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§ 优美曲线
【题型一】绝对值下的分段圆锥曲线及心形曲线
【例1】已知曲线C的方程是，给出下列三个结论：
①曲线C与两坐标轴有公共点；
②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③若点P，Q在曲线C上，则的最大值是.
其中，所有正确结论的序号是 .
【答案】②③
【详解】当，时，方程，
当，时，方程，
当，时，方程，
当，时，方程，
作出图象：由于，，所以①错误.
曲线既是中心对称，又是轴对称图形，
对称中心为，对称轴为轴，②正确.
点，在曲线上，当且仅当，与圆弧所在的圆心共线时取得最大值，
的最大值为圆心距加两个半径，③正确.
故答案为：②③
【例2】 把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的是
①在上单调递减；
②的图像关于原点对称；
③函数不存在零点；
④的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；
【答案】①③④
【详解】由方程，当，时不成立；当，时，；
当，时，；当，时，；
如下图示：由图判断函数在R上单调递减，故①正确，②错误.
当，即，函数的零点，就是函数和的交点，而是曲线，，和，，的渐近线，所以没有交点，
由图知，和，，没有交点，
所以函数不存在零点，故③正确.
由图，上的点到原点距离的最小值点应在，的图象上，即满足，
设，，当时取最小值2，故④正确；
故选：①③④
变式1 （多选题）已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．随着增大而减小
B．曲线的横坐标取值范围为
C．曲线与直线相交，且交点在第二象限
D．是曲线上任意一点，则的取值范围为
【答案】AD
【详解】因为曲线，
当，时，则曲线为椭圆的一部分；
当，时，则曲线为双曲线的一部分，
且双曲线的渐近线为；
当，时，则曲线为双曲线的一部分，且双曲线的渐近线为；
可得曲线的图形如下所示：由图可知随着增大而减小，故A正确；
曲线的横坐标取值范围为，故B错误；
因为，所以曲线与直线相交，且交点在第四象限，故C错误；
因为，即点到直线的距离的倍，
当直线与曲线相切时，
由，消去整理得，
则，解得（舍去）或，
又与的距离，
所以，所以的取值范围为，故D正确；
故选：AD
【例3】（多选题）如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（ ）
A．点和均在上
B．点的纵坐标的最大值为
C．的最大值与最小值之和为3
D．
【答案】ABD
【详解】令，得出，则
对于A：时，得或，
时，得，所以和均在L上，A选项正确；
对于B：因为曲线关于y轴对称，当时，，所以，
，
所以时，最大，最大值为，B选项正确；
对于C：，
因为曲线关于y轴对称，当时，设，
所以
，
因为可取任意角，
所以取最小值，取最大值，所以和为，C选项错误；
对于D：等价为点在椭圆内，
即满足，即，
整理得，即恒成立，故D选项正确.
故选：ABD.
【例4】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
②曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3；
③曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．
其中，所有正确结论的序号是
【答案】①③
【详解】因为，所以，故曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，①正确；
当时，，当时，或1，故曲线过6个整数点，③正确；
当把曲线的6个整数点连接后，可求出矩形加三角形的面积和为3，显然曲线面积大于3，故②错误.
变式2 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图），给出下列三个结论：
①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过.
③曲线所围成的“花形”区域的面积小于4.
其中，所有正确结论的序号是 .
【答案】②
【详解】①，要使得x,y均为整数，只能取-1,0,1三个数，则可得整数点有8个：，故①不正确；
②由于，故，故曲线上任意一点到原点的距离都不超过，正确；
③令
记函数，所以函数有两个零点，
又因为，故两个零点一个小于0，一个大于1，
即曲线上，同理有
即第一象限部分图像应在y=1,x=1与坐标轴围成的正方形外部，根据图像对称性可得面积大于4，故不正确.
故答案为：②
【例5】（多选题）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有（ ）
A．当时，曲线与轴有个交点
B．曲线的图象关于对称
C．当时，曲线上的一点到原点距离的最小值小于
D．当时，曲线上的一点到原点距离的最小值大于
【答案】BCD
【详解】对于A选项，当时，在曲线的方程中，令，可得，
解得，所以当时，曲线与轴有个交点，A错；
对于B选项，在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为，
因为，即点也在曲线上，
所以曲线的图象关于直线对称，B对；
对于CD选项，当时，在曲线上的一点，则，
则，其中，
令，其中，则，
因为函数、在上均为增函数，
故函数在上为增函数，
因为，，
所以，存在使得，则，
当时，；当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，
因为，所以，则，
所以，
所以，，且，
故，CD都对.
故选：BCD.
变式3（多选题）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线与直线有3个公共点
B．曲线与圆有4个公共点
C．曲线所围成的图形的面积为：
D．若点在曲线上，点，线段PQ的长度可能为4
【答案】ABD
【详解】对于A，由，可得，
所以，即，解得或，
所以或或，所以曲线与直线有3个公共点，故正确；
对于B，由，可得，
则有，平方得，
代入，得，即，
因为，，
所以关于的方程有两个不同的正根，
从而得有四个不同的解，
所以曲线与圆有4个公共点，故正确；
对于C，，
如图所示：
曲线所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和，
设弓形的面积为，因为所在圆的圆心为，半径为2，,
在中，，，
所以，所以扇形的面积,
， 所以，
所以曲线所围成的图形的面积为，故错误；
对于D，当与或重合时，则，故正确.
故选：ABD
【题型二】高次曲线
【例6】（多选题）如图，半径为1的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点与点重合．以下说法正确的有（ ）
A．曲线上存在到原点的距离超过的点
B．点在曲线上
C．曲线与直线有两个交点
D．
【答案】BCD
【详解】设与切于点，则始终关于点对称.
所以当切点绕逆时针转动弧度时，致使点绕圆心也转了弧度，，
如图，连接，，延长与轴交于点，
过作轴于点，
，
，
，
则，
即曲线的参数方程为，为参数，.
对于A，，
上不存在到原点的距离超过的点，A错；
对于B，若在上，则，
由①解得或0，
验证知仅当时，代入②符合，在曲线上，故B正确；
对于C，由，将曲线的参数方程代入得
，
即，
，
如下图，分别作出与的大致图象，
可知两函数图象共有两个交点，故C正确；
对于D，，
，
，故D正确；
故选：BCD.
【例7】关于曲线，给出下列三个结论：
① 曲线关于原点对称，但不关于轴、轴对称；
② 曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③ 曲线上任意一点到原点的距离都不大于.
其中，正确结论的序号是 .
【答案】①③
【详解】设为曲线上任意一点，则，
设点关于原点、轴、轴的对称点分别为、、，
因为；
；；
所以点在曲线上，点、点不在曲线上，
所以曲线关于原点对称，但不关于轴、轴对称，故①正确；
当时，；当，.
此外，当时，；当时，.
故曲线过整点，，，，，，故②错误；
又 ，所以恒成立，
由可得，当且仅当时等号成立，
所以，所以曲线上任一点到原点的距离，故③正确.
故答案为：①③.
变式4 若坐标满足方程的点的轨迹为曲线C，则以下结论不成立的是（ ）
A．曲线C关于原点对称 B．
C． D．曲线C上的点与原点之间距离的最大值为1
【答案】D
【详解】对于A，曲线上任意点，显然成立，
即点在曲线C上，因此曲线C关于原点对称，A正确；
对于B，由，得，因此，即，B正确；
对于C，令，由消去得，
则有，解得，C正确；
对于D，令，得，解得或，显然点在曲线C上，
点到原点距离，D错误.
故选：D
【例8】对于曲线，给出下列三个结论：
①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都小于；
③曲线所围成的区域的面积大于3且小于4．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【详解】对于①，中令得，，同理令得，，故经过点，
又当或时，方程无解，综上，恰好经过4个整点，①正确；
对于②，设曲线上一点坐标为，故，则此点到原点的距离为,
其中，当且仅当时，等号成立，
即，故，②正确；
对于③，根据②中所求，曲线上一点到原点的最小距离为，
又由对称性可知，关于轴对称，关于原点对称，
画出的图形如下：
由于围成的区域为以原点为圆心，1为半径的圆，
此时区域面积为，
而外围的正方形的面积为，
故曲线所围成的区域的面积大于3且小于4，③正确.
故选：D
变式5 （多选题）数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线，如笛卡尔叶形线D在平面直角坐标系中的方程为．当时，以下四个结论正确的是（ ）
A．曲线D经过第三象限
B．曲线D关于直线轴对称
C．对任意，曲线D与直线一定有公共点
D．对任意，曲线D与直线一定有公共点
【答案】BD
【详解】当时， 方程为，
当时，，故第三象限内的点不可能在曲线上，故A错误；
将点代入曲线方程得，故曲线关于直线对称，故B正确；
当，联立，其中，
将代入得，即，则方程组无解，
故曲线与直线无公共点，故C错误；
联立，得，
设， ，
当时， 在单调递增， 单调递减，
则值域为，所以有解成立；
当时，成立；
当时， ，单调递增，
又 ，所以成立，
所以曲线与直线一定有公共点，故D正确.
故答案为：BD
【例9】（多选题）我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则（ ）
A．曲线关于直线对称
B．曲线有4个顶点
C．曲线与直线有4个交点
D．曲线上动点到原点距离的最小值为
【答案】AC
【详解】对于A，将交换方程依然成立，所以曲线关于对称，A正确；
对于B，易得曲线有四条对称轴轴，轴，直线，
直线，共有8个顶点，B错误；
对于C，由得，
即，可得，
对于方程，，
则方程有两不等实根，且方程的根不为0和3，
所以方程有4个不等实根，
从而曲线C与直线有4个交点，C正确；
对于D，由得，
，
当且仅当，即时取等号，
则的最小值为，
曲线C上动点P到原点距离的最小值，D错误；
故选：AC
变式6（多选题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、心形线、卵形线等．已知卵形线C：，则（ ）
A．C关于直线对称
B．C上横、纵坐标均是整数的点恰有4个
C．C上存在点P，使得P到点的距离小于1
D．C围成区域的面积大于4
【答案】ABD
【详解】由，则，对于曲线上任意点，其关于轴对称点为，
把代入成立，曲线关于直线对称，A对；
所以，得，故，
时；时；时，
故曲线过点， 曲线C上恰好有4个整点，B对；
由圆过点，故圆上点均在曲线上或内，
所以曲线上不存在点，使得P到点的距离小于1，C错；
如图中，四边形在曲线内部，故曲线所围成区域的面积大于，D对.
故选：ABD
【题型三】四叶玫瑰线
【例10】（多选题）已知定长线段的长度为4，它的两个端点分别在轴、轴上（均不过原点）滑动，过向线段作垂线，垂足的轨迹为四叶玫瑰线，记作曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．点在曲线上
B．曲线有且只有两条对称轴
C．曲线围成区域的面积不超过
D．当点在曲线上时，
【答案】ACD
【详解】设，，，
则，，，由得①，
由得，即②，
由点在线段上，得，则③.
由①②可得，由②③可得,故，
所以曲线的方程为.
选项A：将代入曲线的方程，易知成立，故A正确.
选项B：用替换，曲线的方程不变，所以曲线关于轴对称；用替换，曲线的方程不变，所以曲线关于轴对称；与互换，曲线的方程不变，所以曲线关于直线对称；用替换，替换，曲线的方程不变，所以曲线关于直线对称.所以曲线有四条对称轴，故B错误.
选项C：因为，所以，所以曲线围成区域的面积不超过，故C正确.
选项D：由，得,
当且仅当时取等号，所以当点在曲线上时，，故D正确.
故选：ACD
【例11】数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.
给出下列三个结论：
①曲线关于直线对称；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；
③存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界）.
其中，正确结论的序号是 .
【答案】①②
【详解】对于①，将代入得成立，故曲线关于直线对称，故①正确；
对于②，因为，所以，所以，
所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故②正确；
对于③，联立得，从而可得四个交点，，，，
依题意满足条件的最小正方形是各边以为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界），故③不正确.
故答案为：①②
变式7 （多选题）在平面直角坐标系xOy中，为曲线上任意一点，则（ ）
A．E与曲线有4个公共点 B．P点不可能在圆外
C．满足且的点P有5个 D．P到x轴的最大距离为
【答案】BD
【详解】联立方程与，解得或，
所以E与曲线有2个公共点，A错误；
由，得，
当且仅当时，取等号，故B正确；
由B知，故满足且的点P仅有与，共有3个，故C错误；
由得，设，，
则关于m的方程有非负实根，
设，，显然在上单调递增，
由，得，则，解得，即，
所以，且等号可取到，D正确．
故选：BD．
优美曲线图像
圆（1）： 圆（2） 圆（3）
心形曲线（1）： 心形曲线（2） 高次曲线
星形线： 卵形线 四叶玫瑰线：
§ 卡西尼卵形线
知识点一 卡西尼卵形线
先看一下同学们已知的椭圆、双曲线、圆（阿波罗尼斯圆）的定义，
1、平面内（大于F1F2）的动点P的轨迹叫椭圆；
2、平面内（大于零且小于F1F2）的动点P的轨迹叫双曲线；
3、平面内的点的轨迹是阿波罗尼斯圆。
4、平面内的点的轨迹为卡西尼卵形线。
知识点二 卡西尼卵形线方程
定义：到两个定点（焦点）F1、F2的距离之积为常数的点的轨迹，是卡西尼卵形线.取F1、F2为x轴，中点为原点，建立直角坐标系.
则
①当时，轨迹是两支封闭曲线，有点像两个鸡蛋，这也是卵形线名字的由来；
②当时，轨迹是伯努利双纽线.
③当时，轨迹是中部凹进的封闭曲线；
④当时，轨迹是中部扁平的封闭曲线；
⑤当时，轨迹是中部凸出的封闭曲线
左右端点，上下顶点，
最高（低）点处满足.
知识点三 e =称为卡西尼卵形线的离心率，与图像之间的对应关系如下图
知识点四、卡西尼卵形线在坐标系中的图像
【题型一】双纽线（）
【例1】平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知直角坐标系xoy中，M（－2，0），N（2，0），动点P满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．P点横坐标的取值范围是 D．面积的最大值为
【答案】B
【详解】由题可得，化简得：，
∴点轨迹的直角坐标方程为：，令
代入，得极坐标方程为：.
A选项：当时，，此时，即点P坐标可以为，
此时，故A错误；
B选项，注意到，故B正确；
C选项，，故C错误；
D选项，：，
又注意到与有交点，即存在点P使，则面积的最大值为，故D错误．
故选：B．
变式1 曲线是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2
C．曲线关于直线对称的曲线方程为
D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
【答案】BCD
【详解】对于A，令，解得：或或，当时，无解.所以曲线C经过整点（2，0），（﹣2，0），（0，0），故A错；
对于B，根据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知22≥x2+y2，所以双曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2，故B正确；
对于C，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为（x2+y2）2＝4（y2﹣x2），故C正确；
对于D，据据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知x2≥y2，可得若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故D正确；
故选：BCD．
【题型二】其他
【例2】假设、是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论：
①曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形；
②动点P的横坐标的取值范围是；
③的取值范围是；
④的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为
【答案】4
【详解】令，则，
所以，则，
将、、代入上述方程后，均有，
所以曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形，①正确；
令，则，
对于，对称轴为，
所以在上递增，要使在上有解，只需，
所以，即，可得，②正确；
由，由中，，
所以，其中负值舍去，
综上，，又，即，
所以，则，③正确；
由，当且仅当时等号成立，
的面积，
而，所以，
所以的面积的最大值为1，④正确.
变式2 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线.在平面直角坐标系中，设定点为，，，点O为坐标原点，动点满足(且为常数)，化简得曲线E：.当，时，关于曲线E有下列四个命题：
①曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形；
②的最大值为；
③的最小值为；
④面积的最大值为.其中，正确命题的个数为
【答案】4
【详解】当，时，.
①：因为以代方程不变，以代方程不变，同时代，以代方程不变，
所以曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形，因此本命题正确；
②：由，
所以有，
所以，当时成立，因此本命题正确；
③：因为，所以，当且仅当时，取等号，因此本命题正确；
④：，因为，
所以，的面积为，因此本命题正确，
故选：D
【例3】 平面上到两个定点的距离的积为定值的动点轨迹一般称为卡西尼（cassin）卵形线，已知曲线为到定点的距离之积为常数4的点的轨迹，关于曲线的几何性质有下四个结论，其中错误的是（ ）
A．曲线关于原点对称 B．的面积的最大值为2
C．其中的取值范围为 D．其中的取值范围为
【答案】D
【详解】依题意得，
两边平方得，得，
将代入得，所以曲线关于原点对称，A正确；
由得，
由得，则，所以，所以，故C正确；
令，则，所以，
所以时，取得最大值，所以，所以，所以D是错误的；
由以上可知的最大值为，
又的面积为，所以的面积的最大值为，所以B是正确的.
故选：D
变式3 在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：，下列结论不正确的是（ ）
A．曲线C关于y轴对称
B．的最小值为
C．面积的最大值为
D．的取值范围为
【答案】C
【详解】对A：因为用代替，方程不变，所以曲线关于轴对称，故A正确；
对B：，当点在轴上取得等号，故B正确；
对C：因为，
因为，所以.
所以.故C错误；
对D：因为
； 所以.
所以，所以，故D正确.
故选：C
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§ 优美曲线
【题型一】绝对值下的分段圆锥曲线及心形曲线
【例1】已知曲线C的方程是，给出下列三个结论：
①曲线C与两坐标轴有公共点；
②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③若点P，Q在曲线C上，则的最大值是.
其中，所有正确结论的序号是 .
【答案】②③
【详解】当，时，方程，
当，时，方程，
当，时，方程，
当，时，方程，
作出图象：由于，，所以①错误.
曲线既是中心对称，又是轴对称图形，
对称中心为，对称轴为轴，②正确.
点，在曲线上，当且仅当，与圆弧所在的圆心共线时取得最大值，
的最大值为圆心距加两个半径，③正确.
故答案为：②③
【例2】 把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的是
①在上单调递减；
②的图像关于原点对称；
③函数不存在零点；
④的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；
【答案】①③④
【详解】由方程，当，时不成立；当，时，；
当，时，；当，时，；
如下图示：由图判断函数在R上单调递减，故①正确，②错误.
当，即，函数的零点，就是函数和的交点，而是曲线，，和，，的渐近线，所以没有交点，
由图知，和，，没有交点，
所以函数不存在零点，故③正确.
由图，上的点到原点距离的最小值点应在，的图象上，即满足，
设，，当时取最小值2，故④正确；
故选：①③④
变式1 （多选题）已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．随着增大而减小
B．曲线的横坐标取值范围为
C．曲线与直线相交，且交点在第二象限
D．是曲线上任意一点，则的取值范围为
【例3】（多选题）如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（ ）
A．点和均在上
B．点的纵坐标的最大值为
C．的最大值与最小值之和为3
D．
【答案】ABD
【详解】令，得出，则
对于A：时，得或，
时，得，所以和均在L上，A选项正确；
对于B：因为曲线关于y轴对称，当时，，所以，
，
所以时，最大，最大值为，B选项正确；
对于C：，
因为曲线关于y轴对称，当时，设，
所以
，
因为可取任意角，
所以取最小值，取最大值，所以和为，C选项错误；
对于D：等价为点在椭圆内，
即满足，即，
整理得，即恒成立，故D选项正确.
故选：ABD.
【例4】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
②曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3；
③曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．
其中，所有正确结论的序号是
【答案】①③
【详解】因为，所以，故曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，①正确；
当时，，当时，或1，故曲线过6个整数点，③正确；
当把曲线的6个整数点连接后，可求出矩形加三角形的面积和为3，显然曲线面积大于3，故②错误.
变式2 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，
给出下列三个结论：
①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线上任意一点到原点的距离都不超过.
③曲线所围成的“花形”区域的面积小于4.
其中，所有正确结论的序号是 .
【例5】（多选题）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有（ ）
A．当时，曲线与轴有个交点
B．曲线的图象关于对称
C．当时，曲线上的一点到原点距离的最小值小于
D．当时，曲线上的一点到原点距离的最小值大于
【答案】BCD
【详解】对于A选项，当时，在曲线的方程中，令，可得，
解得，所以当时，曲线与轴有个交点，A错；
对于B选项，在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为，
因为，即点也在曲线上，
所以曲线的图象关于直线对称，B对；
对于CD选项，当时，在曲线上的一点，则，
则，其中，
令，其中，则，
因为函数、在上均为增函数，
故函数在上为增函数，
因为，，
所以，存在使得，则，
当时，；当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，
因为，所以，则，
所以，
所以，，且，
故，CD都对.
故选：BCD.
变式3（多选题）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ）
A．曲线与直线有3个公共点
B．曲线与圆有4个公共点
C．曲线所围成的图形的面积为：
D．若点在曲线上，点，线段PQ的长度可能为4
【题型二】高次曲线
【例6】（多选题）如图，半径为1的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点与点重合．以下说法正确的有（ ）
A．曲线上存在到原点的距离超过的点
B．点在曲线上
C．曲线与直线有两个交点
D．
【答案】BCD
【详解】设与切于点，则始终关于点对称.
所以当切点绕逆时针转动弧度时，致使点绕圆心也转了弧度，，
如图，连接，，延长与轴交于点，
过作轴于点，
，
，
，
则，
即曲线的参数方程为，为参数，.
对于A，，
上不存在到原点的距离超过的点，A错；
对于B，若在上，则，
由①解得或0，
验证知仅当时，代入②符合，在曲线上，故B正确；
对于C，由，将曲线的参数方程代入得
，
即，
，
如下图，分别作出与的大致图象，
可知两函数图象共有两个交点，故C正确；
对于D，，
，
，故D正确；
故选：BCD.
【例7】关于曲线，给出下列三个结论：
① 曲线关于原点对称，但不关于轴、轴对称；
② 曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③ 曲线上任意一点到原点的距离都不大于.
其中，正确结论的序号是 .
【答案】①③
【详解】设为曲线上任意一点，则，
设点关于原点、轴、轴的对称点分别为、、，
因为；
；；
所以点在曲线上，点、点不在曲线上，
所以曲线关于原点对称，但不关于轴、轴对称，故①正确；
当时，；当，.
此外，当时，；当时，.
故曲线过整点，，，，，，故②错误；
又 ，所以恒成立，
由可得，当且仅当时等号成立，
所以，所以曲线上任一点到原点的距离，故③正确.
故答案为：①③.
变式4 若坐标满足方程的点的轨迹为曲线C，则以下结论不成立的是（ ）
A．曲线C关于原点对称 B．
C． D．曲线C上的点与原点之间距离的最大值为1
【例8】对于曲线，给出下列三个结论：
①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都小于；
③曲线所围成的区域的面积大于3且小于4．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【详解】对于①，中令得，，同理令得，，故经过点，
又当或时，方程无解，综上，恰好经过4个整点，①正确；
对于②，设曲线上一点坐标为，故，则此点到原点的距离为,
其中，当且仅当时，等号成立，
即，故，②正确；
对于③，根据②中所求，曲线上一点到原点的最小距离为，
又由对称性可知，关于轴对称，关于原点对称，
画出的图形如下：
由于围成的区域为以原点为圆心，1为半径的圆，此时区域面积为，
而外围的正方形的面积为，
故曲线所围成的区域的面积大于3且小于4，③正确.故选：D
变式5 （多选题）数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线，如笛卡尔叶形线D在平面直角坐标系中的方程为．当时，以下四个结论正确的是（ ）
A．曲线D经过第三象限
B．曲线D关于直线轴对称
C．对任意，曲线D与直线一定有公共点
D．对任意，曲线D与直线一定有公共点
【例9】（多选题）我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则（ ）
A．曲线关于直线对称
B．曲线有4个顶点
C．曲线与直线有4个交点
D．曲线上动点到原点距离的最小值为
【答案】AC
【详解】对于A，将交换方程依然成立，所以曲线关于对称，A正确；
对于B，易得曲线有四条对称轴轴，轴，直线，
直线，共有8个顶点，B错误；
对于C，由得，
即，可得，
对于方程，，
则方程有两不等实根，且方程的根不为0和3，
所以方程有4个不等实根，
从而曲线C与直线有4个交点，C正确；
对于D，由得，
，
当且仅当，即时取等号，则的最小值为，
曲线C上动点P到原点距离的最小值，D错误；
故选：AC
变式6（多选题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、心形线、卵形线等．已知卵形线C：，则（ ）
A．C关于直线对称
B．C上横、纵坐标均是整数的点恰有4个
C．C上存在点P，使得P到点的距离小于1
D．C围成区域的面积大于4
【题型三】四叶玫瑰线
【例10】（多选题）已知定长线段的长度为4，它的两个端点分别在轴、轴上（均不过原点）滑动，过向线段作垂线，垂足的轨迹为四叶玫瑰线，记作曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．点在曲线上
B．曲线有且只有两条对称轴
C．曲线围成区域的面积不超过
D．当点在曲线上时，
【答案】ACD
【详解】设，，，
则，，，由得①，
由得，即②，
由点在线段上，得，则③.
由①②可得，由②③可得,故，
所以曲线的方程为.
选项A：将代入曲线的方程，易知成立，故A正确.
选项B：用替换，曲线的方程不变，所以曲线关于轴对称；用替换，曲线的方程不变，所以曲线关于轴对称；与互换，曲线的方程不变，所以曲线关于直线对称；用替换，替换，曲线的方程不变，所以曲线关于直线对称.所以曲线有四条对称轴，故B错误.
选项C：因为，所以，曲线围成区域的面积不超过，故C正确.
选项D：由，得,
当且仅当时取等号，所以当点在曲线上时，，故D正确.故选：ACD
【例11】数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.
给出下列三个结论：
①曲线关于直线对称；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；
③存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界）.
其中，正确结论的序号是 .
【答案】①②
【详解】对于①，将代入得成立，关于直线对称，故①正确；
对于②，因为，所以，所以，
所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故②正确；
对于③，联立得，从而可得四个交点，，，，
依题意满足条件的最小正方形是各边以为中点，边长为2的正方形，故不存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界），故③不正确.
故答案为：①②
变式7 （多选题）在平面直角坐标系xOy中，为曲线上任意一点，则（ ）
A．E与曲线有4个公共点 B．P点不可能在圆外
C．满足且的点P有5个 D．P到x轴的最大距离为
优美曲线图像
圆（1）： 圆（2） 圆（3）
心形曲线（1）： 心形曲线（2） 高次曲线
星形线： 卵形线 四叶玫瑰线：
§ 卡西尼卵形线
知识点一 卡西尼卵形线定义
1、平面内（大于F1F2）的动点P的轨迹叫椭圆；
2、平面内（大于零且小于F1F2）的动点P的轨迹叫双曲线；
3、平面内的点的轨迹是阿波罗尼斯圆。
4、平面内的点的轨迹为卡西尼卵形线。
知识点二 卡西尼卵形线方程
定义：到两个定点（焦点）F1、F2的距离之积为常数的点的轨迹，是卡西尼卵形线.取F1、F2为x轴，中点为原点，建立直角坐标系.
则
①当时，轨迹是两支封闭曲线，有点像两个鸡蛋，这也是卵形线名字的由来；
②当时，轨迹是伯努利双纽线.
③当时，轨迹是中部凹进的封闭曲线；
④当时，轨迹是中部扁平的封闭曲线；
⑤当时，轨迹是中部凸出的封闭曲线
性质：
左右端点，上下顶点，
最高（低）点处满足.
知识点三 e =称为卡西尼卵形线的离心率，与图像之间的对应关系如下图
知识点四、卡西尼卵形线在坐标系中的图像
【例1】平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知直角坐标系xoy中，M（－2，0），N（2，0），动点P满足，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C．P点横坐标的取值范围是 D．面积的最大值为
【答案】B
【详解】由题可得，化简得：，
∴点轨迹的直角坐标方程为：，令
代入，得极坐标方程为：.
A选项：当时，，此时，即点P坐标可以为，
此时，故A错误；
B选项，注意到，故B正确；
C，，故C错误；
D选项，：，
又注意到与有交点，即存在点P使，则面积的最大值为，故D错误．
故选：B．
变式1 曲线是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2
C．曲线关于直线对称的曲线方程为
D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
【例2】假设、是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点P的轨迹为曲线C，从而得到以下4个结论：
①曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形；
②动点P的横坐标的取值范围是；
③的取值范围是；
④的面积的最大值为1.其中正确结论的个数为
【答案】4
【详解】令，则，
所以，则，
将、、代入上述方程后，均有，
所以曲线C既是轴对称图形，又是中心对称图形，①正确；
令，则，
对于，对称轴为，
所以在上递增，要使在上有解，只需，
所以，即，可得，②正确；
由，由中，，
所以，其中负值舍去，
综上，，又，即，
所以，则，③正确；
由，当且仅当时等号成立，
的面积，
而，
所以，所以的面积的最大值为1，④正确.
变式2 设定点为，，，点O为坐标原点，动点满足(且为常数)，化简得曲线E：.当，时，关于曲线E有下列四个命题：
①曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形；
②的最大值为；
③的最小值为；
④面积的最大值为.其中，正确命题的个数为
【例3】已知曲线为到定点的距离之积为常数4的点的轨迹，关于曲线的几何性质有下四个结论，其中错误的是（ ）
A．曲线关于原点对称 B．的面积的最大值为2
C．其中的取值范围为 D．其中的取值范围为
【答案】D
【详解】依题意得，
两边平方得，得，
将代入得，所以曲线关于原点对称，A正确；
由得，
由得，则，所以，所以，故C正确；
令，则，所以，
所以时，取得最大值，所以，所以，所以D是错误的；
由以上可知的最大值为，
又的面积为，所以的面积的最大值为，所以B是正确的.故选：D
变式3 在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于3，化简得曲线C：，下列结论不正确的是（ ）
A．曲线C关于y轴对称
B．的最小值为
C．面积的最大值为
D．的取值范围为
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