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曲线上一点和差距离的最值
一、椭圆
1．设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则|PQ|－|PM|的最大值为______.
3．已知椭圆C：的下焦点为，点在椭圆C上，点N在圆E：上，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
4．已知F是椭圆的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
5．已知椭圆C：的左 右焦点分别为 ，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为___________.
6．设F是椭圆上的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．4
7．设，分别为椭圆C：的左，右焦点，过垂直于长轴的直线交椭圆C于A、B两点，且；为C内一点，Q为C上任意一点，求的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为________．
二、双曲线
9．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．已知F是双曲线C：的左焦点，点H的坐标为．若点P为C右支上的动点，则的最小值为______．
11．已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为________．
12．已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（ ）
A． B． C． D．
13．设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
三、抛物线
14．点P为抛物线：上一动点，定点，则与P到y轴的距离之和的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．8 D．5
15．已知抛物线，直线，，为上的动点，则点到与的距离之和的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
16．是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
17．已知抛物线，焦点为F，点P是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为Q，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
18．已知点是抛物线上的一点,点是圆上的一点,为坐标原点,则的最大值为( )
A． B． C． D．
19．已知抛物线，其焦点为F，PQ是过点F的一条弦，定点A的坐标是，当取最小值时，则弦PQ的长是______.
20．已知点P为抛物线C：上一点，若点P到y轴和到直线的距离之和的最小值为2，则抛物线C的准线方程为___．
思考题1：已知定点，，圆C的标准方程为，点P为圆C上一点，求的最大值。
思考题2：已知定点，，圆C的标准方程为，点P为圆C上一点，求的取值范围。
思考题3：已知定点，，圆C的标准方程为，点P为圆C上一点，求的取值范围。
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曲线上一点和差距离的最值
未命名
一、椭圆(共0分
1．设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义可得，，当三点共线时，取值最大或最小.
【详解】根据椭圆的定义可得，，则，因为，则当三点共线时，取值最大或最小.
由已知得，，，，，.
图1
如图1，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大. .
图2
如图2，当点位于图中时，根据三角形三边关系取值最大. .
故答案为：.
2．已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则|PQ|－|PM|的最大值为______.
【答案】6
【分析】易知圆的圆心是为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到，然后由求解.
【详解】如图所示：
由，得，
则，所以椭圆的左，右焦点坐标分别为，，
则圆的圆心为椭圆的左焦点，
由椭圆的定义得，
所以，
又，
所以，
，
故答案为：6.
3．已知椭圆C：的下焦点为，点在椭圆C上，点N在圆E：上，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义把问题转化为求的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边求解即可.
【详解】圆E：，则圆心E(0，2）为椭圆C的上焦点，
已知椭圆C：，则，，，
由椭圆的定义可知，，则，
所以，
当M，N，E三点共线时，|取最大值1，
所以的最小值为6-1=5．
故选︰B
4．已知F是椭圆的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆上任意一点，则的最小值为（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
【答案】C
【分析】结合椭圆的定义以及圆的几何性质求得的最小值.
【详解】依题意可知，对于椭圆，，
对于圆，圆心为，半径，
设椭圆的右焦点为，
根据椭圆的定义有，
根据圆的几何性质有，
当且仅当是线段与圆交点时等号成立，
所以，
其中，当且仅当三点共线，且是线段与椭圆的交点时等号成立，
所以，
此时四点共线，且分别是线段与圆、椭圆的交点.
故选：C
5．已知椭圆C：的左 右焦点分别为 ，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据椭圆的定义，结合椭圆和圆的几何性质进行求解即可.
【详解】如图，
由为椭圆上任意一点，则，
又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），
∴，
当且仅当M、N、E、共线时等号成立.
∵，，则，
∴的最小值为，
当共线时，最大，如下图所示：，
最大值为，
所以的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：运用椭圆的定义和椭圆、圆的几何性质是解题的关键.
6．设F是椭圆上的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．4
【答案】C
【分析】设椭圆左焦点为，则.
，后利用点到直线垂线段最短得答案.
【详解】由题可知，，.设椭圆左焦点为，则.
由椭圆定义有，则
又将椭圆方程与直线方程联立有，
其，故直线与椭圆相离.
如图，要使最小，只需保证与直线垂直即可.
此时三点共线，则，
故.
由上可知A，B，D错误，C正确.
故选：C.
7．设，分别为椭圆C：的左，右焦点，过垂直于长轴的直线交椭圆C于A、B两点，且；为C内一点，Q为C上任意一点，求的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】先求出椭圆的方程，再根据椭圆的定义将的最小值转化为的最小值，从而可得正确的选项.
【详解】连接，
由椭圆方程可得，故
在椭圆方程，令，则，
因为，故，解得，
故椭圆方程为：.
而，
因为，故，
当且仅当三点共线且在中间时等号成立，
故即的最小值为3.
故选：A.
8．已知为椭圆上的一点，若，分别是圆和上的点，则的最大值为________．
【答案】/
【分析】设圆和圆的圆心分别为,则根据椭圆的性质可知为定值,再根据三角形两边之和大于第三边可知的最大值为与两圆半径的和即可.
【详解】由题, 设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.
则椭圆的焦点为.又,.
故,当且仅当分别在的延长线上时取等号.
此时最大值为.
故答案为：.
二、双曲线(共0分
9．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义得，利用平面几何的知识，两点间线段最短，即可求出最值.
【详解】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点，
当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，
从而，又为定值，
所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短），
故选：B.
10．已知F是双曲线C：的左焦点，点H的坐标为．若点P为C右支上的动点，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】根据双曲线的定义转化为可求解.
【详解】设右焦点为，则，依题意，由双曲线的定义有：，
，
（当在线段上时，取等号）．
故的最小值为.
故答案为：.
11．已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为________．
【答案】/
【分析】根据双曲线定义有，则，，，则得到最小值.
【详解】因为双曲线的焦点为,
圆的圆心,恰好为双曲线的左焦点,
，
(当且仅当三点共线时取等号)，
(当且仅当,,三点共线时取等号),
，
的最小值为.
故答案为：.
12．已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义可以得出=，当三点共线时最小.
【详解】由双曲线得到,,，左焦点，
设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.
===.
故选：C.
13．设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合双曲线定义数形结合判断取最小值时，三点共线，联立直线及双曲线方程解出Q的坐标为，即可求解的值.
【详解】由双曲线定义得,
故
如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，
，故方程为，
联立，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)，
故
故选：A
三、抛物线(共0分
14．点P为抛物线：上一动点，定点，则与P到y轴的距离之和的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．8 D．5
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.
【详解】抛物线，焦点，准线方程为，
是抛物线上一点，到轴的距离是，
与P到y轴的距离之和为，
最小值为.
故选：C
15．已知抛物线，直线，，为上的动点，则点到与的距离之和的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】利用抛物线的定义及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由，得，焦点坐标为，准线方程为.
由抛物线的定义可知，点到准线的距离等于到焦点的距离，
所以点到与的距离之和的最小值为点到的距离
，
所以点到与的距离之和的最小值为.
故选：A.
16．是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据抛物线定义有，数形结合判断其最小值.
【详解】由题设，抛物线焦点，准线为，故，
如上图：，仅当共线且在两点之间时等号成立.
故选：C
17．已知抛物线，焦点为F，点P是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为Q，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由直线过定点，得出点Q的轨迹，再由抛物线的定义得出的最小值.
【详解】∵抛物线C的方程为，
∴，抛物线C的准线方程为，
∵方程可化为，
∴过定点．
设，设F，B的中点为A，则，
，Q为垂足，∴，
，即点Q的轨迹为以A为圆心，半径为的圆，
过点P作准线的垂线，垂足为，
则，∴，
当且仅当A，P，三点共线且P在A，之间时等号成立，
过点A作准线的垂线，垂足为，
则，当且仅当，P，A三点共线时等号成立，
∴，当且仅当，P，Q，A四点共线且Q在P，A之间时等号成立，
的最小值为．
故选：C．
18．已知点是抛物线上的一点,点是圆上的一点,为坐标原点,则的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由圆方程可得,易得为的焦点.设,根据抛物线定义和圆的性质可得,又,将的最大值的问题转化为函数最值问题,利用二次函数求解即可.
【详解】因为圆,所以,易得为的焦点.
设,
因为点是抛物线上的一点,点是圆上的一点,
则,又,
所以,
令,
则,
所以当,即时,取得最大值,最大值为.
故选:A.
19．已知抛物线，其焦点为F，PQ是过点F的一条弦，定点A的坐标是，当取最小值时，则弦PQ的长是______.
【答案】
【分析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，由图可知当三点共线时，取最小值，
由此可得点的坐标，从而可得直线的方程，联立方程求出点的坐标，即可得解.
【详解】抛物线的焦点，准线为，
如图，过点作准线的垂线，垂足为，
则，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
所以当取最小值时，点的横坐标为，
当时，，即，
所以，
所以直线的方程为，
联立，消得，解得或，
当时，，即，
所以.
故答案为：.
20．已知点P为抛物线C：上一点，若点P到y轴和到直线的距离之和的最小值为2，则抛物线C的准线方程为___．
【答案】
【分析】由抛物线的定义结合距离公式得出，进而得出抛物线C的准线方程.
【详解】过点分别作直线，和y轴的垂线，垂足分别为，，设焦点为.
点到直线的距离为.
由定义可知，，则，
当且仅当三点共线时，取等号，
所以，解得，
则抛物线C的准线方程为
故答案为：
思考题1：已知定点，，圆C的标准方程为，点P为圆C上一点，求的最大值。
答案：
思考题2：已知定点，，圆C的标准方程为，点P为圆C上一点，求的取值范围。
答案：
思考题3：已知定点，，圆C的标准方程为，点P为圆C上一点，求的取值范围。
答案：
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