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齐次化与点乘双根法
知识点一 齐次化
若直线与二次曲线相交于，，如图所示，
设点、的坐标分别为、，则，．
现将二次曲线方程齐次化的方法如下：
首先将直线化出“”： 将直线化为截距式；
其次利用“”构建关于、的齐次方程，操作方法是对二次曲线方程二次方项保持不变，一次方项同乘以“”，常数项同乘以“”的平方，则可把二次曲线方程变为：
，
将其化简得：
，
为了简化运算，记，，，
则方程可化为：；
最后我们对该齐次式两边同时除以可得：
，
因为，是直线与二次曲线的交点，
所以点，点满足方程，
因此，是方程的两个根，
由韦达定理可得（）．
由原理可知齐次化适应于处理解决曲线上的点与坐标系原点连线有关的斜率运算问题，如：
，，，，，，
前面两个考题相对比较常见，后面的则需要变形才能使用，变形如下：
，，．
这个需要根据韦达定理判断符号再变形．在遇到上述关于斜率运算问题时，采取齐次化处理往往能达到简化运算的目的．
【题型一】定点在坐标原点的斜率问题
【例1】已知直线交椭圆于，两点，为坐标原点，若，求该直线方程．
【详解】步骤1：构建关于、的齐次式：
将直线变形为代入进行“”的代换得，得；
步骤2：构建关于斜率的方程：
因为，方程两边同除以，得；
步骤3：利用韦达定理转化目标：
易知和是方程的两个根，由韦达定理得，
即，故所求直线方程为．
【例2】 设，为椭圆上两个动点，且，过原点作直线的垂线，求的轨迹方程．
【详解】（齐次化解法）设直线方程为，联立，可得，
所以，化简可得，
整理成关于，的齐次式：，
进而两边同时除以，则，
记，的斜率分别为，，则，为方程的两个根，
由韦达定理得，因为，所以， ...①
又因为直线方程等价于为，，则直线，
联立求D点坐标，解得...②，将①带入②中，可得：
变式1 已知抛物线的方程为，若直线与抛物线相交于，两点，且以为直径的圆过坐标原点，证明直线过定点．
【证明】因为以为直径的圆过坐标原点，所以，即．
设，，则，．将直线设为，
将“”代入抛物线的方程得，整理得，
因为，方程两边同除以，得，
易知和是方程的两个根，
由韦达定理得，即，
代入求直线方程得，即，
当时，，故直线恒定过点，即
【题型二】定点不在坐标原点的斜率问题（平移坐标系）
【例3】已知椭圆：，过点，，是椭圆上的两个动点，
（1）如果直线的斜率与的斜率之和为，证明直线恒过定点；
（2）如果直线的斜率与的斜率之积为，证明直线恒过定点．
【详解】法一：（平移构造+齐次化）平移坐标系．
平移坐标系，使得坐标原点和点重合，则，得新坐标系中，
在新坐标系中，椭圆方程为，化简得
①，
直线平移后变为，其方程不妨设为，代入①构建齐次式得
，
整理得
，
两边同除以
得 ②，
易知和是方程②的两个根，由韦达定理得
，
化简得，代入直线得，整理得
，
直线恒过和直线的交点，
则直线恒定过点．
(2) ，即，直线的方程为，
直线恒过和直线的交点，则直线恒定过点．
法二：（平移构造+齐次化）平移直线和平移椭圆．
【解析】设直线的方程为，即，变形得，
将椭圆变形为
展开整理得，
将直线进行“”的代换得
，
去分母化简得
，
等式同除以得
，
因此是方程的实数根，设，，
则和是方程的两个实数根，①
由韦达定理得：，即，即，
代入直线的方程得，
所以直线恒定过定点．
②由韦达定理得，所以，
代入直线的方程为，
所以直线恒定过定点．
【方法小结】当定点不在作用原点时，往往可以像解法一一样把坐标系原点平到定点处，然后按照定点为原点的处理方法求解，但是最后一定记得把求解结果平移回去；当然也可以按照解法二的方法来处理，但是这个计算往往没有解法一那么简洁．解法二的操作方法如下:一般地，构造齐次方程的方法为：设定点，直线与曲线的交点为，，将圆锥曲线的方程及直线方程都转化为关于，的方程，使直线方程具有的形式，在圆锥曲线的方程中，二次项不变，一次项乘以，常数项乘以，即构造成为关于，的齐次方程，然后等式两边同除以，从而使得所研究直线的斜率为该方程的两个根，达到简化数学运算的目的．
变式2 已知椭圆，过其上一定点作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于，两点，证明：直线斜率为定值．
【详解】以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如图所示：
旧坐标 新坐标
，即，所以，
原来 ，则转换到新坐标为：，即．
设直线方程为：．
原方程：则转换到新坐标就成为：．
展开得：
构造齐次式：
整理为：
两边同时除以，则，
所以，所以
而．所以．
平移变换，斜率不变，所以直线斜率为定值．
变式3 已知椭圆：，过点作直线,交椭圆于，两点，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点请写出点坐标．
【详解】（平移坐标＋齐次化）
把椭圆向左平移2个单位，（是为了平移到原点）则方程变成（左加右减，上减下加）
设直线为；下面对椭圆方程进行化简；
我们需要的形式是不出现一次项，都是二次项，此时将乘上一个，也就是即可，此时椭圆方程变成，两边同时除以，令，
则化简为，又因为，则恒过，
再向右平移个单位，则恒过．
【题型三】齐次化方法在等角问题中的应用
【例4】设椭圆：的右焦点为，过的直线与相交于，两点，点点坐标为．设为坐标原点，证明：．
【详解】方法识别：等价于，故可以用平移构造和齐次化来处理．
将椭圆：和直线：按照平移至以点为坐标原点，
得和，即，
将代入构造齐次化得
，
整理得 ．设平移后设，，则，．
易知和是方程的两个根，由韦达定理得，根据平移角度不变知，，
故有．
等角问题的推广：
结论1：过抛物线线外一点作抛物线的切线，，则．
结论2：过椭圆外一点作椭圆的切线，，则．
变式4 设抛物线：，点，，过点的直线与交于，两点．证明：．
【详解】要证，只需证．
当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以．
当不与轴垂直时，设直线的方程为，
将坐标系原点按平移至点，则在新坐标系中得到抛物线方程和直线方程分别为
，，
将直线化为，整理得:，
将直线代入构建齐次方程得
，
化简得：，
设平移后，，则和是方程的两个根，
由韦达定理得，因为平移角度不变，所以，故证．
变式5 已知点，设不垂直于轴的直线与抛物线：交于不同的两个点，，若轴是的角平分线，证明：直线过定点．
【详解】将坐标系原点按照平移到点，则在新坐标系中，的轨迹方程为
，即，
设平移后直线的方程为，将其代入式化为齐次式得，化简得
，
因为，两边同除以得：
①，
设平移后，，则，．
和是方程①的两个根，由韦达定理得
，
又因为轴是的角平分线，所以，即，
所以，所以，即，
所以直线过定点，将定点按照平移原坐标系得，
所以过定点，即直线过定点．
知识点二 点乘双根法
1、点乘双根法的原理：
点乘双根法是通过对双根式进行赋值和，直接计算和的含参表达式，然后整体代入目标
，从而构建出关于参数的等式关系式，避免繁杂的计算，达到快速解题的目的（其中，点坐标为已知定点，，为直线与圆锥曲线的交点）．
2、点乘双根法适用题型:
在圆锥曲线中，遇到如（其中为常数）的形式，其中点是已知的点，，为直线与圆锥曲线的交点的问题时，可用点乘双根法以达到简化运算，快速解题的目的．
【例1】椭圆：，若直线：与椭圆交于，两点（，不是左右顶点），且以直线为直径的圆恒过椭圆的右顶点．求证：直线恒过定点，并求出该点的坐标．
步骤1：联立方程，构建双根式
设椭圆的右顶点为，，，所以，
联立，化简得：，
又因为，是方程的两个根，所以
①
步骤2：赋值
点乘双根法赋值目的是为了对目标中的和进行整体代换以达到简化计算的目的，故对双根式①中的进行赋值得
，
整体求出
②．
接下来先求出，，只需对双根方程①中的进行赋值，并两边同时乘以可得
③．
步骤3：变形代入
将②和③整体代入，可得
，
即，分解因式得，或，
当时，直线，故直线恒过定点．
当时，直线，故直线恒过定点，舍去．
【例2】设椭圆中心在原点，长轴在轴上，上顶点为，左右焦点分别为，，线段 ，中点分别为，，过作直线交椭圆于，两点，使，求直线的方程．
【详解】直线不与轴垂直，则设直线方程为：，，，
因为，则，所以， ①
现联立则方程可以等价转化:
,即
令，
令，
结合化简可得：
，，所以直线方程为：．
变式1 已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ．
【解析】设，，直线：(其中)，
因为，所以，即
①
联立消去可得：
，
又因为，是方程的两根，所以
②．
令，得，所以
③；
令，得，所以
④
将③④式代入①，得
，
解得，，所以．
课后作业
1．已知抛物线，过原点且相互垂直的直线，交抛物线于，两点，求证：直线过定点．
【详解】 方法识别：，适合用齐次化来处理．
设：①，，，，，
将直线变形为，代入到中得，
两边同除以，整理可得，
注意到，，所以和方程的两个根，
所以，又因为，所以，
所以，代入①可得，
所以直线恒定过定点．
2．已知椭圆，设直线不经过点的直线交椭圆于，两点，若直线，的斜率之和为，证明：直线恒过定点．
【详解】(1)当直线的斜率存在时，以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如图所示：
旧坐标 新坐标
即
所以，则，即，
在新坐标中转换为：，即．
设直线方程为：．
原方程：则转换到新坐标就成为：．
展开得：
构造齐次式：
整理为：
两边同时除以，则
所以，所以代入，
整理得，对于任意都成立．
则，解之得，故原理坐标系地应点坐标为，所以过定点；
（2）当直线的斜率不存在时，设：，则，，
所以，直线：，过定点．
综上，直线恒过定点．
3．已知椭圆，设为椭圆的下顶点，，为椭圆上异于的不同两点，且直线与的斜率之积为．
（1）试问，所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由;
（2）若点为椭圆上异于，的一点，且，求的面积的最小值．
【详解】（1）把点平移到原点，需向上平移个单位，设直线为此时椭圆方程变成，为了让结果都是二次项，则让乘上一个1，即，即，化简得：，同时除以，并令，则方程变成，此时；
直线为，恒过，再平移回去，则原题直线恒过．
（2）由（1）知，由知
直线的解析式为，联立可得
，
设，，当时，为最小．
4．已知抛物线方程为，直线与抛物线交于，两点，，且，求的值．
【详解】 设，， ①
联立，消得②，
将代入②式得 ③；
同理：联立，消得④，
将代入④得⑤，
联立①③⑤得：，
所以，所以直线方程为．
椭圆的左，右焦点分别为，，过作与轴不重合的直线交椭圆于，两点．若椭圆的离心离满足，为坐标原点，求证：．
【详解】 （点乘双根法）
由题意有：，，所以，
则，要证（因为）
．
设，，①当轴时，，则，，
则
，所以．
②当与轴不垂直时，设直线：，，，
所以 ⑴．
联立 得，
所以，
令，则，即②；
令，则，即③，
将②③代入①得，
要证，只需证即可，
因为，则，
所以，
所以，综上可得：．
设，为曲线：上两点，与的横坐标之和为．
（1）求直线的斜率；
（2）设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程．
【详解】 （1）设,，则，，，，
于是直线的斜率．
（2）法一：（齐次化+坐标系平移构造）
因为，所以，设，由题设知，所以，所以，
平移坐标系，使坐标原点与点重合，则，
在新坐标系中，曲线：的方程为：，整理得．
直线平移后变为，斜率仍为，其方程不妨设为，代入曲线方程得
，，
两边同除以得，
易知和是方程的两个根，且，
故由韦达定理得，，直线的方程为，
平移回原坐标系得直线方程为，即．
法二：（点乘双根法）
类型识别:因为，所以，故适合使用点乘双根法．
因为，所以，设，由题设知，所以，于是．
设，，，，
因为，所以 ①．
设直线的方程:，联立化简得，
又因为，是方程的两个根，
故有②，
令，则③，
又，
令代入②得④，
将③④代入①得，解之得或（舍去），
故所以直线的方程:．
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§ 齐次化
知识点一 齐次化
若直线与二次曲线相交于，，如图所示，
设点、的坐标分别为、，则，．
现将二次曲线方程齐次化的方法如下：
首先将直线化出“”： 将直线化为截距式；
其次利用“”构建关于、的齐次方程，操作方法是对二次曲线方程二次方项保持不变，一次方项同乘以“”，常数项同乘以“”的平方，则可把二次曲线方程变为：
，
将其化简得：
，
为了简化运算，记，，，
则方程可化为：；
最后我们对该齐次式两边同时除以可得：
，
因为，是直线与二次曲线的交点，
所以点，点满足方程，
因此，是方程的两个根，
由韦达定理可得（）．
由原理可知齐次化适应于处理解决曲线上的点与坐标系原点连线有关的斜率运算问题，如：
，，，，，，
前面两个考题相对比较常见，后面的则需要变形才能使用，变形如下：
，，．
这个需要根据韦达定理判断符号再变形．在遇到上述关于斜率运算问题时，采取齐次化处理往往能达到简化运算的目的．
【题型一】定点在坐标原点的斜率问题
【例1】已知直线交椭圆于，两点，为坐标原点，若，求该直线方程．
【详解】步骤1：构建关于、的齐次式：
将直线变形为代入进行“”的代换得，得；
步骤2：构建关于斜率的方程：
因为，方程两边同除以，得；
步骤3：利用韦达定理转化目标：
易知和是方程的两个根，由韦达定理得，
即，故所求直线方程为．
【例2】 设，为椭圆上两个动点，且，过原点作直线的垂线，求的轨迹方程．
【详解】（齐次化解法）设直线方程为，联立，可得，
所以，化简可得，
整理成关于，的齐次式：，
进而两边同时除以，则，
记，的斜率分别为，，则，为方程的两个根，
由韦达定理得，因为，所以， ...①
又因为直线方程等价于为，，则直线，
联立求D点坐标，解得...②，将①带入②中，可得：
变式1 已知抛物线的方程为，若直线与抛物线相交于，两点，且以为直径的圆过坐标原点，证明直线过定点．
【题型二】定点不在坐标原点的斜率问题（平移坐标系）
【例3】已知椭圆：，过点，，是椭圆上的两个动点，
（1）如果直线的斜率与的斜率之和为，证明直线恒过定点；
（2）如果直线的斜率与的斜率之积为，证明直线恒过定点．
【详解】法一：（平移构造+齐次化）平移坐标系．
平移坐标系，使得坐标原点和点重合，则，得新坐标系中，
在新坐标系中，椭圆方程为，化简得
①，
直线平移后变为，其方程不妨设为，代入①构建齐次式得
，
整理得
，
两边同除以
得 ②，
易知和是方程②的两个根，由韦达定理得
，
化简得，代入直线得，整理得
，
直线恒过和直线的交点，
则直线恒定过点．
(2) ，即，直线的方程为，
直线恒过和直线的交点，则直线恒定过点．
方法二：（平移构造+齐次化）平移直线和平移椭圆．
【解析】设直线的方程为，即，变形得，
将椭圆变形为
展开整理得，
将直线进行“”的代换得
，
去分母化简得
，
等式同除以得
，
因此是方程的实数根，设，，则和是方程的两个实数根，①
由韦达定理得：，即，即，
代入直线的方程得，所以直线恒定过定点．
②由韦达定理得，所以，
代入直线的方程为，所以直线恒定过定点．
【方法小结】当定点不在作用原点时，往往可以像解法一一样把坐标系原点平到定点处，然后按照定点为原点的处理方法求解，但是最后一定记得把求解结果平移回去；当然也可以按照解法二的方法来处理，但是这个计算往往没有解法一那么简洁．解法二的操作方法如下:一般地，构造齐次方程的方法为：设定点，直线与曲线的交点为，，将圆锥曲线的方程及直线方程都转化为关于，的方程，使直线方程具有的形式，在圆锥曲线的方程中，二次项不变，一次项乘以，常数项乘以，即构造成为关于，的齐次方程，然后等式两边同除以，从而使得所研究直线的斜率为该方程的两个根，达到简化数学运算的目的．
变式2 已知椭圆，过其上一定点作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于，两点，证明：直线斜率为定值．
变式3 已知椭圆：，过点作直线,交椭圆于，两点，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点请写出点坐标．
【题型三】齐次化方法在等角问题中的应用
【例4】设椭圆：的右焦点为，过的直线与相交于，两点，点点坐标为．设为坐标原点，证明：．
【详解】方法识别：等价于，故可以用平移构造和齐次化来处理．
将椭圆：和直线：按照平移至以点为坐标原点，
得和，即，
将代入构造齐次化得
，
整理得 ．设平移后设，，则，．
易知和是方程的两个根，由韦达定理得，根据平移角度不变知，，
故有．
等角问题的推广：
结论1：过抛物线线外一点作抛物线的切线，，则．
结论2：过椭圆外一点作椭圆的切线，，则．
变式4 设抛物线：，点，，过点的直线与交于，两点．证明：．
变式5 已知点，设不垂直于轴的直线与抛物线：交于不同的两个点，，若轴是的角平分线，证明：直线过定点．
§ 点乘双根
知识点一 点乘双根法
1、点乘双根法的原理：
点乘双根法是通过对双根式进行赋值和，直接计算和的含参表达式，然后整体代入目标
，从而构建出关于参数的等式关系式，避免繁杂的计算，达到快速解题的目的（其中，点坐标为已知定点，，为直线与圆锥曲线的交点）．
2、点乘双根法适用题型:
在圆锥曲线中，遇到如（其中为常数）的形式，其中点是已知的点，，为直线与圆锥曲线的交点的问题时，可用点乘双根法以达到简化运算，快速解题的目的．
【例1】椭圆：，若直线：与椭圆交于，两点（，不是左右顶点），且以直线为直径的圆恒过椭圆的右顶点．求证：直线恒过定点，并求出该点的坐标．
步骤1：联立方程，构建双根式
设椭圆的右顶点为，，，所以，
联立，化简得：，
又因为，是方程的两个根，所以
①
步骤2：赋值
点乘双根法赋值目的是为了对目标中的和进行整体代换以达到简化计算的目的，故对双根式①中的进行赋值得
，
整体求出： ②．
接下来先求出，，只需对双根方程①中的进行赋值，并两边同时乘以可得： ③．
步骤3：变形代入
将②和③整体代入，可得
，
即，分解因式得，或，
当时，直线，故直线恒过定点．
当时，直线，故直线恒过定点，舍去．
【例2】设椭圆中心在原点，长轴在轴上，上顶点为，左右焦点分别为，，线段 ，中点分别为，，过作直线交椭圆于，两点，使，求直线的方程．
【详解】直线不与轴垂直，则设直线方程为：，，，
因为，则，所以， ①
现联立则方程可以等价转化:
,即
令，
令，
结合化简可得：
，，所以直线方程为：．
变式1 已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ．
课后作业
1．已知抛物线，过原点且相互垂直的直线，交抛物线于，两点，求证：直线过定点．
2．已知椭圆，设直线不经过点的直线交椭圆于，两点，若直线，的斜率之和为，证明：直线恒过定点．
3．已知椭圆，设为椭圆的下顶点，，为椭圆上异于的不同两点，且直线与的斜率之积为．
（1）试问，所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由;
（2）若点为椭圆上异于，的一点，且，求的面积的最小值．
4．已知抛物线方程为，直线与抛物线交于，两点，，且，求的值．
椭圆的左，右焦点分别为，，过作与轴不重合的直线交椭圆于，两点．若椭圆的离心离满足，为坐标原点，求证：．
设，为曲线：上两点，与的横坐标之和为．
（1）求直线的斜率；
（2）设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程．
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