②③④⑤的袋子中分别装有价值为（单位：元）的奖券．抽奖规则：每个人只能从其中一串的最下端取一个袋子，得到其中的奖券，若两串都有礼物袋，则每个人等可能选择一串抽取，直到礼物袋取完为止．现甲、乙、丙、丁、戊五人获得抽奖资格，并依次抽奖．
（1）求丙取得的奖券为50元的概率；
（2）在甲获得的奖券为50元的前提下，求丁获得的奖券为100元的概率；
（3）试预测乙、丙两人谁获得的奖券金额更大些，并说明理由.
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