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双曲线性质
双曲线方程
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．
标准方程
图形
焦点坐标 ， ，
对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标 ， ，
范围
实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程 令， 令，
点和双曲线 的位置关系
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．
2．双曲线的其他性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;
性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
性质3： 仿垂径定理：
（1）直线与椭圆交于两点，若M为AB中点，则
若AB两点关于原点对称，M为椭圆上任意一点，则
性质4：双曲线的焦点三角形的内切圆的圆心的横坐标为，即圆心在直线上；
3. 双曲线的切线
点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．
点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，则切点弦所在直线方程：为双曲线外
双曲线的轨迹方程
圆外一定点B与圆上一点C，BC的垂直平分线与半径所在直线AC的交点P为双曲线。
如果动圆P与两个相离定圆的位置关系为同时外切或同时内切，那么动圆圆心P轨迹为双曲线的一支。
如果动圆P与两个相离定圆的位置关系为与定圆A外切，与定圆B内切，那么动圆圆心P轨迹为双曲线的一支。
（1） （2） （3）
5.双曲线的四个特征三角形
【题型一】双曲线方程
【例1】已知双曲线的离心率为，左 右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为.若，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为离心率为，所以，所以，因为，，所以，又，且为以为直角的直角三角形，所以，即，又，所以，解得或（舍去）
所以双曲线的标准方程为：
故选：A
【例2】若，是双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且，求的大小．
【答案】
【详解】由可得，
设，则，又，所以，
在中，
又因为，.
【例3】（多选题）已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示双曲线，则
B．若曲线表示椭圆，则且
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则
D．若曲线与椭圆有公共焦点，则
【答案】BCD
【解析】对于A：若曲线：表示双曲线，则，解得或，故A错误；
对于B：若曲线：表示椭圆，则，解得且，故B正确；
对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则，
所以，则，解得，故C正确；
对于D：椭圆的焦点为，
若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则，解得（舍去）；
若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则，解得，符合题意，故，故D正确；
故选：BCD
【例4】已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：根据对称性，不妨设在第一象限，则，
∴，故双曲线的方程为，
故选D.
变式1 设分别为双曲线的左、右焦点, 为双曲线的左右顶点,其中,若双曲线的顶点到渐近线的距离为,则双曲线的标准方程为
A． B． C． D．
变式2 已知双曲线的左 右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
变式3 已知双曲线的左 右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点.若为等边三角形，则的值为 .
变式4 （多选题）曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆
B．存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆
C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线
D．无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值
【题型二】双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
【例5】 已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为（ ）
A．23 B．24
C．25 D．26
【答案】B
【解析】由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，
又|F1F2|＝10，故为直角三角形，因此＝|PF1|·|PF2|＝24.
故选：B.
【例6】已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，，所以，解得，
所以双曲线的左焦点，
所以点是双曲线的右焦点．作出双曲线，如图所示．
由双曲线的定义，知①，②，
由①②，得，
又，
所以的周长为．故选：C.
【例7】过双曲线 (a＞0，b＞0)的右焦点F(c，0)作其渐近线y＝x的垂线，垂足为M，若S△OMF＝4(O为坐标原点)，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设一条渐近线为，由点到线距离公式求得，又为直角三角形，，则，，则解得，所以双曲线的标准方程为，
故选：C.
【例8】已知O为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则 .
【答案】
【详解】如图所示，延长交于点，由为的平分线及，易知≌，所以，
根据双曲线的定义，得，即，从而.
在中，分别为，的中点，则.
故答案为：
变式5 已知双曲线的左.右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足，则的面积为 ( )
A．1 B． C． D．
变式6 已知双曲线的左右焦点为，，点为双曲线上任意一点，则的最小值为
A．1 B． C．2 D．3
变式7 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与曲线的右支交于一点，直线平分，过点，作直线的垂线，垂足分别为，，为坐标原点，则的面积为
变式8（多选题）已知点P在双曲线C：上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（ ）
A．点P到x轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
【例9】（多选题）已知双曲线的左 右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若△为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．的面积为
C．的内心在直线上 D．内切圆半径为
【答案】BC
【详解】对于C，设的内心为I，作过作的垂线，垂足分别为，如图，
则，所以，
所以的内心在直线上，故C正确；
△为等边三角形,若在同一支，
由对称性知轴，，，.
,；
,
设的内切圆半径为r，则，
解得；
若分别在左右两支，则，
则，解得，离心率，，
设的内切圆半径为r，则，解得；
所以结论一定正确的是BC.
故选：BC.
【例10】设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，即，所以四边形为矩形，，
设，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以椭圆的离心率的取值范围为，
故选：B
变式9设O为坐标原点，为双曲线的左、右焦点，经过原点O的直线与双曲线交于两点、，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式10 已知椭圆的右焦点为上的两点关于原点对称，，且，则离心率的取值范围是 .
【题型三】双曲线上两线段的和差最值问题
【例11】已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ，又，故 ，
所以 ，则双曲线方程为 ，
结合双曲线定义可得，
如图示，连接,交双曲线右支于点M，即当三点共线，
即Q在M位置时，取最小值，
此时直线方程为 ，联立，
解得点Q的坐标为,( Q为双曲线右支上的一点)，
故，
故选：B
【例12】设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为______，最小值为______．
【答案】 9
【解析】设双曲线的左、右焦点分别为，，
则点为圆的圆心，点为圆的圆心，
连接，．当点在双曲线的左支上时（如图），
由双曲线的定义，可得，
由圆的几何性质，得，，
所以，即，
此时的最大值为9，最小值为3．
同理可得，当点在双曲线的右支上时，的最大值为，最小值为．
综上，的最大值为9，最小值为．
故答案为：，
【例13】已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．9
【答案】B
【解析】由，所以有，
设圆的圆心为，半径为，
设该双曲线另一个焦点为，所以，
求的最小值转化为求的最小值，
因此当点依次共线时，有最小值，即，
故选：B
变式11若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
变式12 已知双曲线：的左 右焦点分别为,，点，分别为渐近线和双曲线左支上的动点，当取得最小值时，面积为___________.
【题型四】求解轨迹
【例14】一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆的轨迹方程是（ ）
A．（） B．（）
C． D．
【答案】D
【解析】设动圆的半径为，由题意知，圆的圆心坐标为，半径为4．动圆与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以，
所以，即动点到两定点的距离之差为常数4，所以点在以，为焦点的双曲线上，所以，，所以，所以动圆的轨迹方程是．
故选：D.
【例15】在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，设切线的切点分别为，则，，，
，
所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支（除去与轴交点），
，，，则，双曲线方程为，轨迹方程为，
故选：A．
【例16】已知圆的圆心为，过点的直线交圆于两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【解析】将化为，即该圆的圆心为，半径为，
因为，所以，
又，所以，则，即，
所以，所以点的轨迹是双曲线.
故选：C.
变式13 已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A．x＝0 B．
C． D．或x＝0
变式14 已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．(x≤－1)
变式15 已知动圆C与圆内切，与圆外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例17】将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线的图象绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数的图象(其渐近线分别为x轴和y轴)；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到．设，n＝1，则此“对勾函数”所对应的双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】易知对勾函数的渐近线为与轴，其夹角为，故旋转之前双曲线的一条渐近线斜率为，即，所以双曲线离心率.
故选：C
变式16 将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线的图象绕原点逆时针旋转后，能得到反比例函数的图象（其渐近线分别为轴和轴）；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到（其渐近线分别为和轴）．设，，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（ ）
A． B．4 C． D．
课后测
1．若直线与双曲线：的一条渐近线平行；则的值为（ ）
A． B． C．4 D．16
2．若双曲线的两条渐近线与圆的交点等分圆周，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则△ABD的面积的最大值为________.
5．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A1、A2，左、右两个焦点分别是F1、F2，P是双曲线上异于A1、A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A．
B．直线PA1、PA2的斜率之积等于定值
C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个
D．△PF1F2的面积为
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双曲线性质
双曲线方程
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于且）的动点的轨迹叫作双曲线．这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距．
标准方程
图形
焦点坐标 ， ，
对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标 ， ，
范围
实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程 令， 令，
点和双曲线 的位置关系
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．
2．双曲线的其他性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数;
性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
性质3： 仿垂径定理：
（1）直线与椭圆交于两点，若M为AB中点，则
若AB两点关于原点对称，M为椭圆上任意一点，则
性质4：双曲线的焦点三角形的内切圆的圆心的横坐标为，即圆心在直线上；
3. 双曲线的切线
点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．
点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，则切点弦所在直线方程：为双曲线外
双曲线的轨迹方程
圆外一定点B与圆上一点C，BC的垂直平分线与半径所在直线AC的交点P为双曲线。
如果动圆P与两个相离定圆的位置关系为同时外切或同时内切，那么动圆圆心P轨迹为双曲线的一支。
如果动圆P与两个相离定圆的位置关系为与定圆A外切，与定圆B内切，那么动圆圆心P轨迹为双曲线的一支。
（1） （2） （3）
5.双曲线的四个特征三角形
【题型一】双曲线方程
【例1】已知双曲线的离心率为，左 右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为.若，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为离心率为，所以，所以，因为，，所以，又，且为以为直角的直角三角形，所以，即，又，所以，解得或（舍去）
所以双曲线的标准方程为：
故选：A
【例2】若，是双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且，求的大小．
【答案】
【详解】如图由可得，
设，则，又，所以，
在中，
又因为，.
【例3】（多选题）已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示双曲线，则
B．若曲线表示椭圆，则且
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则
D．若曲线与椭圆有公共焦点，则
【答案】BCD
【解析】对于A：若曲线：表示双曲线，则，解得或，故A错误；
对于B：若曲线：表示椭圆，则，解得且，故B正确；
对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则，
所以，则，解得，故C正确；
对于D：椭圆的焦点为，
若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则，解得（舍去）；
若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则，解得，符合题意，故，故D正确；
故选：BCD
【例4】已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：根据对称性，不妨设在第一象限，则，
∴，故双曲线的方程为，故选D.
变式1 设分别为双曲线的左、右焦点, 为双曲线的左右顶点,其中,若双曲线的顶点到渐近线的距离为,则双曲线的标准方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题得，故答案为A
变式2 已知双曲线的左 右焦点分别为，，一条渐近线方程为，过双曲线C的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于A，B两点，若的周长为36，则双曲线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，则双曲线方程为，，，
所以直线为，
设，由，得，
则，所以，
因为，，所以，
因为的周长为36，所以，
所以，得，所以双曲线方程为 ，
故选：C
变式3 已知双曲线的左 右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于，两点.若为等边三角形，则的值为 .
【答案】或
【详解】原题中未明确说明过直线与哪支交于两点，分两种情况讨论，如图:图1中，为通径，则，，则，则，则，图2中，，则，则，，，对使用余弦定理得，，
则，，.
故答案为：或
变式4 （多选题）曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆
B．存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆
C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线
D．无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值
【答案】BCD
【解析】对于A，因为，所以不存在实数使得曲线C的轨迹为圆，故A不正确；
对于B，当且时，即时，表示椭圆，所以存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆，故B正确；
对于C，当，即时，表示双曲线，故C正确；
对于D，当时，表示椭圆，此时椭圆的，所以曲线C的焦距为定值；
当时，表示双曲线，此时双曲线的，所以曲线C的焦距为定值；故D正确，
故选：BCD.
【题型二】双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题
【例5】 已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为（ ）
A．23 B．24
C．25 D．26
【答案】B
【解析】由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，
又|F1F2|＝10，故为直角三角形，因此＝|PF1|·|PF2|＝24.
故选：B.
【例6】已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，，所以，解得，
所以双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点．作出双曲线，如图所示．
由双曲线的定义，知①，②，
由①②，得，
又，
所以的周长为．故选：C.
【例7】过双曲线 (a＞0，b＞0)的右焦点F(c，0)作其渐近线y＝x的垂线，垂足为M，若S△OMF＝4(O为坐标原点)，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设一条渐近线为，由点到线距离公式求得，又为直角三角形，，则，，则解得，所以双曲线的标准方程为，
故选：C.
【例8】已知O为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则 .
【答案】
【详解】如图所示，延长交于点，由为的平分线及，易知≌，所以，
根据双曲线的定义，得，即，从而.
在中，分别为，的中点，则.
故答案为：
变式5 已知双曲线的左.右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足，则的面积为 ( )
A．1 B． C． D．
【答案】A
【详解】由双曲线的定义可得，又，两式联立得：，，又，所以，即为直角三角形，所以.
故选A
变式6 已知双曲线的左右焦点为，，点为双曲线上任意一点，则的最小值为
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】由题意知，，，不妨设点在双曲线右支上，则，设，所以，所以当时，的值最小，最小为1，故选：A.
变式7 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与曲线的右支交于一点，直线平分，过点，作直线的垂线，垂足分别为，，为坐标原点，则的面积为
【答案】8
【详解】延长，交于点，延长，交于点.
由题知为直径，所以，因为直线平分，
所以，
且，分别为，的中点，所以，，
所以，
所以，所以为等腰直角三角形.
因为，
所以的面积为.
变式8（多选题）已知点P在双曲线C：上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（ ）
A．点P到x轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
【答案】BC
【详解】设点．因为双曲线，所以．
又，所以，故A错误．
将代入得，得．
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得．
由双曲线的定义得，所以，故B正确．
在中，，且，
则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确．
由余弦定理得，所以，故D错误．
故选：BC．
【例9】（多选题）已知双曲线的左 右焦点分别为，，过的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若△为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．的面积为
C．的内心在直线上 D．内切圆半径为
【答案】BC
【详解】对于C，设的内心为I，作过作的垂线，垂足分别为，如图，
则，所以，
所以的内心在直线上，故C正确；
△为等边三角形,若在同一支，
由对称性知轴，，，.
,；
,
设的内切圆半径为r，则，解得；
若分别在左右两支，则，
则，解得，离心率，
，
设的内切圆半径为r，则，解得；
所以结论一定正确的是BC.
故选：BC.
【例10】设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示：
设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，即，所以四边形为矩形，，
设，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以椭圆的离心率的取值范围为，
故选：B
变式9 设O为坐标原点，为双曲线的左、右焦点，经过原点O的直线与双曲线交于两点、，且，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】双曲线的左、右焦点分别为、，过原点的直线与双曲线相交于，两点，不妨设在右支上， 故，又，可得，，
又，
所以,
由于，进而
则的面积等于的面积，故四边形面积为：．故选：D
变式10 已知椭圆的右焦点为上的两点关于原点对称，，且，则离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意得：椭圆的左焦点为E，则
因为两点关于原点对称，所以四边形为平行四边形
由，得，，且，
所以，化简可得，所以；
在中，
，
由得：
整理得：，又，所以；综上，
故答案为:
【题型三】双曲线上两线段的和差最值问题
【例11】已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ，又，故 ，
所以 ，则双曲线方程为 ，
结合双曲线定义可得，
如图示，连接,交双曲线右支于点M，即当三点共线，
即Q在M位置时，取最小值，
此时直线方程为 ，联立，
解得点Q的坐标为,( Q为双曲线右支上的一点)，
故，
故选：B
【例12】设是双曲线上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为______，最小值为______．
【答案】 9
【解析】设双曲线的左、右焦点分别为，，
则点为圆的圆心，点为圆的圆心，
连接，．当点在双曲线的左支上时（如图），
由双曲线的定义，可得，
由圆的几何性质，得，，
所以，即，
此时的最大值为9，最小值为3．
同理可得，当点在双曲线的右支上时，的最大值为，最小值为．
综上，的最大值为9，最小值为．
故答案为：，
【例13】已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．9
【答案】B
【解析】由，所以有，
设圆的圆心为，半径为，
设该双曲线另一个焦点为，所以，
求的最小值转化为求的最小值，
因此当点依次共线时，有最小值，
即，
故选：B
变式11 若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，
记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，
所以，.
故选：B.
变式12 已知双曲线：的左 右焦点分别为,，点，分别为渐近线和双曲线左支上的动点，当取得最小值时，面积为___________.
【答案】
【解析】由题意知，，，不妨取其中一条浙近线，
由双曲线定义知，所以，
所以，
所以当，，三点共线且垂直于渐近线时，取得最小值，
此时，直线方程为，
由，得，故点，.
故答案为：.
【题型四】求解轨迹
【例14】一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆的轨迹方程是（ ）
A．（） B．（）
C． D．
【答案】D
【解析】设动圆的半径为，由题意知，圆的圆心坐标为，半径为4．动圆与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以，
所以，即动点到两定点的距离之差为常数4，所以点在以，为焦点的双曲线上，所以，，所以，所以动圆的轨迹方程是．
故选：D.
【例15】在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，设切线的切点分别为，则，，，
，
所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支（除去与轴交点），
，，，则，双曲线方程为，轨迹方程为，
故选：A．
【例16】已知圆的圆心为，过点的直线交圆于两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【解析】将化为，
即该圆的圆心为，半径为，
因为，所以，
又，所以，
则，即，
所以，
所以点的轨迹是双曲线.
故选：C.
变式13 已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A．x＝0 B．
C． D．或x＝0
【答案】D
【解析】①当⊙M与⊙C1，⊙C2同时内切或者外切时，M点在y轴上，∴其轨迹方程为x＝0
②当⊙M与⊙C1内切、与⊙C2外切时有，当⊙M与⊙C1外切，与⊙C2内切时有，
即M轨迹为双曲线，，，b2＝c2－a2＝16－2＝14，所以方程为
综上：轨迹方程为或x＝0，
故选：D
变式14 已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．(x≤－1)
【答案】D
【解析】设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，
由动圆M与圆C1和圆C2均外切可得|MC1|＝r+1，|MC2|＝r+3，
相减可得|MC2|﹣|MC1|＝2＜|C1C2|，
故点M的轨迹是以C1、C2 为焦点的双曲线的左支．
由题意可得 2a＝2，c＝3，∴b＝，
故点M的轨迹方程为 x2﹣＝1（x≤﹣1），
故选：D.
变式15 已知动圆C与圆内切，与圆外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设圆C的半径为R，由题意可知，
两圆的圆心为：，∴，
可知点C的轨迹为以为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，
∴，
则动圆圆心C的轨迹方程为.
故选：B.
【例17】将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线的图象绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数的图象(其渐近线分别为x轴和y轴)；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到．设，n＝1，则此“对勾函数”所对应的双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】易知对勾函数的渐近线为与轴，其夹角为，故旋转之前双曲线的一条渐近线斜率为，即，所以双曲线离心率.
故选：C
变式16 将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线的图象绕原点逆时针旋转后，能得到反比例函数的图象（其渐近线分别为轴和轴）；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”也能由双曲线的图象绕原点旋转得到（其渐近线分别为和轴）．设，，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【详解】旋转后两条渐近线分别为和，夹角为，
旋转前后两条渐近线的夹角不变，实轴所在直线是两条渐近线所夹角的平分线，
所以旋转后，双曲线的实轴所在直线的倾斜角为，斜率为，方程为，
联立，解得或，
所以旋转后的双曲线的两个顶点为或，
所以实轴长为.
故选：C
课后测
1．若直线与双曲线：的一条渐近线平行；则的值为（ ）
A． B． C．4 D．16
【答案】A
【解析】双曲线：的渐近线方程为：
直线的斜率为：，由题意得，所以.
故选：A.
2．若双曲线的两条渐近线与圆的交点等分圆周，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线方程知：渐近线方程为，
双曲线的渐近线与圆的交点等分圆周，双曲线渐近线斜率为，
即，解得：.
故选：C.
3．已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：设，则，
所以，又AB的中点为，
所以，所以，由题意知，
所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，
代入并整理得，
因为为线段AB的中点，所以，整理得，
所以C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
4．双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则△ABD的面积的最大值为________.
【答案】
【解析】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，，
因此点A的坐标是，点D是线段OF的中点，
所以，
则直线AD的方程为，
点B是圆上的一点，
点B到直线AD距离的最大值也就是圆心O到直线AD的距离h加上半径，即，
，
则
故答案为：
5．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A1、A2，左、右两个焦点分别是F1、F2，P是双曲线上异于A1、A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A．
B．直线PA1、PA2的斜率之积等于定值
C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个
D．△PF1F2的面积为
【答案】BC
【解析】根据双曲线的定义可得：，A错误；
设，则，即
∵，则
∴，B正确；
不妨P在第一象限，根据双曲线的定义可知
若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一
若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一
根据双曲线的对称性可知使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个，C正确；
不妨P在第一象限，则
∴
则
D不正确；
故选：BC．
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