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马尔科夫链与状态转换
【题型一】求第n次发生的概率
特点：这里有因果关系：第次不同情况是原因，第次的情况是结果，两者不能互相跳转。
【例1】某规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格.棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币，若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.
①设棋子移到第格的概率为，求证：当时，是等比数列；
【详解】①棋子开始在第格为必然事件，.
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即.
棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：
棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；
棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，所以，
即，且，
所以当时，数列是首项，公比为的等比数列.
变式1 如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记1分，落入袋记2分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为.并求出的通项公式.
【答案】
【详解】游戏过程中累计得分可以分为两种情况：得到分后的一次游戏小球落入袋中（分），或得到分后的一次游戏中小球落入袋中（）分，
故 ，
故为常数数列且，故即.
，
故是以为首项，以为公比的等比数列，
故，所以的通项公式为.
【例2】 一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为．设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式．
【答案】,
【详解】假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,
此时第n天时,由丈夫驾车的概率为,
即,则有,
所以,因为,
所以是以为首项,为公比的等比数列,
即,故.
【例3】 “石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：
①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；
②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局.
现有人玩游戏.
(1)分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率、；
(2)求人玩一轮游戏，平局的概率（结果用n表示）；
【答案】(1)，；(2)；(3)
【详解】（1），
（2）方法一：分析第人的所有情况：
则；
化简得：。
方法二：由于平局的情况比较多，我们可以考虑n人玩游戏分出胜负的概率，
；
其中表示分出胜负的三种情况，即n人只出了①石头，剪刀；②石头，布；③剪刀，布，此时分胜负，
而分出胜负与平局是对立事件，故
变式2 某篮球赛事采取四人制形式.在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人.次传球后，记事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为，当时，证明：.
【详解】次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，有两种情况，
其一为：次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，这种情况的概率为；
其二是为：次传球后乙、两、丁中只有两人接过他人传球，
第次传球时将球传给剩余一人，这种情况的概率为.
所以，当时，
所以.
【例4】“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在2号仓.并求数列的通项公式；
【答案】(1)证明见解析，；(2)分布列见解析，
【详解】（1）记粒子经过次随机选择后到达1号仓的概率为，粒子经过次随机选择后到达3号仓的概率为，所以得，
所以，即是公比为的等比数列
又，所以
变式3 “布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在2号仓，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】记粒子经过次随机选择后到达1号仓的概率为，
粒子经过次随机选择后到达3号仓的概率为，
则有，消去可得，，
则，即，因,
则数列组成一个首项为，公比为的等比数列，
故，即，
故.
故选：A.
变式4 甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中，投掷n次骰子后（），记球在甲手中的概率为，则
【详解】设投掷次后，球仍在乙手中的概率为，
所以当时，，，
所以，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，符合该式，
所以.故答案为：；.
【题型二】求第次实验的期望
【例5】甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一人的口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，则的数学期望为 ；
【答案】 ；
【详解】方法一：设恰有1个黑球的概率为，由题意可知：，，
，，
所以当时，则有①，
②，
①②可得：
，所以，
因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，则，
所以，故答案为：；
方法二：把期望当做实际个数来看，则第次之后甲乙两人的黑球和白球的分布情况如下表：
甲 乙
黑
白
此时，第次可能出现甲白乙白（黑球个数不变），甲白乙黑（黑球个数），甲黑乙黑（黑球个数不变），甲黑乙白（黑球个数）四种情况；根据全概率公式可得：
；
化简得：；
构造，又，则；即
【例6】 对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.
（1）求；
（2）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求.
【答案】(1)；（2）
【详解】（1）.解得：.
（2）期待在次试验后，首次出现连续次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是，此时总的试验次数为.
即.整理得：，即，
是公比为的等比数列，所以.
由（1）知，代入得：.
变式5 袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程次后，袋中白球的个数记为，求随机变量的数学期望关于的表达式．
【详解】设，0，1，2，3，4，5．
则，．
，，，
，，，
∴
，
由此可知，，
又，故是首项为，公比为的等比数列，
∴，即.
【题型三】实验次数无限
特点：结果发生有很多原因导致，原因之间可以互相转换.可以回退到前一个状态或者说可以跳转到相邻状态，此时要分析某种情况下的之后的所有的不同选择，并最终导致结果发生。
【例7】 “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ．
【答案】
【详解】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得.
故答案为：.
【例8】羽毛球比赛采用21分制，比赛规则如下：一场比赛为三局两胜制，在一局比赛中，每赢一球得1分，先得21分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当比分打成后，以投掷硬币的方式选择发球权，随后得分者拥有发球权，一方领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲 乙两人进行一场21分制的羽毛球比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为.
（1）若再打两个球，这两个球甲得分为，求的分布列和数学期望；
（2）假设一旦两人比分相等，以投掷硬币的方式选择发球权，求一局比赛甲获胜的概率；
【答案】(1)分布列见解析，；(2)；
【详解】（1）依题意，的所有可取值为.
设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且，
所以，
，
.
所以的分布列为
0 1 2
故的数学期望为.
方法一：设甲净胜分时，最终甲获胜概率；设甲净胜分时，最终甲获胜概率；
则；；；；；
联立可得；
方法二：设第一局比赛甲获胜为事件，
则，
由（1）知，，
由全概率公式得：，
即，解得，所以.
变式6 小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为 .
【答案】
【详解】设第一次投篮成功为事件B，通过测试为事件A，
则，所以，
所以，
故答案为：
变式7 已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局．如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，求甲获胜的概率；
【答案】；
【详解】①在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：
若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为；
若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，
根据全概率公式，，同理，，，，
由，，得，
与联立消去，得，
又，，得，
与联立消去，得，所以甲获胜的概率为．
【求期望】
【例9】投掷一枚质地均匀的硬币，若出现连续三次正面朝上的情况，则停止投掷，那么投掷总次数的数学期望为
【答案】14
【详解】设投掷总次数为X，结果出现“正面朝上”记为成功，出现 “反面朝上”记为失败.
先进行第一次投掷，若第一次失败，因为试验失败对出现连续三次成功毫无帮助，可视作后续期望仍为
E(X)，即投掷总次数为 E(X) +1；若第一次成功，则进行第二次投掷，当第二次试验失败时，后续期
望仍为 E(X)，即投掷总次数为 E(X) + 2; 在第一次、第二次都成功 的前提下进行第三次试验，若成功则结束，此时试验次数为 3，若失 败则三次均无效，后续期望仍为 E(X).
则，。
变式8 已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局．如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为．求．
【答案】．
【详解】在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：
若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要局，共进行了局；
若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局，
则，即，
同理，即，
，即，
，即，
，即
联立与，得，
联立与，得，
代入，得，
所以．
【题型四】求事件的个数的递推公式
【例10】某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，现有n根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.
（1）当，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；
（2）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为
【详解】（1）由题知，随机变量的所有可能取值为，
，
，
所以的分布列为
1 2 3
所以.
（2）不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结，
令根绳子打结后可成圆的种数为，
那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，
由此可得，，
所以，
所以，
显然，故；
另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有
；
所以.
变式9 在某中学文体活动时间，举办高三年级绳子打结计时赛，现有根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能，
假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结，
令根绳子打结后可成圆的种数为，
那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，
由此可得，，所以，
所以，显然，故；
另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有
；
所以，所以当时，.故选：.
【例11】拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上．假设原来有个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为种，
（1）写出和，之间的递推关系，（2）证明：数列是等比数列；
【答案】(1)，，证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）易知，．如果有个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤：
第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有种选法；
第二步：重排其余个人，根据第一步，可以分为两类：
第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有种；
第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站到甲的位置，这样的站法有种．
所以，，又，
所以．
所以数列，是首项为1，公比为的等比数列
课后练习
商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中参加抽奖活动．规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，然后从装有4个红球，2个白球，2个黑球的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1分，否则扣1分，过程中若顾客持有分数变为0分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15分，则获得一等奖，抽奖结束．
(1)求顾客3次取球后持有分数的数学期望；
(2)设顾客在抽奖过程中持有分数为分最终获得一等奖的概率为；
①证明：是等差数列；
②求顾客获得一等奖的概率．
【答案】(1)5；(2)证明见解析；
【详解】（1）记事件：“一次取出红球”，则，
设顾客3次取球取得红球的次数为随机变量为， 3次取球后累计分数为随机变量.
则，则，故，所以；
（2）①由题意当时，，即，所以是等差数列；
②由题意，由上可知：，所以，
又由题意，所以.由先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，即，
所以先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，顾客获得一等奖的概率
甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n次由甲掷的概率______（用含n的式子表示）．
【答案】
【详解】易知掷出的点数之和为3的倍数的概率为．
“第次由甲掷”这一事件，包含事件“第n次由甲掷，
第次继续由甲掷”和事件“第n次由乙掷，第次由甲掷”，
这两个事件发生的概率分别为，，
故（其中），所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
于是，即．故答案为：
有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则_________；该棋手获胜的概率为__________．
【答案】
【详解】由题，因为，故，由，所以，累加可得：．
故答案为：；.
某电视台综艺栏目拟组织如下一个活动：将全体演员分成甲、乙两组，各组每次表演一个节目（同一个节目可以由一个演员单独表演，也可以由几个演员合作表演），在一组表演完节目后，主持人将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，若所得两个点数之和为的倍数，则该组再继续表演一个节目：否则，由另一组表演一个节目．经抽签，第一次由甲组表演节目．
(1)设在前次表演中甲组表演的次数为，求的分布列和数学期望；
(2)求第次表演者是甲组的概率．
【答案】(1)分布列见解析，，(2)
【详解】（1）依题意某组表演一次节目后仍然是该组表演的概率为，
则为另外一组表演的概率为，
则的可能取值为、、，
所以，，，
所以的分布列为：
所以.
（2）设在第次表演表演者是甲组的概率为，显然，
当时，即，所以，
即是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
所以，即第次表演者是甲组的概率为.
现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．记n号盒子中红球的个数为，求的期望．
【答案】
【详解】（记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，
且，
化解得，
得，
而则数列为等比数列,首项为，公比为，
所以，
又由求得：
因此．
6．11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10.
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；
(2)求第一局比赛甲获胜的概率；
(3)现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.
【答案】(1)分布列见解析，均值；(2)；(3)
【详解】（1）依题意，的所有可能取值为
设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且，
所以，
.
所以的分布列为
0 1 2
故的均值为.
（2）设第一局比赛甲获胜为事件，则.
由（1）知，，
由全概率公式，得
解得，即第一局比赛甲获胜的概率.
（3）由（2）知，故估计甲每局获胜的概率均为，根据五局三胜制的规则，
设甲获胜时的比赛总局数为，因为每局的比赛结果相互独立，
所以的所有可能取值为，
因此可得；
故该场比赛甲获胜的概率.
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【题型一】求第n次发生的概率
特点：这里有因果关系：第次不同情况是原因，第次的情况是结果，两者不能互相跳转。
【例1】某规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格.棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币，若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.
①设棋子移到第格的概率为，求证：当时，是等比数列；
【详解】①棋子开始在第格为必然事件，.
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即.
棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：
棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；
棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，所以，
即，且，
所以当时，数列是首项，公比为的等比数列.
变式1 如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的游戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戏中小球落入袋记1分，落入袋记2分，游戏可以重复进行.游戏过程中累计得分的概率为.并求出的通项公式.
【例2】 一对夫妻计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆,且约定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人驾车,另一人休息;②若前一天由丈夫驾车,则下一天继续由丈夫驾车的概率为,由妻子驾车的概率为;③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为．设在第n天时,由丈夫驾车的概率为,求数列的通项公式．
【答案】,
【详解】假设第天,丈夫驾车的概率为,则妻子驾车的概率为,
此时第n天时,由丈夫驾车的概率为,
即,则有,
所以,因为,
所以是以为首项,为公比的等比数列,
即,故.
【例3】 “石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：
①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；
②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局.
现有人玩游戏.
(1)分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率、；
(2)求人玩一轮游戏，平局的概率（结果用n表示）；
【答案】(1)，；(2)；(3)
【详解】（1），
（2）方法一：分析第人的所有情况：
则；
化简得：。
方法二：由于平局的情况比较多，我们可以考虑n人玩游戏分出胜负的概率，
；
其中表示分出胜负的三种情况，即n人只出了①石头，剪刀；②石头，布；③剪刀，布，此时分胜负，
而分出胜负与平局是对立事件，故
变式2 某篮球赛事采取四人制形式.在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人.次传球后，记事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为，当时，证明：.
【例4】“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在2号仓.并求数列的通项公式；
【答案】(1)证明见解析，；(2)分布列见解析，
【详解】（1）记粒子经过次随机选择后到达1号仓的概率为，粒子经过次随机选择后到达3号仓的概率为，所以得，
所以，即是公比为的等比数列
又，所以
变式3 “布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在2号仓，则（ ）．
A． B． C． D．
变式4 甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中，投掷n次骰子后（），记球在甲手中的概率为，则
【题型二】求第次实验的期望
【例5】甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一人的口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，则的数学期望为 ；
【答案】 ；
【详解】方法一：设恰有1个黑球的概率为，由题意可知：，，
，，
所以当时，则有①，
②，
①②可得：
，所以，
因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，则，
所以，故答案为：；
方法二：把期望当做实际个数来看，则第次之后甲乙两人的黑球和白球的分布情况如下表：
甲 乙
黑
白
此时，第次可能出现甲白乙白（黑球个数不变），甲白乙黑（黑球个数），甲黑乙黑（黑球个数不变），甲黑乙白（黑球个数）四种情况；根据全概率公式可得：
；
化简得：；
构造，又，则；即
【例6】 对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为.
（1）求；
（2）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求.
【答案】(1)；（2）
【详解】（1）.解得：.
（2）期待在次试验后，首次出现连续次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是，此时总的试验次数为.
即.整理得：，即，
是公比为的等比数列，所以.
由（1）知，代入得：.
变式5 袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程次后，袋中白球的个数记为，求随机变量的数学期望关于的表达式．
【题型三】实验次数无限
特点：结果发生有很多原因导致，原因之间可以互相转换.可以回退到前一个状态或者说可以跳转到相邻状态，此时要分析某种情况下的之后的所有的不同选择，并最终导致结果发生。
【例7】 “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ．
【答案】
【详解】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得.
故答案为：.
【例8】羽毛球比赛采用21分制，比赛规则如下：一场比赛为三局两胜制，在一局比赛中，每赢一球得1分，先得21分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当比分打成后，以投掷硬币的方式选择发球权，随后得分者拥有发球权，一方领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲 乙两人进行一场21分制的羽毛球比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为.
（1）若再打两个球，这两个球甲得分为，求的分布列和数学期望；
（2）假设一旦两人比分相等，以投掷硬币的方式选择发球权，求一局比赛甲获胜的概率；
【答案】(1)分布列见解析，；(2)；
【详解】（1）依题意，的所有可取值为.
设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且，
所以，
，
.
所以的分布列为
0 1 2
故的数学期望为.
方法一：设甲净胜分时，最终甲获胜概率；设甲净胜分时，最终甲获胜概率；
则；；；；；联立可得；
方法二：设第一局比赛甲获胜为事件，
则，
由（1）知，，
由全概率公式得：，
即，解得，所以.
变式6 小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为 .
变式7 已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局．如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，求甲获胜的概率；
【求期望】
【例9】投掷一枚质地均匀的硬币，若出现连续三次正面朝上的情况，则停止投掷，那么投掷总次数的数学期望为
【答案】14
【详解】设投掷总次数为X，结果出现“正面朝上”记为成功，出现 “反面朝上”记为失败.
先进行第一次投掷，若第一次失败，因为试验失败对出现连续三次成功毫无帮助，可视作后续期望仍为
E(X)，即投掷总次数为 E(X) +1；若第一次成功，则进行第二次投掷，当第二次试验失败时，后续期
望仍为 E(X)，即投掷总次数为 E(X) + 2; 在第一次、第二次都成功 的前提下进行第三次试验，若成功则结束，此时试验次数为 3，若失 败则三次均无效，后续期望仍为 E(X).
则，则。
变式8 已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局．如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为．求．
【题型四】求事件的个数的递推公式
【例10】某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，现有n根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.
（1）当，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；
（2）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为
【详解】（1）由题知，随机变量的所有可能取值为，
，，
所以的分布列为
1 2 3
所以.
（2）不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结，
令根绳子打结后可成圆的种数为，那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，
由此可得，，所以，
所以，显然，故；
另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有
；所以.
变式9 在某中学文体活动时间，举办高三年级绳子打结计时赛，现有根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（ ）
A． B． C． D．
【例11】拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上．假设原来有个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为种，
（1）写出和，之间的递推关系，（2）证明：数列是等比数列；
【答案】(1)，，证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）易知，．如果有个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤：
第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有种选法；
第二步：重排其余个人，根据第一步，可以分为两类：
第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有种；
第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站到甲的位置，这样的站法有种．
所以，，又，
所以．
所以数列，是首项为1，公比为的等比数列
课后练习
商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中参加抽奖活动．规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，然后从装有4个红球，2个白球，2个黑球的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1分，否则扣1分，过程中若顾客持有分数变为0分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15分，则获得一等奖，抽奖结束．设顾客在抽奖过程中持有分数为分最终获得一等奖的概率为；
①证明：是等差数列；
②求顾客获得一等奖的概率．
甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n次由甲掷的概率______（用含n的式子表示）．
有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n站的概率为，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则_________；该棋手获胜的概率为__________．
某电视台综艺栏目拟组织如下一个活动：将全体演员分成甲、乙两组，各组每次表演一个节目（同一个节目可以由一个演员单独表演，也可以由几个演员合作表演），在一组表演完节目后，主持人将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，若所得两个点数之和为的倍数，则该组再继续表演一个节目：否则，由另一组表演一个节目．经抽签，第一次由甲组表演节目．
(1)设在前次表演中甲组表演的次数为，求的分布列和数学期望；
(2)求第次表演者是甲组的概率．
现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．记n号盒子中红球的个数为，求的期望．
6．11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10∶10.
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；
(2)求第一局比赛甲获胜的概率；
(3)现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.
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