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【北师大版八年级数学（上）课时练习】
§4.4一次函数的应用 (2)
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）已知方程的解是，则函数的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
解：方程的解是，
经过点．
故选：C．
2．（本题6分）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，
故，
故，
，
故选：D．
3．（本题6分）汽车由定西驶往相距大约为的兰州，它的平均速度是，则汽车距兰州的路程（单位：）与行驶时间（单位：）的函数关系式及自变量的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
解∶∵平均速度为．行驶时间为t小时，
∴已行驶的路程为，
∵汽车从定西到兰州的总路程为，
∴剩余路程．
∵ 时间是非负数， 剩余路程是非负数，
∴，
解得，
∴函数关系式为，
故选∶A．
4．（本题6分）甘肃省定西市的特色美食——马铃薯制品的销售额（单位：万元）与广告投入（单位：万元）成一次函数关系．已知当广告投入10万元时，销售额为1000万元；当广告投入90万元时，销售额为5000万元．则当广告投入70万元时，销售额为（ ）
A．4000万元 B．4500万元 C．5000万元 D．5500万元
解：设，
把，代入，得，
解得，
∴，
当时，，
即投入70万元时，销售量为4000万元，
故选：A．
5．（本题6分）如图，甲从A村匀速骑自行车到B村，乙从B村匀速骑摩托车到A村，两人同时出发向各自目的地进发，如图是两人离A村的距离为与时间之间的不完整的关系图，则下列说法错误的是（ ）
A．乙先到A村 B．甲的速度为
C．乙的速度为 D．图中t的值为3.5
解：由图象可知，乙先到A村，
∴A正确，不符合题意；
甲的速度为，
∴B正确，不符合题意；
两人相遇的时间为，即，
则乙的速度为，∴C正确，不符合题意；
图中t的值为：，D错误，符合题意．
故选：D．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为 ．
解：当时由题意得：，
当时由题意得：，
综上，y与x之间的函数关系式为．
故答案为：．
7．（本题6分）甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程（千米）随时间（分钟）变化的图象（全程）如图所示，①两人到达终点的时间相差5分钟；②本次比赛全程12千米；③比赛开始24分钟时两人第一次相遇；④第36分钟两人第二次相遇．以上结论正确的是 ．
解：①．两人到达终点的时间相差为（分钟），故本选项符合题意；
③．设线段所在直线的解析式为，
将，代入，
即，
解得：，
则线段所在直线的解析式为，
当时，，
解得：．
故比赛开始24分钟时第一次相遇，故本选项符合题意；
②．乙的速度为，
则本次比赛全程为（千米），故本选项符合题意；
④．设线段所在直线的解析式为，
将，分别代入，
即，
解得：，
则线段所在直线的解析式为，
设线段所在直线的解析式为，
将代入，即，
解得：，
则线段所在直线的解析式为，
联立，
解得：，
即第38分钟两人第二次相遇，故本选项不符合题意．
故选：①②③．
8．（本题6分）如图，直线分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等，此时点D的坐标为 ．
解：∵直线分别与x轴交于A，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
①当时，如图：
∴，
∴，
∴；
当时，如图：
∴，，
∴，
∴，
综上：点D的坐标为或，
故答案为：或．
9．（本题6分）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离与出发时间之间的函数关系式如图1中线段所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离与出发时间之间的函数关系式如图2中折线段所示．则点E的坐标为 ，点E的实际意义是 ．
解：由图1可知，甲、乙两地相距，小丽从甲地到乙地用时，
∴小丽的速度．
由图2可知，两人后相遇，根据路程和等于总路程，可得两人速度和，
∴小明的速度．
小明从乙地到甲地用时，即点的横坐标为．
此时小丽骑行的路程，两人之间的距离（即点的纵坐标）为，所以点坐标为．
点的实际意义是：出发时，小明到达甲地，此时小丽与小明的距离为；
故答案为：；出发时，小明到达甲地，此时小丽与小明的距离为．
10．（本题6分）某校的一生物小组观察某种植物生长情况，得到该植物的高度(单位：)与观察时间(单位：天)的关系如图所示(是线段，射线平行于轴)．给出下面四个结论：
①从开始观察起，天后该植物停止长高
②当时，与的关系表达式为
③观察第天时，该植物的高度为cm
④观察期间，该植物最高为．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
解：由图可知，天后该植物停止长高，故①正确；
当时，设与的关系表达式为，
由函数图像可知经过，，
∴，
解得：，
∴当时，与的关系表达式为，故②正确；
当时，，故③正确；
当时，，故④错误；
故答案为：①②③．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）A、B两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中表示两人离A地的距离与时间的关系，请结合图象解答下列问题：
(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是_____________（填“”或“”）；甲的速度是_____________，乙的速度是_____________．
(2)甲出发多长时间两人相遇？
(3)甲出发多长时间后两人恰好相距？
（1）解：乙离开A地的距离越来越远，图象是；
甲的速度；乙的速度；
故答案为：，30，20；
（2）解：设甲对应的函数解析式为，
，得，
甲对应的函数解析式为，
设乙对应的函数解析式为，
，得，
即乙对应的函数解析式为，
当两人相遇时，
∴，
解得：，
∴甲出发小时两人相遇；
（3）解：由（2）得：，，
由得；
由得
答：甲出发后或者时，甲乙相距．
12．（本题8分）已知甲、乙两地相距，李老师和王老师周末相约骑行游玩，两人沿同一条公路从甲地到乙地，李老师骑自行车到达．王老师骑摩托车比李老师晚出发，骑行时追上李老师，停留后继续以原速骑行，在整个行程中，两人与甲地的距离y与李老师骑行时间x的对应关系分别如图中线段和折线段所示，与的交点为F．
(1)李老师骑自行车的速度为_______；
(2)求王老师在段的速度以及n的值；
(3)求王老师第二次追上李老师时与乙地的距离．
（1）解：∵甲、乙两地相距，李老师骑自行车到达，
∴李老师骑自行车的速度为，
故答案为：；
（2）解：李老师骑自行车的速度为，则行驶的时间是，
∴王老师在段行驶的时间为，
∴王老师的行驶速度为，n的值为
（3）解：∵李老师骑自行车的速度为，
∴段的解析式为，
由（2）可知，，
设段的解析式为，
将，，代入得，
解得：，
∴段的解析式为
∵王老师在段的速度与在段的速度相同，
∴．
设线段的解析式为．
∵直线经过点，
∴，
解得a=-90，
∴线段的解析式为．
∵点F为线段和线段的交点，
∴点F的坐标是方程组的解，
解得
∴．
∵，
∴王老师第二次追上李老师时与乙地的距离为．
13．（本题8分）周末，小亮和爸爸相约从家出发去附近的博物馆参观，小亮选择骑自行车前往，先行后，爸爸才开车出发．爸爸行驶一段时间后，停车到商店购买用品，之后以原来倍的速度继续前往目的地，结果二人同时到达博物馆，此时小亮共骑行．小亮和爸爸各自行进的路程（单位：）与时间t（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象解决下列问题：
(1)分别求小亮骑行的速度和爸爸到商店购买用品之前行驶的速度；
(2)求图中x的值；
(3)试问：到达博物馆之前，当t为何值时，小亮和爸爸行进的路程相等？
（1）解：小亮骑行的速度为，
爸爸到商店购买用品之前行驶的速度为．
（2）爸爸到商店购买用品之后行驶的速度为，
根据图象，得，
解得，
的值为；
（3）爸爸到商店购买用品之前：
根据题意，得，
解得，
爸爸到商店购买用品之时：
根据题意，得，
解得：
∴到达博物馆之前，当或时，小亮和爸爸行进的路程相等．
14．（本题8分）已知y是自变量x的函数，点在函数图象上，若点P到两坐标轴距离的和等于m（m为常数，），即，则称点P为函数图象上的“m阶定距点”．例如点是一次函数图象上的“4阶定距点”．
(1)下列各点中是一次函数图象上的“2阶定距点”的是________．
① ② ③ ④
(2)点是一次函数图象上的“3阶定距点”，求n的值．
(3)一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P是次函数的图象在第一象限内的“5阶定距点”，点D在直线上，过点D作轴，交直线于点E，当时，求点D的坐标．
（1）解：①当时，，
所以，点在函数的图象上，
又，
所以是“2阶定距点”；
②当时，，
所以，点在函数的图象上，
但，
所以不是“2阶定距点”；
③当时，，
所以，点不在函数的图象上，
所以不是“2阶定距点”；
④当时，，
所以，点不在函数的图象上，
所以不是“2阶定距点”；
所以，是一次函数图象上的“2阶定距点”的是①，
故答案为：①；
（2）解：点是一次函数图象上的“3阶定距点”
，
，
当时，在一次函数上，
，
解得，，
当时，在一次函数上，
，
解得，，
的值为0或；
（3）解：点P是一次函数在第一象限内的“5阶定距点”，
设点P的坐标为，
把点代入得，
，
解得，，
，
，
设直线的解析式为，把点代入，
解得，
直线的解析式为，
设，
轴，点E在直线上，
，
，
，
，
解得，
或．
15．（本题8分）已知，两地相距4千米，甲从地出发步行到地，20分钟后乙从地出发骑自行车到地，甲、乙两人离地的距离（千米）与甲所用的时间（分钟）之间的关系如图所示．
(1)求甲、乙两人离地的距离与所用的时间之间的函数关系式．
(2)求乙从地到达地所用的时间．
（1）解：设甲离地的距离与所用的时间的函数关系式为：，
把代入得：，
解得：，
∴甲离地的距离与所用的时间的函数关系式为：，
当时，得：，
解得：，
即甲离地的距离与所用时间的函数图像与乙离地的距离与所用时间的函数图像交点为，
设乙离地的距离与所用的时间的函数关系式为：，
当时，，
当时，把和代入得：
，
解得：，
∴乙离地的距离与所用的时间的函数关系式为：，
当时，，
∴乙离地的距离与所用的时间的函数关系式为：；
（2）解：当时，，
解得：，
即乙从地到达地所用的时间为：（分钟）．
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§4.4一次函数的应用 (2)
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）已知方程的解是，则函数的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
2．（本题6分）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
3．（本题6分）汽车由定西驶往相距大约为的兰州，它的平均速度是，则汽车距兰州的路程（单位：）与行驶时间（单位：）的函数关系式及自变量的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题6分）甘肃省定西市的特色美食——马铃薯制品的销售额（单位：万元）与广告投入（单位：万元）成一次函数关系．已知当广告投入10万元时，销售额为1000万元；当广告投入90万元时，销售额为5000万元．则当广告投入70万元时，销售额为（ ）
A．4000万元 B．4500万元 C．5000万元 D．5500万元
5．（本题6分）如图，甲从A村匀速骑自行车到B村，乙从B村匀速骑摩托车到A村，两人同时出发向各自目的地进发，如图是两人离A村的距离为与时间之间的不完整的关系图，则下列说法错误的是（ ）
A．乙先到A村 B．甲的速度为
C．乙的速度为 D．图中t的值为3.5
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为 ．
7．（本题6分）甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程（千米）随时间（分钟）变化的图象（全程）如图所示，①两人到达终点的时间相差5分钟；②本次比赛全程12千米；③比赛开始24分钟时两人第一次相遇；④第36分钟两人第二次相遇．以上结论正确的是 ．
8．（本题6分）如图，直线分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等，此时点D的坐标为 ．
9．（本题6分）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离与出发时间之间的函数关系式如图1中线段所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离与出发时间之间的函数关系式如图2中折线段所示．则点E的坐标为 ，点E的实际意义是 ．
10．（本题6分）某校的一生物小组观察某种植物生长情况，得到该植物的高度(单位：)与观察时间(单位：天)的关系如图所示(是线段，射线平行于轴)．给出下面四个结论：
①从开始观察起，天后该植物停止长高
②当时，与的关系表达式为
③观察第天时，该植物的高度为cm
④观察期间，该植物最高为．
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）A、B两地相距，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，图中表示两人离A地的距离与时间的关系，请结合图象解答下列问题：
(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是_____________（填“”或“”）；甲的速度是_____________，乙的速度是_____________．
(2)甲出发多长时间两人相遇？
(3)甲出发多长时间后两人恰好相距？
12．（本题8分）已知甲、乙两地相距，李老师和王老师周末相约骑行游玩，两人沿同一条公路从甲地到乙地，李老师骑自行车到达．王老师骑摩托车比李老师晚出发，骑行时追上李老师，停留后继续以原速骑行，在整个行程中，两人与甲地的距离y与李老师骑行时间x的对应关系分别如图中线段和折线段所示，与的交点为F．
(1)李老师骑自行车的速度为_______；
(2)求王老师在段的速度以及n的值；
(3)求王老师第二次追上李老师时与乙地的距离．
13．（本题8分）周末，小亮和爸爸相约从家出发去附近的博物馆参观，小亮选择骑自行车前往，先行后，爸爸才开车出发．爸爸行驶一段时间后，停车到商店购买用品，之后以原来倍的速度继续前往目的地，结果二人同时到达博物馆，此时小亮共骑行．小亮和爸爸各自行进的路程（单位：）与时间t（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象解决下列问题：
(1)分别求小亮骑行的速度和爸爸到商店购买用品之前行驶的速度；
(2)求图中x的值；
(3)试问：到达博物馆之前，当t为何值时，小亮和爸爸行进的路程相等？
14．（本题8分）已知y是自变量x的函数，点在函数图象上，若点P到两坐标轴距离的和等于m（m为常数，），即，则称点P为函数图象上的“m阶定距点”．例如点是一次函数图象上的“4阶定距点”．
(1)下列各点中是一次函数图象上的“2阶定距点”的是________．
① ② ③ ④
(2)点是一次函数图象上的“3阶定距点”，求n的值．
(3)一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P是次函数的图象在第一象限内的“5阶定距点”，点D在直线上，过点D作轴，交直线于点E，当时，求点D的坐标．
15．（本题8分）已知，两地相距4千米，甲从地出发步行到地，20分钟后乙从地出发骑自行车到地，甲、乙两人离地的距离（千米）与甲所用的时间（分钟）之间的关系如图所示．
(1)求甲、乙两人离地的距离与所用的时间之间的函数关系式．
(2)求乙从地到达地所用的时间．
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