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抛物线及其性质
知识点一 抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．
知识点二 抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
图形
标准 方程
焦点
离心率
准线方程
通径
常见结论：
1、点与抛物线的关系。
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、的几何意义。
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
3、切线方程和切点弦方程。
若在曲线上，过该点的抛物线的切线方程为。
若点在抛物线外，则过该点的切点弦方程为。
4、抛物线焦点三角形。
（1）. 焦点弦与对称轴所成角有关的结论：
① ，，
两个焦半径一长一短且可以从图像判断出谁长谁短，长的分母自然小，短的分母大。
② ,2P是过焦点，且垂直于x轴的线段的长度（类似椭圆的通径，所以过焦点的线段中通径是最短的）
③
（2）. 坐标有关的结论：
①，，
②
③
（3）. 抛物线的交点弦。
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
①弦长公式：
②
③直线AB的方程为
④抛物线中的直线的两点式方程:
过抛物线上两点的直线方程常运用设点法表示，记点,于是直线的方程:
, 即.
结论：若抛物线方程为，设点，则直线的方程:
.
若抛物线方程为，则直线的方程:.
5、焦点弦的其他性质。
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
6、抛物线的其他定义。
如果动圆P与一个定圆C和一条直线l同时相切（且直线与该定圆不相切），那么动圆的圆心P轨迹为抛物线。
【题型一】抛物线的定义与方程
【例1】以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】依题意设抛物线方程为．因为焦点到准线的距离为4，所以，所以，
所以抛物线方程为或．
故选：C．
【例2】已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以，其方程为，
故选：A
【例3】已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，过点作，垂足为.
由题得,所以.
因为，所以是等边三角形.
因为是的中点，所以， 所以，所以.
所以.
所以
所以抛物线的方程是.
故选：C
变式1 在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以，轨迹方程为，
故选：D
变式2 设抛物线的焦点为，准线为是上一点，是与轴的交点，若，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【详解】如图所示，作，由抛物线定义可知，，
在中，，
则在抛物线上，
所以，即，则.
故选：D
变式3 （多选题）已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则 （ ）
A．点的轨迹为抛物线
B．圆面积最小值为
C．当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为
D．存在点，使得，其中为坐标原点
【答案】ACD
【解析】对于A，由题意知：点到点与到定直线的距离相等，且点不在直线上，符合抛物线定义，点的轨迹为抛物线，A正确；
对于B，由A知，点的轨迹为抛物线，则当为坐标原点时，点到直线距离最小，即此时圆的半径最小，即，圆面积的最小值为，B错误；
对于C，由A得：点的轨迹方程为，设，则圆的半径，点到轴的距离，，解得：，圆的半径，C正确；
对于D，假设存在点，使得，设，则，
整理可得：，解得：，，或，D正确.
故选：ACD.
【题型二】抛物线焦半径问题
【例4】已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解析】由抛物线的方程，得，焦点坐标为，设，，的横坐标分别是，，，
由，所以，即，
因为为抛物线的焦点，由抛物线的定义可得，，，，
即，
故选：B．
【例5】已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【解析】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，
由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，
解法1：因为轴，所以直线斜率，所以，
由解得，舍去，
所以.
解法2：在中，，则.
解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.
故选：D.
变式4 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由题意可知，所以直线与的方程为，联立方程，可得，
设则，所以.
故选：D.
变式5 过抛物线，的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于__________.
【答案】60°或120°
【解析】如图是抛物线的准线，作，，为垂足，
设，则，
由抛物线定义知，，
过作，垂足为，则易得，所以，
直角三角形中，，，
此时直线倾斜角为60°，由对称性，直线倾斜角也可为120°.
故答案为：60°或120°
【例6】（多选题）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线过焦点时，最小值为4
B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），
C．若中点的横坐标为3，则最大值为8
D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线方程为：
【答案】ACD
【解析】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确；
对于B选项，由题意，作图如下：
则，轴，轴，即，，
，，即，，
，，，
，故错误；
对于C选项，由于为两动点，所以，
当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确；
对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确.，故选：ACD.
【例7】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
【答案】26
【解析】，又，
，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：B.
变式6已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则__________.
【答案】
【解析】过作准线的垂线，垂足为，易知：，
可得，如图所示：
在中，可得，，
由抛物线的性质可得，所以，
在中，由正弦定理可得：，所以.
故答案为：
变式7 已知点为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】C
【详解】抛物线的焦点，过的斜率为0的直线为，直线与抛物线有且只有一个交点，与条件矛盾，故直线的斜率不为0，故可设直线的方程为，
联立方程组，得，方程的判别式，
设，则，，所以，
由抛物线的性质得，
.
当且仅当时，等号成立，故选：C.
【例8】（多选题）已知抛物线与圆交于A，B两点，且.过焦点的直线与抛物线交于M，N两点，点是抛物线上异于顶点的任意一点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则（ ）
A．若，则直线的斜率为 B．的最小值为18
C．为钝角 D．点与点的横坐标相同时，最小
【答案】BCD
【详解】因为抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，
则第一象限内的交点A的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为2，即，
所以，，即抛物线方程为，焦点为.设，
对A，由得，
则，又因为，解得，所以直线l的斜率为，故A错误；
对B，由抛物线定义得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
因此的最小值为，故B正确；
对C，如图，不妨设在第一象限，设，设直线，联立抛物线的方程消，
得，又，
所以，，
，为钝角，故C正确；
对D，，，设，则，
由抛物线的定义可得，，
又，则，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
【例9】（多选题）已知抛物线的焦点为F，准线交x轴于点D，过F的直线交C于A，B两点，AF的中点M在y轴上的射影为点N，，则（ ）
A． B．∠ADB是锐角
C．是锐角三角形 D．四边形DFMN是菱形
【答案】ABD
【详解】由抛物线，可知，，
设点，，则，所以，而，
所以，所以，所以三角形为正三角形，
所以，又轴，
所以，，则，
所以，，，所以直线的方程为：，
联立方程，可得，所以，则，
所以，所以，故A正确；
，且，，所以四边形DFMN是菱形，故D正确；
由于以为直径的圆与准线相切，点在圆外，所以∠ADB是锐角，故B正确；
，，，所以，，
所以，所以为钝角，所以是钝角三角形，故C错误.
故选：ABD.
变式8 （多选题）已知抛物线C：的焦点为，直线l过点F且与抛物线C交于M，N两点，P是抛物线C上的任意一点，Q是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则（ ）
A．若点P的横坐标为1，则 B．若，则直线l的斜率为
C．有最大值 D．的最小值为
【答案】CD
【详解】因为，所以，所以抛物线，准线为直线，
A选项，，故A选项错误；
B选项，设，
由，得，则，
又因为，解得，
所以直线l的斜率为，故B选项错误；
C选项，如图，不妨设在第一象限，，，
设直线，与抛物线的方程联立得，
又，所以，则
，
当且仅当，即直线与轴垂直时等号成立，故C选项正确；
D选项，，，设，则，
由抛物线的定义可得，
，
又，则，
①当时，，
②当时，，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D选项正确.
故选：CD.
变式9 （多选题）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）
A．的斜率为
B．是锐角三角形
C．四边形的面积是
D．
【答案】ABD
【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即，
设，则，可得，
因为，即，可知为等边三角形，即，
且∥x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确；
则直线，联立方程，解得或，
即，，则，
可得，
在中，，且，
可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确；
四边形的面积为，故C错误；
因为，所以，故D正确；
故选：ABD.
变式10 （多选题）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点为抛物线上的点，且满足，过作的垂线，垂足为与交于点，则（ ）
A．直线的斜率为定值 B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A：设，则，
而，因此，所以由解得，
因此，即，故，
因此，故A正确；
对于B：因为，所以由选项A知：当点在轴上方时，
在中，
过作轴，交轴于，
则在中，，因此
利用抛物线的对称性知：当点在轴下方时，同理可得：，故B错误；
对于C：因为，所以
因为由抛物线定义知：，所以，
因此，即是的平分线，所以
因为，所以点在以线段为直径的圆上，
因此在中，，故C正确；
对于D：因为，所以，因此，
而由抛物线定义知：，所以
因为点在以线段为直径的圆上，所以，
因此，即，故D正确，故选：ACD.
不过原点的抛物线
【思考题】（多选题）数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ）
A．曲线由两条抛物线的一部分组成
B．线段的长度与点到直线的距离相等
C．若线段的长度为，则直线的斜率为
D．若，则直线的斜率为
【答案】ABD
【详解】对于A选项，设曲线上任意一点，
由定义可知，满足，
移项，平方可得：，
即，为两条抛物线，故A正确；
对于B选项，和直线分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确
对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，，
，
解得，则，故C错误.
对于D选项，易知为抛物线和的焦点，
前者，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此
，由于，
则，因此，所以，故D正确，
故选：ABD
【题型三】与抛物线有关的距离和最值问题
【例10】已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________.
【答案】4
【解析】设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义知，
∴要求的最小值，即求的最小值，
当D，M，P三点共线时，最小，最小值为.
故答案为：4
【例11】 已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由抛物线知，焦点，准线方程为
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知，
当F,P,M三点共线时,最小为，
故选：A
【例12】已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.
【答案】
【解析】由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
圆的圆心坐标为，半径为，
设点到抛物线准线的距离为，则，故，
所以当动点位于线段上时，点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和最小，此时.
故答案为：.
变式11（多选题）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线上，则（ ）
A．当时，最小值为1
B．当时，的最小值为3
C．当时，的最小值为4
D．当时，的最大值为2
【答案】ACD
【解析】 当时，为抛物线的焦点，设，则，
故的最小值为1，A正确；
设抛物线的准线为，过点P作PN⊥l于点N，此时，
故当N，P，M三点共线时，取得最小值，
此时，C正确；
当时，，连接AM，并延长AM交抛物线于点，
此时为的最大值，
当在其他位置时，根据三角形两边之差小于第三边，可知均小于，
因为，故D正确；
此时，当时，，B错误.
故选：ACD
变式12 是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
【答案】
【解析】因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，
到圆上动点的距离为，
所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，
连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，
即，所以的最小值为，
变式13 （多选题）已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为1 B．的最小值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
【答案】AC
【解析】抛物线焦点为，准线为，作出图象，
对选项A：由抛物线的性质可知：的最小值为，选项A正确；
对选项B：注意到F是定点，由圆的性质可知：的最小值为，选项B错误；
对选项CD：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，由抛物线定义可知，故，的最小值为点Q到准线的距离，故最小值为4，从而选项C正确，选项D错误．
故选：AC.
【例13】 已知抛物线，点在上且位于第一象限，点与点关于轴对称，点，，直线与交于另外一点，若的最小值为2，则 ，的最小值为 .
【答案】 16 100
【详解】设的焦点为，点到轴的距离为，连接，
由对称性及抛物线的定义可得，
解得，故点重合，
的方程为，直线的斜率不为0，
设直线的方程为，联立方程并化简得，
设，，则，，
所以，
当且仅当，时取等号，故的最小值为100.
故答案为：16；100.
【例14】 （多选题）已知抛物线，圆为圆心），点在抛物线上，点在圆上，点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．当最大时， D．当最小时，
【答案】ABC
【解析】A. 的最小值是的最小值减去圆的半径，又的最小值是1，
所以的最小值是1-=，故正确；
B. 设，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是，故正确；
C.如图所示：当最大时，直线AQ与圆相切，则，故正确；
D.当最小时为，即P，A，Q共线，则，故错误；
故选：ABC
【例15】已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值为_______.
【答案】
【解析】由题意知：，；因为，，
所以；
所以，
所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，
故答案为：.
变式14已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点（在的右边），为上一点，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】A
【解析】由题意，抛物线，可得焦点，
又因为直线的倾斜角为，可得斜率，
故直线的方程为，联立方程组，整理得，
设，解得，，因为，所以，可得，
过点作垂直于准线于点，根据抛物线的定义，得，
当三点共线且与轴平行时，有最小值，最小值，所以的最小值为3.
故选：A.
变式15 已知F为抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，点，则的最小值为______．
【答案】22
【解析】设，则，因为，，所以，，
则，令，则，
所以，
当时，因为，所以当时，取得最小值，此时最小值为22，
故答案为：22
【题型四】抛物线中三角形，四边形的面积问题
【例16】设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为__________．
【答案】
【解析】如图所示，由已知，．得．
因为轴，， ，所以四边形ABCD为平行四边形，且，
所以，解得，
代入得，所以．
故答案为：.
【例17】已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为_______．
【答案】
【解析】由知，，，准线方程为，如图，
因为，所以，所以；
连接，又，所以为等边三角形，
因为，所以，得，得，
所以，
由，解得，
所以．
故答案为：
【例18】已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上.若，，则的面积为（ ）
A． B．25 C． D．55
【答案】B
【详解】如图所示，过点作轴于点，准线与轴交于点，抛物线的焦点坐标，
设，由抛物线的定义可得，
即，因为，所以，
因为，所以相似于，则，
所以，解得或，所以，
所以.
故选：B.
变式16 已知为抛物线的焦点，点A为上一点，点的坐标为，若，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】由题意得，则，即点A到准线的距离为4，所以点A的横坐标为2，
当时，，即，所以.故选：C.
变式17 已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________.
【答案】
【解析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知，，
又，所以，所以，所以.
又，所以，所以，则，所以抛物线的方程为.
故答案为：.
变式18（多选题）设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的面积为（为坐标原点）
【答案】BC
【解析】如图，设， ，
，，
又，，即，
解得：；故选项A不正确；
由上述分析可知，又容易知，
则，， 故成立；故选项B正确；
；故选项C正确；
，故选项D不正确；
故选：BC．
【例19】如图，已知点F为抛物线的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则的面积S的取值范围为______．
【答案】
【解析】由抛物线可得焦点，准线方程为，，
设，，直线AB的方程为，
由，可得，则，，
所以，
直线AB的一般方程为，
点到直线AB的距离，所以，
所以的面积S的取值范围为，
故答案为：
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抛物线及其性质
知识点一 抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．
知识点二 抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
图形
标准 方程
焦点
离心率
准线方程
通径
常见结论：
1、点与抛物线的关系。
（1）在抛物线内（含焦点）．
（2）在抛物线上．
（3）在抛物线外．
2、的几何意义。
为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．
3、切线方程和切点弦方程。
若在曲线上，过该点的抛物线的切线方程为。
若点在抛物线外，则过该点的切点弦方程为。
4、抛物线焦点三角形。
（1）. 焦点弦与对称轴所成角有关的结论：
① ，，
两个焦半径一长一短且可以从图像判断出谁长谁短，长的分母自然小，短的分母大。
② ,2P是过焦点，且垂直于x轴的线段的长度（类似椭圆的通径，所以过焦点的线段中通径是最短的）
③
（2）. 坐标有关的结论：
①，，
②
③
（3）. 抛物线的交点弦。
若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则
①弦长公式：
②
③直线AB的方程为
④抛物线中的直线的两点式方程:
过抛物线上两点的直线方程常运用设点法表示，记点,于是直线的方程:
, 即.
结论：若抛物线方程为，设点，则直线的方程:
.
若抛物线方程为，则直线的方程:.
5、焦点弦的其他性质。
已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．
（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2），
（3）设，为垂足，则、、三点在一条直线上
6、抛物线的其他定义。
如果动圆P与一个定圆C和一条直线l同时相切（且直线与该定圆不相切），那么动圆的圆心P轨迹为抛物线。
【题型一】抛物线的定义与方程
【例1】以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】依题意设抛物线方程为．因为焦点到准线的距离为4，所以，所以，
所以抛物线方程为或．
故选：C．
【例2】已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以，其方程为，
故选：A
【例3】已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，过点作，垂足为.
由题得,所以.
因为，所以是等边三角形.
因为是的中点，所以， 所以，所以.
所以.
所以
所以抛物线的方程是.
故选：C
变式1 在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2 设抛物线的焦点为，准线为是上一点，是与轴的交点，若，则（ ）
A． B．2 C． D．4
变式3 （多选题）已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则 （ ）
A．点的轨迹为抛物线
B．圆面积最小值为
C．当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为
D．存在点，使得，其中为坐标原点
【题型二】抛物线焦半径问题
【例4】已知的三个顶点都在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解析】由抛物线的方程，得，焦点坐标为，设，，的横坐标分别是，，，
由，所以，即，
因为为抛物线的焦点，由抛物线的定义可得，，，，
即，
故选：B．
【例5】已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【解析】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，
由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，
解法1：因为轴，所以直线斜率，所以，
由解得，舍去，
所以.
解法2：在中，，则.
解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.
故选：D.
变式4 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
变式5 过抛物线，的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若，则直线l的倾斜角等于__________.
【例6】（多选题）已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线过焦点时，最小值为4
B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），
C．若中点的横坐标为3，则最大值为8
D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，
则直线方程为：
【答案】ACD
【解析】对于A选项，直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，故正确；
对于B选项，由题意，作图如下：
则，轴，轴，即，，
，，即，，
，，，
，故错误；
对于C选项，由于为两动点，所以，
当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确；
对于D选项，依题意，，故，即，由题意，，同理可得，故直线方程为，故正确.，故选：ACD.
【例7】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为
【答案】26
【解析】，又，
，
当且仅当，即，时等号成立.
变式6已知抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线C上，若，则__________.
变式7 已知点为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．6
【例8】（多选题）已知抛物线与圆交于A，B两点，且.过焦点的直线与抛物线交于M，N两点，点是抛物线上异于顶点的任意一点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则（ ）
A．若，则直线的斜率为 B．的最小值为18
C．为钝角 D．点与点的横坐标相同时，最小
【答案】BCD
【详解】因为抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，
则第一象限内的交点A的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为2，即，
所以，，即抛物线方程为，焦点为.设，
对A，由得，
则，又因为，解得，所以直线l的斜率为，故A错误；
对B，由抛物线定义得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
因此的最小值为，故B正确；
对C，如图，不妨设在第一象限，设，设直线，联立抛物线的方程消，
得，又，
所以，，
，为钝角，故C正确；
对D，，，设，则，
由抛物线的定义可得，
，
又，则，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
【例9】（多选题）已知抛物线的焦点为F，准线交x轴于点D，过F的直线交C于A，B两点，AF的中点M在y轴上的射影为点N，，则（ ）
A． B．∠ADB是锐角
C．是锐角三角形 D．四边形DFMN是菱形
【答案】ABD
【详解】由抛物线，可知，，
设点，，则，所以，而，
所以，所以，所以三角形为正三角形，
所以，又轴，
所以，，则，
所以，，，所以直线的方程为：，
联立方程，可得，所以，则，
所以，所以，故A正确；
，且，，所以四边形DFMN是菱形，故D正确；
由于以为直径的圆与准线相切，点在圆外，所以∠ADB是锐角，故B正确；
，，，所以，，
所以，所以为钝角，所以是钝角三角形，故C错误.
故选：ABD.
变式8 （多选题）已知抛物线C：的焦点为，直线l过点F且与抛物线C交于M，N两点，P是抛物线C上的任意一点，Q是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则（ ）
A．若点P的横坐标为1，则 B．若，则直线l的斜率为
C．有最大值 D．的最小值为
变式9 （多选题）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）
A．的斜率为
B．是锐角三角形
C．四边形的面积是
D．
变式10 （多选题）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点为抛物线上的点，且满足，过作的垂线，垂足为与交于点，则（ ）
A．直线的斜率为定值 B．
C． D．
不过原点的抛物线
【思考题】（多选题）数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ）
A．曲线由两条抛物线的一部分组成
B．线段的长度与点到直线的距离相等
C．若线段的长度为，则直线的斜率为
D．若，则直线的斜率为
【答案】ABD
【详解】对于A选项，设曲线上任意一点，
由定义可知，满足，
移项，平方可得：，
即，为两条抛物线，故A正确；
对于B选项，和直线分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确
对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，，
，
解得，则，故C错误.
对于D选项，易知为抛物线和的焦点，
前者，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此
，由于，
则，因此，所以，故D正确，
故选：ABD
【题型三】与抛物线有关的距离和最值问题
【例10】已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，，则的最小值为___________.
【答案】4
【解析】设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义知，
∴要求的最小值，即求的最小值，
当D，M，P三点共线时，最小，最小值为.
故答案为：4
【例11】 已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由抛物线知，焦点，准线方程为
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知，
当F,P,M三点共线时,最小为，
故选：A
【例12】已知为抛物线上的一个动点，为圆上的一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值是______.
【答案】
【解析】由题可知，抛物线的准线方程为，焦点坐标为，
圆的圆心坐标为，半径为，
设点到抛物线准线的距离为，则，故，
所以当动点位于线段上时，点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和最小，此时.
故答案为：.
变式11（多选题）已知A（a，0），M（3，-2），点P在抛物线上，则（ ）
A．当时，最小值为1
B．当时，的最小值为3
C．当时，的最小值为4
D．当时，的最大值为2
变式12 是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
变式13 （多选题）已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为1 B．的最小值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
【例13】 已知抛物线，点在上且位于第一象限，点与点关于轴对称，点，，直线与交于另外一点，若的最小值为2，则 ，的最小值为 .
【答案】 16 100
【详解】设的焦点为，点到轴的距离为，连接，
由对称性及抛物线的定义可得，
解得，故点重合，
的方程为，直线的斜率不为0，
设直线的方程为，联立方程并化简得，
设，，则，，
所以，
当且仅当，时取等号，故的最小值为100.
故答案为：16；100.
【例14】 （多选题）已知抛物线，圆为圆心），点在抛物线上，点在圆上，点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．当最大时， D．当最小时，
【答案】ABC
【解析】A. 的最小值是的最小值减去圆的半径，又的最小值是1，
所以的最小值是1-=，故正确；
B. 设，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是，故正确；
C.如图所示：当最大时，直线AQ与圆相切，则，故正确；
D.当最小时为，即P，A，Q共线，则，故错误；
故选：ABC
【例15】已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值为_______.
【答案】
【解析】由题意知：，；因为，，
所以；
所以，
所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，
变式14已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点（在的右边），为上一点，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
变式15 已知F为抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，点，则的最小值为______．
【题型四】抛物线中三角形，四边形的面积问题
【例16】设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为__________．
【答案】
【解析】如图所示，由已知，．得．
因为轴，， ，所以四边形ABCD为平行四边形，且，
所以，解得，
代入得，所以．
故答案为：.
【例17】已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为_______．
【答案】
【解析】由知，，，准线方程为，如图，
因为，所以，所以；
连接，又，所以为等边三角形，
因为，所以，得，得，
所以，
由，解得，
所以．故答案为：
【例18】已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上.若，，则的面积为（ ）
A． B．25 C． D．55
【答案】B
【详解】如图所示，过点作轴于点，准线与轴交于点，抛物线的焦点坐标，
设，由抛物线的定义可得，
即，因为，所以，
因为，所以相似于，则，
所以，解得或，所以，
所以.故选：B.
变式16 已知为抛物线的焦点，点A为上一点，点的坐标为，若，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
变式17 已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________.
变式18 （多选题）设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的面积为（为坐标原点）
【例19】如图，已知点F为抛物线的焦点过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则的面积S的取值范围为______．
【答案】
【解析】由抛物线可得焦点，准线方程为，，
设，，直线AB的方程为，
由，可得，则，，
所以，
直线AB的一般方程为，
点到直线AB的距离，所以，
所以的面积S的取值范围为，
故答案为：
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