第三章 函数的应用
§3.1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．
1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系
函数图象
判别式
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
与x轴交点个数
____个
____个
____个
方程的根
____个
____个
无解
2.函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把________________叫做函数y＝f(x)的零点．
3．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0__________?函数y＝f(x)的图象______________?函数y＝f(x)__________．
4．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内________，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
一、选择题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无法确定
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
A．0，－ B．0，
C．0,2 D．2，－
4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
5．函数f(x)＝零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
6．已知函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则实数b的取值范围是( )
A．(－∞，0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2，＋∞)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．
8．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为________．
9．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________．
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
三、解答题
10．证明：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．
11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
能力提升
12．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的
解的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．
1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．
(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2．并不是所有的函数都有零点，如函数y＝.
3．对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然当它通过零点时函数值没有变号．
第三章 函数的应用
§3.1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
知识梳理
1．2 1 0 2 1 2.使f(x)＝0的实数x 3.有实数根 与x轴有交点 有零点 4.连续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)＝0
作业设计
1．C [方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac<0，∴a≠0，
∴Δ＝b2－4ac>0，
即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，
则对应函数的零点个数为2个．]
2．C [对于选项A，可能存在根；
对于选项B，必存在但不一定唯一；
选项D显然不成立．]
3．A [∵a≠0,2a＋b＝0，
∴b≠0，＝－.
令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.]
4．C [∵f(x)＝ex＋x－2，
f(0)＝e0－2＝－1<0，
f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，
∴f(0)·f(1)<0，
∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．]
5．C [x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.
x>0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2<0，f(e3)＝1>0，∵f(1)f(e3)<0
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
总之，f(x)在R上有2个零点．]
6．A [设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由f(0)＝0可得d＝0，f(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝ax(x－1)(x－2)?b＝－3a，又由x∈(0,1)时f(x)>0，可得a>0，∴b<0.]
7．3 0
解析 ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
8．2
解析 该函数零点的个数就是函数y＝ln x与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝ln x与y＝x－2的图象如下图：
由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)＝ln x－x＋2有2个零点．
9．1
解析 设f(x)＝e2－(x＋2)，由题意知f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k＝1.
10．证明 设f(x)＝x4－4x－2，其图象是连续曲线．
因为f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0.
所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
11．解 令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或，
即或，解得－
12．C [由已知得
∴f(x)＝
当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，
即x2＋3x＋2＝0，
∴x＝－1或x＝－2；
当x>0时，方程为x＝2，
∴方程f(x)＝x有3个解．]
13．解 设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.
∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
∴，即
∴3．1.2 用二分法求方程的近似解
课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求________________________________________________________________________．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点____；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则________________；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈________)；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈________)．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
一、选择题
1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
2．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 007)<0，f(2 008)<0，f(2 009)>0，则下列叙述正确的是( )
A．函数f(x)在(2 007,2 008)内不存在零点
B．函数f(x)在(2 008,2 009)内不存在零点
C．函数f(x)在(2 008,2 009)内存在零点，并且仅有一个
D．函数f(x)在(2 007,2 008)内可能存在零点
4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间内( )
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
6．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)
①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4]
⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6，＋∞)
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
8.用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．
三、解答题
10．确定函数f(x)＝＋x－4的零点所在的区间．
11．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)
能力提升
12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题：
①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
那么以上叙述中，正确的个数为( )
A．0 B．1 C．3 D．4
13．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？
1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为.
3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a－b|<ε为止．
3．1.2 用二分法求方程的近似解
知识梳理
1．f(a)·f(b)<0 一分为二 逐步逼近零点 方程的近似解
2．(1)f(a)·f(b)<0 (2)c (3)①c就是函数的零点 ②(a，c)
③(c，b)
作业设计
1．B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]
2．A [由选项A中的图象可知，不存在一个区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，即A选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．]
3．D
4．B [∵f(1)·f(1.5)<0，x1＝＝1.25.
又∵f(1.25)<0，∴f(1.25)·f(1.5)<0，
则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．]
5．C [设f(x)＝2x－x2，根据列表有f(0.2)＝1.149－0.04>0，
f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．]
6．B [∵f(x)＝2x－，f(x)由两部分组成，2x在(1，＋∞)上单调递增，－在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．∵x1又∵x2>x0，∴f(x2)>f(x0)＝0.]
7．③④⑤
8．[2,2.5)
解析 令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，
f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0.
∵f(2)·f(2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)．
9．0.75或0.687 5
解析 因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．
10．解 (答案不唯一)
设y1＝，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图．
由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，
当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f(4)<0，
当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f(8)＝1>0，
∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．
故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．
11．证明 设函数f(x)＝2x＋3x－6，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又∵f(x)是增函数，
∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．
设该解为x0，则x0∈[1,2]，
取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，
∴x0∈(1,1.5)，
取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，
f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，
取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，
f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，
取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，
f(1.187 5)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1.187 5,1.25)．
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，
∴1.187 5可作为这个方程的实数解．
12．A [∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．]
13．解 第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；
第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．
∴最多称四次．
§3.1 习题课
课时目标 1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式．
1．函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则( )
A．f(0)>0，f(2)<0
B．f(0)·f(2)<0
C．在区间(0,2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)<0
D．以上说法都不正确
2．函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y＝f(x)的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．1或2
3．设函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，－log32) B．(0，log32)
C．(log32,1) D．(1，log34)
4．方程2x－x－2＝0在实数范围内的解的个数是________________________________．
5．函数y＝()x与函数y＝lg x的图象的交点的横坐标是________．(精确到0.1)
6．方程4x2－6x－1＝0位于区间(－1,2)内的解有__________个．
一、选择题
1．已知某函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有零点的区间大致是( )
A．(0,0.5)
B．(0.5,1)
C．(1,1.5)
D．(1.5,2)
2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是( )
A．[0,1] B．[1,2]
C．[2,3] D．[3,4]
3．若x0是方程lg x＋x＝2的解，则x0属于区间( )
A．(0,1) B．(1,1.25)
C．(1.25,1.75) D．(1.75,2)
4．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(aA．a<α<βC．α题 号
1
2
3
4
5
答 案
二、填空题
6．用二分法求方程x2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.
7．已知偶函数y＝f(x)有四个零点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和为________．
8．若关于x的二次方程x2－2x＋p＋1＝0的两根α，β满足0<α<1<β<2，则实数p的取值范围为___________________．
9．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋1(a∈R)，若方程f(x)＝0至少有一正根，则a的取值范围为________．
三、解答题
10．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.437 5)≈0.162
f(1.406 25)≈－0.054
求方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)．
11．分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0，
(1)有两个负根；
(2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；
(3)有两个实根，且都比1大．
能力提升
12．已知函数f(x)＝x|x－4|.
(1)画出函数f(x)＝x|x－4|的图象；
(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值；
(3)当实数a为何值时，方程f(x)＝a有三个解？
13．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．
1．函数与方程存在着内在的联系，如函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是方程f(x)＝0的解；两个函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标就是方程f(x)＝g(x)的解等．根据这些联系，一方面，可通过构造函数来研究方程的解的情况；另一方面，也可通过构造方程来研究函数的相关问题．利用函数与方程的相互转化去解决问题，这是一种重要的数学思想方法．
2．对于二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0根的问题，从函数角度解决有时比较简洁．一般地，这类问题可从四个方面考虑：①开口方向；②判别式；③对称轴x＝－与区间端点的关系；④区间端点函数值的正负．
§3.1 习题课
双基演练
1．D [函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，我们并不一定能找到x1，x2∈(a，b)，满足f(x1)·f(x2)<0，故A、B、C都是错误的，正确的为D.]
2．D [当f(x)的图象和x轴相切与y轴相交时，函数f(x)的零点个数为1，当f(x)的图象与y轴交于原点与x轴的另一交点在x轴负半轴上时，函数f(x)有2个零点．]
3．C [f(x)＝log3(1＋)－a在(1,2)上是减函数，由题设有f(1)>0，f(2)<0，解得a∈(log32,1)．]
4．2
解析 作出函数y＝2x及y＝x＋2的图象，它们有两个不同的交点，因此原方程有两个不同的根．
5．1.9(答案不唯一)
解析 令f(x)＝()x－lg x，则f(1)＝>0，f(3)＝－lg 3<0，∴f(x)＝0在(1,3)内有一解，利用二分法借助计算器可得近似解为1.9.
6．2
解析 设f(x)＝4x2－6x－1，由f(－1)>0，f(2)>0，且f(0)<0，知方程4x2－6x－1＝0在
(－1,0)和(0,2)内各有一解，因此在区间(－1,2)内有两个解．
作业设计
1．B
2．B [因为f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，
所以存在一个零点x∈[1,2]．]
3．D [构造函数f(x)＝lg x＋x－2，由f(1.75)＝f()＝lg－<0，f(2)＝lg 2>0，知x0属于区间(1.75,2)．]
4．A [由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．]
5．A [函数g(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点是a，b.
由于y＝f(x)的图象可看作是由y＝g(x)的图象向上平移2个单位而得到的，所以a<α<β6．7
解析 区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为
＝<＝0.01.
7．0
解析 不妨设它的两个正零点分别为x1，x2.
由f(－x)＝f(x)可知它的两个负零点分别是－x1，－x2，
于是x1＋x2－x1－x2＝0.
8．(－1,0)
解析 设f(x)＝x2－2x＋p＋1，根据题意得f(0)＝p＋1>0，
且f(1)＝p<0，f(2)＝p＋1>0，解得－19．a<0
解析 对ax2＋2x＋1＝0，当a＝0时，x＝－，不符题意；
当a≠0，Δ＝4－4a＝0时，得x＝－1(舍去)．
当a≠0时，由Δ＝4－4a>0，得a<1，
又当x＝0时，f(0)＝1，即f(x)的图象过(0,1)点，
f(x)图象的对称轴方程为x＝－＝－，
当－>0，即a<0时，
方程f(x)＝0有一正根(结合f(x)的图象)；
当－<0，即a>0时，由f(x)的图象知f(x)＝0有两负根，
不符题意．故a<0.
10．解 ∵f(1.375)·f(1.437 5)<0，
且|1.437 5－1.375|＝0.062 5<0.1，
∴方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可取为区间(1.375，1.437 5)中任意一个值，通常我们取区间端点值，比如1.437 5.
11．解 (1)方法一 (方程思想)
设方程的两个根为x1，x2，
则有两个负根的条件是
解得－1方法二 (函数思想)
设函数f(x)＝x2＋2x＋m＋1，则原问题转化为函数f(x)与x轴的两个交点均在y轴左侧，结合函数的图象，有
解得－1(2)方法一 (方程思想)
设方程的两个根为x1，x2，则令y1＝x1－2>0，y2＝x2－2<0，问题转化为求方程(y＋2)2＋2(y＋2)＋m＋1＝0，即方程y2＋6y＋m＋9＝0有两个异号实根的条件，故有y1y2＝m＋9<0，解得m<－9.
方法二 (函数思想)
设函数f(x)＝x2＋2x＋m＋1，则原问题转化为函数f(x)与x轴的两个交点分别在2的两侧，结合函数的图象，
有f(2)＝m＋9<0，解得m<－9.
(3)由题意知，(方程思想)，
或(函数思想)，
因为两方程组无解，故解集为空集．
12．解 (1)f(x)＝x|x－4|＝
图象如右图所示．
(2)当x∈[1,5]时，f(x)≥0且当x＝4时f(x)＝0，故f(x)min＝0；
又f(2)＝4，f(5)＝5，故f(x)max＝5.
(3)由图象可知，当0方程f(x)＝a有三个解．
13．解 ①当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．
②当a>0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，
∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，
∴，即，解得③当a<0时，设方程的两根为x1，x2，
则x1x2＝<0，x1，x2一正一负不符合题意．
综上，a的取值范围为§3.2 函数模型及其应用
3．2.1 几类不同增长的函数模型
课时目标 1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型增长的含义.2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用.3.初步学会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上
的增减性
________
________
________
图象的变化
随x的增大逐渐
变“________”
随x的增大逐渐
趋于______
随n值而不同
2.三种函数模型的增长速度比较
(1)对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于________的增长快于________的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有__________．
(2)对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于____________的增长慢于________的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有______________．
一、选择题
1．今有一组数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.40
7.5
12
18.01
现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据( )
A．v＝log2t B．v＝
C．v＝ D．v＝2t－2
2．从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )
3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
4．某自行车存车处在某天的存车量为4 000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为( )
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
5．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有( )
A．f(bx)≥f(cx) B．f(bx)≤f(cx)
C．f(bx)6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为l1＝5.06x－0.15x2和l2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润是________元．( )
A．45.606 B．45.6
C．45.56 D．45.51
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过________分钟，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．
8．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是____________．
三、解答题
9．用模型f(x)＝ax＋b来描述某企业每季度的利润f(x)(亿元)和生产成本投入x(亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y3＝2(亿元)．又定义：当f(x)使[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2的数值最小时为最佳模型．
(1)当b＝，求相应的a使f(x)＝ax＋b成为最佳模型；
(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y4(亿元)的值．
10．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝ (t∈N)，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝－t＋(0≤t≤40，t∈N)．求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．
能力提升
11．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n＋1)元时，比礼品价值为n元(n∈N*)时的销售量增加10%.
(1)写出礼品价值为n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；
(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．
12．已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有L?
1．根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型．
2．常见的函数模型及增长特点
(1)直线y＝kx＋b (k>0)模型，其增长特点是直线上升；
(2)对数y＝logax (a>1)模型，其增长缓慢；
(3)指数y＝ax (a>1)模型，其增长迅速．
§3.2 函数模型及其应用
3．2.1 几类不同增长的函数模型
知识梳理
1．增函数 增函数 增函数 陡 稳定 2.(1)y＝ax y＝xn ax>xn (2)y＝logax y＝xn logax作业设计
1．C [将t的5个数值代入这四个函数，大体估算一下，很容易发现v＝的函数比较接近表中v的5个数值．]
2．C [由题意知s与t的函数关系为s＝20－4t，t∈[0,5]，所以函数的图象是下降的一段线段，故选C.]
3．D [由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增长符合．]
4．C [由题意得：y＝0.2x＋0.3(4 000－x)
＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)．]
5．B [由f(1＋x)＝f(1－x)，知对称轴＝1，b＝2.
由f(0)＝3，知c＝3.
此时f(x)＝x2－2x＋3.
当x<0时，3x<2x<1，
函数y＝f(x)在x∈(－∞，1)上是减函数，
f(bx)当x＝0时，f(bx)＝f(cx)；
当x>0时，3x>2x>1，
函数y＝f(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数，
f(bx)综上，f(bx)≤f(cx)．]
6．B [设该公司在甲地销售x辆，
则在乙地销售(15－x)辆．
由题意可知所获利润l＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15(x－10.2)2＋45.606.
当x＝10时，lmax≈45.6(万元)．]
7．45
解析 设过n个3分钟后，该病毒占据64MB内存，则2×2n＝64×210＝216?n＝15，故时间为15×3＝45(分钟)．
8．80(1＋x)10
解析 一年后的价格为80＋80·x＝80(1＋x)．
二年后的价格为80(1＋x)＋80(1＋x)·x
＝80(1＋x)(1＋x)＝80(1＋x)2，
由此可推得10年后的价格为80(1＋x)10.
9．解 (1)b＝时，[f(1)－y1]2＋[f(2)－y2]2＋[f(3)－y3]2
＝14(a－)2＋，
∴a＝时，f(x)＝x＋为最佳模型．
(2)f(x)＝＋，则y4＝f(4)＝.
10．解 据题意，商品的价格随时间t变化，且在不同的区间0≤t<20与20≤t≤40上，价格随时间t的变化的关系式也不同，故应分类讨论．设日销售额为F(t)．
①当0≤t<20，t∈N时，
F(t)＝(t＋11)(－t＋)
＝－(t－)2＋(＋946)，
故当t＝10或11时，F(t)max＝176.
②当20≤t≤40时，t∈N时，
F(t)＝(－t＋41)(－t＋)＝(t－42)2－，
故当t＝20时，F(t)max＝161.
综合①、②知当t＝10或11时，日销售额最大，最大值为176.
11．解 (1)设未赠礼品时的销售量为m，
则当礼品价值为n元时，销售量为m(1＋10%)n.
利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n
＝(20－n)m×1.1n (0(2)令yn＋1－yn≥0，
即(19－n)m×1.1n＋1－(20－n)m×1.1n≥0.
解得n≤9，
所以y1令yn＋1－yn＋2≥0，
即(19－n)m×1.1n＋1－(18－n)m×1.1n＋2≥0，
解得n≥8.
所以y9＝y10>y11>…>y19.
所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．
12．解 由题意得ae－5n＝a－a·e－5n，
即e－5n＝.①
设再过t min后桶1中的水有L，
则ae－n(t＋5)＝，e－n(t＋5)＝.②
将①式平方得e－10n＝.③
比较②、③得－n(t＋5)＝－10n，∴t＝5.
即再过5 min后桶1中的水只有L.
3．2.2 函数模型的应用实例
课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式.2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题.3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．
1．几种常见的函数模型
(1)一次函数：y＝______________________
(2)二次函数：y＝______________________
(3)指数函数：y＝______________________
(4)对数函数：y＝______________________
(5)幂函数：y＝________________________
(6)指数型函数：y＝pqx＋r
(7)分段函数
2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：
(1)________________；
(2)________________；
(3)________________；
(4)________________；
(5)______；
(6)__________________________．
一、选择题
1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：
x(h)
0
1
2
3
细菌数
300
600
1 200
2 400
据此表可推测实验开始前2 h的细菌数为( )
A．75 B．100 C．150 D．200
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元
C．290元 D．280元
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )
A．减少7.84% B．增加7.84%
C．减少9.5% D．不增不减
4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )
5．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为( )
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．
8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头．
9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
三、解答题
10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？
11．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位为：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
能力提升
12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份
1
2
3
产量(千件)
50
52
53.9
为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
13．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．函数拟合与预测的一般步骤：
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
3．2.2 函数模型的应用实例
知识梳理
1．(1)kx＋b(k≠0) (2)ax2＋bx＋c(a≠0) (3)ax(a>0且a≠1)
(4)logax(a>0且a≠1) (5)xα(α∈R) 2.(1)收集数据 (2)画散点图 (3)选择函数模型
(4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解释实际问题
作业设计
1．A [由表中数据观察可得细菌数y与时间x的关系式为
y＝300·2x(x∈Z)．
当x＝－2时，y＝300×2－2＝＝75.]
2．B [由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将(1,800)，(2,1 300)代入得a＝500，b＝300.
当销售量为x＝0时，y＝300.]
3．A [设某商品价格为a，依题意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，所以四年后的价格与原来价格比较(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，即减少7.84%.]
4．A [由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画，故选A.]
5．D [设一段长为x cm，则另一段长为(12－x)cm.
∴S＝()2＋(4－)2＝(x－6)2＋2≥2.]
6．A [由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180.
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.]
7．2 250
解析 设每台彩电的原价为x元，则x(1＋40%)×0.8－x＝270，解得x＝2 250(元)．
8．400
解析 由题意，x＝1时y＝100，代入求得a＝100,2000年年底时，x＝15，代入得y＝400.
9．2ln 2 1 024
解析 当t＝0.5时，y＝2，
∴2＝，
∴k＝2ln 2，
∴y＝e2tln 2，当t＝5时，
∴y＝e10ln 2＝210＝1 024.
10．解 设每床每夜租金为10＋2n(n∈N)，则租出的床位为
100－10n(n∈N且n<10)
租金f(n)＝(10＋2n)(100－10n)
＝20[－(n－)2＋]，
其中n∈N且n<10.
所以，当n＝2或n＝3时，租金最多，
若n＝2，则租出床位100－20＝80(张)；
若n＝3，则租出床位100－30＝70(张)；
综合考虑，n应当取3，
即每床每夜租金选择10＋2×3＝16(元)．
11．解 (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得：
解得a＝，b＝－，c＝.
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为
Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150(天)时，芦荟种植成本最低为
Q＝×1502－×150＋＝100(元/10 kg)．
12．解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：
或(a>0)
解得(两方程组的解相同)．
∴两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大，
∴选y＝ax＋b较好．
13．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则
a(1－x)m＝a，即，＝，解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
，≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
§3.2 习题课
课时目标 1.进一步体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性.2.掌握几种初等函数的应用.3.理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法．
1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
2．能使不等式log2xA．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(0,2)∪(4，＋∞)
3．四人赛跑，假设其跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是______________________．
5．如图所示，要在一个边长为150 m的正方形草坪上，修建两条宽相等且相互垂直的十字形道路，如果要使绿化面积达到70%，则道路的宽为____________________m(精确到0.01 m)．
一、选择题
1．下面对函数f(x)＝与g(x)＝()x在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
2．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝100ln x
C．y＝x100 D．y＝100·2x
3．一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为( )
A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x<10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(54．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：
型号
小包装
大包装
重量
100克
300克
包装费
0.5元
0.7元
销售价格
3.00元
8.4元
则下列说法中正确的是( )
①买小包装实惠 ②买大包装实惠 ③卖3小包比卖1大包盈利多 ④卖1大包比卖3小包盈利多
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是( )
A．多赚约6元 B．少赚约6元
C．多赚约2元 D．盈利相同
6．某地区植被破坏、土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则下列函数中与沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为相似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝(x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log16x
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供________人洗澡．
8．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是__________________．
9．已知甲、乙两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以50 km/h的速度返回甲地，把汽车离开甲地的距离s表示为时间t的函数，则此函数表达式为________．
三、解答题
10．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ是正常数．
(1)说明该函数是增函数还是减函数；
(2)把t表示成原子数N的函数；
(3)求当N＝时，t的值．
11．我县某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位是万元)
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元(精确到1万元)．
能力提升
12．某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求出函数y关于x的解析式．
13．如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a(a>2)，BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，绿地面积为y.
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．
(2)当AE为何值时，绿地面积y最大？
解决实际问题的解题过程：
(1)对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；
(2)建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学中，我们建立的函数模型一般都是基本初等函数；
(3)求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点，正确选择函数知识求得函数模
型的解，并还原为实际问题的解．
这些步骤用框图表示：
§3.2 习题课
双基演练
1．D [设某地区的原有荒漠化土地面积为a，则x年后的面积为a(1＋10.4%)x，由题意y＝＝1.104x，故选D.]
2．D [由题意知x的范围为x>0，由y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象可知，当x>0时，log2x3．D [由于指数函数的增长特点是越来越大，故选D.]
4．y＝
5．24.50
解析 设道路宽为x，则×100%＝30%，
解得x1≈24.50，x2≈275.50(舍去)．
作业设计
1．C
2．A [对于指数函数，当底数大于1时，函数值随x的增大而增大的速度快，又∵e>2，故选A.]
3．D [∵20＝y＋2x，∴y＝20－2x，
又y＝20－2x>0且2x>y＝20－2x，
∴54．D [买小包装时每克费用为元，买大包装每克费用为＝元，而>，所以买大包装实惠，卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)．而2.3>2.1，卖1大包盈利多，故选D.]
5．B [设A、B两种商品的原价为a、b，
则a(1＋20%)2＝b(1－20%)2＝23?a＝，b＝，a＋b－46≈6(元)．]
6．C [将(1,0.2)，(2,0.4)，(3,0.76)与x＝1,2,3时，选项A、B、C、D中得到的y值做比较，y＝的y值比较接近，
故选C.]
7．4
解析 设最多用t分钟，则水箱内水量y＝200＋2t2－34t，当t＝时y有最小值，此时共放水34×＝289(升)，可供4人洗澡．
8．y＝
解析 设每经过1年，剩留量为原来的a倍，则y＝ax，
且0.957 6＝a100，从而a＝0.957 6，因此y＝0.957 6.
9．s＝
解析 当0≤t≤2.5时s＝60t，
当2.5当3.5≤t≤6.5时s＝150－50(t－3.5)＝325－50t，
综上所述，s＝
10．解 (1)由于N0>0，λ>0，函数N＝N0e－λt是属于指数函数y＝e－x类型的，所以它是减函数，即原子数N的值随时间t的增大而减少．
(2)将N＝N0e－λt写成e－λt＝，根据对数的定义有－λt＝ln，所以t＝－(ln N－ln N0)＝(ln N0－ln N)．
(3)把N＝代入t＝(ln N0－ln N)，
得t＝(ln N0－ln)＝ln 2.
11．解 (1)投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，
由图知f(1)＝，∴k1＝，又g(4)＝，∴k2＝.
从而f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10－x万元，设企业的利润为y万元，
y＝f(x)＋g(10－x)＝＋(0≤x≤10)，
令＝t，
则y＝＋t＝－(t－)2＋(0≤t≤)，
当t＝，ymax≈4，此时x＝10－＝3.75,10－x＝6.25.
所以投入A产品3.75万元，投入B产品6.25万元时，能使企业获得最大利润，且最大利润约为4万元．
12．解 设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M，
经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)，人口量为M(1＋1.2%)，则人均占有粮食为；经过2年后，人均占有粮食为；…；经过x年后，人均占有粮食为y＝，即所求函数解析式为y＝360()x.
13．解 (1)S△AEH＝S△CFG＝x2，
S△BEF＝S△DGH＝(a－x)(2－x)．
∴y＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BEF＝2a－x2－(a－x)(2－x)
＝－2x2＋(a＋2)x.
由，得0∴y＝－2x2＋(a＋2)x，定义域为(0,2]．
(2)当<2，即a<6时，
则x＝时，y取最大值；
当≥2，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2)x在(0,2]上是增函数，
则x＝2时，ymax＝2a－4.
综上所述：当a<6，AE＝时，绿地面积取最大值；
当a≥6，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4.
模块综合检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．如果A＝{x|x>－1}，那么( )
A．0?A B．{0}∈A
C．?∈A D．{0}?A
2．已知f(x－1)＝2x＋3，f(m)＝6，则m等于( )
A．－ B.
C. D．－
3．函数y＝＋lg(2－x)的定义域是( )
A．(1,2) B．[1,4]
C．[1,2) D．(1,2]
4．函数f(x)＝x3＋x的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是( )
A．幂函数 B．对数函数
C．指数函数 D．一次函数
6．若0A．2m>2n B．()m<()n
C．log2m>log2n D．>
7．已知a＝，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>b>c D．c>b>a
8．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间( )
A．(5,6) B．(3,4)
C．(2,3) D．(1,2)
9．下列计算正确的是( )
A．(a3)2＝a9
B．log26－log23＝1
C．·＝0
D．log3(－4)2＝2log3(－4)
10．已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为( )
A. B.
C．2 D．4
11．函数y＝|lg(x＋1)|的图象是( )
12．若函数f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，g(x)＝是奇函数，则a＋b的值是( )
A. B．1
C．－ D．－1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知A＝{－1,3，m}，集合B＝{3,4}，若B∩A＝B，则实数m＝________.
14．已知f(x5)＝lg x，则f(2)＝________.
15．函数y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)＝x3＋2x－1，则x>0时函数的解析式f(x)＝______________.
16．幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(x)的解析式是______________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(1)计算：＋(lg 5)0＋；
(2)解方程：log3(6x－9)＝3.
18．(12分)某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，求此商品的最佳售价应为多少？
19．(12分)已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
20．(12分)已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域D内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．
(1)函数f(x)＝是否属于集合M？说明理由；
(2)若函数f(x)＝kx＋b属于集合M，试求实数k和b满足的约束条件．
21．(12分)已知奇函数f(x)是定义域[－2,2]上的减函数，若f(2a＋1)＋f(4a－3)>0，求实数a的取值范围．
22．(12分)已知函数f(x)＝.
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．
模块综合检测(A)
1．D [∵0∈A，∴{0}?A.]
2．A [令x－1＝t，则x＝2t＋2，
所以f(t)＝2×(2t＋2)＋3＝4t＋7.
令4m＋7＝6，得m＝－.]
3．C [由题意得：，解得1≤x<2.]
4．C [∵f(x)＝x3＋x是奇函数，
∴图象关于坐标原点对称．]
5．C [本题考查幂的运算性质．
f(x)f(y)＝axay＝ax＋y＝f(x＋y)．]
6．D [由指数函数与对数函数的单调性知D正确．]
7．A [因为a＝＝0.30.5<0.30.2＝c<0.30＝1，
而b＝20.3>20＝1，所以b>c>a.]
8．B [f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，
f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以其零点一定位于区间(3,4)．]
9．B [A中(a3)2＝a6，故A错；
B中log26－log23＝log2＝log22＝1，故B正确；
C中，·＝＝a0＝1，故C错；
D中，log3(－4)2＝log316＝log342＝2log34.]
10．C [依题意，函数f(x)＝ax＋logax(a>0且a≠1)在[1,2]上具有单调性，因此a＋a2＋loga2＝loga2＋6，解得a＝2.]
11．A [将y＝lg x的图象向左平移一个单位，然后把x轴下方的部分关于x轴对称到上方，就得到y＝|lg(x＋1)|的图象．]
12．A [∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即lg(10－x＋1)－ax＝lg－ax＝lg(10x＋1)－(a＋1)x
＝lg(10x＋1)＋ax，
∴a＝－(a＋1)，∴a＝－，又g(x)是奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，
即2－x－＝－2x＋，∴b＝1，∴a＋b＝.]
13．4
解析 ∵A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，B∩A＝B，
∴m＝4.
14.lg 2
解析 令x5＝t，则x＝.
∴f(t)＝lg t，∴f(2)＝lg 2.
15．x3－2－x＋1
解析 ∵f(x)是R上的奇函数，∴当x>0时，
f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋2－x－1]＝x3－2－x＋1.
16．f(x)＝
解析 设f(x)＝xn，则有3n＝，即3n＝，
∴n＝，即f(x)＝.
17．解 (1)原式＝＋(lg 5)0＋
＝＋1＋＝4.
(2)由方程log3(6x－9)＝3得
6x－9＝33＝27，∴6x＝36＝62，
∴x＝2.
经检验，x＝2是原方程的解．
18．解 设最佳售价为(50＋x)元，最大利润为y元，
y＝(50＋x)(50－x)－(50－x)×40
＝－x2＋40x＋500.
当x＝20时，y取得最大值，所以应定价为70元．
故此商品的最佳售价应为70元．
19．解 (1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个根，易知Δ>0，即Δ＝4＋12(1－m)>0，
可解得m<；Δ＝0，可解得m＝；Δ<0，可解得m>.
故m<时，函数有两个零点；
m＝时，函数有一个零点；
m>时，函数无零点．
(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.
20．解 (1)D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，
若f(x)＝∈M，则存在非零实数x0，
使得＝＋1，
即x＋x0＋1＝0，
因为此方程无实数解，所以函数f(x)＝?M.
(2)D＝R，由f(x)＝kx＋b∈M，存在实数x0，使得
k(x0＋1)＋b＝kx0＋b＋k＋b，解得b＝0，
所以，实数k和b的取值范围是k∈R，b＝0.
21．解 由f(2a＋1)＋f(4a－3)>0得f(2a＋1)>－f(4a－3)，
又f(x)为奇函数，得－f(4a－3)＝f(3－4a)，
∴f(2a＋1)>f(3－4a)，
又f(x)是定义域[－2,2]上的减函数，
∴2≥3－4a>2a＋1≥－2
即∴
∴实数a的取值范围为[，)．
22．解 (1)当a＝1时，由x－＝0，x2＋2x＝0，
得零点为，0，－2.
(2)显然，函数g(x)＝x－在[，＋∞)上递增，
且g()＝－；
函数h(x)＝x2＋2x＋a－1在[－1，]上也递增，
且h()＝a＋.
故若函数f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，
则a＋≤－，∴a≤－.
故a的取值范围为(－∞，－]．
模块综合检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
2．设函数f(x)＝，则f()的值为( )
A. B．－
C. D.
3．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
4．已知f(x)＝(m－1)x2＋3mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－4,2)上为( )
A．增函数 B．减函数
C．先递增再递减 D．先递减再递增
5．三个数a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3之间的大小关系是( )
A．aC．b6．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，那么下列命题中正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间[2,16)内无零点
D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点
7．已知0A．2 B．3
C．4 D．与a值有关
8．函数y＝1＋ln(x－1)(x>1)的反函数是( )
A．y＝ex＋1－1(x>0) B．y＝ex－1＋1(x>0)
C．y＝ex＋1－1(x∈R) D．y＝ex－1＋1(x∈R)
9．函数f(x)＝x2－2ax＋1有两个零点，且分别在(0,1)与(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．－11
C．110．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y＝x2，x∈[1,2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同族函数”．请你找出下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是( )
A．y＝x B．y＝|x－3|
C．y＝2x D．y＝
11．下列4个函数中：
①y＝2 008x－1；
②y＝loga(a>0且a≠1)；
③y＝；
④y＝x(＋)(a>0且a≠1)．
其中既不是奇函数，又不是偶函数的是( )
A．① B．②③
C．①③ D．①④
12．设函数的集合P＝{f(x)＝log2(x＋a)＋b|a＝－，0，，1；b＝－1,0,1}，平面上点的集合Q＝{(x，y)|x＝－，0，，1；y＝－1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P中函数f(x)的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是( )
A．4 B．6
C．8 D．10
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．计算：0.25×(－)－4＋lg 8＋3lg 5＝________.
14．若规定＝|ad－bc|，则不等式<0的解集是____________．
15．已知关于x的函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是________．
16．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是______________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝－1的值域为集合B，且A∪B＝B，求实数m的取值范围．
18．(12分)已知f(x)＝是定义在[－1,1]上的奇函数，试判断它的单调性，并证明你的结论．
19．(12分)若非零函数f(x)对任意实数a，b均有f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且当x<0时，f(x)>1；
(1)求证：f(x)>0；
(2)求证：f(x)为减函数；
(3)当f(4)＝时，解不等式f(x2＋x－3)·f(5－x2)≤.
20．(12分)我市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)；
(2)选择哪家比较合算？为什么？
21．(12分)已知函数y＝f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件：
①f(x)在D上是单调递增或单调递减函数；
②存在闭区间[a，b] D(其中a(1)判断f(x)＝－x3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．
(2)若f(x)＝k＋是闭函数，求实数k的取值范围．
(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可)
22．(12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ax－1.其中a>0且a≠1.
(1)求f(2)＋f(－2)的值；
(2)求f(x)的解析式；
(3)解关于x的不等式－1模块综合检测(B)
1．D [∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，
又∵A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴即a＝4.
否则有矛盾．]
2．A [∵f(3)＝32＋3×3－2＝16，
∴＝，
∴f()＝f()＝1－2×()2＝1－＝.]
3．B [由题意得：，∴0≤x<1.]
4．C [∵f(x)＝(m－1)x2＋3mx＋3是偶函数，
∴m＝0，f(x)＝－x2＋3，函数图象是开口向下的抛物线，顶点坐标为(0,3)，f(x)在(－4,2)上先增后减．]
5．C [20.3>20＝1＝0.30>0.32>0＝log21>log20.3.]
6．C [函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内，故函数f(x)在区间[2,16)内无零点．]
7．A [分别画出函数y＝a|x|与y＝|logax|的图象，通过数形结合法，可知交点个数为2.]
8．D [∵函数y＝1＋ln(x－1)(x>1)，
∴ln(x－1)＝y－1，x－1＝ey－1，y＝ex－1＋1(x∈R)．]
9．C [∵f(x)＝x2－2ax＋1，
∴f(x)的图象是开口向上的抛物线．
由题意得：即解得110．B
11．C [其中①不过原点，则不可能为奇函数，而且也不可能为偶函数；③中定义域不关于原点对称，则既不是奇函数，又不是偶函数．]
12．B [当a＝－，f(x)＝log2(x－)＋b，
∵x>，
∴此时至多经过Q中的一个点；
当a＝0时，f(x)＝log2x经过(，－1)，(1,0)，
f(x)＝log2x＋1经过(，0)，(1,1)；
当a＝1时，f(x)＝log2(x＋1)＋1经过(－，0)，(0,1)，
f(x)＝log2(x＋1)－1经过(0，－1)，(1,0)；
当a＝时，f(x)＝log2(x＋)经过(0，－1)，(，0)
f(x)＝log2(x＋)＋1经过(0,0)，(，1)．]
13．7
解析 原式＝0.25×24＋lg 8＋lg 53＝(0.5×2)2×22＋lg(8×53)＝4＋lg 1 000＝7.
14．(0,1)∪(1,2)
解析 ＝|x－1|，
由log|x－1|<0，得0<|x－1|<1，
即015．(1,2)
解析 依题意，a>0且a≠1，
∴2－ax在[0,1]上是减函数，
即当x＝1时，2－ax的值最小，又∵2－ax为真数，
∴，解得116．(－∞，－1)
解析 当x>0时，由1－2－x<－，
()x>，显然不成立．
当x<0时，－x>0.
因为该函数是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝2x－1.
由2x－1<－，即2x<2－1，得x<－1.
又因为f(0)＝0<－不成立，
所以不等式的解集是(－∞，－1)．
17．解 由题意得A＝{x|1由A∪B＝B，得A?B，即－1＋31＋m≥2，即31＋m≥3，
所以m≥0.
18．解 ∵f(x)＝是定义在[－1,1]上的奇函数，
∴f(0)＝0，即＝0，
∴a＝0.
又∵f(－1)＝－f(1)，∴＝－，
∴b＝0，∴f(x)＝.
∴函数f(x)在[－1,1]上为增函数．
证明如下：
任取－1≤x1∴x1－x2<0，－1∴1－x1x2>0.
∴f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝<0，
∴f(x1)∴f(x)为[－1,1]上的增函数．
19．(1)证明 f(x)＝f(＋)＝f2()≥0，
又∵f(x)≠0，∴f(x)>0.
(2)证明 设x1又∵f(x)为非零函数，
∴f(x1－x2)＝＝
＝>1，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)为减函数．
(3)解 由f(4)＝f2(2)＝，f(x)>0，得f(2)＝.
原不等式转化为f(x2＋x－3＋5－x2)≤f(2)，结合(2)得：
x＋2≥2，∴x≥0，
故不等式的解集为{x|x≥0}．
20．解 (1)f(x)＝5x,15≤x≤40；
g(x)＝.
(2)①当15≤x≤30时，5x＝90，x＝18，
即当15≤x<18时，f(x)当x＝18时，f(x)＝g(x)；
当18g(x)．
②当30g(x)，
∴当15≤x<18时，选甲家比较合算；
当x＝18时，两家一样合算；
当1821．解 (1)f(x)＝－x3在R上是减函数，满足①；
设存在区间[a，b]，f(x)的取值集合也是[a，b]，则，解得a＝－1，b＝1，
所以存在区间[－1,1]满足②，
所以f(x)＝－x3(x∈R)是闭函数．
(2)f(x)＝k＋是在[－2，＋∞)上的增函数，
由题意知，f(x)＝k＋是闭函数，存在区间[a，b]满足②
即：.
即a，b是方程k＋＝x的两根，化简得，
a，b是方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根．
且a≥k，b>k.
令f(x)＝x2－(2k＋1)x＋k2－2，得，
解得－所以实数k的取值范围为(－，－2]．
22．解 (1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)，即f(2)＋f(－2)＝0.
(2)当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝a－x－1.
由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，
∵f(－x)＝a－x－1，
∴f(x)＝－a－x＋1(x<0)．
∴所求的解析式为f(x)＝.
(3)不等式等价于
或，
即或.
当a>1时，有或，
注意此时loga2>0，loga5>0，
可得此时不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)．
同理可得，当0综上所述，当a>1时，
不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)；
当0模块综合检测(C)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|≥1}，则上图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|12．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B．10
C．20 D．100
3．设函数f(x)满足：①y＝f(x＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f(－1)与f(2)的大小关系是( )
A．f(－1)>f(2) B．f(－1)C．f(－1)＝f(2) D．无法确定
4．若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则( )
A．A?B B．AB
C．A＝B D．A∩B＝?
5．某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元，则税率p%为( )
A．10% B．12%
C．25% D．40%
6．设则f(f(2))的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
7．定义运算：a*b＝如1*2=1，则函数f(x)的值域为( )
A．R B．(0，＋∞)
C．(0,1] D．[1，＋∞)
8．若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则log2等于( )
A．2 B．2或0
C．0 D．－2或0
9．设函数，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
10．在下列四图中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝()x的图象只可为( )
11．已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)，若f(4)g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )
12．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有( )
A．f()B．f()C．f()D．f(2)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则不等式f[g(x)]>g[f(x)]的解为________．
14．已知loga>0，若≤，则实数x的取值范围为______________．
15．直线y＝1与曲线y＝x2－＋a有四个交点，则a的取值范围为________________．
16．已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.
x
1.5
3
5
6
8
9
lg x
4a－2b＋c
2a－b
a＋c
1＋a－b－c
3[1－(a＋c)]
2(2a－b)
其中错误的对数值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝ [()x－1]，
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论函数f(x)的增减性．
18．(12分)已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
19．(12分)设函数f(x)＝，其中a∈R.
(1)若a＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求f(x)的最大值和最小值；
(2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数．
20．(12分)关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
21．(12分)
据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．
(1)当t＝4时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
22．(12分)已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)解不等式f(2x2－1)<2.
模块综合检测(C)
1．C [题图中阴影部分可表示为(?UM)∩N，集合M＝{x|x>2或x<－2}，集合N＝{x|12．A [由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝logm2＋logm5＝logm10.
∵＋＝2，∴logm10＝2，∴m2＝10，m＝.]
3．A [由y＝f(x＋1)是偶函数，得到y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－1)＝f(3)．
又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，
∴f(3)>f(2)，即f(－1)>f(2)．]
4．A [∵x∈R，∴y＝2x>0，即A＝{y|y>0}．
又B＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，
∴A?B.]
5．C [利润300万元，纳税300·p%万元，
年广告费超出年销售收入2%的部分为
200－1 000×2%＝180(万元)，
纳税180·p%万元，
共纳税300·p%＋180·p%＝120(万元)，
∴p%＝25%.]
6．C [∵f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，
∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.]
7．C
[由题意可知f(x)＝作出f(x)的图象(实线部分)如右图所示；
由图可知f(x)的值域为(0,1]．]
8．A [方法一 排除法．
由题意可知x>0，y>0，x－2y>0，
∴x>2y，>2，∴log2>1.
方法二 直接法．
依题意，(x－2y)2＝xy，∴x2－5xy＋4y2＝0，
∴(x－y)(x－4y)＝0，∴x＝y或x＝4y，
∵x－2y>0，x>0，y>0，∴x>2y，
∴x＝y(舍去)，∴＝4，∴log2＝2.]
9．B [当x≤1时，函数f(x)＝4x－4与g(x)＝log2x的图象有两个交点，可得h(x)有两个零点，当x>1时，函数f(x)＝x2－4x＋3与g(x)＝log2x的图象有1个交点，可得函数h(x)有1个零点，∴函数h(x)共有3个零点．]
10．C [∵>0，∴a，b同号．
若a，b为正，则从A、B中选．
又由y＝ax2＋bx知对称轴x＝－<0，∴B错，
但又∵y＝ax2＋bx过原点，∴A、D错．
若a，b为负，则C正确．]
11．B [据题意由f(4)g(－4)＝a2×loga4<0，得00时，y＝loga|x|＝logax是减函数．]
12．C [由f(2－x)＝f(x)知f(x)的图象关于直线x＝＝1对称，又当x≥1时，f(x)＝ln x，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，
∵|2－1|>|－1|>|－1|，
∴f()13．x＝2
解析 ∵f(x)、g(x)的定义域都是{1,2,3}，
∴当x＝1时，f[g(1)]＝f(3)＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，不等式不成立；
当x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，此时不等式成立；
当x＝3时，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝3，
此时，不等式不成立．
因此不等式的解为x＝2.
14．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析 由loga>0得0由≤得≤a－1，
∴x2＋2x－4≥－1，解得x≤－3或x≥1.
15．1＜a＜
解析 y＝
作出图象，如图所示．
此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－，要使y＝1与其有四个交点，只需a－＜1＜a，
∴1＜a＜.
16．lg 1.5
解析 ∵lg 9＝2lg 3，适合，故二者不可能错误，同理：lg 8＝3lg 2＝3(1－lg 5)，∴lg 8，lg 5正确．
lg 6＝lg 2＋lg 3＝(1－lg 5)＋lg 3＝1－(a＋c)＋(2a－b)＝1＋a－b－c，故lg 6也正确．
17．解 (1)()x－1>0，即x<0，
所以函数f(x)定义域为{x|x<0}．
(2)∵y＝()x－1是减函数，f(x)＝是减函数，
∴f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
18．解 (1)要使A为空集，方程应无实根，应满足，
解得a>.
(2)当a＝0时，方程为一次方程，有一解x＝；
当a≠0，方程为一元二次方程，使集合A只有一个元素的条件是Δ＝0，解得a＝，x＝.
∴a＝0时，A＝{}；a＝时，A＝{}．
(3)问题(3)包含了问题(1)、(2)的两种情况，
∴a＝0或a≥.
19．解 f(x)＝＝＝a－，
设x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)＝－＝.
(1)当a＝1时，f(x)＝1－，设0≤x1则f(x1)－f(x2)＝，
又x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)∴f(x)在[0,3]上是增函数，
∴f(x)max＝f(3)＝1－＝，
f(x)min＝f(0)＝1－＝－1.
(2)设x1>x2>0，则x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0.
若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
只要f(x1)－f(x2)<0，
而f(x1)－f(x2)＝，
∴当a＋1<0，即a<－1时，有f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x1)∴当a<－1时，f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．
20．解 设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]．
f(0)＝1>0，
(1)当2是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解时，
则4＋2(m－1)＋1＝0，∴m＝－.
(2)当2不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解时，
①方程f(x)＝0在(0,2)上有一个解时，则f(2)<0，
∴4＋2(m－1)＋1<0.∴m<－.
②方程f(x)＝0在(0,2)上有两个解时，则
∴
∴－综合(1)(2)，得m≤－1.
∴实数m的取值范围是(－∞，－1]．
21．解 (1)由图象可知：当t＝4时，v＝3×4＝12，
∴s＝×4×12＝24.
(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2，
当10当20综上可知s＝
(3)∵t∈[0,10]时，smax＝×102＝150<650.
t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650.
∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650.
解得t1＝30，t2＝40，∵20所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城．
22．(1)证明 令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝0，
∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)证明 设x2>x1>0，
则f(x2)－f(x1)＝f(x1·)－f(x1)
＝f(x1)＋f()－f(x1)＝f()，
∵x2>x1>0，∴>1.
∴f()>0，即f(x2)－f(x1)>0.
∴f(x2)>f(x1)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)解 ∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.
又∵f(x)是偶函数，
∴不等式f(2x2－1)<2可化为f(|2x2－1|)又∵函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴|2x2－1|<4.
解得－即不等式的解集为(－，)．
课件31张PPT。章末复习课第三章 函数的应用1.体会函数与方程之间的联系，会用二分法求方程的近似解；
2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异；
3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用. 要点归纳题型探究达标检测学习目标知识网络要点归纳 主干梳理 点点落实知识梳理1.函数的零点与方程的根的关系：
(1)方程f(x)＝0有实数根?函数 的图象与 有交点?
有零点.
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：①借助函数 性和
定理研究图象与x轴的交点个数；②通过移项，变形转化成两个函数图象的交点个数进行判断.答案y＝f(x)x轴函数单调零点存在性y＝f(x)2.二分法
(1)图象都在x轴同侧的函数零点 (填“能”或“不能”)用二分法求.
(2)用二分法求零点近似解时，零点区间(a，b)始终要保持f(a)·f(b) 0；
(3)若要求精确度为0.01，则当|a－b| 0.01时，便可判断零点近似值为 .
3.在同样是增函数的前提下，当自变量变得充分大之后，指数函数、对数函数、幂函数三者中增长最快的是 ，增长最慢的是 .答案不能<(1)给定函数模型与拟合函数模型中求函数解析式主要使用 法.
(2)建立确定性的函数模型的基本步骤是
.
(3)所有的函数模型问题都应注意变量的实际意义对 的影响.返回答案待定系数审题，设量，表示条件，整理化简，标明定义域定义域类型一 函数的零点与方程的根的关系及应用题型探究 重点难点 个个击破解析答案(1)当a＝1时，函数g(x)是否存在零点，若存在，求出所有零点；若不存在，说明理由.解 当a＝1时，设t＝ex(显然t∈[1,3])，
则h(t)＝t2＋t－1，
令h(t)＝t2＋t－1＝0，∴函数g(x)不存在零点.(2)求函数g(x)的最小值.解析答案反思与感悟解 设t＝ex，则h(t)＝t2＋|t－a|(显然t∈[1,3]).
当a≤1时，h(t)＝t2＋t－a在区间[1,3]上是增函数，
所以h(x)的最小值为h(1)＝2－a.反思与感悟因为函数h(t)在区间(a,3]上是增函数，在区间[1，a]上也是增函数，
又函数h(t)在[1,3]上为连续函数，
所以函数h(t)在[1,3]上为增函数，
所以h(t)的最小值为h(1)＝a.
综上可得：当a≤1时，g(x)的最小值为2－a；1.函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
2.确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.跟踪训练1 若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数f(x)可以是( )
A.f(x)＝4x－1 B.f(x)＝(x－1)2
C.f(x)＝ex－1 D.f(x)＝ln(x－1)解析答案答案 A类型二 用二分法求函数的零点或方程的近似解例2 用二分法求3x2－4x－1＝0的近似解(精确度0.1).解析答案反思与感悟解 令f(x)＝3x2－4x－1，作出函数图象如图所示，解析答案观察图象知方程的一根x0∈(－1,0)，
另一根x0′∈(1,2)，
且f(－1)＝6，f(0)＝－1，f(1)＝－2，f(2)＝3.则f(－0.5)＝1.75，所以f(－0.5)·f(0)＜0，
故x0∈(－0.5,0).
再取区间(－0.5,0)的中点x2＝－0.25，反思与感悟则f(－0.25)≈0.19，所以f(－0.25)·f(0)＜0，
故x0∈(－0.25,0).
再取区间(－0.25,0)的中点x3＝－0.125，
则f(－0.125)≈－0.45，
所以f(－0.125)·f(－0.25)＜0，
故x0∈(－0.25，－0.125).
再取区间(－0.25，－0.125)的中点x4＝－0.187 5，
则f(－0.187 5)≈－0.14，
所以f(－0.25)·f(－0.187 5)＜0，解析答案反思与感悟故x0∈(－0.25，－0.187 5).
又因为|0.25－0.187 5|＝0.062 5＜0.1，所以－0.187 5为方程3x2－4x－1＝0的一个根的近似值.
同理：当x0′∈(1,2)时，方程的根的近似值为1.562 5.
综上所述，方程3x2－4x－1＝0的根的近似值为－0.187 5和1.562 5.反思与感悟1.看清题目的精确度，它决定着二分法的结束.
2.根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间.
3.初始区间的选定一般在两个整数间，不同初始区间结果是相同的，但二分的次数相差较大.
4.取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，|an－bn|<ε，那么区间(an，bn)内任意一个数都是满足精度ε的近似解.跟踪训练2 某方程在区间[0,1]内有一无理根，若用二分法求此根的近似值要使所得近似值的精确度达到0.1，则将区间(0,1)分( )
A.2次 B.3次 C.4次 D.5次解析答案解析 等分1次，区间长度为0.5；等分两次，区间长度为0.25；…；
等分4次，区间长度为0.062 5<0.1，符合题意.C类型三 函数模型及应用例3 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的函数关系为R＝kr4(k>0，k是常数).
(1)假设气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量速率R的表达式；解析答案解 由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数).
由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，(2)已知(1)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率.解析答案即气体通过管道半径为5 cm时，该气体的流量速率约为3 086 cm3/s.反思与感悟一旦选定函数模型，下面的工作就是挖掘题目条件求出待定系数.跟踪训练3 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为 (a为常数)，如图，根据图中所提供的信息，回答下列问题：解析答案(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药
量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为
___________________________.解析 由题意和图示知，当0≤t≤0.1时，可设y＝kt(k为待定系数)，由于点(0.1,1)在直线上，∴k＝10；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室.解析答案返回0.6123达标检测 解析答案1.已知函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，a≠1)，那么函数f(x)的零点个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.至少1个4解析 在同一坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，当a＞1时，如图(1)，当0＜a＜1时，如图(2)，故选D.D5答案2.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )1234CA.x1 B.x2
C.x3 D.x4512343.在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则下列函数与x，y的函数关系是最接近的是(其中a，b为待定系数)( )
A.y＝a＋bx B.y＝a＋bxB答案51234答案 (log32,1)55.已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝______.1234答案251.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围.
2.函数模型的应用实例的基本题型
(1)给定函数模型解决实际问题；
(2)建立确定的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.返回3.函数建模的基本过程如图课件22张PPT。3.1.1 方程的根与函数的零点第三章 3.1 函数与方程1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系；
2.会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间；
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 函数的零点概念思考 函数的“零点”是一个点吗？答案答案 不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.一般地，对于函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的 .
方程、函数、图象之间的关系：
方程f(x)＝0 ?函数y＝f(x)的图象 ?函数y＝f(x) .f(x)＝0零点有实数根与x轴有交点有零点知识点二 零点存在定理答案答案一般地，有函数零点存在性定理：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 的一条曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内 ，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根.连续不断f(a)·f(b)<0有零点f(c)＝0返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 求函数的零点例1 函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为____________.解析答案解析 由(lg x)2－lg x＝0，
得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，
∴x＝1或x＝10.x＝1或x＝10反思与感悟函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.解析答案跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________.解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)
＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3).
可知零点为±1，－2,3，共4个.4类型二 判断函数的零点所在的区间例2 根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是( )解析答案A.(－1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)解析 令f(x)＝ex－(x＋2)，
则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，
∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.C反思与感悟在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点.解析答案跟踪训练2 若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.解析 ∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是增函数，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点.
∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln 2<0，f(3)＝9－7＋ln 3>0，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2,3)内，
∴n＝2.2类型三 判断函数零点个数例3 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数.解析答案反思与感悟解 方法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，
∴f(x)在(0,1)上必定存在零点.又显然f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2在
(－1，＋∞)上为增函数.
故函数f(x)有且只有一个零点.
方法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和
g(x)＝lg (x＋1)的草图.由图象知g(x)＝lg (x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点.反思与感悟判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数.解析答案跟踪训练3 求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数.解 方法一 由于f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内有零点.
函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.
方法二 通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，
观察两图象的交点个数得出结论.
也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数y＝ln x与y＝－2x＋6的图象交点的个数.返回123达标检测 45答案1.函数y＝x的零点是( )
A.(0,0) B.x＝0
C.x＝1 D.不存在B123452.函数f(x)＝x2－2x的零点个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3答案C123453.若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是( )
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点答案C123454.下列各图象表示的函数中没有零点的是( )答案D12345答案B1.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.返回3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象.
4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.课件28张PPT。3.1.2 用二分法求方程的近
似解第三章 3.1 函数与方程1.理解二分法的原理及其适用条件；
2.掌握二分法的实施步骤；
3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 二分法的原理思考 上节课，我们已经知道f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？答案答案 ①取区间(2,3)的中点2.5.
②计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内.二分法的概念：
对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求 .答案f(a)·f(b)<0一分为二逐步逼近零点方程的近似解知识点二 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证 ，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点 ；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则 ；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈ )；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈ ).
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).答案f(a)·f(b)<0cc就是函数的零点(a，c)(c，b)知识点三 精确度与运算次数思考1 “精确到0.1”与“精确度为0.1”一样吗？答案答案 不一样.比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间(a，b)满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间(1.25,1.34).若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.返回答案思考2 如果给定零点所在的初始区间[a，b]与精确度ε，如何估算二分次数？题型探究 重点难点 个个击破类型一 二分法求零点近似值例1 借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解.(精确度0.1)解析答案反思与感悟解析答案解 原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，
用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图象如下：观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，
说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1＝1.5，
用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0，
所以x0∈(1,1.5).反思与感悟再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5).
同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.437 5).
由于|1.375－1.437 5|＝0.062 5＜0.1，
所以，原方程的近似解可取为1.437 5.反思与感悟用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.解析答案跟踪训练1 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点.(精确度0.01)解析答案解 经试算f(1)<0，f(1.5)>0，
所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)<0，因为f(1.5)·f(1.25)<0，所以x0∈(1.25,1.5).
如果继续下去，如下表：因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5<0.01，
所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125.类型二 二分法的应用解析答案反思与感悟解析答案由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：反思与感悟由于1.265 625－1.257 812 5＝0.007 812 5<0.01，反思与感悟“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.解析答案跟踪训练2 求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解，精确度为0.01.返回解析答案解 考察函数f(x)＝2x3＋3x－3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间.
经试算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在[0,1]内有解.
如此下去，得到方程2x3＋3x－3＝0有解区间的表.至此，我们得到，区间[0.734 375,0.742 187 5]的区间长度为0.007 812 5，它小于0.01，
因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解.所以可取一个近似解为0.734 375.返回123达标检测 45答案D123452.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )答案A123453.方程2x－1＋x＝5的根所在的区间( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)答案C12345答案B12345答案B1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号.返回3.求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.
4.二分法的实施步骤可以概括为一段口诀：
定区间，找中点，中值计算两边看.
同号去，异号算，零点落在异号间.
周而复始怎么办？精确度上来判断.课件32张PPT。3.2.1 几类不同增长的函数
模型第三章 3.2 函数的模型及其应用1.尝试将实际问题转化为函数模型；
2.了解指数函数、对数函数及幂函数等函数模型的增长差异；
3.体会直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 函数模型思考 自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型.类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？答案答案 函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来拟合，这个函数即为函数模型.函数模型通常用来解释已有数据和预测.一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.知识点二 三种常见函数模型比较三种函数模型的性质，填写下表.答案增函数增函数增函数陡稳定快于快于ax>xn>logax返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 建立函数模型解决实际问题例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？解析答案反思与感悟解析答案解 设第x天所得的回报为y元，那么方案一对应的函数为y＝40(x∈N*)；
方案二对应的函数为y＝10x(x∈N*)；
方案三对应的函数为y＝0.4×2x－1(x∈N*).
这三个方案的回报如下表：反思与感悟解析答案反思与感悟解析答案从每天的回报量来看：第1～3天方案一最多；
第4天方案一和方案二一样多，方案三最少；
第5～8天方案二最多；
第9天以后方案三最多.
这三个函数模型的图象如下图所示.反思与感悟解析答案从中分析出它们的增长在速度上的差异是：方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数是增函数，
方案二的函数的增长量固定不变，方案三的增长是加速的，比方案二快的多.反思与感悟从累积回报来看，投资1～6天，应选择第一种投资方案；
投资7天，应选择第一或第二种投资方案；
投资8～10天，应选择第二种投资方案；
投资11天(含11天)以上，应选择第三种投资方案. 反思与感悟建立函数模型是为了预测和决策，预测准不准主要靠建立的函数模型与实际的拟合程度.而要获得好的拟合度，就需要丰富、详实的数据.解析答案跟踪训练1 某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：
甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；
乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息.
哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)解 按甲，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；
按乙，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86万元.
故按乙方案投资5年可多得利3.86万元，更有利.类型二 需选择函数模型的实际问题例2 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？按此模型，如果某人的销售利润是343万元，则所获奖金为多少？解析答案反思与感悟解析答案解 确定三个奖励模型中哪个能符合公司的要求，其本质是判断这三个函数模型哪一个的函数值y符合y≤5且y≤0.25x.
下面画出了三个奖励模型的函数图象，反思与感悟解析答案观察图象，对于模型y＝0.25x，当x＝20时，y＝5，因此，当x>20时，y>5，所以不符合.
对于模型y＝1.002x，由函数图象知，当x的取值在800附近，y值为5，由于函数是增函数，所以y值越过了5，不符合要求.
对于函数y＝log7x＋1，当x∈[10,1000]时，函数y＝log7x＋1是增函数，所以y≤log71 000＋1按y＝log7x＋1奖励时，奖金不超过利润的25%，即当x∈[10,1 000]时，反思与感悟解析答案令f(x)＝log7x ＋1－0.25x，x∈[10,1 000] .
利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象可知，f(x)在[10,100]上是递减的，
因此f(x)≤f(10)≈－0.316 7<0即log7x＋1＜0.25x.说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润的25%.反思与感悟根据以上分析可知，只有奖励模型y＝log7x＋1符合y≤5且y≤0.25x的要求，
所以模型y＝log7x＋1符合公司的要求.如果某人的销售利润是343万元，按奖励模型y＝log7x＋1，所获奖金数为(log7343＋1)万元.反思与感悟用函数有关的知识建立数学模型，难点是理解题意，把实际问题数学化，建立数学模型一定要过好三关.
(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口.
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型.解析答案解 设家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N*)，旅游收费为y，旅游原价为a.∴当x＝1时，两家旅行社收费相等.
当x＞1时，甲旅行社更优惠.类型三 幂函数、指数函数、对数函数增长的差异例3 观察下面表中的数据，你对函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的增长差异有什么认识？解析答案解 尽管在x的某一范围内，有2x4时，2x>x2>log2x.反思与感悟判断函数的增长速度，一是可以直接感受函数值的增长快慢.二是可以设缩小，Δx＝xn＋1－xn.通过观察函数值的差Δy＝f(x＋Δx)－f(x)来量化.三还可以借助图象，增长速度匀速的，图象是直线；增长速度越来越快的图象表现为下凹，反之则为上凸.跟踪训练3 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.解析答案(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；解 当x充分大时，
图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，
另一个函数就是幂函数y＝x3.
∴C1对应的函数为g(x)＝x3，
C2对应的函数为f(x)＝2x.解析答案返回(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 013)，g(2 013)的大小.解 ∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，
∴1＜x1＜2,9＜x2＜10.∴x1＜6＜x2,2 013＞x2.
从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，
∴f(6)＜g(6).
当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2 013)＞g(2 013).
又g(2 013)＞g(6)，∴f(2 013)＞g(2 013)＞g(6)＞f(6).123达标检测 4答案1.下列函数中随x的增长而增长最快的是( )
A.y＝ex B.y＝ln x
C.y＝x100 D.y＝2xA12342.能使不等式log2xA.(0，＋∞) B.(2，＋∞)
C.(－∞，2) D.(4，＋∞)答案D12343.某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为( )
A.8℃ B.78℃
C.112℃ D.18℃答案B12344.细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长.若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：答案据此表可推测实验开始前2 h的细菌数为( )
A.75 B.100
C.150 D.200A1.函数应用题的类型
函数应用题主要有：(1)函数类型已知的问题；(2)函数类型未知的问题；(3)利用函数拟合法得到函数模型的问题.
2.解决实际问题的流程返回3.在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)、y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，logax＜xn＜ax.课件30张PPT。3.2.2 函数模型的应用实例第三章 3.2 函数的模型及其应用1.能利用已知函数模型求解实际问题；
2.能自建确定性函数模型解决实际问题；
3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 几类已知函数模型思考 指数型函数与指数函数在解析式上有什么不同？答案答案 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的系数为1，且没有常数项.确定一个指数函数解析式只需要一个条件；指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)指数式前的系数不一定是1，而且可能还有常数项.所以确定指数型函数通常需要3个条件.几类函数模型：答案ax＋b(a、b为常数，a≠0)ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0
且a≠1)axn＋b(a，b为常数，a≠0)知识点二 自建函数模型思考 数据拟合时，得到的函数为什么要检验？答案答案 因为限于我们的认识水平和一些未知因素的影响，现实可能与我们所估计的函数有误差或甚至不切合客观实际，此时就要检验，调整模型或改选其他函数模型.面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：
(1)收集数据；
(2)画散点图；
(3)选择函数模型；
(4)求函数模型；
(5)检验；
(6)用函数模型解释实际问题.返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 利用已知函数模型求解实际问题例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程.反思与感悟解析答案在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解.解析答案跟踪训练1 商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：
①买一个茶壶送一个茶杯，②按购买总价的92%付款.某顾客购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数x个，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中
y与x的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？解 由优惠办法①得函数关系式为
y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*).
由优惠办法②得函数关系式为
y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N*).
当该顾客购买茶杯40个时，采用优惠办法①应付款y1＝5×40＋60＝260元；
采用优惠办法②应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6元，由于y2求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.解析答案解 设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元.解析答案由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，总共获得利润为1.05万元.类型三 拟合函数模型例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国的人口数据资料：解析答案(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； 解析答案解 设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.
由55 196(1＋ r1) ＝ 56 300，
可得1951年的人口增长率r1≈0.020 0.
同理可得，r2≈0.021 0，r3≈0.022 9，r4≈0.025 0，r5≈0.019 7，r6≈0.022 3，r7≈0.027 6，r8≈0.022 2，r9≈0.018 4.
于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈0.022 1.令y0＝55 196，由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55 196e0.022 1t，t∈N.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y＝55 196e0.022 1t(t∈N)的图象.解析答案反思与感悟(2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？ 解 将y＝130 000代入y＝55 196e0.022 1t，
由计算器可得t≈38.76.
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.1.已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答.
2.判断所得到的数学模型是否拟合，必须使所有数据基本接近数学模型，对于一般的应用问题，不会让数学模型完全符合，只是基本符合，对此，无最优解，只有满意解.解析答案跟踪训练3 已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.
(1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？解 已知人口模型为y＝y0ert，其中y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年增长率.
若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3%估计，有y＝5e0.003t.
当y＝10时，解得t≈231.
所以，1881年世界人口约为1650年的2倍.
同理可知，2003年世界人口数约为1970年的2倍.解析答案返回(2)实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？解 由此看出，此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况.123达标检测 45答案1.从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为( )
A.17 B.18 C.19 D.20C123452.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )答案A.分段函数 B.二次函数
C.指数函数 D.对数函数A123453.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )答案B.y＝(0.957 6)100x A123454.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：答案下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A.y＝2x－1 B.y＝x2－1
C.y＝2x－1 D.y＝1.5x2－2.5x＋2D123455.某同学最近5年内的学习费用y千元与时间x年的关系如图所示，可选择的模拟函数模型是( )答案A.y＝ax＋b B.y＝ax2＋bx＋c
C.y＝aex＋b D.y＝aln x＋bB解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.返回课件33张PPT。习题课 函数的实际应用第三章 函数的应用1.进一步掌握常用的函数模型解析式的求法及应用；
2.提高在面临实际问题时，通过自己建立函数模型来解决问题的能力；
3.培养借助表格、图象处理数据的能力.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实1.(1)求给定的函数模型的解析式，通常使用_________法.
(2)使用待定系数法求解析式时，假设有n个系数待定，则需要列______个关于待定系数的方程.答案待定系数n2.回想一下当你面临实际问题时，是如何建立函数模型的，特别需要注意哪些要点？答案答案 处理实际问题的关键是：①全面、准确地接收题目提供的信息，②根据需求整理信息，③正确表达其中蕴含的数量关系，④注意变量的实际意义对取值范围的影响.3.回顾上节例3人口增长问题的处理方法，回答下列问题：
(1)如何寻找拟合函数？答案答案 根据原始数据、表格，绘出散点图；考察散点图，画出拟合曲线；从函数模型中挑出“最贴近”拟合曲线的函数类型，求出其待定系数.(2)当有多个候选拟合函数模型时，如何进行选择？答案 把已知数据特别是远期数据分别代入候选函数，根据拟合效果择优录用.(3)使用拟合函数预测的结果一定准确吗？预报准确度受哪些因素影响？答案答案 利用拟合函数得到的结果不一定准确.预报准确度与建立拟合函数依据的制约因素全面与否，数据采集密集度，采集区间长度都有关系.4.我们在处理以往案例中，大量使用了表格、图象.用它们处理数据有什么优势？答案 表格便于我们定量观察量与量之间的依存关系.单调性及增长速度，图象则更直观.返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 二次函数模型的应用例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：解析答案请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？反思与感悟解 由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(桶).
由于x＞0,520－40x＞0，即0＜x＜13.
y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200,0＜x＜13.
易知，当x＝6.5时，y有最大值.
所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.反思与感悟对于二次函数模型，根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.利用二次函数求最值时特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.解析答案跟踪训练1 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日租金增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？解 设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x，由x＞0，且300－10x＞0得：0＜x＜30，
设客房租金总收入y元，则有：y＝(20＋2x)(300－10x) ＝－20(x－10)2＋8 000(0＜x＜30)
由二次函数性质可知当x＝10时，ymax＝8 000.
所以当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元.类型二 对数函数模型的应用例2 1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.
(1)世界人口在此前40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？解析答案解 设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，
则y·(1＋x)n＝60，
当n＝40时，y＝30，即30(1＋x)40＝60，∴(1＋x)40＝2，
两边取对数，则40lg (1＋x)＝lg 2，∴1＋x≈1.017，得x＝1.7%.
故每年人口平均增长率是1.7%.答 每年人口平均增长率为1.7%.解析答案反思与感悟(2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？
以下数据供计算时使用：反思与感悟解 依题意，y≤12.48(1＋1%)10，
得lg y≤lg 12.48＋10×lg 1.01≈1.139 2，
∴y≤13.78，故人口至多有13.78亿.
答 2008年人口至多有13.78亿.1.解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建模，要注意数学模型中元素的实际意义.
2.对数函数模型的一般表达式为：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1).解析答案跟踪训练2 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 ，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量.
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位.解析答案(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？即当一只燕子耗氧量为80个单位时，速度为15 m/s.类型三 选择函数的拟合问题例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：解析答案(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.解析答案解 以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.解析答案反思与感悟(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？解 将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175
由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2,
所以，这个男生偏胖.依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的函数模型的探索方法：
(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；
(2)根据散点图设出比较接近的可能的函数模型的解析式；
(3)利用待定系数法求出各解析式；
(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题.跟踪训练3 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.解析答案(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；解 利用计算机几何画板软件，
描点如图甲.解析答案(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；解 从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx.用计算器可得a≈2.4，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型：y＝2.4＋1.8x.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系.解析答案返回(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，可以灌溉土地多少公顷？解 由y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，
即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公顷.123达标检测 45答案A.2 400元 B.900元
C.300元 D.3 600元A123452.某种电热水器的水箱盛满水是200升.浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止.现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡( )
A.3 B.4 C.5 D.6答案解析 设t分钟时水箱的水有y升，依题意有y＝200＋2t2－34t，当t＝8.5时，y有最小值，共放水289升，可供4人洗澡.B123453.某种商品第一年提价25%，第二年欲恢复成原价，则应降价( )
A.30% B.25% C.20% D.15%答案C123454.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )答案A123455.一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到罐满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是( )答案D1.函数模型的应用实例主要包括三个方面
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.
2.函数拟合与预测的一般步骤
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图.返回(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，
但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的.因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.章末检测(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．函数y＝1＋的零点是( )
A．(－1,0) B．－1
C．1 D．0
2．设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
3．某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2010年度产值的月平均增长率为( )
A. B.－1
C. D.
4．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
5．如图1，直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l∶x＝t截此梯形所得位于l左方图形面积为S，则函数S＝f(t)的图象大致为图中的( )
图1
6．已知在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，将y表示成x的函数关系式为( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
7．某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是( )
(下列数据仅供参考：＝1.41，＝1.73，＝1.44， ＝1.38)
A．38% B．41%
C．44% D．73%
8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加1万元，又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)＝4Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元，这时产品的生产数量为________．(总利润＝总收入－成本)( )
A．250 300 B．200 300
C．250 350 D．200 350
9．在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02
则x、y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a、b为待定系数)( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝ax2＋b D．y＝a＋
10．根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展得很快，下面是我国能源生产总量(折合亿吨标准煤)的几个统计数据：1986年8.6亿吨，5年后的1991年10.4亿吨，10年后的1996年12.9亿吨，有关专家预测，到2001年我国能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家是以哪种类型的函数模型进行预测的？( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
11．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0,1)内的根(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753＝0.421 875,0.6253＝0.244 14)( )
A．0.25 B．0.375
C．0.635 D．0.825
12．有浓度为90%的溶液100 g，从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )
A．19 B．20
C．21 D．22
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．用二分法研究函数f(x)＝x3＋2x－1的零点，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次计算的f(x)的值为f(________)．
14．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．
15．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为________________万元．
16．函数f(x)＝x2－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)华侨公园停车场预计“十·一”国庆节这天停放大小汽车1 200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．
(1)写出国庆这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式，并指出x的取值范围．
(2)如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%～85%，请你估计国庆这天该停车场收费金额的范围．
18．(12分)光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃后强度为y.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的以下？(lg 3≈0.477 1)
19．(12分)某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服用药后每毫升中的含药量y(微克)与服药的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线AB是函数y＝kat(t≥1，a>0，且k，a是常数)的图象．
(1)写出服药后y关于t的函数关系式；
(2)据测定，每毫升血液中的含药量不少于2微克时治疗疾病有效．假设某人第一次服药为早上6∶00，为保持疗效，第二次服药最迟应当在当天几点钟？
(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后3小时，该病人每毫升血液中的含药量为多少微克(精确到0.1微克)?
20．(12分)已知一次函数f(x)满足：f(1)＝2，f(2)＝3，
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断函数g(x)＝－1＋lg f2(x)在区间[0,9]上零点的个数．
21．(12分)截止到2009年底，我国人口约为13.56亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后，我国人口为y亿．
(1)求y与x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义．
22．(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)
章末检测(A)
1．B [由1＋＝0，得＝－1，∴x＝－1.]
2．B [由题意x0为方程x3＝()x－2的根，
令f(x)＝x3－22－x，
∵f(0)＝－4<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，
∴x0∈(1,2)．]
3．B [设1月份产值为a，增长率为x，则aP＝a(1＋x)11，
∴x＝－1.]
4．A [对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求．]
5．C [解析式为S＝f(t)
＝
＝
∴在[0,1]上为抛物线的一段，在(1,2]上为线段．]
6．B [根据配制前后溶质不变，有等式a%x＋b%y＝c%(x＋y)，即ax＋by＝cx＋cy，故y＝x.]
7．B [设职工原工资为p，平均增长率为x，
则p(1＋x)6＝8p，x＝－1＝－1＝41%.]
8．A [L(Q)＝4Q－Q2－Q－200＝－(Q－300)2＋250，故总利润L(Q)的最大值是250万元，
这时产品的生产数量为300.]
9．B [∵x＝0时，无意义，∴D不成立．
由对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，
∴A不成立．
∵C是偶函数，
∴x＝±1的值应该相等，故C不成立．
对于B，当x＝0时，y＝1，
∴a＋1＝1，a＝0；
当x＝1时，y＝b＝2.02，经验证它与各数据比较接近．]
10．B [可把每5年段的时间视为一个整体，将点(1,8.6)，(2，10.4)，(3,12.9)描出，通过拟合易知它符合二次函数模型．]
11．C [令f(x)＝2x3＋3x－3，f(0)<0，f(1)>0，f(0.5)<0，f(0.75)>0，f(0.625)<0，
∴方程2x3＋3x－3＝0的根在区间(0.625,0.75)内，
∵0.75－0.625＝0.125<0.25，
∴区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意．]
12．C [操作次数为n时的浓度为()n＋1，由()n＋1<10%，得n＋1>＝≈21.8，
∴n≥21.]
13．(0,0.5) 0.25
解析 根据函数零点的存在性定理．
∵f(0)<0，f(0.5)>0，
∴在(0,0.5)存在一个零点，第二次计算找中点，
即＝0.25.
14．(1，＋∞)
解析 函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，如下图，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01.
15．a(1－b%)n
解析 第一年后这批设备的价值为a(1－b%)；
第二年后这批设备的价值为a(1－b%)－a(1－b%)·b%＝a(1－b%)2；
故第n年后这批设备的价值为a(1－b%)n.
16．(0,1]
解析 设x1，x2是函数f(x)的零点，则x1，x2为方程x2－2x＋b＝0的两正根，
则有，即.
解得017．解 (1)依题意得y＝5x＋10(1 200－x)
＝－5x＋12 000，0≤x≤1 200.
(2)∵1 200×65%≤x≤1 200×85%，
解得780≤x≤1 020，
而y＝－5x＋12 000在[780,1 020]上为减函数，
∴－5×1 020＋12 000≤y≤－5×780＋12 000.
即6 900≤y≤8 100，
∴国庆这天停车场收费的金额范围为[6 900,8 100]．
18．解 (1)依题意：y＝a·0.9x，x∈N*.
(2)依题意：y≤a，
即：a·0.9x≤，0.9x≤＝，
得x≥log0.9＝≈－≈10.42.
答 通过至少11块玻璃后，光线强度减弱到原来的以下．
19．解 (1)当0≤t<1时，y＝8t；
当t≥1时，∴
∴y＝
(2)令8·()t≥2，解得t≤5.
∴第一次服药5小时后，即第二次服药最迟应当在当天上午11时服药．
(3)第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服药的药量为y1＝8×()8＝(微克)；含第二次服药后药量为y2＝8×()3＝4(微克)，y1＋y2＝＋4≈4.7(微克)．
故第二次服药再过3小时，
该病人每毫升血液中含药量为4.7微克．
20．解 (1)令f(x)＝ax＋b，由已知条件得
，解得a＝b＝1，
所以f(x)＝x＋1(x∈R)．
(2)∵g(x)＝－1＋lg f2(x)＝－1＋lg (x＋1)2在区间[0,9]上为增函数，且g(0)＝－1<0，
g(9)＝－1＋lg 102＝1>0，
∴函数g(x)在区间[0,9]上零点的个数为1个．
21．解 (1)2009年底人口数：13.56亿．
经过1年，2010年底人口数：
13．56＋13.56×1%＝13.56×(1＋1%)(亿)．
经过2年，2011年底人口数：
13．56×(1＋1%)＋13.56×(1＋1%)×1%
＝13.56×(1＋1%)2(亿)．
经过3年，2012年底人口数：
13．56×(1＋1%)2＋13.56×(1＋1%)2×1%
＝13.56×(1＋1%)3(亿)．
∴经过的年数与(1＋1%)的指数相同．
∴经过x年后人口数为13.56×(1＋1%)x(亿)．
∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x.
(2)理论上指数函数定义域为R.
∵此问题以年作为时间单位．
∴此函数的定义域是{x|x∈N*}．
(3)y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x.
∵1＋1%>1,13.56>0，
∴y＝f(x)＝13.56×(1＋1%)x是增函数，
即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．
22．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋＝550.
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
(2)当0当100当x≥550时，P＝51.
所以P＝f(x)＝(x∈N)．
(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则L＝(P－40)x＝(x∈N)．
当x＝500时，L＝6 000；
当x＝1 000时，L＝11 000.
因此，当销售商一次订购500个零件时，
该厂获得的利润是6 000元；
如果订购1 000个，利润是11 000元．
章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为( )
A．每个110元 B．每个105元
C．每个100元 D．每个95元
3．今有一组实验数据如下表，现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
A.y＝log2t B．y＝
C．y＝ D．y＝2t－2
4．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他去一次购买上述同样的商品，则应付款是( )
A．413.7元 B．513.7元
C．548.7元 D．546.6元
5．方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为( )
A．(－，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[－，1] D．(－∞，－]
6．设f(x)是区间[a，b]上的单调函数，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]( )
A．至少有一实根 B．至多有一实根
C．没有实根 D．必有唯一实根
7．方程x2－(2－a)x＋5－a＝0的两根都大于2，则实数a的取值范围是( )
A．a<－2 B．－5C．－54或a<－4
8．四人赛跑，其跑过的路程f(x)和时间x的关系分别是：f1(x)＝，f2(x)＝x，f3(x)＝log2(x＋1)，f4(x)＝log8(x＋1)，如果他们一直跑下去，最终跑到最前面的人所具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝ B．f2(x)＝x
C．f3(x)＝log2(x＋1) D．f4(x)＝log8(x＋1)
9．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(e,3) D．(e，＋∞)
10．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2的两个零点分别为α，β，则( )
A．a<αC．a<α<β11．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f()的所有x之和为( )
A．－ B．－
C．－8 D．8
12．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图所示．现给出下面说法：
①前5分钟温度增加的速度越来越快；
②前5分钟温度增加的速度越来越慢；
③5分钟以后温度保持匀速增加；
④5分钟以后温度保持不变．
其中正确的说法是( )
A．①④ B．②④
C．②③ D．①③
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)＝，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______________．
14．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m，长与宽的和为20 m，则仓库容积的最大值为________．
15．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围为________．
16．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)讨论方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．
18．(12分)(1)已知f(x)＝＋m是奇函数，求常数m的值；
(2)画出函数y＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
19．(12分)某出版公司为一本畅销书定价如下：
C(n)＝这里n表示定购书的数量，C(n)是定购n本书所付的钱数(单位：元)．
若一本书的成本价是5元，现有甲、乙两人来买书，每人至少买1本，两人共买60本，问出版公司最少能赚多少钱？最多能赚多少钱？
20．(12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．
21．(12分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求实数a的取值范围．
22．(12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：
①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；
②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；
③每户每月的定额损耗费a不超过5元．
(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式；
(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：
月份
用水量(立方米)
水费(元)
一
4
17
二
5
23
三
2.5
11
试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m，n，a的值．
章末检测(B)
1．A [在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．
可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．]
2．D [设售价为x元，则利润
y＝[400－20(x－90)](x－80)＝20(110－x)(x－80)
＝－20(x2－190x＋8 800)
＝－20(x－95)2＋4 500.
∴当x＝95时，y最大为4 500元．]
3．C [当t＝4时，y＝log24＝2，y＝＝－2，y＝＝7.5，y＝2×4－2＝6.
所以y＝适合，
当t＝1.99代入A、B、C、D4个选项，y＝的值与表中的1.5接近，故选C.]
4．D [购物超过200元，至少付款200×0.9＝180(元)，超过500元，至少付款500×0.9＝450(元)，可知此人第一次购物不超过200元，第二次购物不超过500元，则此人两次购物总金额是168＋＝168＋470＝638(元)．若一次购物，应付500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．]
5．C [令f(x)＝x2＋ax－2，则f(0)＝－2<0，
∴要使f(x)在[1,5]上与x轴有交点，则需要
，即，解得－≤a≤1.]
6．D [∵f(a)·f(b)<0，∴f(x)在区间[a，b]上存在零点，
又∵f(x)在[a，b]上是单调函数，∴f(x)在区间[a，b]上的零点唯一，即f(x)＝0在[a，b]上必有唯一实根．]
7．C [由题意知，解得－58．B [在同一坐标系下画出四个函数的图象，由图象可知f2(x)＝x增长的最快．]
9．B [f(2)＝ln 2－＝ln 2－1<1－1＝0，
f(3)＝ln 3－>1－＝>0.故零点所在区间为(2,3)．]
10．B [设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)是由g(x)的图象向下平移2个单位得到的，而g(x)的两个零点为a，b，f(x)的两个零点为α，β，结合图象可得α11．C [∵x>0时f(x)单调且为偶函数，
∴|2x|＝||，即2x(x＋4)＝±(x＋1)．
∴2x2＋9x＋1＝0或2x2＋7x－1＝0.
∴共有四根．
∵x1＋x2＝－，x3＋x4＝－，
∴所有x之和为－＋(－)＝－8.]
12．B [因为温度y关于时间t的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当t增加一个单位增量Δt，则y随相应的增量Δy越来越小，而5分钟后y关于t的增量保持为0.故选B.]
13．(1，＋∞)
解析 由f(x)＋x－a＝0，
得f(x)＝a－x，
令y＝f(x)，y＝a－x，如图，
当a>1时，y＝f(x)与y＝a－x有且只有一个交点，
∴a>1.
14．300 m3
解析 设长为x m，则宽为(20－x)m，仓库的容积为V，
则V＝x(20－x)·3＝－3x2＋60x,0由二次函数的图象知，顶点的纵坐标为V的最大值．
∴x＝10时，V最大＝300(m3)．
15．(0,1)
解析 函数f(x)＝的图象如图所示，
该函数的图象与直线y＝m有三个交点时m∈(0,1)，此时函数g(x)＝f(x)－m有3个零点．
16．[－1,1]
解析 分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件为b∈[－1,1]．
17．解 令f(x)＝4x3＋x－15，
∵y＝4x3和y＝x在[1,2]上都为增函数．
∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上为增函数，
∵f(1)＝4＋1－15＝－10<0，f(2)＝4×8＋2－15＝19>0，
∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上存在一个零点，
∴方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内有一个实数解．
18．解 (1)∵f(x)＝＋m是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，∴＋m＝－－m.
∴＋m＝－m，
∴＋2m＝0.
∴－2＋2m＝0，∴m＝1.
(2)作出直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象，如图．
①当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；
②当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；
③当019．解 设甲买n本书，则乙买(60－n)本(不妨设甲买的书少于或等于乙买的书)，则n≤30，n∈N*.
①当1≤n≤11且n∈N*时，49≤60－n≤59，
出版公司赚的钱数f(n)＝12n＋10(60－n)－5×60＝2n＋300；
②当12≤n≤24且n∈N*时，36≤60－n≤48，
出版公司赚的钱数
f(n)＝12n＋11(60－n)－5×60＝n＋360；
③当25≤n≤30且n∈N*时，30≤60－n≤35，
出版公司赚的钱数f(n)＝11×60－5×60＝360.
∴f(n)＝
∴当1≤n≤11时，302≤f(n)≤322；
当12≤n≤24时，372≤f(n)≤384；
当25≤n≤30时，f(n)＝360.
故出版公司最少能赚302元，最多能赚384元．
20．解 若实数a满足条件，
则只需f(－1)f(3)≤0即可．
f(－1)f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，
所以a≤－或a≥1.
检验：(1)当f(－1)＝0时a＝1，
所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
(2)当f(3)＝0时a＝－，
此时f(x)＝x2－x－.
令f(x)＝0，即x2－x－＝0，
解得，x＝－或x＝3.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.
综上所述，a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)．
21．解 当a＝0时，函数为f(x)＝2x－3，其零点x＝不在区间[－1,1]上．
当a≠0时，函数f(x)在区间[－1,1]分为两种情况：
①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，此时：
或，
解得1≤a≤5或a＝.
②函数在区间[－1,1]上有两个零点，此时
，即.
解得a≥5或a<.
综上所述，如果函数在区间[－1,1]上有零点，那么实数a的取值范围为(－∞，]∪[1，＋∞)．
22．解 (1)依题意，得y＝
其中0(2)∵0由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米．
将和分别代入②，
得
③－④，得n＝6.
代入17＝9＋n(4－m)＋a，得a＝6m－16.
又三月份用水量为2.5立方米，
若m<2.5，将代入②，得a＝6m－13，
这与a＝6m－16矛盾．
∴m≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量．
将代入①，得11＝9＋a，
由解得
∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m＝3，n＝6，a＝2.
