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椭圆及其性质
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；
当时，点的轨迹不存在．
知识点二 椭圆的方程、图形与性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（）
坐标范围 且 且
顶点 、 、 、 、
轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
共焦点椭圆方程
共离心率椭圆方程
点和椭圆 的关系
切线方程 （为切点） （为切点）
对于过椭圆上一点的切线方程，将椭圆方程中换为，换为
切点弦所在的直线方程
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
其他性质：
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为．
知识点三 椭圆焦点三角形有关的结论
与角度有关的结论：
1．与倾斜角有关：
（1），，，
补充一下怎么区分上面两个公式，两个焦半径一长一短且可以从图像判断出谁长谁短，长的分母自然小，短的分母大。同时当为锐角时，较小，较大。当为钝角时，较大，较小。
（2）
强调一下，上述三个公式反映的是过焦点的直线的倾斜角（或斜率）与焦半径长度（或直线弦长）之间的关系，角度唯一确定了长度，同理已知长度也可以快速求解出直线倾斜角。
（3）设，则
反映的是焦半径比值的应用，当题目已知焦半径比值，则务必要联想到此公式。
2．与顶角有关：
（4）
（5），
（二）焦半径的坐标式：(左加右减，上加下减)
已知B点坐标，则，
（三）仿垂径定理
1.直线与椭圆交于两点，若M为AB中点，则
2.若AB两点关于原点对称，M为椭圆上任意一点，则
（四）距离和差的最值
（1）如下图，若点A在椭圆内，P为椭圆上任一点。
求的最小值。
求的最大值。
求的最小值。
求的最大值。
（2）如右图，若点B在椭圆外，P为椭圆上任一点。
求的最小值。
求的最大值。
求的最小值。
求的最大值。
（五）椭圆的其他定义
与大圆A内切，与小圆B外切的第三个圆的圆心P的轨迹方程为椭圆．
圆内一定点B与圆上任一点C即BC的垂直平分线与半径AC的交点P的轨迹方程为椭圆。
过圆内一定点B做半径AC的平行线与另一半径AD的交点P的轨迹方程为椭圆。
（1） （2） （3）
椭圆的性质
【题型一】焦点三角形
⑴
【例1】已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的两个焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则点到，两点的距离之和为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．36
【详解】设椭圆的左、右焦点分别为，，如图所示．
因为线段的中点为，点为的中点，
所以，同理可得．
因为点在椭圆上，所以有，
所以，
即点到，两点的距离之和为12，
故选：C
【例2】已知定点，，P是椭圆上的动点，则的的最小值为______.
【详解】由题可知：点，是椭圆的焦点，所以，
所以，
即，当且仅当时等号成立，即时等号成立.
所以的最小值为，
故答案为：.
【例3】设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以．设，则．
在中，．
在中，，
所以，整理得，．
于是．
故选：D．
【例4】已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【详解】因为椭圆的离心率为，所以，，
如图，，所以为正三角形，又因为直线过且垂直于，
所以，直线的方程为，
设点坐标，点坐标，
将直线方程与椭圆方程联立，得，
显然,则，，
所以，
解得，,
由图，直线垂直平分，所以的周长等于的周长，.故选：C.
变式1已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】根据椭圆的定义，得，
所以，
即所求取值范围为．
故选：A
变式2 如图，若为椭圆：上一点，为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与相切于中点，则椭圆的方程为___________.
【详解】设线段的中点为,另一个焦点,由题意知,,
又是△的中位线,所以,所以,
由椭圆的定义知,
又,,
所以在直角三角形中,由勾股定理得,
又,可得,①
因为为椭圆的焦点,所以,
所以,②
联立①②解得,
所以椭圆的方程为.
故答案为:
变式3 如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，设椭圆的右焦点为，则，连接，
因为，所以，
所以，
由椭圆的定义可得，则，
又因为，所以，
所以椭圆的方程为，
故选：D
⑵
【例5】已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（ ）
A．离心率 B．的周长为18
C．直线与直线斜率乘积为定值 D．若，则的面积为8
【详解】
由，可得，，，
A，离心率，故A正确；
B，的周长为，故B正确.
C，设，，故C正确；
D，，，
又因为，所以，
即，解得,
所以，故D错误.
故选：D
变式4 已知A，F分别是椭圆C：的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为，若的周长为6，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
由题意得，，，
因为直线AM的倾斜角为，所以直线MN的方程为，
把代入椭圆方程解得，所以，
因为A在直线MN上，所以，解得．
又，，解得，
令，则，即，
因为M为椭圆的右焦点，所以，由椭圆的定义可知，，
因为的周长为6，所以，所以，所以，，所以，，.
所以．
故答案为：．
⑶，
【例6】已知分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，则（ ）
B． C． D．与的取值有关
【详解】由椭圆定义可知：，
，，
即
∴
故选：B
【例7】点P为椭圆上的一点，为椭圆两焦点，那么的最小值为（ ）
B． C． D．
【详解】设，则，
．
故选：D．
变式5 设椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，且满足，则的值为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．15
【详解】由椭圆标准方程知，，,
当点P为椭圆的左、右顶点时（不妨令P为右顶点），
，
则，故点P不为椭圆的左、右顶点，
设和的夹角为，因为，
所以，
在中，由余弦定理得，
即，
即，所以.
故选：D.
变式6 椭圆的左 右焦点分别为，椭圆上的点满足：且，则_________.
【详解】因为且，
所以，
由椭圆的定义得，故
所以在中，由余弦定理得，
代入数据得，解得：.
故答案为：.
⑷，,
【例8】设、分别为椭圆：的左、右两个焦点，过作斜率为1的直线，交于、两点，则________
【详解】
由定义有，，所以．
变式7 已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为12，则m的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，
由可知，，
因为过的直线交椭圆于两点，所以，
所以，所以当垂直于轴时，最短，此时最大，
当时，，得，所以 的最小值为，
因为的最大值为12，所以，解得或（舍去），
故选：B
【题型二】转换求和差的最大（小）值
【例9】设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，的坐标为（6，4），则的最大值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【详解】如图所示，
由椭圆可得：，，，
，，由椭圆的定义可得：，
则的最大值为15，
故选：C
【例10】已知椭圆，圆，，分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为
B． C． D．
【详解】由圆，得．
作出椭圆与圆的图象如图，
为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为，
则，
圆过点，要使最小，则需要取最大值为圆的直径．
的最小值为．
故选：．
【例11】已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如下图所示：
在椭圆中，，，，
圆心为椭圆的右焦点，由椭圆定义可得，
，由椭圆的几何性质可得，即，
由圆的几何性质可得，
所以，.
故选：B.
变式8 已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点在椭圆上运动时，的最大值为
A．12 B．10 C．8 D．4
【详解】如图所示,
设椭圆的下焦点为,则
，
∵,当且仅当A,F′,M共线且F′在线段上时等号成立,
∴的周长为，所以的周长的最大值为，
此时，
故选：B.
变式9 已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为
A．5 B．7
C．13 D．15
【答案】B
【详解】依题意可得，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x-3）2+y2=4的圆心，（-3,0），（3,0），所以根据椭圆的定义P到两焦点的距离和始终为2a=10，那么可得：（|PM|+|PN|）min=2×5-1-2=7，
故选B．
【题型三】仿垂径定理
(M为AB中点)，（AB为关于原点对称的两点）
【例12】已知是椭圆的一个焦点，过F的直线交该椭圆于两点，线段的中点坐标为，则该椭圆的离心率是__________．
【详解】设，因为在椭圆上，所以，
所以，所以，
因为线段的中点坐标为，，
所以，，且，
所以，所以且，所以，
故答案为：.
【例13】在椭圆=1中，以点M(2，)为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A．3x+4y=0 B．3x-4y=0 C．3x+4y-12=0 D．3x-4y+12=0
【详解】设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则，两式相减得=0，
即-，
又因为M(2，)为弦AB的中点，代入上式可得斜率为-，
所以直线方程为3x+4y-12=0.
故选：C
【例14】椭圆短轴的上下两个端点分别为，直线交椭圆于两点．
设直线的斜率分别为，，若，求的值．
【答案】
【详解】由题知，设，
所以，，
设斜率为，则，
因为，即
所以，即
因为，
所以，
所以
因为
因为，
，
所以，，即，解得或.
当，，此时直线的斜率必有一个不存在，不满足题意，故舍去.
所以，
变式10 椭圆，过点的直线与交于两点，线段中点的横坐标为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设直线：，
由得：，
设，，则，
又中点横坐标为，，解得：，即直线斜率为.
故选：B.
变式11 若椭圆与直线交于，两点，过原点与线段中点的连线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】把代入椭圆得，
整理得.
设，，则，.
线段中点坐标为，
原点与线段中点的连线的斜率.
由椭圆，可知，，则.
则椭圆的离心率.
故选：B.
变式12 已知AB是椭圆一条弦，且弦AB与直线：垂直，P是AB的中点，O为椭圆的中心，则直线OP的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【详解】依题意，弦AB不过点O，而弦AB与直线：垂直，则设直线AB： ，
由消去y得：，
，即，且，
设点，则，于是得弦AB中点，
所以直线OP的斜率是.
故选：D
【题型四】焦半径的比值λ
【例15】已知椭圆上，过F1的直线l与椭圆E交于A、B两点（点A位于x轴上方），若，则直线l的斜率k的值为（ ）
B． C． D．
【答案】D
【详解】根据，，
【例16】 设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，则，，
∴，，∵，
在中，由余弦定理，
得：，∴，
化简可得，而，
故，∴，，，
∴，∴，且，
∴是等腰直角三角形，，∴，∴椭圆的离心率.
故选：D.
变式13 已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】根据题意，设，，方程为，
代其入椭圆方程得：．
①，②．
，，，
③．
∴由①③得，④
∴将④代入②得：，
，所以，
，
∴椭圆的离心率．
故选：B
变式14 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆C的离心率为（ ）
B． C． D．3
【答案】A
【详解】根据，，故。
变式15 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，过的直线与椭圆交于，两点.若，，则椭圆的标准方程为______.
【详解】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），
过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2＝3F2B，AB＝BF1，
设F2B＝x，则AF2＝3x，AB＝BF1＝4x，根据椭圆的定义，整理得AF1＝2x，
由于△AF1B为等腰三角形，所以，
利用余弦定理，
整理得，
解得，故，所以2a＝5x＝，
解得：a＝，由于c＝2，所以b＝，
所以椭圆的方程为．
故答案为：．
【题型五】椭圆的切线性质
【例17】已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即.
故选：B
【例18】已知为椭圆的右焦点，点是直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【详解】由已知可得，设，
则切线，的方程分别为，，
因为切线，过点，
所以，，所以直线的方程为 ，
因为，所以，所以点在直线上，
所以三点共线，所以，
故选：D
变式16 经过点且与椭圆相切的直线方程是 ( )
A． B．
C． D．
【详解】显然当时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意；
当存在斜率时，直线方程设为：，与椭圆的方程联立得，
，得到
直线与椭圆相切，故，即
解得所以切线方程为，故本题选A。
变式17 椭圆：，过其左焦点的弦，过点，分别作椭圆的切线，交于点，则面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，设，由题可知，，
设过点的切线为，联立，由可求得，即切线为，而点在切线上，所以，同理可得，所以直线的方程为，而直线过点，所以，
当时，，即，当时，显然，
所以，，易知当直线轴时，，，
即面积最小值为．
故选：B．
【题型六】椭圆上动点的距离的最值
【例19】已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为（ ）（椭圆的参数方程）
B． C． D．
【详解】设椭圆上的点的参数方程：，则点到直线l距离，
，最大值为，故选：C
变式18 设P是椭圆上的任一点，EF为圆的任一条直径，则的最大值为 ．
【详解】圆的圆心为，半径长为，
设点，则且，
，，
所以
，
所以，当时，取得最大值，即.
故答案为：.
【题型七】轨迹方程
【例20】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点，求点的轨迹方程；
【答案】
【详解】圆的标准方程为，故半径
因为，，故，
所以，故，
因此，
由题设得，，，
由椭圆定义可得点的轨迹方程为：．
变式19 已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于，求动点的轨迹的方程；
【答案】
【详解】，且，
点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设椭圆方程为，则，，
，．所以点的轨迹方程为：．
椭圆的性质课后测
1．已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
【详解】不妨设点M到该椭圆左焦点F的距离为2，如图所示：
设椭圆左焦点为F，右焦点为.
∵，，∴.
又∵为MF的中点，O为的中点，
∴.
故选：B.
2．如图，把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，F是左焦点，则（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【详解】因为把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，
设椭圆的右焦点为，且，可得，
由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得，
所以.
故选：B.
3．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．
【详解】由椭圆，得，，.
设，，
∴，在中，由余弦定理可得：，
可得，得，
故.
故选：C.
4．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． D．13
【详解】因为椭圆，
所以，，
则椭圆的右焦点为，
由椭圆的定义得：，
当点P在点处，取等号，
所以的最大值为5，
故选：B.
5．已知点为椭圆左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】椭圆的焦点，
设，
，
所以，
由于，，
所以的取值范围为.
故选：A
6．已知椭圆，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，，直线m经过点B且垂直于x轴，P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交m于点M，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】，，
设，则，所以，
则，
设，则，
所以.
故选：D.
7．设P是椭圆=1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是
【详解】方法一：（二级结论应用）
椭圆,.
当点是椭圆的短轴的端点时,取得最大值,
,
的最小值.
故答案为：.
方法二：在中，因为，，
.
当且仅当时取等号.
故答案为：.
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椭圆及其性质
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：
注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．
知识点二 椭圆的方程、图形与性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（）
坐标范围 且 且
顶点 、 、 、 、
轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
离心率
共焦点椭圆方程
共离心率椭圆方程
点和椭圆 的关系
切线方程 （为切点） （为切点）
对于过椭圆上一点的切线方程，将椭圆方程中换为，换为
切点弦所在的直线方程
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）
弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）
其他性质：
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点其值为b，到中心距离最大的点是长轴的两个端点其值为a．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为．
知识点三 椭圆焦点三角形有关的结论
与角度有关的结论：
1．过焦点的直线与长轴所成的角有关：（注意焦点在y轴上也可以使用，但略有不同）
（1），，，
补充一下怎么区分上面两个公式，两个焦半径一长一短且可以从图像判断出谁长谁短，长的分母自然小，短的分母大。同时当为锐角时，较小，较大。当为钝角时，较大，较小。
（2）
强调一下，上述三个公式反映的是过焦点的直线的倾斜角（或斜率）与焦半径长度（或直线弦长）之间的关系，角度唯一确定了长度，同理已知长度也可以快速求解出直线倾斜角。
（3）设，则
反映的是焦半径比值的应用，当题目已知焦半径比值，则务必要联想到此公式。
2．顶角有关：
（4）
（5），
（二）焦半径的坐标式：(左加右减，上加下减)
已知B点坐标，则，
（三）仿垂径定理
1.直线与椭圆交于两点，若M为AB中点，则
2.若AB两点关于原点对称，M为椭圆上任意一点，则
（四）距离和差的最值
（1）如图，若点A在椭圆内，P为椭圆上任一点。
求的最小值。
求的最大值。
求的最小值。
求的最大值。
（2）如图，若点B在椭圆外，P为椭圆上任一点。
求的最小值。
求的最大值。
求的最小值。
求的最大值。
（五）椭圆的其他定义
与大圆B内切，与小圆A外切的第三个圆的圆心P的轨迹方程为椭圆．
圆内一定点B与圆上任一点C，即BC的垂直平分线与半径AC的交点P的轨迹方程为椭圆。
过圆内一定点B做半径AC的平行线与另一半径AD的交点P的轨迹方程为椭圆。
（1） （2） （3）
椭圆的性质
【题型一】焦点三角形
⑴
【例1】已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的两个焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则点到，两点的距离之和为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．36
【详解】设椭圆的左、右焦点分别为，，如图所示．
因为线段的中点为，点为的中点，
所以，同理可得．
因为点在椭圆上，所以有，
所以，
即点到，两点的距离之和为12，
故选：C
【例2】已知定点，，P是椭圆上的动点，则的的最小值为______.
【详解】由题可知：点，是椭圆的焦点，所以，
所以，
即，当且仅当时等号成立，即时等号成立.
所以的最小值为，
故答案为：.
【例3】设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以．设，则．
在中，．
在中，，
所以，整理得，．
于是．
故选：D．
【例4】 已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为.过且垂直于的直线与交于两点，，则的周长是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【详解】因为椭圆的离心率为，所以，，
如图，，所以为正三角形，又因为直线过且垂直于，
所以，直线的方程为，
设点坐标，点坐标，
将直线方程与椭圆方程联立，得，
显然,则，，
所以，解得，,
由图，直线垂直平分，所以的周长等于的周长，.故选：C.
变式1已知为椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2 如图，若为椭圆：上一点，为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与相切于中点，则椭圆的方程为___________.
变式3 如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
⑵
【例5】已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（ ）
A．离心率 B．的周长为18
C．直线与直线斜率乘积为定值 D．若，则的面积为8
【详解】
由，可得，，，
A，离心率，故A正确；
B，的周长为，故B正确.
C，设，，故C正确；
D，，，
又因为，所以，
即，解得,
所以，故D错误.
故选：D
变式4 已知A，F分别是椭圆C：的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为，若的周长为6，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
（3），
【例6】已知分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，则（ ）
B． C． D．与的取值有关
【详解】由椭圆定义可知：，
，，
即
∴
故选：B
【例7】点P为椭圆上的一点，为椭圆两焦点，那么的最小值为（ ）
B． C． D．
【详解】设，则，
．
故选：D．
变式5 设椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，且满足，则的值为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．15
变式6 椭圆的左 右焦点分别为，椭圆上的点满足：且，则_________.
⑷，,
【例8】设、分别为椭圆：的左、右两个焦点，过作斜率为1的直线，交于、两点，则________
【详解】
由定义有，，所以．
变式7 已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为12，则m的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【题型二】转换求和差的最大（小）值
【例9】设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，的坐标为（6，4），则的最大值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【详解】由椭圆可得：，，，
，，由椭圆的定义可得：，
则的最大值为15，
故选：C
【例10】已知椭圆，圆，，分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为
B． C． D．
【详解】由圆，得．作出椭圆与圆的图象
如图，为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为，
则，
圆过点，要使最小，则需要取最大值为圆的直径．
的最小值为．
故选：．
【例11】已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在椭圆中，，，，
圆心为椭圆的右焦点，由椭圆定义可得，
，由椭圆的几何性质可得，即，
由圆的几何性质可得，
所以，.
故选：B.
变式8 已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点在椭圆上运动时，的最大值为
A．12 B．10 C．8 D．4
变式9 已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为
A．5 B．7
C．13 D．15
【题型三】仿垂径定理
(M为AB中点)，（AB为关于原点对称的两点）
【例12】已知是椭圆的一个焦点，过F的直线交该椭圆于两点，线段的中点坐标为，则该椭圆的离心率是__________．
【详解】设，因为在椭圆上，所以，
所以，所以，
因为线段的中点坐标为，，
所以，，且，
所以，所以且，所以，
故答案为：.
【例13】在椭圆=1中，以点M(2，)为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A．3x+4y=0 B．3x-4y=0 C．3x+4y-12=0 D．3x-4y+12=0
【详解】设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则，两式相减得=0，即-，
又因为M(2，)为弦AB的中点，代入上式可得斜率为-，所以直线方程为3x+4y-12=0.
故选：C
【例14】椭圆短轴的上下两个端点分别为，直线交椭圆于两点．
设直线的斜率分别为，，若，求的值．
【答案】
【详解】由题知，设，所以，，
设斜率为，则，
因为，即所以，
即
因为，所以，
所以
因为，
因为，
，
所以，，即，解得或.
当，，此时直线的斜率必有一个不存在，不满足题意，故舍去.
所以，
变式10椭圆，过点的直线与交于两点，线段中点的横坐标为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
变式11 若椭圆与直线交于，两点，过原点与线段中点的连线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式12 已知AB是椭圆一条弦，且弦AB与直线：垂直，P是AB的中点，O为椭圆的中心，则直线OP的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【题型四】焦半径的比值λ
【例15】已知椭圆上，过F1的直线l与椭圆E交于A、B两点（点A位于x轴上方），若，则直线l的斜率k的值为（ ）
B． C． D．
【答案】D
【详解】根据，，
【例16】 设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，则，，
∴，，∵，
在中，由余弦定理，
得：，∴，
化简可得，而，
故，∴，，，
∴，∴，且，
∴是等腰直角三角形，，∴，∴椭圆的离心率.
故选：D.
变式13 已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式14已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆C的离心率为（ ）
B． C． D．3
变式15 在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，过的直线与椭圆交于，两点.若，，则椭圆的标准方程为______.
【题型五】椭圆的切线性质
【例17】 已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即.
故选：B
【例18】已知为椭圆的右焦点，点是直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【详解】由已知可得，设，
则切线，的方程分别为，，
因为切线，过点，所以，，所以直线的方程为 ，
因为，所以，所以点在直线上，所以三点共线，所以，
故选：D
变式16 经过点且与椭圆相切的直线方程是 ( )
A． B．
C． D．
变式17 椭圆：，过其左焦点的弦，过点，分别作椭圆的切线，交于点，则面积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型六】椭圆上动点的距离的最值（椭圆的参数方程）
【例19】已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为（ ）
B． C． D．
【详解】设椭圆上的点的参数方程：，则点到直线l距离，
，最大值为，故选：C
变式18 设P是椭圆上的任一点，EF为圆的任一条直径，则的最大值为 ．
【题型七】轨迹方程
【例20】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点，求点的轨迹方程；
【答案】
【详解】圆的标准方程为，故半径
因为，，故，
所以，故，因此，
由题设得，，，
由椭圆定义可得点的轨迹方程为：．
变式19 已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于，求动点的轨迹的方程；
椭圆的性质课后测
1．已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．
2．如图，把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，F是左焦点，则（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
3．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．
4．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． D．13
5．已知点为椭圆左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，，直线m经过点B且垂直于x轴，P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交m于点M，则（ ）
A． B． C． D．
7．设P是椭圆=1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是
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