第二章 基本初等函数(Ⅰ)
§2.1 指数函数
2．1.1 指数与指数幂的运算
课时目标 1.了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性.2.理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
1．如果____________________，那么x叫做a的n次方根．
2．式子叫做________，这里n叫做__________，a叫做____________．
3．(1)n∈N*时，()n＝____.
(2)n为正奇数时，＝____；n为正偶数时，＝______.
4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝__________(a>0，m、n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝_______________(a>0，m、n∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂________________．
5．有理数指数幂的运算性质：
(1)aras＝______(a>0，r、s∈Q)；
(2)(ar)s＝______(a>0，r、s∈Q)；
(3)(ab)r＝______(a>0，b>0，r∈Q)．
一、选择题
1．下列说法中：①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．其中正确的是( )
A．①③④ B．②③④
C．②③ D．③④
2．若2
A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
3．在(－)－1、、、2－1中，最大的是( )
A．(－)－1 B．
C． D．2－1
4．化简的结果是( )
A．a B．
C．a2 D．
5．下列各式成立的是( )
A.＝ B．()2＝
C.＝ D.＝
6．下列结论中，正确的个数是( )
①当a<0时，＝a3；
②＝|a|(n>0)；
③函数y＝－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；
④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.
A．0 B．1
C．2 D．3
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7.－＋的值为________．
8．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则＝________.
9．若x>0，则(2＋)(2－)－4·(x－)＝________.
三、解答题
10．(1)化简：··(xy)－1(xy≠0)；
(2)计算：＋＋－·.
11．设－3能力提升
12．化简：÷(1－2)×.
13．若x>0，y>0，且x－－2y＝0，求的值．
1.与()n的区别
(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶性限制，a∈R，但这个式子的值受n的奇偶性限制：当n为大于1的奇数时，＝a；当n为大于1的偶数时，＝|a|.
(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定：当n为大于1的奇数时，()n＝a，a∈R；当n为大于1的偶数时，()n＝a，a≥0，由此看只要()n有意义，其值恒等于a，即()n＝a.
2．有理指数幂运算的一般思路
化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的运算性质．同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的公式、换元等简化运算过程．
3．有关指数幂的几个结论
(1)a>0时，ab>0；
(2)a≠0时，a0＝1；
(3)若ar＝as，则r＝s；
(4)a±2＋b＝(±)2(a>0，b>0)；
(5)( ＋)(－)＝a－b(a>0，b>0)．
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
§2.1 指数函数
2．1.1 指数与指数幂的运算
知识梳理
1．xn＝a(n>1，且n∈N*) 2.根式 根指数 被开方数
3．(1)a (2)a |a| 4.(1) (2) (3)0 没有意义
5．(1)ar＋s (2)ars (3)arbr
作业设计
1．D [①错，∵(±2)4＝16，
∴16的4次方根是±2；
②错，＝2，而±＝±2.]
2．C [原式＝|2－a|＋|3－a|，
∵23．C [∵(－)－1＝－2, ＝，＝，2－1＝，
∵>>>－2，
∴>>2－1>(－)－1.]
4．B [原式＝＝.]
5．D [被开方数是和的形式，运算错误，A选项错；()2＝，B选项错；>0，<0，C选项错．故选D.]
6．B [①中，当a<0时，
＝(－a)3＝－a3，
∴①不正确；
②中，若a＝－2，n＝3，
则＝－2≠|－2|，∴②不正确；
③中，有即x≥2且x≠，
故定义域为[2，)∪(，＋∞)，∴③不正确；
④中，∵100a＝5,10b＝2，
∴102a＝5,10b＝2,102a×10b＝10，即102a＋b＝10.
∴2a＋b＝1.④正确．]
7.
解析 原式＝－＋
＝－＋＝.
8．9
解析 ＝(ax)2·＝32·＝9.
9．－23
解析 原式＝4－33－4＋4＝－23.
10．解 (1)原式＝·(xy)－1
＝·
＝·＝.
(2)原式＝＋＋＋1－22
＝2－3.
11．解 原式＝－
＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，
原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝.
12．解 原式＝×
13．解 ∵x－－2y＝0，x>0，y>0，
∴()2－－2()2＝0，
∴(＋)(－2)＝0，
由x>0，y>0得＋>0，
∴－2＝0，∴x＝4y，
∴＝＝.
2．1.2 指数函数及其性质(一)
课时目标 1.理解指数函数的概念，会判断一个函数是否为指数函数.2.掌握指数函数的图象和性质．
1．指数函数的概念
一般地，__________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性
质
过定点
过点______，即x＝____时，y＝____
函数值
的变化
当x>0时，________；
当x<0时，________
当x>0时，________；
当x<0时，________
单调性
是R上的__________
是R上的__________
一、选择题
1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－4)x B．y＝πx
C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0且a≠1)
2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
3．函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )
4．已知f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x，那么f(2)的值为( )
A．－9 B.
C．－ D．9
5．右图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是( )
A．aB．bC．1D．a6．函数y＝()x－2的图象必过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值为________．
8．若函数y＝ax－(b－1)(a>0，a≠1)的图象不经过第二象限，则a，b必满足条件________________．
9．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
三、解答题
10．比较下列各组数中两个值的大小：
(1)0.2－1.5和0.2－1.7；
(2) 和；
(3)2－1.5和30.2.
11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你完成下面关于垃圾的体积V(m3)与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n的关系的表格，并回答下列问题．
周期数n
体积V(m3)
0
50 000×20
1
50 000×2
2
50 000×22
…
…
n
50 000×2n
(1)设想城市垃圾的体积每3年继续加倍，问24年后该市垃圾的体积是多少？
(2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？
(3)如果n＝－2，这时的n，V表示什么信息？
(4)写出n与V的函数关系式，并画出函数图象(横轴取n轴)．
(5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？
能力提升
12．定义运算a⊕b＝，则函数f(x)＝1⊕2x的图象是( )
13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足对任意的实数x，y都有f(xy)＝yf(x)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f()>0，解不等式f(ax)>0.(其中字母a为常数)．
1．函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
2．函数图象的平移变换是一种基本的图象变换．一般地，函数y＝f(x－a)的图象可由函数y＝f(x)的图象向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|个单位得到．
2．1.2 指数函数及其性质(一)
知识梳理
1．函数y＝ax(a>0，且a≠1) R 2.(0,1) 0 1 y>1
01 增函数 减函数
作业设计
1．B [A中－4<0，不满足指数函数底数的要求，C中因有负号，也不是指数函数，D中的函数可化为y＝a2·ax，ax的系数不是1，故也不是指数函数．]
2．C [由题意得
解得a＝2.]
3．B [该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝ax的图象，然后沿y轴翻折过去，便得到x<0时的函数图象．]
4．C [当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝3－x，
即－f(x)＝()x，
∴f(x)＝－()x.
因此有f(2)＝－()2＝－.]
5．B [作直线x＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a)、(1，b)、(1，c)、(1，d)，由图象可知纵坐标的大小关系．]
6．D [函数y＝()x的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y＝()x－2的图象，所以观察y＝()x－2的图象知选D.]
7.
解析 由题意a2＝4，∴a＝2.
f(－3)＝2－3＝.
8．a>1，b≥2
解析 函数y＝ax－(b－1)的图象可以看作由函数y＝ax的图象沿y轴平移|b－1|个单位得到．若01时，由于y＝ax的图象必过定点(0,1)，当y＝ax的图象沿y轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b－1≥1，得b≥2.因此，a，b必满足条件a>1，b≥2.
9．[0,8)
解析 y＝8－23－x＝8－23·2－x＝8－8·()x
＝8[1－()x]．
∵x≥0，∴0<()x≤1，
∴－1≤－()x<0，
从而有0≤1－()x<1，因此0≤y<8.
10．解 (1)考查函数y＝0.2x.
因为0<0.2<1，
所以函数y＝0.2x在实数集R上是单调减函数．
又因为－1.5>－1.7，
所以0.2－1.5<0.2－1.7.
(2)考查函数y＝()x.因为0<<1，
所以函数y＝()x在实数集R上是单调减函数．
又因为<，所以
(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2，
所以2－1.5<30.2.
11．解 (1)由于垃圾的体积每3年增加1倍，24年后即8个周期后，该市垃圾的体积是50 000×28＝12 800 000(m3)．
(2)根据报纸所述的信息，估计3年前垃圾的体积是50 000×2－1＝25 000(m3)．
(3)如果n＝－2，这时的n表示6年前，V表示6年前垃圾的体积．
(4)n与V的函数关系式是V＝50 000×2n，图象如图所示．
(5)因为对任意的整数n,2n>0，所以V＝50 000×2n>0，因此曲线不可能与横轴相交．
12．A [由题意f(x)＝1⊕2x＝]
13．解 (1)令x＝1，y＝2，可知f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.
(2)设0且s>t，又f()>0，
∴f(x1)－f(x2)＝f[()s]－f[()t]
＝sf()－tf()＝(s－t)f()>0，
∴f(x1)>f(x2)．
故f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
又∵f(ax)>0，x>0，f(1)＝0，
∴0当a＝0时，x∈?，
当a>0时，0当a<0时，综上：a≤0时，x∈?；
a>0时，不等式解集为{x|02．1.2 指数函数及其性质(二)
课时目标 1.理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题.2.理解指数函数的底数a对函数图象的影响．
1．下列一定是指数函数的是( )
A．y＝－3x B．y＝xx(x>0，且x≠1)
C．y＝(a－2)x(a>3) D．y＝(1－)x
2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图，则( )
A．a<0，b<0 B．a<0，b>0
C．01 D．03．函数y＝πx的值域是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．R D．(－∞，0)
4．若()2a＋1<()3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，)
5．设<()b<()a<1，则( )
A．aaC．ab6．若指数函数f(x)＝(a＋1)x是R上的减函数，那么a的取值范围为( )
A．a<2 B．a>2
C．－1一、选择题
1．设P＝{y|y＝x2，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )
A．QP B．QP
C．P∩Q＝{2,4} D．P∩Q＝{(2,4)}
2．函数y＝的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4)
3．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是( )
A．6 B．1
C．3 D.
4．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( )
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
5．函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝ex＋2的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为( )
A．f(x)＝－ex－2 B．f(x)＝－e－x＋2
C．f(x)＝－e－x－2 D．f(x)＝e－x＋2
6．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数的大小关系是( )
A．cC．a题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是________________．
9．函数y＝的单调递增区间是________．
三、解答题
10．(1)设f(x)＝2u，u＝g(x)，g(x)是R上的单调增函数，试判断f(x)的单调性；
(2)求函数y＝的单调区间．
11．函数f(x)＝4x－2x＋1＋3的定义域为[－，]．
(1)设t＝2x，求t的取值范围；
(2)求函数f(x)的值域．
能力提升
12．函数y＝2x－x2的图象大致是( )
13．已知函数f(x)＝.
(1)求f[f(0)＋4]的值；
(2)求证：f(x)在R上是增函数；
(3)解不等式：01．比较两个指数式值的大小主要有以下方法：
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．了解由y＝f(u)及u＝φ(x)的单调性探求y＝f[φ(x)]的单调性的一般方法．
2．1.2 指数函数及其性质(二)
知识梳理
1．C 2.C 3.A
4．B [∵函数y＝()x在R上为减函数，
∴2a＋1>3－2a，∴a>.]
5．C [由已知条件得0∴ab6．C
作业设计
1．B [因为P＝{y|y≥0}，Q＝{y|y>0}，所以QP.]
2．C [∵4x>0，∴0≤16－4x<16，
∴∈[0,4)．]
3．C [函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3.]
4．B [∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，
g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．]
5．C [∵y＝f(x)的图象与g(x)＝ex＋2的图象关于原点对称，
∴f(x)＝－g(－x)＝－(e－x＋2)＝－e－x－2.]
6．A [∵y＝()x是减函数，－>－，
∴b>a>1.又07．19
解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
8．(－∞，－1)
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.
当x>0时，由1－2－x<－，()x>，得x∈?；
当x＝0时，f(0)＝0<－不成立；
当x<0时，由2x－1<－，2x<2－1，得x<－1.
综上可知x∈(－∞，－1)．
9．[1，＋∞)
解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．
令u＝－x2＋2x，则y＝()u在u∈R上为减函数，
问题转化为求u＝－x2＋2x的单调递减区间，即为x∈[1，＋∞)．
10．解 (1)设x1又由y＝2u的增减性得，即f(x1)所以f(x)为R上的增函数．
(2)令u＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
则u在区间[1，＋∞)上为增函数．
根据(1)可知y＝在[1，＋∞)上为增函数．
同理可得函数y在(－∞，1]上为单调减函数．
即函数y的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．
11．解 (1)∵t＝2x在x∈[－，]上单调递增，
∴t∈[，]．
(2)函数可化为：f(x)＝g(t)＝t2－2t＋3，
g(t)在[，1]上递减，在[1，]上递增，
比较得g()∴f(x)min＝g(1)＝2，
f(x)max＝g()＝5－2.
∴函数的值域为[2,5－2]．
12．A [当x→－∞时，2x→0，所以y＝2x－x2→－∞，
所以排除C、D.
当x＝3时，y＝－1，所以排除B.故选A.]
13．(1)解 ∵f(0)＝＝0，
∴f[f(0)＋4]＝f(0＋4)＝f(4)＝＝.
(2)证明 设x1，x2∈R且x1则>>0,－>0，
即f(x1)(3)解 由0又f(x)在R上是增函数，∴0即2§2.1 习题课
课时目标 1.提高学生对指数与指数幂的运算能力.2.进一步加深对指数函数及其性质的理解.3.提高对指数函数及其性质的应用能力．
1．下列函数中，指数函数的个数是( )
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
A．0 B．1
C．2 D．3
2．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
3．对于每一个实数x，f(x)是y＝2x与y＝－x＋1这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是( )
A．1 B．0
C．－1 D．无最大值
4．将化成指数式为________．
5．已知a＝40.2，b＝80.1，c＝()－0.5，则a，b，c的大小顺序为______________．
6．已知＋＝3，求x＋的值．
一、选择题
1．的值为( )
A. B．－
C. D．－
2．化简＋的结果是( )
A．3b－2a B．2a－3b
C．b或2a－3b D．b
3．若0A．2x<0.2x<()x B．2x<()x<0.2x
C．()x<0.2x<2x D．0.2x<()x<2x
4．若函数则f(－3)的值为( )
A. B.
C．2 D．8
5．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b>0
B．a>1，b<0
C．00
D．06．函数f(x)＝的图象( )
A．关于原点对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．计算：－(－)0＋160.75＋＝___________________________________.
8．已知10m＝4,10n＝9，则＝________.
9．函数y＝1－3x(x∈[－1,2])的值域是________．
三、解答题
10．比较下列各组中两个数的大小：
(1)0.63.5和0.63.7；(2)()－1.2和()－1.4；
(3) 和；(4)π－2和()－1.3.
11．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
能力提升
12．已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．
13．根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？
1．(1)根式的运算中，有开方和乘方并存的情况，此时要注意两种运算的顺序是否可换．如当a≥0时，＝()m，而当a<0时，则不一定可换，应视m，n的情况而定．
(2)分数指数幂不能对指数随意约分．
(3)对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数，不能同时含有分母和负指数．
2．指数函数的解析式y＝ax中，ax的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y＝ax＋k(a>0且a≠
1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y＝a－x(a>0且a≠1)，因为它可以化为y＝()x，其中>0，且≠1.
3．学习指数函数要记住图象，理解图象，由图象能说出它的性质．关键在于弄清楚底数a对于函数值变化的影响，对于a>1与0§2.1 习题课
双基演练
1．B [只有③中y＝3x是指数函数．]
2．A [因f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即1＋b＝0，b＝－1.
所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.]
3．A [当x≤0时，f(x)＝2x；
当x>0时，f(x)＝－x＋1.显然，其最大值是1.]
4．2
解析
5．b解析 a＝20.4，b＝20.3，c＝20.5.
又指数函数y＝2x在R上是增函数，
∴b则x＋x－1＝7，即x＋＝7.
作业设计
1．C [原式＝＝＝.]
2．C [原式＝(a－b)＋|a－2b|＝]
3．D [当01，()x<1，
对于()x，(0.2)x，不妨令x＝，
则有>.]
4．A [f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝2－3＝.]
5．D [f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象左右平移|b|个单位得到的，由图象可知f(x)在R上是递减函数，所以06．D [f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．]
7.
＝0.4－1－1＋23＋0.1＝－1＋8＋＝.
8.
9．[－8，]
解析 因为y＝3x是R上的单调增函数，所以当x∈[－1,2]时，3x∈[3－1,32]，即－3x∈
[－9，－]，所以y＝1－3x∈[－8，]．
10．解 (1)考查函数y＝0.6x.因为0<0.6<1，所以函数y＝0.6x在实数集R上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.
(2)考查函数y＝()x.因为>1，所以函数y＝()x在实数集R上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以()－1.2>()－1.4.
(3)考查函数y＝()x.因为>1，所以函数y＝()x在实数集R上是单调增函数．又因为<，所以<.
(4)∵π－2＝()2<1，()－1.3＝31.3>1，
∴π－2<()－1.3.
11．解 (1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，
∴a2－a＝，
即a＝或a＝0(舍去)．
(2)若0∴a－a2＝，即a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，所求a的值为或.
12．解 ∵f(x)＝(ax－)，
∴函数定义域为R，
设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1∴当a>1时，ax10
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)当0∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)综上，f(x)在R上为增函数．
13.
解 函数y＝|2x－1|的图象可由指数函数y＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示．
函数y＝m的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：
当m<0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m无解；
当m＝0或m≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m有一解；
当0§2.2 对数函数
2．2.1 对数与对数运算
第1课时 对 数
课时目标 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.掌握对数的基本性质，会用对数恒等式进行运算．
1．对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做__________________，记作____________，其中a叫做__________，N叫做______．
2．常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做____________，以e为底的对数叫做____________，log10N可简记为______，logeN简记为________．
3．对数与指数的关系
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝____.
对数恒等式：alogaN＝____；logaax＝____(a>0，且a≠1)．
4．对数的性质
(1)1的对数为____；
(2)底的对数为____；
(3)零和负数__________．
一、选择题
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；
④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝100；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是( )
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
3．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．a>5或a<2
B．2C．2D．34．方程＝的解是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
5．若loga＝c，则下列关系式中正确的是( )
A．b＝a5c B．b5＝ac
C．b＝5ac D．b＝c5a
6．的值为( )
A．6 B.
C．8 D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝________.
8．若log2(logx9)＝1，则x＝________.
9．已知lg a＝2.431 0，lg b＝1.431 0，则＝________.
三、解答题
10．(1)将下列指数式写成对数式：
①10－3＝；②0.53＝0.125；③(－1)－1＝＋1.
(2)将下列对数式写成指数式：
①log26＝2.585 0；②log30.8＝－0.203 1；
③lg 3＝0.477 1.
11．已知logax＝4，logay＝5，求A＝的值．
能力提升
12．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是( )
A．15 B．75
C．45 D．225
13．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值：
①log2x＝－；②logx3＝－.
(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式：
①log68；②log62；③log26.
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2) ＝N.
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运
算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
3．指数式与对数式的互化
§2.2 对数函数
2．2.1 对数与对数运算
第1课时 对 数
知识梳理
1．以a为底N的对数 x＝logaN 对数的底数 真数 2.常用对数 自然对数 lg N ln N 3.x N x 4.(1)零 (2)1 (3)没有对数
作业设计
1．C [①、③、④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．]
2．C [∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝0，故①正确；
∵ln e＝1，∴ln(ln e)＝0，故②正确；
由lg x＝10，得1010＝x，故x≠100，故③错误；
由e＝ln x，得ee＝x，故x≠e2，所以④错误．]
3．C [由对数的定义知?
?24．A [∵＝2－2，∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝.]
5．A [由loga＝c，得ac＝，
∴b＝(ac)5＝a5c.]
6．C [()－1＋log0.54＝()－1·()＝2×4＝8.]
7.
解析 由题意得：log3(log2x)＝1，
即log2x＝3，
转化为指数式则有x＝23＝8，
∴＝＝＝＝.
8．3
解析 由题意得：logx9＝2，∴x2＝9，∴x＝±3，
又∵x>0，∴x＝3.
9.
解析 依据ax＝N?logaN＝x(a>0且a≠1)，
有a＝102.431 0，b＝101.431 0，
∴＝＝101.431 0－2.431 0＝10－1＝.
10．解 (1)①lg＝－3；②log0.50.125＝3；
③log－1(＋1)＝－1.
(2)①22.585 0＝6；②3－0.203 1＝0.8；③100.477 1＝3.
11．解 A＝·()＝.
又∵x＝a4，y＝a5，∴A＝＝1.
12．C [由loga3＝m，得am＝3，
由loga5＝n，得an＝5.
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.]
13．解 (1)①因为log2x＝－，所以x＝＝.
②因为logx3＝－，所以＝3，所以x＝3－3＝.
(2)①log68＝a.
②由6a＝8得6a＝23，即＝2，所以log62＝.
③由＝2得＝6，所以log26＝.
第2课时 对数的运算
课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝____________________；
(2)loga＝____________________；
(3)logaMn＝__________(n∈R)．
2．对数换底公式
logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；
特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
一、选择题
1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )
A．logax·logay＝loga(x＋y)
B．(logax)n＝nlogax
C.＝loga
D.＝logax－logay
2．计算：log916·log881的值为( )
A．18 B. C. D.
3．若log5·log36·log6x＝2，则x等于( )
A．9 B. C．25 D.
4．已知3a＝5b＝A，若＋＝2，则A等于( )
A．15 B.
C．± D．225
5．已知log89＝a，log25＝b，则lg 3等于( )
A. B.
C. D.
6．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg)2的值等于( )
A．2 B. C．4 D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．2log510＋log50.25＋(－)÷＝_____________________________________.
8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.
9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝lg E－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．
三、解答题
10．(1)计算：lg－lg＋lg 12.5－log89·log34；
(2)已知3a＝4b＝36，求＋的值．
11．若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
能力提升
12．下列给出了x与10x的七组近似对应值：
组号
一
二
三
四
五
六
七
x
0.301 03
0.477 11
0.698 97
0.778 15
0.903 09
1.000 00
1.079 18
10x
2
3
5
6
8
10
12
假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第________组．( )
A．二 B．四
C．五 D．七
13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
1．在运算过程中避免出现以下错误：
loga(MN)＝logaM·logaN.
loga＝.
logaNn＝(logaN)n.
logaM±logaN＝loga(M±N)．
2．根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式：
logab＝(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0)．
由对数换底公式又可得到两个重要结论：
(1)logab·logba＝1；
(2) ＝logab.
3．对于同底的对数的化简常用方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．
第2课时 对数的运算
知识梳理
1．(1)logaM＋logaN (2)logaM－logaN (3)nlogaM 2.1
作业设计
1．C
2．C [log916·log881＝·＝·＝.]
3．D [由换底公式，得··＝2，
lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.]
4．B [∵3a＝5b＝A>0，
∴a＝log3A，b＝log5A.
由＋＝logA3＋logA5＝logA15＝2，
得A2＝15，A＝.]
5．C [∵log89＝a，∴＝a.
∴log23＝a.
lg 3＝＝＝.]
6．A [由根与系数的关系可知lg a＋lg b＝2，
lg alg b＝.
于是(lg)2＝(lg a－lg b)2
＝(lg a＋lg b)2－4lg alg b＝22－4×＝2.]
7.－3
解析 原式＝2(log510＋log50.5)＋(－)
＝2log5(10×0.5)＋
＝2＋－5＝－3.
8．1
解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
9．1 000
解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2、E1，
则8－6＝(lg E2－lg E1)，即lg＝3.
∴＝103＝1 000，
即汶川大地震所释放的能量相当于1 000颗广岛原子弹．
10．解 (1)方法一 lg－lg＋lg 12.5－log89·log34
＝lg(××12.5)－·＝1－＝－.
方法二 lg－lg＋lg 12.5－log89·log34
＝lg－lg＋lg－·
＝－lg 2－lg 5＋3lg 2＋(2lg 5－lg 2)－·
＝(lg 2＋lg 5)－＝1－＝－.
(2)方法一 由3a＝4b＝36得：a＝log336，b＝log436，
所以＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.
方法二 因为3a＝4b＝36，所以＝3, ＝4，
所以()2·＝32×4，
即＝36，故＋＝1.
11．解 原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.
设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又∵a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg a＋lg b)·(＋)
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
12．A [由指数式与对数式的互化可知，
10x＝N?x＝lg N，
将已知表格转化为下表：
组号
一
二
三
四
五
六
七
N
2
3
5
6
8
10
12
lg N
0.301 03
0.477 11
0.698 97
0.778 15
0.903 09
1.000 00
1.079 18
∵lg 2＋lg 5＝0.301 03＋0.698 97＝1，
∴第一组、第三组对应值正确．
又显然第六组正确，
∵lg 8＝3lg 2＝3×0.301 03＝0.903 09，
∴第五组对应值正确．
∵lg 12＝lg 2＋lg 6＝0.301 03＋0.778 15＝1.079 18，
∴第四组、第七组对应值正确．
∴只有第二组错误．]
13．解 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x年后，剩余量是y，则有y＝0.75x.
依题意，得＝0.75x，即x＝
＝＝
＝≈4.
∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的.
2．2.2 对数函数及其性质(一)
课时目标 1.掌握对数函数的概念、图象和性质.2.能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．
1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．
2．对数函数的图象与性质
定义
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域
________
值域
________
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过点________，即loga1＝0
函数值
特点
x∈(0,1)时，
y∈________；
x∈[1，＋∞)时，
y∈________
x∈(0,1)时，
y∈________；
x∈[1，＋∞)时，
y∈________
对称性
函数y＝logax与y＝的图象关于____对称
3.反函数
对数函数y＝logax (a>0且a≠1)和指数函数__________________互为反函数．
一、选择题
1．函数y＝的定义域是( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
2．设集合M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于( )
A．(－∞，0)∪[1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，1] D．(－∞，0)∪(0,1)
3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．函数f(x)＝|log3x|的图象是( )
5．已知对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且过点(9,2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，则g(x)的解析式是( )
A．g(x)＝4x B．g(x)＝2x
C．g(x)＝9x D．g(x)＝3x
6．若loga<1，则a的取值范围是( )
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(，1) D．(0，)∪(1，＋∞)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是______________．
8．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
9．给出函数则f(log23)＝________.
三、解答题
10．求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝log2(x－2)；
(2)y＝log4(x2＋8)．
11．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a>0，且a≠1)．
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值．
(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．
能力提升
12．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是( )
A．a4B．a3C．a2D．a313．若不等式x2－logmx<0在(0，)内恒成立，求实数m的取值范围．
1．函数y＝logmx与y＝lognx中m、n的大小与图象的位置关系．
当02．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y＝ax的图象过(0,1)点，故对数函数图象必过(1,0)点．
2．2.2 对数函数及其性质(一)
知识梳理
1．函数y＝logax(a>0，且a≠1) (0，＋∞) 2.(0，＋∞) R
(1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x轴
3．y＝ax (a>0且a≠1)
作业设计
1．D [由题意得：解得x≥4.]
2．C [M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，因此M∪N＝(－∞，1]．]
3．B [α＋1＝2，故α＝1.]
4．A [y＝|log3x|的图象是保留y＝log3x的图象位于x轴上半平面的部分(包括与x轴的交点)，而把下半平面的部分沿x轴翻折到上半平面而得到的．]
5．D [由题意得：loga9＝2，即a2＝9，又∵a>0，∴a＝3.
因此f(x)＝log3x，所以f(x)的反函数为g(x)＝3x.]
6．D [由loga<1得：loga当a>1时，有a>，即a>1；
当0综上可知，a的取值范围是(0，)∪(1，＋∞)．]
7．(1,2)
解析 由题意，得或解得18．(4，－1)
解析 y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，则x＝4；
令y＋1＝0，则y＝－1.
9.
解析 ∵1∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋2)
＝f(log23＋3)＝f(log224)＝
＝.
10．解 (1)由x－2>0，得x>2，所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.
(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，
所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.
又因为x2＋8≥8，
所以log4(x2＋8)≥log48＝，
即函数y＝log4(x2＋8)的值域是[，＋∞)．
11．解 (1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，
故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，
f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.
(2)f(x)－g(x)>0，即loga(1＋x)>loga(1－x)，
①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0②当012．B [作x轴的平行线y＝1，直线y＝1与曲线C1，C2，C3，C4各有一个交点，则交点的横坐标分别为a1，a2，a3，a4.由图可知a313.
解 由x2－logmx<0，得x2要使x2∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm≥＝logm.
∴≤，即≤m.又0∴≤m<1，
即实数m的取值范围是[，1)．
2．2.2 对数函数及其性质(二)
课时目标 1.进一步加深理解对数函数的性质.2.掌握对数函数的性质及其应用．
1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值是( )
A．5 B.
C. D.
2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝和y＝()2
B．|y|＝|x|和y3＝x3
C．y＝logax2和y＝2logax
D．y＝x和y＝logaax
3．若函数y＝f(x)的定义域是[2,4]，则y＝f()的定义域是( )
A．[，1] B．[4,16]
C．[，] D．[2,4]
4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
5．函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f(2)＝________.
6．函数y＝loga(x－2)＋1(a>0且a≠1)恒过定点____________．
一、选择题
1．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )
A．aC．a2．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为( )
A．[－1,1] B．[，2]
C．[1,2] D．[，4]
3．函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)且f(8)＝3，则有( )
A．f(2)>f(－2) B．f(1)>f(2)
C．f(－3)>f(－2) D．f(－3)>f(－4)
4．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )
A. B. C．2 D．4
5．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )
A．b B．－b
C. D．－
6．函数y＝3x(－1≤x<0)的反函数是( )
A．y＝ (x>0)
B．y＝log3x(x>0)
C．y＝log3x(≤x<1)
D．y＝ (≤x<1)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数f(x)＝lg(2x－b)，若x≥1时，f(x)≥0恒成立，则b应满足的条件是________．
8．函数y＝logax当x>2时恒有|y|>1，则a的取值范围是______________．
9．若loga2<2，则实数a的取值范围是______________．
三、解答题
10．已知f(x)＝loga(3－ax)在x∈[0,2]上单调递减，求a的取值范围．
11．已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，其中a为常数．
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋能力提升
12．设函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(x1x2…x2 010)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于( )
A．4 B．8
C．16 D．2log48
13．已知logm41．在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，底数a对其图象的影响
无论a取何值，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝logax(a>1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当01时函数单调递增．
2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．
2．2.2 对数函数及其性质(二)
双基演练
1．A
2．D [y＝logaax＝xlogaa＝x，即y＝x，两函数的定义域、值域都相同．]
3．C [由题意得：2≤≤4，所以()2≥x≥()4，
即≤x≤.]
4．A [∵3x＋1>1，∴log2(3x＋1)>0.]
5．2
解析 由已知得loga(b－1)＝0且logab＝1，
∴a＝b＝2.从而f(2)＝log2(2＋2)＝2.
6．(3,1)
解析 若x－2＝1，则不论a为何值，只要a>0且a≠1，都有y＝1.
作业设计
1．D [因为0所以b2．D [∵－1≤x≤1，
∴2－1≤2x≤2，即≤2x≤2.
∴y＝f(x)的定义域为[，2]
即≤log2x≤2，∴≤x≤4.]
3．C [∵loga8＝3，解得a＝2，因为函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)为偶函数，且在(0，＋∞)为增函数，在(－∞，0)上为减函数，由－3<－2，所以f(－3)>f(－2)．]
4．B [函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)，令y1＝ax，y2＝loga(x＋1)，显然在[0,1]上，y1＝ax与y2＝loga(x＋1)同增或同减．因而[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)＝a＋loga2＋1＋0＝a，解得a＝.]
5．B [f(－x)＝lg＝lg()－1＝－lg
＝－f(x)，则f(x)为奇函数，
故f(－a)＝－f(a)＝－b.]
6．C [由y＝3x(－1≤x<0)得反函数是y＝log3x(≤x<1)，
故选C.]
7．b≤1
解析 由题意，x≥1时，2x－b≥1.
又2x≥2，∴b≤1.
8．[，1)∪(1,2]
解析 ∵|y|>1，即y>1或y<－1，
∴logax>1或logax<－1，
变形为logax>logaa或logax当x＝2时，令|y|＝1，
则有loga2＝1或loga2＝－1，
∴a＝2或a＝.
要使x>2时，|y|>1.
如图所示，a的取值范围为19．(0,1)∪(，＋∞)
解析 loga2<2＝logaa2.若0若a>1，由于y＝logax是增函数，
则a2>2，得a>.综上得0.
10．解 由a>0可知u＝3－ax为减函数，依题意则有a>1.
又u＝3－ax在[0,2]上应满足u>0，
故3－2a>0，即a<.
综上可得，a的取值范围是111．解 (1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴函数f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－＝，
解得a＝－1或a＝1(舍)．
(2)f(x)＋(x－1)＝＋(x－1)
＝(1＋x)，
当x>1时，(1＋x)<－1，
∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)∴m≥－1.
12．C [∵f(x1x2…x2 010)＝loga(x1x2…x2 010)＝8，
f(x)＋f(x)＋…＋f(x)＝loga(xx…x)
＝2loga(x1x2…x2 010)＝2×8＝16.]
13．解
数形结合可得0§2.2 习题课
课时目标 1.巩固对数的概念及对数的运算.2.提高对对数函数及其性质的综合应用能力．
1．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是( )
A．mC．p2．已知0A．1C．m3．函数y＝＋的定义域是( )
A．(1,2) B．[1,4]
C．[1,2) D．(1,2]
4．给定函数①y＝，②y＝，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
5．设函数f(x)＝loga|x|，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是________________________．
6．若log32＝a，则log38－2log36＝________.
一、选择题
1．下列不等号连接错误的一组是( )
A．log0.52.7>log0.52.8 B．log34>log65
C．log34>log56 D．logπe>logeπ
2．若log37·log29·log49m＝log4，则m等于( )
A. B.
C. D．4
3．设函数若f(3)＝2，f(－2)＝0，则b等于( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
4．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，－) B．(－，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，－)
5．若函数若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(logx)<0的解集为( )
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(，1)∪(2，＋∞) D．(0，)∪(2，＋∞)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知loga(ab)＝，则logab＝________.
8．若log236＝a，log210＝b，则log215＝________.
9．设函数若f(a)＝，则f(a＋6)＝________.
三、解答题
10．已知集合A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|log4(x＋a)<1}，若A∩B＝?，求实数a的取值范围．
11．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)
能力提升
12．设a>0，a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，求不等式loga(x－1)>0的解集．
13．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，其中a>1.
(1)比较[f(0)＋f(1)]与f()的大小；
(2)探索[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f(－1)对任意x1>0，x2>0恒成立．
1．比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：
(1)利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；
(2)利用对数函数图象的相互位置关系比较大小．
2．指数函数与对数函数的区别与联系
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是两类不同的函数．二者的自变量不同．前者以指数为自变量，而后者以真数为自变量；但是，二者也有一定的联系，y＝ax(a>0，且a≠1)和y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域．二者的图象关于直线y＝x对称．
§2.2 习题课
双基演练
1．C [01，p<0，故p2．A [∵0由logamn>1.]
3．A [由题意得：解得：14．B [①y＝在(0,1)上为单调递增函数，
∴①不符合题意，排除A，D.
④y＝2x＋1在(0,1)上也是单调递增函数，排除C，故选B.]
5．f(a＋1)>f(2)
解析 当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上递增，
又∵a＋1>2，∴f(a＋1)>f(2)；
当0又∵a＋1<2，∴f(a＋1)>f(2)．
综上可知，f(a＋1)>f(2)．
6．a－2
解析 log38－2log36＝log323－2(1＋log32)
＝3a－2－2a＝a－2.
作业设计
1．D [对A，根据y＝log0.5x为单调减函数易知正确．
对B，由log34>log33＝1＝log55>log65可知正确．
对C，由log34＝1＋log3>1＋log3>1＋log5＝log56可知正确．
对D，由π>e>1可知，logeπ>1>logπe错误．]
2．B [左边＝··＝，
右边＝＝－，
∴lg m＝lg 2－＝lg，
∴m＝.]
3．A [∵f(3)＝2，∴loga(3＋1)＝2，
解得a＝2，又f(－2)＝0，∴4－4＋b＝0，b＝0.]
4．D [令y＝2x2＋x，其图象的对称轴x＝－<0，
所以(0，)为y的增区间，所以00，所以0f(x)的定义域为2x2＋x>0的解集，即{x|x>0或x<－}，
由x＝－>－得，(－∞，－)为y＝2x2＋x的递减区间，
又由05．C [①若a>0，则f(a)＝log2a，f(－a)＝a，
∴log2a>a＝log2
∴a>，∴a>1.
②若a<0，则f(a)＝ (－a)，
f(－a)＝log2(－a)，
∴ (－a)>log2(－a)＝ (－)，
∴－a<－，
∴－1由①②可知，－11.]
6．C [∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，
在(0，＋∞)上f(x)<0?f(x)?同理可求f(x)在(－∞，0)上是增函数，且f(－)＝0，得x>2.
综上所述，x∈(，1)∪(2，＋∞)．]
7．2p－1
解析 ∵logaba＝p，logabb＝logab＝1－p，
∴logab＝logaba－logabb
＝p－(1－p)＝2p－1.
8.a＋b－2
解析 因为log236＝a，log210＝b，
所以2＋2log23＝a,1＋log25＝b.
即log23＝(a－2)，log25＝b－1，
所以log215＝log23＋log25＝(a－2)＋b－1＝a＋b－2.
9．－3
解析 (1)当a≤4时，2a－4＝，
解得a＝1，此时f(a＋6)＝f(7)＝－3；
(2)当a>4时，－log2(a＋1)＝，无解．
10．解 由log4(x＋a)<1，得0解得－a即B＝{x|－a∵A∩B＝?，∴解得1≤a≤2，
即实数a的取值范围是[1,2]．
11．解 设至少抽n次才符合条件，则
a·(1－60%)n<0.1%·a(设原来容器中的空气体积为a)．
即0.4n<0.001，两边取常用对数，得
n·lg 0.4所以n>.
所以n>≈7.5.
故至少需要抽8次，才能使容器内的空气少于原来的0.1%.
12．解 设u(x)＝x2－2x＋3，则u(x)在定义域内有最小值．
由于f(x)在定义域内有最小值，所以a>1.
所以loga(x－1)>0?x－1>1?x>2，
所以不等式loga(x－1)>0的解集为{x|x>2}．
13．解 (1)∵[f(0)＋f(1)]＝(loga1＋loga2)＝loga，
又∵f()＝loga，且>，由a>1知函数y＝logax为增函数，所以loga即[f(0)＋f(1)](2)由(1)知，
当x1＝1，x2＝2时，不等式成立．
接下来探索不等号左右两边的关系：
[f(x1－1)＋f(x2－1)]＝loga，
f(－1)＝loga，
因为x1>0，x2>0，
所以－＝≥0，
即≥.
又a>1，
所以loga≥loga，
即[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f(－1)．
综上可知，不等式对任意x1>0，x2>0恒成立．
§2.3 幂函数
课时目标 1.通过具体问题，了解幂函数的概念.2.从描点作图入手，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．
1．一般地，______________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象．
3．结合2中图象，填空．
(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．
(2)若α>0时，幂函数图象过点____________，且在第一象限内______；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象______．
(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，函数在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．
(4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．
(5)幂函数在第____象限无图象．
一、选择题
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝x－1
2．幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为( )
A. B．64
C．2 D.
3．下列是y＝的图象的是( )
4．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
6．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( )
A．0 B．2
C．3 D．4
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．给出以下结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．
则正确结论的序号为________．
8．函数y＝＋x－1的定义域是____________．
9．已知函数y＝x－2m－3的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．
三、解答题
10．比较1. 、、的大小，并说明理由．
11．如图，幂函数y＝x3m－7(m∈N)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．
能力提升
12．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；
(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
13．点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)1．幂函数在第一象限内指数变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
2．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数中的m是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数中的m、n是奇数还是偶数．y＝xα，当α＝(m、n∈N*，m、
n互质)时，有：
n
m
y＝的奇偶性
定义域
奇数
偶数
非奇非偶函数
[0，＋∞)
偶数
奇数
偶函数
(－∞，＋∞)
奇数
奇数
奇函数
(－∞，＋∞)
3.幂函数y＝的单调性，在(0，＋∞)上，>0时为增函数，<0时为减函数．
§2.3 幂函数
知识梳理
1．函数y＝xα 3.(1)(1,1) (2)(0,0)，(1,1) 递增 下凸
(3)(1,1) 递减 (4)原点 y轴 (5)四
作业设计
1．C [根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C不是幂函数．]
2．A [设幂函数为y＝xα，依题意，＝4α，
即22α＝2－1，∴α＝－.
∴幂函数为y＝，∴f(8)＝＝＝＝.]
3．B [y＝＝，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝＝
＝f(x)，即y＝是偶函数，又∵<1，∴图象上凸．]
4．B [作直线x＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．]
5．A [根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝在x>0时是增函数，所以a>c；y＝()x在x>0时是减函数，所以c>b.]
6．B [因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x|<1.
要使f(x)＝xα>|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，
所以α＝－1,1显然是不成立的．
当α＝0时，f(x)＝1>|x|；
当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；
当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.
综上，α的可能取值为0或－2，共2个．]
7．④
解析 当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．
8．(0，＋∞)
解析 y＝的定义域是[0，＋∞)，y＝x－1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．
9．m<－
解析 由幂函数的性质知－2m－3>0，
故m<－.
10．解 考查函数y＝1.1x，∵1.1>1，
∴它在(0，＋∞)上是增函数．
又∵>，∴>.
再考查函数y＝，∵>0，
∴它在(0，＋∞)上是增函数．
又∵1.4>1.1，∴>，
∴>>.
11．解 由题意，得3m－7<0.
∴m<.
∵m∈N，∴m＝0,1或2，
∵幂函数的图象关于y轴对称，
∴3m－7为偶数．
∵m＝0时，3m－7＝－7，
m＝1时，3m－7＝－4，
m＝2时，3m－7＝－1.
故当m＝1时，y＝x－4符合题意．即y＝x－4.
12．解 (1)若f(x)为正比例函数，
则?m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，
则?m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
?m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
13．解 设f(x)＝xα，则由题意，得
2＝()α，∴α＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，由题意，得＝(－2)β，
∴β＝－2，即g(x)＝x－2.
在同一平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．
由图象可知：
(1)当x>1或x<－1时，
f(x)>g(x)；
(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1课件29张PPT。章末复习课第二章 基本初等函数 (Ⅰ)1.构建知识网络；
2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆；
3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数. 要点归纳题型探究达标检测学习目标知识网络要点归纳 主干梳理 点点落实1.分数指数幂知识梳理(1) a>0，m，n∈N*，且n>1.(2) a >0，m，n∈N*，且n>1.3.指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s：a>0，r，s∈R.
(2)(ar)s＝ars：a>0，r，s∈R.
(3)(ab)r＝arbr：a>0，b>0，r∈R.
4.指数式与对数式的互化式
logaN＝b?ab＝N：a>0，a≠1，N>0.返回推论： a>0，且a≠1，m，n>0，且m≠1，n≠1，b>0.6.对数的四则运算法则
若a>0，a≠1，M>0，N>0，则
(1) loga(MN)＝logaM＋logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).类型一 指数、对数的运算题型探究 重点难点 个个击破提炼化简方向：根式化分数指数幂，异底化同底.
化简技巧：分与合.
注意事项：变形过程中字母范围的变化.解析答案例1 化简：解 原式解 原式解析答案＝log39－9＝2－9＝－7.反思与感悟(2)反思与感悟指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.解析 ∵log32×log2(log327)＝log32×log23解析答案∴原式＝21＋4×27＋1＝111.111类型二 数的大小比较例2 比较下列各组数的大小：
(1)27 ,82；解析答案解 ∵82＝(23)2＝26，
由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27即82<27.(2)log20.4，log30.4，log40.4.解析答案解 ∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.44又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，即log20.4(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小.跟踪训练2 比较下列各组数的大小：
(1)log0.22，log0.049；解析答案又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，
∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049.(2)a1.2，a1.3；解析答案解 ∵函数y＝ax(a>0且a≠1)，当底数a大于1时在R上是增函数；当底数a小于1时在R上是减函数，
而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2当0a1.3.(3)0.213 ,0.233.解析答案解 ∵y＝x3在R上是增函数，
且0.21<0.23，∴0.213<0.233.类型三 指数函数、对数函数、幂函数的综合应用解析答案反思与感悟所以1＋2x＋a·4x>0在(－∞，1]上恒成立.
因为4x>0，解析答案反思与感悟反思与感悟反思与感悟指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究.跟踪训练3 函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；解析答案解得－3∵－3∵0C.3 D.045B解析答案2.函数 的图象是( )12345∴在第一象限增且上凸，又 为奇函数，过(1,1)，故选B.B解析答案A.都是增函数 B.都是减函数
C.f(x)是增函数，g(x)是减函数 D.f(x)是减函数，g(x)是增函数12345x∈(0，＋∞)时 为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数.D解析答案A.P＜Q＜R B.Q＜R＜P
C.Q＜P＜R D.R＜Q＜P12345由函数y＝2x在R上是增函数知，所以P＞R＞Q.B解析答案5.函数 的值域为( )12345C返回规律与方法1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题.
2.从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查.课件24张PPT。2．1.1 指数与指数幂的运
算(一)第二章 2.1 指数函数1.理解n次方根、n次根式的概念；
2.正确运用根式运算性质化简、求值；
3.体会分类讨论思想、符号化思想的作用．问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 n次方根，n次根式思考 若x2＝3，这样的x有几个？它们叫作3的什么？怎么表示？答案一般地，有：(1)a的n次方根定义
如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.xn＝a(2)a的n次方根的表示答案(3)根式
式子 叫做根式，这里n叫做 ，a叫做被开方数.根指数知识点二 根式的性质答案答案0aa-a返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 根式的意义解析答案反思与感悟反思与感悟解析答案∴a－1≥0，
∴a≥1.类型二 利用根式的性质化简或求值例2 化简：解析答案解析答案解 由题意知a－1≥0，
即a≥1.
原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.反思与感悟反思与感悟解析答案跟踪训练2 求下列各式的值：解析答案类型三 有限制条件的根式的化简解析答案∵－3∴当－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，反思与感悟反思与感悟解析答案跟踪训练3 例3中，若将“－3∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.返回123达标检测 45答案B12345答案C12345答案A12345答案B12345C答案规律与方法返回3.一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数这两种情况.课件28张PPT。2.1.1 指数与指数幂的
运算(二)第二章 2.1 指数函数1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化；
2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值；
3.了解无理数指数幂的意义.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 分数指数幂思考 根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？答案答案 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.一般地，分数指数幂定义：
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是： ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是： ＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 .答案0没有意义知识点二 有理数指数幂的运算性质思考 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？答案答案 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的.整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).知识点三 无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的 .有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.答案实数返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 根式与分数指数幂之间的相互转化例1 用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0，x>0，y>0)：解析答案解析答案反思与感悟解析答案反思与感悟1.根式直观，分数指数幂易运算.
2.运算化简时要注意公式的前提条件，保持式子运算前后恒等.解析答案跟踪训练1 把下列根式化成分数指数幂：解 解析答案解 解 类型二 用指数幂运算公式化简求值例2 计算下列各式(式中字母都是正数)：解析答案解 解 ＝4ab0＝4a；解 反思与感悟原式解析答案反思与感悟一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.解析答案解 原式＝解析答案解 解析答案类型三 运用指数幂运算公式解方程例3 已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值.解析答案解 方法一 ∵a>0，b>0，又ab＝ba，方法二 因为ab＝ba，b＝9a，所以a9a＝(9a)a，反思与感悟反思与感悟指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到我们代入、消元等目的.解析答案返回123达标检测 45答案1.化简 的值为( )
A.2 B.4 C.6 D.8B12345答案D12345答案C12345答案D123455.计算 的结果是( )
A.32 B.16 C.64 D.128答案B规律与方法1.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.
2.根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.返回课件25张PPT。2.1.2 指数函数及其性质(一)第二章 2.1 指数函数1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性；
2.掌握指数函数图象的性质；
3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 指数函数思考1 细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？答案答案 y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来.一般地， 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.函数y＝ax(a>0，且a≠1)思考2 指数函数定义中为什么规定了a>0且a≠1?答案(3)如果a＝1，y＝1x＝1，是个常数函数，没有研究的必要.知识点二 指数函数的图象和性质思考 函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？答案答案 函数性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性.可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质：答案(0,1)01y>101增函数减函数返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 求指数函数的解析式例1 已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式.解析答案解 设f(x)＝ax，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，即a3＝π，解得：a＝ ，于是f(x)＝ .反思与感悟反思与感悟根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数.
要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可.解析答案跟踪训练1 已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值.解 由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2.
将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2.类型二 指数函数图象的应用例2 直线y＝2a与函数y＝|2x－1|图象有两个公共点，求实数a的取值范围.图象如右：由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|图象有两个公共点，解析答案反思与感悟反思与感悟指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用.解析答案跟踪训练2 函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )解析 函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax.由已知a>1，故选B.B类型三 求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域例3 求下列函数的定义域、值域.解析答案解 函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠－1).又∵3x>0,1＋3x>1，解析答案(2)y＝4x－2x＋1.解 定义域为R，y＝(2x)2－2x＋1反思与感悟反思与感悟指数函数y＝ax与y＝f(x)的复合方式主要是y＝af(x)和y＝f(ax).函数y＝af(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要达到指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.解析答案跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域：解 由x－1≠0得x≠1，
所以函数定义域为{x|x≠1}.所以函数值域为{y|y>0且y≠1}.解析答案返回123达标检测 45答案D12345答案C123453.曲线C1，C2，C3，C4分别是指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx和y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )答案A.aC.bA.存在且只有一个
B.存在且不只一个
C.存在且x<2
D.根本不存在答案A123455.若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y＝2x，x∈R}，则下列结论错误的是( )
A.A∩B＝A B.A∩B＝?
C.A∪B＝R D.A∪B＝B答案B规律与方法1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2.指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.
3.由于指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.返回4.求函数y＝af(x)(a＞0且a≠1)的值域的方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域.课件34张PPT。2.1.2 指数函数及其性质(二)第二章 2.1 指数函数1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断；
2.能借助指数函数性质比较大小；
3.会解简单的指数方程，不等式；
4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 不同底指数函数图象的相对位置思考 y＝2x与y＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？答案答案 经描点观察，在y轴右侧，2x＜3x，即y＝3x图象在y＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图象上方.一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，
图象的相对位置与底数大小有如下关系：
(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即
无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.知识点二 比较幂的大小思考 若x1＜x2，则 与 (a＞0且a≠1)大小关系如何？答案答案 a＞1时，y＝ax在R上为增函数，所以 ＜ ，0＜a＜1时，y＝ax在R上为减函数，所以 ＞ .答案一般地，比较幂大小的方法有：
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的 性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的 的变化规律来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断.单调图象中间值知识点三 解指数方程、不等式思考 若 ＜ ，则x1，x2大小关系如何？答案答案 当f(x)在区间[m，n]上单调递增(减)时，若x1，x2∈[m，n]，
则f(x1)＜f(x2)?x1＜x2(x1＞x2).此原理可用于解指数方程、指数不等式.答案简单指数不等式的解法：
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的 求解；
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的 求解；
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.单调性单调性知识点四 与指数函数复合的函数单调性答案返回答案一般地，有：形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 的定义域.
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 的单调性；当0(1)1.7－2.5 ,1.7－3；解析答案解 ∵1.7＞1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数.
∵－2.5＞－3，
∴1.7－2.5＞1.7－3.解析答案(2)1.70.3 ,1.50.3；解 方法一 ∵1.7＞1.5，
∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方.
而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.∴1.70.3＞1.50.3.反思与感悟解析答案(3)1.70.3 ,0.83.1.解 ∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，
∴1.70.3＞0.83.1.反思与感悟当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.解析答案跟踪训练1 比较下列各题中的两个值的大小.(1)0.8－0.1 ,1.250.2；解 ∵0＜0.8＜1，
∴y＝0.8x在R上是减函数.
∵－0.2＜－0.1，
∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
即0.8－0.1＜1.250.2.解析答案类型二 解指数方程例2 解下列关于x的方程：解析答案∴32x＋4＝3－2(x＋2)，
∴2x＋4＝－2(x＋2)，
∴x＝－2.解析答案(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.解 ∵22x＋2＋3×2x－1＝0，
∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.
令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，反思与感悟反思与感悟1.af(x)＝b型通常化为同底来解.
2.解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围.转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍.解析答案跟踪训练2 已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)，若f [g(1)]＝1，则a等于( )
A.1 B.2
C.3 D.－1解析 ∵g(x)＝ax2－x，
∴g(1)＝a－1.
∵f(x)＝5|x|，
∴f [g(1)]＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，
∴|a－1|＝0，
∴a＝1.A类型三 解指数不等式例3 解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1).解析答案解 (1)当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
(2)当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当0当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}.反思与感悟反思与感悟解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响.解析答案跟踪训练3 已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________.类型四 与指数函数复合的单调性问题解析答案反思与感悟证明 设x1，x2∈R，且x1且x1又由2x>0得
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)为增函数.反思与感悟此类型题目单调性证明过程中，在对差式正负判断时，利用指数函数的值域及单调性.解析答案跟踪训练4 已知函数f(x)＝2ax＋2(a为常数).
(1)求函数f(x)的定义域；(2)若a>0，试证明函数f(x)在R上是增函数；解 函数f(x)＝2ax＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R.解 任取x1，x2∈R，且x1由a>0得ax1＋2因为y＝2x在R上是增函数，所以有 即f(x1)所以f(－1)所以函数f(x)的值域为(2,32].123达标检测 451.若 则a、b、c的大小关系是( )
A.a＞b＞c B.a＜b＜c
C.a＜c＜b D.b＜c＜a解析答案B12345解析答案B123453.设0＜a＜1，则关于x的不等式 的解集为________.解析答案解析 ∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，又∵∴2x2－3x+2 ＜ 2x2+2x－3解得x＞1.(1，＋∞)123454.若指数函数y＝ax 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.解析 若01，则a－a－1＝1，即a2－a－1＝0，解析答案123455.用函数单调性定义证明a＞1时，y＝ax是增函数.解析答案证明 设x1，x2∈R且x1＜x2，并令x2＝x1＋h(h＞0)，则有 ∵a＞1，h＞0，即故y＝ax(a＞1)为R上的增函数.规律与方法1.比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2.解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解.如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论.
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解.返回课件27张PPT。第1课时 对 数第二章 2.2.1 对数与对数运算1.了解对数的概念；
2.会进行对数式与指数式的互化；
3.会求简单的对数值.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 对数的概念答案 不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念.答案对数的概念：
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做 ，记作
，其中a叫做 ，N叫做 .
常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫做 ，以e为底的对数称为 ，log10N可简记为 ，logeN简记为 .答案以a为底N的对数对数的底数真数常用对数自然对数lg Nln Nx＝logaN知识点二 对数与指数的关系思考 loga1等于？答案答案 因为是一个新符号，所以loga1一时难以理解，
但若设loga1＝t，化为指数式at＝1，
则不难求得t＝0，即loga1＝0.答案一般地，有对数与指数的关系：
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝ .
对数恒等式：alogaN＝ ；logaax＝ (a>0，且a≠1).
对数的性质：
(1)1的对数为 ；
(2)底的对数为 ；
(3)零和负数 .xNx零1没有对数返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 对数的概念例1 在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是( )
A.b<2或b>5 B.2C.40，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.解析答案解得0所以x＝－2.反思与感悟要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解.解析答案跟踪训练2 计算：(1)log927；类型三 应用对数的基本性质求值例3 求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；解析答案(2)log3(lg x)＝1；解 ∵log2(log5x)＝0.
∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.解 ∵log3(lg x)＝1，
∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.解析答案∴x＝1.解 反思与感悟反思与感悟本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题.解析答案跟踪训练3 (1)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为( )
A.9 B.8 C.7 D.6解析 ∵log2(log3x)＝0，
∴log3x＝1.
∴x＝3.同理y＝4，z＝2.
∴x＋y＋z＝9.A解析答案返回(2)求 的值(a，b，c∈R＋且不等于1，N＞0).解 123达标检测 45答案1.logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是( )
A.ab＝N B.ba＝N
C.aN＝b D.bN＝aB123452.若logax＝1，则( )
A.x＝1 B.a＝1
C.x＝a D.x＝10答案C123453.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A.e0＝1与ln 1＝0答案D.log77＝1与71＝7C123454.已知logx16＝2，则x等于( )
A.±4 B.4 C.256 D.2答案B123455.设10lg x＝100，则x的值等于( )
A.10 B.0.01
C.100 D.1 000答案C规律与方法1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.
2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.返回3.指数式与对数式的互化课件25张PPT。第2课时 对数的运算第二章 2.2.1 对数与对数运算1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件；2.掌握换底公式及其推论；
3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 对数运算性质思考 有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法类来计算.那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？答案答案 有.例如，设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，
∴MN＝am·an＝am＋n，
∴loga(MN)＝m＋n＝logaM＋logaN.
得到的结论loga(MN)＝logaM＋logaN可以当公式直接进行对数运算.一般地，如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝ ；
(2)Loga ＝ ；
(3)logaMn＝ (n∈R).答案logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM知识点二 换底公式答案返回1答案题型探究 重点难点 个个击破类型一 积商幂的对数运算解析答案反思与感悟反思与感悟使用公式要注意成立条件，log2(－3)(－5)＝log2(－3)＋log2(－5)是不成立的.log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的.要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.解析答案类型二 换底公式解析答案解析答案(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.反思与感悟解析答案反思与感悟解 方法一 ∵log189＝a,18b＝5，
∴log185＝b，方法二 ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，反思与感悟方法三 ∵log189＝a,18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，反思与感悟在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.解析答案跟踪训练2 已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.又∵log37＝b，类型三 化简求值例3 已知logax＝logac＋b，求x.解析答案解 方法一 由对数定义可知：方法二 由已知移项可得：logax－logac＝b，方法三 ∵b＝logaab，
∴logax＝logac＋logaab＝loga(c·ab)，∴x＝c·ab.反思与感悟反思与感悟a＞0且a≠1，N＞0时，恒有alogaN＝N.解析答案跟踪训练3 我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求，音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，分贝的定义是：y＝10lg .这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I0＝10－12w/m2，当I＝I0时，y＝0，即dB＝0.
(1)如果I＝1 w/m2，求相应的分贝值；解 ∵I＝1 w/m2，＝10×12lg 10＝120(dB).答 I＝1 w/m2时，相应的分贝值为120 dB；解析答案返回(2)70 dB时声音强度I是60 dB时声音强度I′的多少倍？答 70 dB时声音强度I是60 dB时声音强度I′的10倍.123达标检测 45答案A123452.log35－log345等于( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2答案D12345答案D12345答案B12345答案D规律与方法1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
2.运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N).返回. . . . . . . .课件31张PPT。2.2.2 对数函数及其性质(一)第二章 2.2 对数函数1.理解对数函数的概念；
2.掌握对数函数的性质；
3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 对数函数的概念思考 已知细胞分裂个数y与分裂次数x满足y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？答案答案 由于y＝2x是增函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y.一般地，我们把 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .函数y＝logax(a>0，且a≠1)(0，＋∞)知识点二 对数函数的图象与性质思考 y＝logax化为指数式是x＝ay.你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗？答案答案 当a＞1时，若0＜x1＜x2，则
解指数不等式，得y1＜y2从而y＝logax在(0，＋∞)上为增函数.
当0＜a＜1时，同理可得y＝logax在(0，＋∞)上为减函数.答案类似地，我们可以借助指数函数图象和性质得到对数函数图象和性质：(0，＋∞)R答案(1,0)(－∞，0)[0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0]x轴返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 对数函数的概念解 设y＝logax(a＞0且a≠1)，则2＝loga4，故a＝2，即y＝log2x，解析答案反思与感悟反思与感悟判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
①系数为1.
②底数为大于0且不等于1的常数.
③对数的真数仅有自变量x.解析答案跟踪训练1 判断下列函数是不是对数函数？并说明理由.
(1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x－1；解 ∵真数不是自变量x，
∴不是对数函数；解 ∵对数式后减1，∴不是对数函数；解析答案(3)y＝logxa(x＞0，且x≠1)；(4)y＝log5x.解 ∵底数是自变量x，而非常数a，
∴不是对数函数.解 为对数函数.类型二 对数函数的定义域例2 求下列函数的定义域：
(1)y＝loga(9－x2)；解析答案(2)y＝log2(16－4x).解 由9－x2>0，得－3∴函数y＝loga(9－x2)的定义域是{x|－30，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}.反思与感悟反思与感悟求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.解析答案跟踪训练2 求下列函数的定义域：解析答案∴x≥1，∴所求函数定义域为{x|x≥1}.类型三 比较对数的大小例3 比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log23.4，log28.5；解析答案解 考察对数函数y＝log2x，
因为它的底数2>1，
所以它在(0，＋∞)上是增函数，
又3.4＜8.5，
于是log23.4所以它在(0，＋∞)上是减函数，
又1.8＜2.7，
于是 log0.31.8>log0.32.7.解析答案反思与感悟(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1).解 当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又5.1＜5.9，
于是loga5.1当0又5.1＜5.9，
于是loga5.1>loga5.9.
综上，当a＞1时，loga5.1＜loga5.9，
当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.反思与感悟比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论.解析答案A类型四 对数函数的图象例4 画出函数y＝lg|x－1|的图象.解析答案反思与感悟解 (1)先画出函数y＝lg x的图象(如图).(2)再画出函数y＝lg|x|的图象(如图).(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图象(如图).反思与感悟反思与感悟画图象一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点如本题x＝0,1,2三点.解析答案跟踪训练4 画出函数y＝|lg(x－1)|的图象.返回返回解 (1)先画出函数y＝lg x的图象(如图).(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图象如图.(3)再画出函数y＝|lg(x－1)|的图象如图：123达标检测 45答案1.下列函数为对数函数的是( )
A.y＝logax＋1(a＞0且a≠1)
B.y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)
C.y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)
D.y＝2logax(a＞0且a≠1)C123452.函数y＝log2(x－2)的定义域是( )
A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)
C.(2，＋∞) D.[4，＋∞)答案C123453.已知函数f(x)＝log2x－2，则f(x)>0的解集是( )
A.(2，＋∞) B.(3，＋∞)
C.(4，＋∞) D.R答案C123454.函数y＝lg |x|的图象是( )答案A123455.如图的四个对数函数的底数分别为a1，a2，a3，a4，则( )答案A.a1B.a1>a2>a3>a4
C.a3D.a40，且a≠1)中，底数a对其图象的影响.无论a取何值，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝logax(a>1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当01时函数单调递增.
2.比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较.返回3.两个函数图象的对称性
(1)(2)课件32张PPT。2.2.2 对数函数及其性质(二)第二章 2.2 对数函数1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法；
2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法；
3.会解简单的对数不等式；
4.了解反函数的概念及它们的图象特点.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 y＝logaf (x)型函数的单调区间思考 我们知道y＝2f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，那么y＝log2f(x)的单调区间与y＝f(x)的单调区间相同吗？答案答案 y＝log2f(x)与y＝f(x)的单调区间不一定相同，因为y＝log2f(x)的定义域与y＝f(x)定义域不一定相同.一般地，形如函数f(x)＝logag(x)的单调区间的求法：①先求g(x)＞0的解集(也就是函数的定义域)；②当底数a大于1时， g(x)＞0限制之下g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间，g(x)＞0限制之下g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间；③当底数a大于0且小于1时，g(x)＞0限制之下g(x)的单调区间与f(x)的单调区间正好相反.知识点二 对数不等式的解法思考 log2x＜log23等价于x＜3吗？答案答案 不等价.log2x＜log23成立的前提是log2x有意义，即x＞0，
∴log2x＜log23?0＜x＜3.一般地，对数不等式的常见类型：
当a＞1时，当0＜a＜1时，知识点三 不同底的对数函数图象相对位置思考 y＝log2x与y＝log3x同为(0，＋∞)上的增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？答案答案 可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数.一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0(1)y＝ax的定义域为R，就是y＝logax的值域，而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域.
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与y＝logax(a＞0，a≠1)的图象关于直线y＝x对称.
(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.题型探究 重点难点 个个击破类型一 对数型复合函数的单调性例1 求函数 的值域和单调区间.解析答案反思与感悟解 设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.∵ 为减函数，且00，∴x2－2x<0，
∴0当02.含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(x)＝0来判断，运算相对简单.解析答案解析答案所以函数的定义域为R且关于原点对称，即f(－x)＝－f(x).＝lg(1＋x2－x2)＝0.类型三 对数不等式例3 已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0，且a≠1).解关于x的不等式：loga(1－ax)＞f(1).解析答案解 ∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a).
∴1－a＞0.∴0＜a＜1.
∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a).∴不等式的解集为(0,1).反思与感悟反思与感悟对数不等式解法要点
(1)化为同底logaf(x)＞logag(x)；
(2)根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向；
(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)＞0且g(x)＞0.解析答案A.(－1,0)∪(0,1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1,0)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0,1)返回返回解析 ①当a＞0时，f(a)＝log2a， f(a)＞f(－a)，即 ②当a＜0时， f(a)＞f(－a)，即 由①②得－1＜a＜0或a＞1.答案 C123达标检测 45答案1.当a＞1时，函数y＝logax和y＝(1－a)x的图象只可能是( )B12345答案A123453.f(x)＝lg(x2＋a)的值域为R，则实数a可以是( )
A.0 B.1 C.2 D.10答案A123454.如果 ，那么( )
A.yC.12.y＝ax与x＝logay图象是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示应变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax才与y＝ax关于y＝x对称，因为(a，b)与(b，a)关于y＝x对称.返回课件25张PPT。2.3 幂函数第二章 基本初等函数 (Ⅰ)1.理解幂函数的概念；
2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法；
3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 幂函数的概念答案 底数为x，指数为常数.答案一般地， 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.函数y＝xα知识点二 幂函数的图象与性质思考 如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x； (3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象.答案填写下表：RRR[0，＋∞){x|x≠0}[0，＋∞)RR[0，＋∞){y|y≠0}奇偶奇非奇非偶奇增减增增减减根据上表，可以归纳一般幂函数特征：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 ；
(2)α>0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是 函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象 ；当0<α<1时，幂函数的图象 ；
(3) 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；
(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从 到 的顺序排列.答案(1,1)原点增下凸上凸α<0小大返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 幂函数的概念例1 已知 是幂函数，求m，n的值.解析答案反思与感悟反思与感悟解析答案A.0 B.1 C.2 D.3y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1),
所以常函数y＝1不是幂函数.B类型二 幂函数的图象及应用解析答案反思与感悟则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，
观察图象可得：(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1A.1 B.2 C.3 D.无法确定∴αβ＝1.故选A.A类型三 幂函数性质的综合应用例3 (1)探讨函数 的单调性.解析答案解 的定义域为(0，＋∞).任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x1>0，所以x1－x2<0，所以 在区间(0，＋∞)内是减函数.解析答案(2)若 则a的取值范围是________.解析 由(1)知 在区间(0，＋∞)内是减函数.反思与感悟反思与感悟本例第(2)问是核心问题，第(1)问是铺垫，很多时候，我们会直接面对没有第(1)问的第(2)问，这个时候需要我们主动构造函数，并针对解题需要研究某方面的性质.解析答案跟踪训练3 已知幂函数
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；解 ∵m∈N*，
∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数.∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数.解析答案返回解 ∴m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2(舍去)，由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数.
∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，123达标检测 45解析答案C12345答案D12345A.1,3 B.－1,1
C.－1,3 D.－1,1,3答案A123454.下列是 的图象的是( )答案B123455.以下结论正确的是( )
A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点
C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大
而增大
D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限答案D规律与方法1.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.
2.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过(0,0)，(1,1)在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸.返回课件29张PPT。习题课 对数函数第二章 基本初等函数 (Ⅰ)1.巩固和深化对数及其运算的理解和运用；
2.掌握简单的对数函数的图象变换及其应用；
3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 对数概念及其运算答案N2.对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质：
(1)0和负数没有对数，即N 0；
(2)loga1＝ ；
(3)logaa＝ .>013.运算公式
已知a>0且a≠1，M、N>0.
(1)logaM＋logaN＝ ；答案loga(MN)知识点二 对数函数及其图象、性质函数 叫做对数函数.
(1)对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的定义域为 ；值域为 ；
(2)对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象过点 ；
(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递 ；
当0(4)直线y＝1与函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象交点为 .答案y＝logax(a>0，a≠1)(0，＋∞)(1,0)增减(a,1)返回R题型探究 重点难点 个个击破类型一 对数式的化简与求值例1 (1)计算： 解析答案解 方法一 利用对数定义求值：设∴x＝－1.方法二 利用对数的运算性质求解：反思与感悟解析答案反思与感悟在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化.解析答案解析答案(2)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.解析 ∵f(ab)＝lg(ab)＝1.
∴f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2.2类型二 对数函数图象的应用解析答案解 ∵f(x)＝logax，则y＝|f(x)|的图象如图.解析答案解析 画出函数f(x)＝|lg x|的图象如图所示.∵0＜a＜b，f(a)＝f(b)，∴0＜a＜1，b＞1，
∴lg a＜0，lg b＞0.
又f(a)＝f(b)，∴－lg a＝lg b，ab＝1，答案 C类型三 对数函数的综合应用例3 已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上.
(1)写出函数g(x)的解析式；解析答案解 设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，
则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，
∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，
∴－y＝loga(－x＋1)，
即y＝g(x)＝－loga(1－x).解析答案(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围.由题意知，只要F(x)min≥m即可.
∵F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.
故m≤0即为所求.解析答案解析答案解析答案(2)你发现这样的函数f(x)还具有其他什么样的性质？试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来，并加以证明.返回解 发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是奇函数.
因为x＝y＝0代入条件，得f(0)＋f(0)＝f(0)，
所以f(0)＝0.
将y＝－x代入条件得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0?f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)在(－1,1)上是奇函数.
又发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是减函数.即f(x)－f(y)＞0?f(x)＞f(y)，
所以函数f(x)在(－1,1)上是减函数.返回123达标检测 45解析答案B12345则f(x)为奇函数，故f(－a)＝－f(a)＝－b.解析答案B12345解析答案D123454.函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为( )解析答案解析 函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)，
令y1＝ax，y2＝loga(x＋1)，显然在[0,1]上，
y1＝ax与y2＝loga(x＋1)同增或同减.
因而[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)B123455.已知 则 ________.解析答案又 即3规律与方法1.指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键.
2.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积.返回4.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数).
5.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.
6.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.章末检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若a<，则化简的结果是( )
A. B．－
C. D．－
2．函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是( )
A．[0，) B．[0，]
C．[1，) D．[1，]
3．函数y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．[4，＋∞) D．[3，＋∞)
4．已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是( )
A．7 B．7
C．±7 D．98
5．若a>1，则函数y＝ax与y＝(1－a)x2的图象可能是下列四个选项中的( )
6．下列函数中值域是(1，＋∞)的是( )
A．y＝()|x－1|
B．y＝
C．y＝()x＋3()x＋1
D．y＝log3(x2－2x＋4)
7．若0A．增函数且f(x)>0
B．增函数且f(x)<0
C．减函数且f(x)>0
D．减函数且f(x)<0
8．已知函数f(x)＝，则f(f())等于( )
A．4 B.
C．－4 D．－
9．右图为函数y＝m＋lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是( )
A．m<0，n>1
B．m>0，n>1
C．m>0,0D．m<0,010．下列式子中成立的是( )
A．log0.441.013.5
C．3.50.3<3.40.3 D．log7611．方程log2x＋log2(x－1)＝1的解集为M，方程22x＋1－9·2x＋4＝0的解集为N，那么M与N的关系是( )
A．M＝N B．MN
C．MN D．M∩N＝?
12．设偶函数f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上具有单调性，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为( )
A．f(b－2)＝f(a＋1) B．f(b－2)>f(a＋1)
C．f(b－2)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.＝________.
14．函数f(x)＝ax－1＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．
15．设loga<1，则实数a的取值范围是________________．
16．如果函数y＝logax在区间[2，＋∞)上恒有y>1，那么实数a的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(1)计算：(－3)0－＋(－2)－2－；
(2)已知a＝，b＝，
求[]2的值．
18．(12分)(1)设loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
(2)计算：log49－log212＋.
19．(12分)设函数f(x)＝2x＋－1(a为实数)．
(1)当a＝0时，若函数y＝g(x)为奇函数，且在x>0时g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)的解析式；
(2)当a<0时，求关于x的方程f(x)＝0在实数集R上的解．
20．(12分)已知函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性．
21．(12分)已知－3≤≤－，求函数f(x)＝log2·log2的最大值和最小值．
22．(12分)已知常数a、b满足a>1>b>0，若f(x)＝lg(ax－bx)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)证明y＝f(x)在定义域内是增函数；
(3)若f(x)恰在(1，＋∞)内取正值，且f(2)＝lg 2，求a、b的值．
章末检测(A)
1．C [∵a<，∴2a－1<0.
于是，原式＝＝.]
2．C [由函数的解析式得：即
所以1≤x<.]
3．C [∵x≥1，∴x2＋3≥4，
∴log2(x2＋3)≥2，则有y≥4.]
4．B [由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A，
则＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，
A2＝98.又A>0，故A＝＝7.]
5．C [∵a>1，∴y＝ax在R上是增函数，
又1－a<0，所以y＝(1－a)x2的图象为开口向下的抛物线．]
6．C [A选项中，∵|x－1|≥0，∴0B选项中，y＝＝，∴y>0；
C选项中y＝[()x]2＋3()x＋1，∵()x>0，∴y>1；
D选项中y＝log3[(x－1)2＋3]≥1.]
7．C [当－10，排除B、D.设u＝x＋1，则u在(－1,0)上是增函数，且y＝logau在(0，＋∞)上是减函数，故f(x)在(－1,0)上是减函数．]
8．B [根据分段函数可得f()＝log3＝－2，
则f(f())＝f(－2)＝2－2＝.]
9．D [当x＝1时，y＝m，由图形易知m<0，又函数是减函数，所以010．D [A选项中由于y＝log0.4x在(0，＋∞)单调递减，
所以log0.44>log0.46；
B选项中函数y＝1.01x在R上是增函数，
所以1.013.4<1.013.5；
C选项中由于函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
所以3.50.3>3.40.3；
D选项中log76<1，log67>1，故D正确．]
11．B [由log2x＋log2(x－1)＝1，得x(x－1)＝2，
解得x＝－1(舍)或x＝2，故M＝{2}；
由22x＋1－9·2x＋4＝0，得2·(2x)2－9·2x＋4＝0，
解得2x＝4或2x＝，
即x＝2或x＝－1，故N＝{2，－1}，因此有MN.]
12．C [∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，此时f(x)＝loga|x|.
当a>1时，函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)；
当0∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)．
综上可知f(b－2)13.
解析 原式＝＝×＝＝.
14．(1,4)
解析 由于函数y＝ax恒过(0,1)，而y＝ax－1＋3的图象可看作由y＝ax的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P点坐标为(1,4)．
15．(0，)∪(1，＋∞)
解析 当a>1时，loga<0<1，满足条件；
当0故a>1或016．(1,2)
解析 当x∈[2，＋∞)时，y>1>0，所以a>1，所以函数y＝logax在区间[2，＋∞)上是增函数，最小值为loga2，
所以loga2>1＝logaa，所以117．解 (1)原式＝1－0＋－＝1＋－2－1
＝1＋－＝.
(2)因为a＝，b＝，所以
原式＝
＝.
18．解 (1)∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3.
∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22·3＝12.
(2)原式＝log23－(log23＋log24)＋
＝log23－log23－2＋＝－.
19．解 (1)当a＝0时，f(x)＝2x－1，
由已知g(－x)＝－g(x)，
则当x<0时，g(x)＝－g(－x)＝－f(－x)＝－(2－x－1)
＝－()x＋1，
由于g(x)为奇函数，故知x＝0时，g(x)＝0，
∴g(x)＝.
(2)f(x)＝0，即2x＋－1＝0，整理，
得：(2x)2－2x＋a＝0，
所以2x＝，
又a<0，所以>1，所以2x＝，
从而x＝log2.
20．解 (1)要使此函数有意义，则有或，
解得x>1或x<－1，此函数的定义域为
(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．
(2)f(－x)＝loga＝loga
＝－loga＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga(1＋)，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．
所以当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；
当021．解 ∵f(x)＝log2·log2
＝(log2x－1)(log2x－2)
＝(log2x)2－3log2x＋2
＝(log2x－)2－，
∵－3≤≤－.
∴≤log2x≤3.
∴当log2x＝，即x＝2时，f(x)有最小值－；
当log2x＝3，即x＝8时，f(x)有最大值2.
22．(1)解 ∵ax－bx>0，∴ax>bx，∴()x>1.
∵a>1>b>0，∴>1.
∴y＝()x在R上递增．
∵()x>()0，∴x>0.
∴f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)证明 设x1>x2>0，∵a>1>b>0，
∴>>1,0<<<1.
∴－>－>－1.∴－>－>0.
又∵y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，
∴lg(－)>lg(－)，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在定义域内是增函数．
(3)解 由(2)得，f(x)在定义域内为增函数，
又恰在(1，＋∞)内取正值，
∴f(1)＝0.又f(2)＝lg 2，
∴∴解得
章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知函数f(x)＝lg(4－x)的定义域为M，函数g(x)＝的值域为N，则M∩N等于( )
A．M B．N
C．[0,4) D．[0，＋∞)
2．函数y＝3|x|－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为( )
A．[2,8] B．[0,8]
C．[1,8] D．[－1,8]
3．已知f(3x)＝log2，则f(1)的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D.
4．等于( )
A．7 B．10
C．6 D.
5．若100a＝5,10b＝2，则2a＋b等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
6．比较、23.1、的大小关系是( )
A．23.1<< B．<23.1<
C．<<23.1 D．<<23.1
7．式子的值为( )
A. B.
C．2 D．3
8．已知ab>0，下面四个等式中：
①lg(ab)＝lg a＋lg b；
②lg＝lg a－lg b；
③lg()2＝lg ；
④lg(ab)＝.
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
9．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
10．函数y＝2x与y＝x2的图象的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
11．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}等于( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
12．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )
A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)＝，则f(2＋log23)的值为______．
14．函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________．
15．函数y＝的单调递增区间为______________．
16．设0≤x≤2，则函数y＝－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的反函数g(x)的解析式；
(2)解不等式：g(x)≤loga(2－3x)．
18．(12分)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．
19．(12分)已知x>1且x≠，f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，试比较f(x)与g(x)的大小．
20．(12分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4，
(1)若t＝log2x，求t的取值范围；
(2)求f(x)的最值，并写出最值时对应的x的值．
21．(12分)已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)求使f(x)>0的x的取值范围．
22．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求b的值；
(2)判断函数f(x)的单调性；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
章末检测(B)
1．C [由题意，得M＝{x|x<4}，N＝{y|y≥0}，
∴M∩N＝{x|0≤x<4}．]
2．B [当x＝0时，ymin＝30－1＝0，
当x＝2时，ymax＝32－1＝8，
故值域为[0,8]．]
3．D [由f(3x)＝log2，
得f(x)＝log2，f(1)＝log2＝.]
4．B [＝2·＝2×5＝10.]
5．B [由100a＝5，得2a＝lg 5，
由10b＝2，得b＝lg 2，∴2a＋b＝lg 5＋lg 2＝1.]
6．D [∵＝1.5－3.1＝()3.1，
＝2－3.1＝()3.1，
又幂函数y＝x3.1在(0，＋∞)上是增函数，
<<2，
∴()3.1<()3.1<23.1，故选D.]
7．A [∵log89＝＝log23，
∴原式＝.]
8．B [∵ab>0，∴a、b同号．
当a、b同小于0时①②不成立；
当ab＝1时④不成立，故只有③对．]
9．C [y＝lg＝lg(x＋3)－1，
即y＋1＝lg(x＋3)．故选C.]
10．D [分别作出y＝2x与y＝x2的图象．
知有一个x<0的交点，另外，x＝2，x＝4时也相交，故选D.]
11．B [∵f(x)＝2x－4(x≥0)，∴令f(x)>0，得x>2.又f(x)为偶函数且f(x－2)>0，∴f(|x－2|)>0，∴|x－2|>2，解得x>4或x<0.]
12．A [由f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，可知a>1，而f(－4)＝a|－4＋1|＝a3，
f(1)＝a|1＋1|＝a2，
∵a3>a2，∴f(－4)>f(1)．]
13.
解析 ∵log23∈(1,2)，∴3<2＋log23<4，
则f(2＋log23)＝f(3＋log23)
＝＝()3·＝×＝.
14．－3
解析 ∵>0，∴－3∴f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
∴f(－2)＝－f(2)＝－3.
15．(－∞，1)
解析 函数的定义域为{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x>2或x<1}，
令u＝x2－3x＋2，则y＝是减函数，
所以u＝x2－3x＋2的减区间为函数y＝的增区间，由于二次函数u＝x2－3x＋2图象的对称轴为x＝，
所以(－∞，1)为函数y的递增区间．
16.
解析 y＝－3·2x＋5＝(2x)2－3·2x＋5.
令t＝2x，x∈[0,2]，则1≤t≤4，
于是y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，1≤t≤4.
当t＝3时，ymin＝；
当t＝1时，ymax＝×(1－3)2＋＝.
17．解 (1)指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
则f(x)的反函数g(x)＝logax(a>0且a≠1)．
(2)∵g(x)≤loga(2－3x)，∴logax≤loga(2－3x)
若a>1，则，解得0若0综上所述，a>1时，不等式解集为(0，]；
018．解 (1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，令t＝2x，x∈[－3,0]，则t∈[，1]，
故y＝2t2－t－1＝2(t－)2－，t∈[，1]，
故值域为[－，0]．
(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，等价于方程2ax2－x－1＝0在(0，＋∞)上有解．
记g(x)＝2ax2－x－1，当a＝0时，解为x＝－1<0，不成立；
当a<0时，开口向下，对称轴x＝<0，
过点(0，－1)，不成立；
当a>0时，开口向上，对称轴x＝>0，
过点(0，－1)，必有一个根为正，符合要求．
故a的取值范围为(0，＋∞)．
19．解 f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝1＋logx＝logxx，当1当x>时，x>1，∴logxx>0.
即当1当x>时，f(x)>g(x)．
20．解 (1)∵t＝log2x，≤x≤4，
∴log2≤t≤log24，
即－2≤t≤2.
(2)f(x)＝(log24＋log2x)(log22＋log2x)
＝(log2x)2＋3log2x＋2，
∴令t＝log2x，
则y＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－，
∴当t＝－即log2x＝－，x＝时，
f(x)min＝－.
当t＝2即x＝4时，f(x)max＝12.
21．解 (1)由对数函数的定义知>0，
故f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)∵f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)(ⅰ)对a>1，loga>0等价于>1，①
而从(1)知1－x>0，故①等价于1＋x>1－x又等价于x>0.
故对a>1，当x∈(0,1)时有f(x)>0.
(ⅱ)对00等价于0<<1，②
而从(1)知1－x>0，故②等价于－1故对00.
综上，a>1时，x的取值范围为(0,1)；
022．解 (1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，
即＝0?b＝1.∴f(x)＝.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，
设x1因为函数y＝2x在R上是增函数且x1∴－>0.
又(＋1)( ＋1)>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3)因为f(x)是奇函数，
从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0.
等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，
因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2.
即对一切t∈R有：3t2－2t－k>0，
从而判别式Δ＝4＋12k<0?k<－.
