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幂函数与指数幂运算
知识点一 幂函数的概念
1.幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.
3.常见的幂函数图像及性质：
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 在上单调递增 在上单调递减， 在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减
定点
知识点二 指数幂运算
指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
【题型一】 幂函数的定义及其图像
【例1】幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A． B．0或2 C．0 D．2
【答案】D
【详解】因为是幂函数，所以，解得或，
①当时，在上为减函数，不符合题意，
②当时，在上为增函数，符合题意，所以.
故选：D.
【例2】已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______．
【答案】
【详解】设，则，所以，
在上递增，且为奇函数，所以，故答案为：
变式1已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D．
变式2 已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【例3】如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，请判断的大小关系。
【答案】
变式3 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【题型二】幂函数的单调性的应用
【例4】已知幂函数（）的图像关于轴对称，且.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且，
所以在区间为单调递增函数，所以，解得，
由，。又函数的图像关于轴对称，所
以为偶数，所以，所以.
（2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，
所以不等式，等价于，解得或，
所以实数的取值范围是.
变式4 若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ．
变式5 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围.
【例5】已知幂函数为偶函数，．
（1）若，求；
（2）已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）对于幂函数，得，解得或，
又当时，不为偶函数，，，，，解得；
（2）关于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，即，
先证明在上单调递增：
任取，则，
，，，又，
，，即，故在上单调递增，
，，又，解得.
变式6 已知函数，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型三】幂指数的化简
【例6】计算下列各式.
（1）；
（2）
（3）；
【答案】(1)；(2)；(3)4
【详解】（1）.
.
（3）.
【例7】用分数指数幂表示下列各式（，）：
（1）；
（2）；
【答案】（1）；（2）；
【详解】（1）；（2）；
变式7 计算下列各式.
；
；
（3）；
变式8 用分数指数幂表示下列各式（，）：
；
（2）计算．
【例8】已知，求下列各式的值：
① ；
②；
③.
【答案】①；②7；③
【详解】①因为，所以，又，所以.
②因为，所以，所以.
③因为，且，所以，所以.
【例9】已知，求：
（1）
（2）.
【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）由平方可得，
由于，故，，因此
，由和
可得或，
①当时，则，
②当时，则
变式9 已知，计算：.
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幂函数与指数幂运算
知识点一 幂函数的概念
1.幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.
3.常见的幂函数图像及性质：
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 在上单调递增 在上单调递减， 在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减
定点
知识点二 指数幂运算
指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
【题型一】 幂函数的定义及其图像
【例1】幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A． B．0或2 C．0 D．2
【答案】D
【详解】因为是幂函数，所以，解得或，
①当时，在上为减函数，不符合题意，
②当时，在上为增函数，符合题意，所以.
故选：D.
【例2】已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______．
【答案】
【详解】设，则，所以，
在上递增，且为奇函数，所以.
故答案为：
变式1已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）
A．1或 B．1 C． D．
【答案】D
【详解】依题意是幂函数，所以，解得或.
当时，在递增，不符合题意.
当时，在递减，符合题意.
故选：D
变式2 已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【详解】因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数，
又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0，
又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.
故选：D
【例3】如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，请判断的大小关系。
【答案】
变式3 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【答案】（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B
【详解】（1）中，函数，定义域为，非奇非偶函数，在单调递增；
（2）中，函数，定义域为，奇函数，在单调递增；
（3）中，函数，定义域为，偶函数，在单调递增；
（4）中，函数，定义域为，偶函数，在单调递减；
（5）中，函数，定义域为，奇函数，在单调递减；
（6）中，函数，定义域为，非奇非偶函数，在单调递减.
对比分析可知对应关系为（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B.
故答案为：（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B
【题型二】幂函数的单调性的应用
【例4】已知幂函数（）的图像关于轴对称，且.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且，
所以在区间为单调递增函数，所以，解得，
由，。又函数的图像关于轴对称，所
以为偶数，所以，所以.
（2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，
所以不等式，等价于，解得或，
所以实数的取值范围是.
变式4 若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，解得，
又，所以或，
①当时，幂函数为，图象关于y轴对称，满足题意；
②当时，幂函数为，图象不关于y轴对称，舍去，
所以，不等式为，
因为函数在和上单调递减，
所以或或，解得或.
故答案为：.
变式5 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围.
【答案】且.
【详解】因为函数在上单调递减，所以，解得.
因为，所以或2.又函数的图象关于轴对称，所以是偶数，
而为奇数，为偶数，所以，
所以，在上为增函数，在上为减函数，
所以等价于且，解得且.
故实数的取值范围为且
【例5】已知幂函数为偶函数，．
（1）若，求；
（2）已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）对于幂函数，得，解得或，
又当时，不为偶函数，，，，，解得；
（2）关于x的不等式在上恒成立，即在上恒成立，即，
先证明在上单调递增：
任取，则，
，，，又，
，，即，故在上单调递增，
，，又，解得.
变式6 已知函数，若当时，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意，，因为，所以为奇函数，
由幂函数的性质得在上单调递增，所以，在上的增函数，
因为在上恒成立，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，所以在上恒成立，
所以，只需，即所以实数a的取值范围是.
故选：C
【题型三】幂指数的化简
【例6】计算下列各式.
（1）；
（2）
（3）；
【答案】(1)；(2)；(3)4
【详解】（1）.
.
（3）.
【例7】用分数指数幂表示下列各式（，）：
（1）；
（2）；
【答案】（1）；（2）；
【详解】（1）；（2）；
变式7 计算下列各式.
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】(1)；(2)；(3)；
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
变式8 用分数指数幂表示下列各式（，）：
（1）；
（2）计算．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）；
（2）.
【例8】已知，求下列各式的值：
① ；
②；
③.
【答案】①；②7；③
【详解】①因为，所以，又，所以.
②因为，所以，所以.
③因为，且，所以，所以.
【例9】已知，求：
（1）
（2）.
【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）由平方可得，
由于，故，，因此
，由和
可得或，
①当时，则，
②当时，则
变式9 已知，计算：.
【答案】4
【详解】因为，所以，所以，
所以，所以，即，
所以，所以.
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