2024-2025学年北师大版九年级上册数学 1.2矩形的判定与性质 题型总结（含答案）

1.2矩形题型总结
【题型1】利用矩形的性质求解
例题．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】
1．如图，在矩形中，交于点O，于点E，，则的度数为_______
【变式1-2】
2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则_____．
【题型2】证明四边形是矩形
例题．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．
【变式】
1．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加一个条件 _____，能使四边形EFGH是矩形．
【题型3】直角三角形中斜边上的中线
例题．如图，在中，，是斜边上的中线，若，的长为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．1.5
【变式】
1．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点F在线段DE上，且AF⊥BF．若AB=4，BC=7，则EF的长为______．
【题型4】根据矩形的性质与判定求角度
例题．如图，在中，E、F是对角线AC上两点，，，，则的度数为（ ）
A．23° B．46° C．57° D．67°
【变式】
1．如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果，那么______度．
【题型5】根据矩形的性质与判定求线段长
例题．如图，矩形的对角线AC和BD相交于O，∠BOC＝120°，AB＝3，则BD的长是____
【变式】
1．（如图，在矩形ABCD中，，，E是AD上一点，，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是_____．
【题型6】求矩形在坐标系中的坐标
例题．在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】
1．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于___．
【变式6-2】
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是_（ ）．
【题型7】矩形的折叠问题
例题．如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为（ C ）
A．4 B．5 C．6 D．
【变式7-1】
1．将一张长方形纸条按如图所示折叠，若折叠角，则的度数为______．
【变式7-2】
2．如图，在长方形中，，将沿翻折，使得点落在边上处，则折痕的长是______．
1.2矩形题型总结答案
【题型1】利用矩形的性质求解
例题．解：∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=AC=OB=OD=BD=4(cm)，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=4(cm)，
【变式】【详解】解：∵四边形是矩形，∴，
∴，∴，∵，∴，∵，
∴，
【变式1-2】【详解】解：∵在矩形中，，∴，，
∴为的中点，∵点是边的中点，∴；
【题型2】证明四边形是矩形
例题．【详解】证：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
【变式】
1．解：如图，∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点， ∴ ∴∠EHG=∠1，∠1=∠2， ∴∠2=∠EHG， 同理： ∴四边形EFGH是平行四边形，当∠EHG=90°， 四边形EFGH是矩形，∴∠2=90°， ∴AC⊥BD． 故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．
【题型3】直角三角形中斜边上的中线
例题．【详解】解：，，又是的中点，
【变式】
1．解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC=7，∴DE=BC=×7=．∵AF⊥BF，D是AB的中点，AB=4，∴DF=AB=×4=2，∴EF=DE-DF=-2=．故答案为：．
【题型4】根据矩形的性质与判定求角度
例题．解：设∠ADE=x， ∵AE=EF，∠ADF=90°， ∴∠DAE=∠ADE=x， ∵AE=EF=CD， ∴DE=CD， ∴∠DCE=∠DEC=2x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴∠DAE=∠BCA=x， ∴∠DCE=∠BCD-∠BCA=69°-x， ∴2x=69°-x， 解得：x=23°， 即∠ADE=23°， ∴∠DAE=23°， ∴∠DFE=90°-∠DAE=67°． 故选：D．
【变式】
1．解：过点C作CH⊥AB于H，∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，使点A落在直线DE上的点F处，
∴AE＝EF，∵直线DE垂直平分AB，AB＝AC，∴AE＝BE＝AB＝AC，∠BEF＝90°，∴EF＝BE＝AE，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠EBF＝45°，∵DE⊥AB，CF AB，∴CF⊥DE，∵DE⊥AB，CH⊥AB， ∴四边形EFCH是矩形，∴CH＝EF＝AB＝AC，∴∠CAH＝30°，∴∠AGB＝180° ∠EBF ∠CAH＝180° 45° 30°＝105°．故答案为：105．
【题型5】根据矩形的性质与判定求线段长
例题．【详解】解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝OD，∴△AOB是等边三角形，∴AO＝OB＝AB＝3，∴BD＝2OB＝6．故答案为6
【变式】
1．【详解】过点 P 作 PM∥FE交AD于M ，如图， F为AP的中点， PM∥FE ，FE为△APM的中位线，
∴AM =2AE=4 ，PM =2EF ，当EF取最小值时，即PM最短，当PM⊥AD时，PM最短，此时PM = AB =6，DM=8 ，在Rt△PMD中，PD =10 ，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是10．故答案为：10·
【题型6】求矩形在坐标系中的坐标
例题．【详解】解：∵四边形为长方形，∴，，∵，
∴点的横坐标与点相同，为，点的纵坐标与点相同，为，∴点的坐标为．
【变式6-1】
1．【详解】如图，连接OB，∵B的坐标为（4，3），∴∵四边形OABC是矩形
∴AC=OB=5故答案为：5．
【变式6-2】
【详解】解：如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC＝90°，∵AC∥x轴，∴∠OAC＝30°，∠ODA＝90°，∵AC＝6，∴OC＝AC＝3，∴OA＝OC＝3，∴OD＝OA＝，∴AD＝OD＝，∴点A的坐标是（，）；故答案为：（，）．
【题型7】矩形的折叠问题
例题．【详解】解：∵四边形是矩形，，∴，∵是翻折而成，
∴，是直角三角形，∴，
在中，，设，
在中，，即，解得，
【变式7-1】
1．【详解】解：由翻折可知，，，
是长方形，，，故答案为：．
【变式7-2】
【详解】解：将沿翻折，使得点落在边上处，∴，∴，
∵在长方形中，，∴，∴，
设，根据勾股定理可得，，，
解得，∴，则，故答案为：．