【学案导学与随堂笔记】2016-2017学年高中数学（苏教版必修一）配套课件+课时作业与单元检测：第三章 指数函数、对数函数和幂函数 （35份打包）

第3章 指数函数、对数函数和幂函数
§3.1 指数函数　
3.1.1 分数指数幂
课时目标　1.了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理数指数幂的必要性.2.理解有理数指数幂的含义，知道实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
1．如果一个实数x满足________________，那么称x为a的n次实数方根．
2．式子叫做______，这里n叫做________，a叫做__________．
3．(1)n∈N*时，()n＝____.
(2)n为正奇数时，＝____；n为正偶数时，＝______.
4．分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝__________(a>0， m、n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝____________(a>0，m、n∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________．
5．有理数指数幂的运算性质：
(1)aras＝______(a>0，r、s∈Q)；
(2)(ar)s＝______(a>0，r、s∈Q)；
(3)(ab)r＝______(a>0，b>0，r∈Q)．
一、填空题
1．下列说法中：①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．其中正确的是________(填序号)．
2．若23．在(－)－1、、、2－1中，最大的是______________________________．
4．化简的结果是________．
5．下列各式成立的是________．(填序号)
①＝；②()2＝；③＝；④＝.
6．下列结论中，正确的个数为________．
①当a<0时，＝a3；
②＝|a|(n>0)；
③函数y＝－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；
④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.
7. －＋的值为________．
8．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则＝________.
9．若x>0，则(2＋)(2－)－4·(x－)＝________.
二、解答题
10．(1)化简：··(xy)－1(xy≠0)；
(2)计算：＋＋－·.
11．设－3能力提升
12．化简：÷(1－2)×.
13．若x>0，y>0，且x－－2y＝0，求的值．
1.与()n的区别
(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶性限制，a∈R，但这个式子的值受n的奇偶性限制：当n为大于1的奇数时，＝a；当n为大于1的偶数时，＝|a|.
(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定：当n为大于1的奇数时，()n＝a，a∈R；当n为大于1的偶数时，()n＝a，a≥0，由此看只要()n有意义，其值恒等于a，即()n＝a.
2．有理指数幂运算的一般思路
化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的运算性质．同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的公式、换元等简化运算过程．
3．有关指数幂的几个结论
(1)a>0时，ab>0；
(2)a≠0时，a0＝1；
(3)若ar＝as，则r＝s；
(4)a±2＋b＝(±)2(a>0，b>0)；
(5)(＋)(－)＝a－b(a>0，b>0)．
§2.2　指数函数
2．2.1　分数指数幂
知识梳理
1．xn＝a(n>1，n∈N*)　2.根式　根指数　被开方数　3.(1)a　(2)a　|a|　4.(1)　
(2)　(3)0　没有意义　5.(1)ar＋s　(2)ars　(3)arbr
作业设计
1．③④
解析　①错，∵(±2)4＝16，
∴16的4次方根是±2；
②错，＝2，而±＝±2.
2．1
解析　原式＝|2－a|＋|3－a|，
∵23．
解析　∵(－)－1＝－2, ＝，＝，2－1＝，
且>>>－2，
∴>>2－1>(－)－1.
4．
解析　原式＝＝＝.
5．④
解析　①被开方数是和的形式，运算错误；()2＝，②错；>0，<0，③错．
6．1
解析　①中，当a<0时，
＝[]3＝(－a)3＝－a3，
∴①不正确；
②中，若a＝－2，n＝3，
则＝－2≠|－2|，∴②不正确；
③中，有即x≥2且x≠，
故定义域为[2，)∪(，＋∞)，∴③不正确；
④中，∵100a＝5,10b＝2，
∴102a＝5,10b＝2,102a×10b＝10，即102a＋b＝10.
∴2a＋b＝1，④正确．
7.
解析　原式＝－＋
＝－＋＝.
8．9
解析　＝(ax)2·＝32·＝9.
9．－23
解析　原式＝4－33－4＋4＝－23.
10．解　(1)原式＝··(xy)－1
＝···
＝·＝.
(2)原式＝＋＋＋1－22
＝2－3.
11．解　原式＝－
＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，
原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝.
12．解　原式＝÷×
＝··
＝＝＝a.
13．解　∵x－－2y＝0，x>0，y>0，
∴()2－－2()2＝0，
∴(＋)(－2)＝0，
由x>0，y>0得＋>0，
∴－2＝0，∴x＝4y，
∴＝＝.
3.1.2　指数函数(一)
课时目标　1.理解指数函数的概念，会判断一个函数是否为指数函数.2.掌握指数函数的图象和性质．
1．指数函数的概念
一般地，______________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性
质
过定点
过点______，即x＝____时，y＝____
函数值
的变化
当x>0时，______；
当x<0时，________
当x>0时，________；
当x<0时，________
单调性
是R上的________
是R上的________
一、填空题
1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是______．(填序号)
①y＝(－4)x；②y＝πx；③y＝－4x；④y＝ax＋2(a>0且a≠1)．
2．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a的值为________．
3．函数y＝a|x|(a>1)的图象是________．(填序号)
4．已知f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x，那么f(2)＝________.
5．如图是指数函数
①y＝ax；
②y＝bx；
③y＝cx；
④y＝dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是________．
6．函数y＝()x－2的图象必过第________象限．
7．函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值为____．
8．若函数y＝ax－(b－1)(a>0，a≠1)的图象不经过第二象限，则a，b需满足的条件为________．
9．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．
二、解答题
10．比较下列各组数中两个值的大小：
(1)0.2－1.5和0.2－1.7；
(2)和；
(3)2－1.5和30.2.
11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你完成下面关于垃圾的体积V(m3)与垃圾体积的加倍的周期(3年)数n的关系的表格，并回答下列问题.
周期数n
体积V(m3)
0
50 000×20
1
50 000×2
2
50 000×22
…
…
n
50 000×2n
(1)设想城市垃圾的体积每3年继续加倍，问24年后该市垃圾的体积是多少？
(2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？
(3)如果n＝－2，这时的n，V表示什么信息？
(4)写出n与V的函数关系式，并画出函数图象(横轴取n轴)．
(5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？
能力提升
12．定义运算a⊕b＝，则函数f(x)＝1⊕2x的图象是________．(填序号)
13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足对任意的实数x，y都有f(xy)＝yf(x)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f()>0，解不等式f(ax)>0.(其中字母a为常数)．
1．函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
2．函数图象的平移变换是一种基本的图象变换．一般地，函数y＝f(x－a)的图象可由函数y＝f(x)的图象向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|个单位得到．
2．2.2　指数函数(一)
知识梳理
1．函数y＝ax(a>0，且a≠1)　R　2.(0,1)　0　1　y>1
01　增函数　减函数
作业设计
1．②
解析　①中－4<0，不满足指数函数底数的要求，③中因有负号，也不是指数函数，④中的函数可化为y＝a2·ax，ax的系数不是1，故也不是指数函数．
2．2
解析　由题意得
解得a＝2.
3．②
解析　该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝ax的图象，然后沿y轴翻折过去，便得到x<0时的函数图象．
4．－
解析　当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝3－x，
即－f(x)＝()x，
∴f(x)＝－()x.
因此有f(2)＝－()2＝－.
5．b解析　作直线x＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a)、(1，b)、(1，c)、(1，d)，由图象可知纵坐标的大小关系．
6．二、三、四
解析　函数y＝()x的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y＝()x－2的图象，所以观察y＝()x－2的图象可知．
7.
解析　由题意a2＝4，∴a＝2.f(－3)＝2－3＝.
8．a>1，b≥2
解析　函数y＝ax－(b－1)的图象可以看作由函数y＝ax的图象沿y轴平移|b－1|个单位得到．若01时，由于y＝ax的图象必过定点(0,1)，当y＝ax的图象沿y轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b－1≥1，得b≥2.因此，a，b必满足条件a>1，b≥2.
9．[0,8)
解析　y＝8－23－x＝8－23·2－x＝8－8·()x
＝8[1－()x]．
∵x≥0，∴0<()x≤1，∴－1≤－()x<0，
从而有0≤1－()x<1，因此0≤y<8.
10．解　(1)考察函数y＝0.2x.
因为0<0.2<1，
所以函数y＝0.2x在实数集R上是单调减函数．
又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.
(2)考察函数y＝()x.因为0<<1，
所以函数y＝()x在实数集R上是单调减函数．
又因为<，所以>1.
(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，
即1<30.2，所以2－1.5<30.2.
11．解　(1)由于垃圾的体积每3年增加1倍，24年后即8个周期后，该市垃圾的体积是50 000×28＝12 800 000(m3)．
(2)根据报纸所述的信息，估计3年前垃圾的体积是50 000×2－1＝25 000(m3)．
(3)如果n＝－2，这时的n表示6年前，V表示6年前垃圾的体积．
(4)n与V的函数关系式是V＝50 000×2n，图象如图所示．
(5)因为对任意的整数n,2n>0，所以V＝50 000×2n>0，因此曲线不可能与横轴相交．
12．①
解析　由题意f(x)＝1⊕2x＝
13．解　(1)令x＝1，y＝2，可知f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.
(2)设0且s>t，又f()>0，
∴f(x1)－f(x2)＝f[()s]－f[()t]
＝sf()－tf()＝(s－t)f()>0，
∴f(x1)>f(x2)．
故f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
又∵f(ax)>0，x>0，f(1)＝0，
∴0当a＝0时，x∈?，
当a>0时，0当a<0时，综上：a≤0时，x∈?；
a>0时，不等式解集为{x|03.1.2　指数函数(二)
课时目标　1.理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题.2.理解指数函数的底数a对函数图象的影响．
1．下列一定是指数函数的是________．
①y＝－3x；②y＝xx(x>0，且x≠1)；③y＝(a－2)x(a>3)；④y＝(1－)x.
2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图，则0，a，b,1的大小关系为________．
3．函数y＝πx的值域是________．
4．已知集合M＝{－1,1}，N＝{x|<2x＋1<4，x∈Z}，则M∩N＝________.
5．若()2a＋1<()3－2a，则实数a的取值范围是______________．
6．若指数函数f(x)＝(a＋1)x是R上的减函数，那么a的取值范围为________．
一、填空题
1．设P＝{y|y＝x2，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则P、Q的关系为________．
2．函数y＝的值域是________．
3．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是________．
4．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则下列命题正确的是________．(填序号)
①f(x)与g(x)均为偶函数；
②f(x)为偶函数，g(x)为奇函数；
③f(x)与g(x)均为奇函数；
④f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．
5．函数y＝f(x)的图象与函数g(x)＝ex＋2的图象关于原点对称，则f(x)的解析式为________．
6．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数的大小关系是________．
7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是________．
9．函数y＝的单调递增区间是________．
二、解答题
10．(1)设f(x)＝2u，u＝g(x)，g(x)是R上的单调增函数，试判断f(x)的单调性；
(2)求函数y＝的单调区间．
11．函数f(x)＝4x－2x＋1＋3的定义域为[－，]．
(1)设t＝2x，求t的取值范围；
(2)求函数f(x)的值域．
能力提升
12．函数y＝2x－x2的图象大致是________．(填序号)
13．已知函数f(x)＝.
(1)求f[f(0)＋4]的值；
(2)求证：f(x)在R上是增函数；
(3)解不等式：01．比较两个指数式值的大小主要有以下方法：
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．了解由y＝f(u)及u＝φ(x)的单调性探求y＝f[φ(x)]的单调性的一般方法．
2．2.2　指数函数(二)
双基演练
1．③
2．03．(0，＋∞)
4．{－1}
解析　解指数不等式<2x＋1<4，得－1所以－2所以M∩N＝{－1,1}∩{－1,0}＝{－1}．
5．(，＋∞)
解析　∵函数y＝()x在R上为减函数，
∴2a＋1>3－2a，∴a>.
6．－1作业设计
1．QP
解析　因为P＝{y|y≥0}，Q＝{y|y>0}，所以QP.
2．[0,4)
解析　∵4x>0，∴0≤16－4x<16，
∴∈[0,4)．
3．3
解析　函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，当x＝1时，ymax＝3.
4．②
解析　f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，
g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．
5．f(x)＝－e－x－2
解析　∵y＝f(x)的图象与g(x)＝ex＋2的图象关于原点对称，
∴f(x)＝－g(－x)＝－(e－x＋2)＝－e－x－2.
6．c解析　∵y＝()x是减函数，－>－，
∴b>a>1.又07．19
解析　假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．
8．(－∞，－1)
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.
当x>0时，由1－2－x<－，()x>，得x∈?；
当x＝0时，f(0)＝0<－不成立；
当x<0时，由2x－1<－，2x<2－1，得x<－1.
综上可知x∈(－∞，－1)．
9．[1，＋∞)
解析　利用复合函数同增异减的判断方法去判断．
令u＝－x2＋2x，则y＝()u在u∈R上为减函数，问题转化为求u＝－x2＋2x的单调递减区间，即为x∈[1，＋∞)．
10．解　(1)设x1又由y＝2u的增减性得<，即f(x1)所以f(x)为R上的增函数．
(2)令u＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
则u在区间[1，＋∞)上为增函数．
根据(1)可知y＝在[1，＋∞)上为增函数．
同理可得函数y在(－∞，1]上为单调减函数．
即函数y的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．
11．解　(1)∵t＝2x在x∈[－，]上单调递增，
∴t∈[，]．
(2)函数可化为：f(x)＝g(t)＝t2－2t＋3，
g(t)在[，1]上递减，在[1，]上递增，
比较得g()∴f(x)min＝g(1)＝2，
f(x)max＝g()＝5－2.
∴函数的值域为[2,5－2]．
12．①
解析　当x→－∞时，2x→0，所以y＝2x－x2→－∞，
所以排除③、④.
当x＝3时，y＝－1，所以排除②.
13．(1)解　∵f(0)＝＝0，
∴f[f(0)＋4]＝f(0＋4)＝f(4)＝＝.
(2)证明　设x1，x2∈R且x1则>>0,－>0，
∴f(x2)－f(x1)＝
＝>0，
即f(x1)(3)解　由0又f(x)在R上是增函数，∴0即23.1 习题课
课时目标　1.提高学生对指数与指数幂的运算能力.2.进一步加深对指数函数及其性质的理解.3.提高对指数函数及其性质的应用能力．
1．下列函数中，指数函数的个数是________．
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
2．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝________.
3．对于每一个实数x，f(x)是y＝2x与y＝－x＋1这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是________．
4．将化成指数式为________．
5．已知a＝40.2，b＝80.1，c＝()－0.5，则a，b，c的大小顺序为________．
6．已知＋＝3，求x＋的值．
一、填空题
1．的值为________．
2．化简＋的结果是________．
3．若04．若函数f(x)＝则f(－3)的值为________．
5．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是________．(填序号)
①a>1，b>0；
②a>1，b<0；
③00；
④06．函数f(x)＝的图象关于________对称．
7．计算－(－)0＋160.75＋＝____________________________.
8．已知10m＝4,10n＝9，则＝________.
9．函数y＝1－3x(x∈[－1,2])的值域是________．
二、解答题
10．比较下列各组中两个数的大小：
(1)0.63.5和0.63.7；
(2)()－1.2和()－1.4；
(3)和；
(4)π－2和()－1.3.
11．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
能力提升
12．已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．
13．根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？
1．(1)根式的运算中，有开方和乘方并存的情况，此时要注意两种运算的顺序是否可换．如当a≥0时，＝()m，而当a<0时，则不一定可换，应视m，n的情况而定．
(2)分数指数幂不能对指数随意约分．
(3)对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数，不能同时含有分母和负指数．
2．指数函数的解析式y＝ax中，ax的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y＝ax＋k(a>0且a≠
1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y＝a－x(a>0且a≠1)，因为它可以化为y＝()x，其中>0，且≠1.
3．学习指数函数要记住图象，理解图象，由图象能说出它的性质．关键在于弄清楚底数a对于函数值变化的影响，对于a>1与0习题课
双基演练
1．1
解析　只有③中y＝3x是指数函数．
2．－3
解析　因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即1＋b＝0，b＝－1.
所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.
3．1
解析　当x≤0时，f(x)＝2x；
当x>0时，f(x)＝－x＋1.
显然，其最大值是1.
4．
解析　＝×＝×＝.
5．b解析　a＝20.4，b＝20.3，c＝20.5.
又指数函数y＝2x在R上是增函数，
∴b6．解　由＋＝3得(＋)2＝9，
即x＋2＋x－1＝9，
则x＋x－1＝7，即x＋＝7.
作业设计
1.
解析　原式＝＝＝.
2．b或2a－3b
解析　原式＝(a－b)＋|a－2b|＝
3．0.2x<()x<2x
解析　当01，()x<1，
对于()x,0.2x不妨令x＝，
则有>，
再根据指数函数f(x)＝0.5x，g(x)＝0.2x的图象判断可知0.2x<()x.
4.
解析　f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝2－3＝.
5．④
解析　f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象左右平移|b|个单位得到的，由图象可知f(x)在R上是递减函数，所以06．y轴
解析　∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．
7.
解析　原式＝－1＋＋
＝0.4－1－1＋23＋0.1＝－1＋8＋＝.
8.
解析　因为10m＝4,10n＝9，所以＝＝＝＝.
9．[－8，]
解析　因为y＝3x是R上的单调增函数，所以当x∈[－1,2]时，3x∈[3－1,32]，即－3x∈
[－9，－]，所以y＝1－3x∈[－8，]．
10．解　(1)考察函数y＝0.6x.因为0<0.6<1，所以函数y＝0.6x在实数集R上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.
(2)考察函数y＝()x.因为>1，所以函数y＝()x在实数集R上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以()－1.2>()－1.4.
(3)考察函数y＝()x.因为>1，所以函数y＝()x在实数集R上是单调增函数．又因为<，所以<.
(4)∵π－2＝()2<1，()－1.3＝31.3>1，
∴π－2<()－1.3.
11．解　(1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，∴a2－a＝，
即a＝或a＝0(舍去)．
(2)若0∴a－a2＝，即a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，所求a的值为或.
12．解　∵f(x)＝(ax－)，
∴函数定义域为R，
设x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1f(x1)－f(x2)＝(－－＋)
＝(－＋－)
＝(－＋)
＝(－)(1＋)
∵1＋>0，
∴当a>1时，<，>0
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)当0，<0
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)综上，f(x)在R上为增函数．
13.
解　函数y＝|2x－1|的图象可由指数函数y＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示．
函数y＝m的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：
当m<0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m无解；
当m＝0或m≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m有一解；
当0 3.2习题课
课时目标　1.巩固对数的概念及对数的运算.2.提高对对数函数及其性质的综合应用能力．
1．已知m＝0.95.1，n＝5.10.9，p＝log0.95.1，则这三个数的大小关系是________．
2．已知03．函数y＝＋的定义域是________．
4．给定函数①y＝，②y＝(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．(填序号)
5．设函数f(x)＝loga|x|，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是________________．
6．若log32＝a，则log38－2log36＝________.
一、填空题
1．下列不等号连接正确的是________．(填序号)
①log0.52.7>log0.52.8；
②log34>log65；
③log34>log56；
④logπe>logeπ.
2．若log37·log29·log49m＝log4，则m＝________.
3．设函数f(x)＝若f(3)＝2，f(－2)＝0，则b＝________.
4．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调增区间为_____________________________．
5．若函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是________．
6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(x)<0的解集为________．
7．已知loga(ab)＝，则logab＝________.
8．若log236＝a，log210＝b，则log215＝________.
9．设函数f(x)＝若f(a)＝，则f(a＋6)＝________.
二、解答题
10．已知集合A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|log4(x＋a)<1}，若A∩B＝?，求实数a的取值范围．
11．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg 2≈0.301 0)
能力提升
12．设a>0，a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，求不等式loga(x－1)>0的解集．
13．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，其中a>1.
(1)比较[f(0)＋f(1)]与f()的大小；
(2)探索[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f(－1)对任意x1>0，x2>0恒成立．
1．比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：
(1)利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；
(2)利用对数函数图象的相互位置关系比较大小．
2．指数函数与对数函数的区别与联系
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是两类不同的函数．二者的自变量不同．前者以指数为自变量，而后者以真数为自变量；但是，二者也有一定的联系，y＝ax(a>0，且a≠1)和y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域．二者的图象关于直线y＝x对称．
习题课
双基演练
1．p解析　01，p<0，故p2．1解析　∵0由logamn>1.
3．(1,2)
解析　由题意得：解得：14．②③
解析　①y＝在(0,1)上为单调递增函数，
∴①不符合题意，②，③符合，
④y＝2x＋1在(0,1)上也是单调递增函数．
5．f(a＋1)>f(2)
解析　当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上递增，
又∵a＋1>2，∴f(a＋1)>f(2)；
当0又∵a＋1<2，∴f(a＋1)>f(2)．
综上可知，f(a＋1)>f(2)．
6．a－2
解析　log38－2log36＝log323－2(1＋log32)
＝3a－2－2a＝a－2.
作业设计
1．①②③
解析　对①，根据y＝log0.5x为单调减函数易知正确．
对②，由log34>log33＝1＝log55>log65可知正确．
对③，由log34＝1＋log3>1＋log3>1＋log5＝log56可知正确．
对④，由π>e>1可知，logeπ>1>logπe错误．
2.
解析　左边＝··＝，
右边＝＝－，
∴lg m＝lg ＝lg，
∴m＝.
3．0
解析　∵f(3)＝2，∴loga(3＋1)＝2，
解得a＝2，又f(－2)＝0，∴4－4＋b＝0，b＝0.
4．(－∞，－)
解析　令y＝2x2＋x，其图象的对称轴x＝－<0，
所以(0，)为y的增区间，所以00，所以0f(x)的定义域为2x2＋x>0的解集，即x>0或x<－，
由x＝－>－得，(－∞，－)为y＝2x2＋x的递减区间，
又由05．(－1,0)∪(1，＋∞)
解析　①若a>0，则f(a)＝log2a，f(－a)＝a，
∴log2a>a＝log2，
∴a>，∴a>1.
②若a<0，则f(a)＝(－a)，
f(－a)＝log2(－a)，
∴(－a)>log2(－a)＝(－)，
∴－a<－，
∴－1由①②可知，－11.
6．(，1)∪(2，＋∞)
解析　∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，
在(0，＋∞)上f(x)<0?f(x)同理可求f(x)在(－∞，0)上是增函数，且f(－)＝0，得x>2.
综上所述，x∈(，1)∪(2，＋∞)．
7．2p－1
解析　∵logaba＝p，logabb＝logab＝1－p，
∴logab＝logaba－logabb
＝p－(1－p)＝2p－1.
8.a＋b－2
解析　因为log236＝a，log210＝b，
所以2＋2log23＝a,1＋log25＝b.
即log23＝(a－2)，log25＝b－1，
所以log215＝log23＋log25＝(a－2)＋b－1＝a＋b－2.
9．－3
解析　(1)当a≤4时，2a－4＝，
解得a＝1，此时f(a＋6)＝f(7)＝－3；
(2)当a>4时，－log2(a＋1)＝，无解．
10．解　由log4(x＋a)<1，得0解得－a即B＝{x|－a∵A∩B＝?，∴解得1≤a≤2，
即实数a的取值范围是[1,2]．
11．解　设至少抽n次才符合条件，则
a·(1－60%)n<0.1%·a(设原来容器中的空气体积为a)．
即0.4n<0.001，两边取常用对数，得
n·lg 0.4所以n>.
所以n>≈7.5.
故至少需要抽8次，才能使容器内的空气少于原来的0.1%.
12．解　设u(x)＝x2－2x＋3，则u(x)在定义域内有最小值．
由于f(x)在定义域内有最小值，所以a>1.
所以loga(x－1)>0?x－1>1?x>2，
所以不等式loga(x－1)>0的解集为{x|x>2}．
13．解　(1)∵[f(0)＋f(1)]＝(loga1＋loga2)＝loga，
又∵f()＝loga，且>，由a>1知
函数y＝logax为增函数，所以loga即[f(0)＋f(1)](2)由(1)知，当x1＝1，x2＝2时，不等式成立．
接下来探索不等号左右两边的关系：
[f(x1－1)＋f(x2－1)]＝loga，
f(－1)＝loga，
因为x1>0，x2>0，
所以－＝≥0，
即≥.又a>1，
所以loga≥loga，
即[f(x1－1)＋f(x2－1)]≤f(－1)．
综上可知，不等式对任意x1>0，x2>0恒成立．
§3.2　对数函数
3.2.1　对数（一）
课时目标　1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.掌握对数的基本性质，会用对数恒等式进行运算．
1．对数的概念
如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即________，那么就称b是以a为底N的对数，记作__________．其中a叫做__________，N叫做______．
2．常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做________，以e为底的对数叫做________，log10N可简记为________，logeN简记为________．
3．对数与指数的关系
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝____.
对数恒等式：＝____；logaax＝____(a>0，且a≠1)．
4．对数的性质
(1)1的对数为____；
(2)底的对数为____；
(3)零和负数________．
一、填空题
1．有下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；
④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为________．
2．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝100；④若
e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是________．(填序号)
3．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是_____________________________．
4．方程＝的解集是________．
5．若loga＝c，则下列关系式中正确的是________．
①b＝a5c；②b5＝ac；③b＝5ac；④b＝c5a.
6．的值为________．
7．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝________.
8．若log2(logx9)＝1，则x＝________.
9．已知lg a＝2.431 0，lg b＝1.431 0，则＝________.
二、解答题
10．(1)将下列指数式写成对数式：
①10－3＝；②0.53＝0.125；③(－1)－1＝＋1.
(2)将下列对数式写成指数式：
①log26＝2.585 0；②log30.8＝－0.203 1；
③lg 3＝0.477 1.
11．已知logax＝4，logay＝5，求A＝的值．
能力提升
12．若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是________．
13．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值：
①log2x＝－；②logx3＝－.
(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式：
①log68；②log62；③log26.
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)＝N.
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运
算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
3．指数式与对数式的互化
§2.3　对数函数
2．3.1　对　数
第1课时　对数的概念
知识梳理
1．ab＝N　logaN＝b　对数的底数　真数　2.常用对数　自然对数
lg N　ln N　3.x　N　x　4.(1)零　(2)1　(3)没有对数
作业设计
1．3
解析　①、③、④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．
2．①②
解析　∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝0，故①正确；
∵ln e＝1，∴ln(ln e)＝0，故②正确；
由lg x＝10，得1010＝x，故x≠100，故③错误；
由e＝ln x，得ee＝x，故x≠e2，所以④错误．
3．2解析　由对数的定义知?
?24．{x|x＝}
解析　∵＝2－2，∴log3x＝－2，
∴x＝3－2＝.
5．①
解析　由loga＝c，得ac＝，
∴b＝(ac)5＝a5c.
6．8
解析　＝()－1·＝2×4＝8.
7.
解析　由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，
转化为指数式则有x＝23＝8，
∴＝＝＝＝.
8．3
解析　由题意得：logx9＝2，∴x2＝9，∴x＝±3，
又∵x>0，∴x＝3.
9.
解析　依据ax＝N?logaN＝x(a>0且a≠1)，
有a＝102.431 0，b＝101.431 0，
∴＝＝101.431 0－2.431 0＝10－1＝.
10．解　(1)①lg＝－3；②log0.50.125＝3；
③log－1(＋1)＝－1.
(2)①22.585 0＝6；②3－0.203 1＝0.8；③100.477 1＝3.
11．解　A＝·＝.
又∵x＝a4，y＝a5，∴A＝＝1.
12．45
解析　由loga3＝m，得am＝3，
由loga5＝n，得an＝5.
∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.
13．解　(1)①因为log2x＝－，所以x＝＝.
②因为logx3＝－，所以x－＝3，所以x＝3－3＝.
(2)①log68＝a.
②由6a＝8得6a＝23，即＝2，所以log62＝.
③由＝2得＝6，所以log26＝.
3.2.1 对数（二）
课时目标　1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝________；
(2)loga＝___________；
(3)logaMn＝__________(n∈R)．
2．对数换底公式
logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)；
特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．
一、填空题
1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)________．(填序号)
①logax·logay＝loga(x＋y)；
②(logax)n＝nlogax；
③＝loga；
④＝logax－logay.
2．计算：log916·log881的值为__________．
3．若log5·log36·log6x＝2，则x＝________.
4．已知3a＝5b＝A，若＋＝2，则A＝________.
5．已知log89＝a，log25＝b，则lg 3＝________(用a、b表示)．
6．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg)2的值为________．
7．2log510＋log50.25＋(－)÷＝______________.
8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.
9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝lg E－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．
二、解答题
10．(1)计算：lg－lg＋lg 12.5－log89·log34；
(2)已知3a＝4b＝36，求＋的值．
11．若a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
能力提升
12．下列给出了x与10x的七组近似对应值：
组号
一
二
三
四
五
六
七
x
0.301 03
0.477 11
0.698 97
0.778 15
0.903 09
1.000 00
1.079 18
10x
2
3
5
6
8
10
12
假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第________组．
13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
1．在运算过程中避免出现以下错误：
loga(MN)＝logaM·logaN.
loga＝.
logaNn＝(logaN)n.
logaM±logaN＝loga(M±N)．
2．根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式：
logab＝(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0)．
由对数换底公式又可得到两个重要结论：
(1)logab·logba＝1；
(2)＝logab.
3．对于同底的对数的化简常用方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．
第2课时　对数运算
知识梳理
1．(1)logaM＋logaN　(2)logaM－logaN　(3)nlogaM　2.1
作业设计
1．③
2.
解析　log916·log881＝·＝·＝.
3.
解析　由换底公式，得··＝2，
lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝.
4.
解析　∵3a＝5b＝A>0，
∴a＝log3A，b＝log5A.
由＋＝logA3＋logA5＝logA15＝2，
得A2＝15，A＝.
5.
解析　∵log89＝a，∴＝a.
∴log23＝a.
lg 3＝＝＝.
6．2
解析　由根与系数的关系可知lg a＋lg b＝2，
lg alg b＝.
于是(lg)2＝(lg a－lg b)2
＝(lg a＋lg b)2－4lg alg b＝22－4×＝2.
7.－3
解析　原式＝2(log510＋log50.5)＋(－)
＝2log5(10×0.5)＋
＝2＋－5＝－3.
8．1
解析　(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10)
＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2
＝lg 5＋lg 2＝1.
9．1 000
解析　设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2、E1，
则8－6＝(lg E2－lg E1)，即lg＝3.
∴＝103＝1 000，
即汶川大地震所释放的能量相当于1 000颗广岛原子弹．
10．解　(1)方法一　lg－lg＋lg 12.5－log89·log34
＝lg(××12.5)－·＝1－＝－.
方法二　lg－lg＋lg 12.5－log89·log34
＝lg－lg＋lg－·
＝－lg 2－lg 5＋3lg 2＋(2lg 5－lg 2)－·
＝(lg 2＋lg 5)－＝1－＝－.
(2)方法一　由3a＝4b＝36得：a＝log336，b＝log436，
所以＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.
方法二　因为3a＝4b＝36，所以＝3,＝4，
所以()2·＝32×4，
即＝36，故＋＝1.
11．解　原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.
设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又∵a、b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg a＋lg b)·(＋)
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
12．二
解析　由指数式与对数式的互化可知，
10x＝N?x＝lg N，
将已知表格转化为下表：
组号
一
二
三
四
五
六
七
N
2
3
5
6
8
10
12
lg N
0.301 03
0.477 11
0.698 97
0.778 15
0.903 09
1.000 00
1.079 18
∵lg 2＋lg 5＝0.301 03＋0.698 97＝1，
∴第一组、第三组对应值正确．
又显然第六组正确，
∵lg 8＝3lg 2＝3×0.301 03＝0.903 09，
∴第五组对应值正确．
∵lg 12＝lg 2＋lg 6＝0.301 03＋0.778 15＝1.079 18，
∴第四组、第七组对应值正确．
∴只有第二组错误．
13．解　设这种放射性物质最初的质量是1，经过x年后，剩余量是y，则有y＝0.75x.
依题意，得＝0.75x，即x＝
＝＝
＝≈4.
∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的.
3.2.2　对数函数(一)
课时目标　1.掌握对数函数的概念、图象和性质.2.能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．
1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．
2．对数函数的图象与性质
定义
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域
值域
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过点______，即loga1＝0
函数值
特点
x∈(0,1)时，
y∈______；
x∈[1，＋∞)时，
y∈______
x∈(0,1)时，
y∈______；
x∈[1，＋∞)时，
y∈______
对称性
函数y＝logax与y＝x的图象关于______对称
3.反函数
对数函数y＝logax (a>0且a≠1)和指数函数______________互为反函数．
一、填空题
1．函数y＝的定义域是________．
2．设集合M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N＝________.
3．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α＝_____________________________.
4．函数f(x)＝|log3x|的图象是________．(填序号)
5．已知对数函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)，且过点(9,2)，f(x)的反函数记为y＝g(x)，则g(x)的解析式是________．
6．若loga<1，则a的取值范围是________．
7．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
8．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
9．给出函数f(x)＝，则f(log23)＝________.
二、解答题
10．求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝log2(x－2)；
(2)y＝log4(x2＋8)．
11．已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，(a>0，且a≠1)．
(1)设a＝2，函数f(x)的定义域为[3,63]，求函数f(x)的最值．
(2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围．
能力提升
12．已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是__________．
13．若不等式x2－logmx<0在(0，)内恒成立，求实数m的取值范围．
1．函数y＝logmx与y＝lognx中m、n的大小与图象的位置关系．
当02．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，再根据对数式与指数式的互化过程知道，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，它们互为反函数，它们的定义域和值域互换，指数函数y＝ax的图象过(0,1)点，故对数函数图象必过(1,0)点．
2．3.2　对数函数(一)
知识梳理
1．函数y＝logax(a>0，且a≠1)　(0，＋∞)
2．(0，＋∞)　R　(1,0)　(－∞，0)　[0，＋∞)　(0，＋∞)　(－∞，0]　x轴
3．y＝ax (a>0且a≠1)
作业设计
1．[4，＋∞)
解析　由题意得：解得x≥4.
2．(－∞，1]
解析　M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，因此M∪N＝(－∞，1]．
3．1
解析　由题意知α＋1＝2，故α＝1.
4．①
解析　y＝|log3x|的图象是保留y＝log3x的图象位于x轴上半平面的部分(包括与x轴的交点)，而把下半平面的部分沿x轴翻折到上半平面而得到的．
5．g(x)＝3x
解析　由题意得：loga9＝2，即a2＝9，又∵a>0，∴a＝3.
因此f(x)＝log3x，所以f(x)的反函数为g(x)＝3x.
6．(0，)∪(1，＋∞)
解析　由loga<1得：loga当a>1时，有a>，即a>1；
当0综上可知，a的取值范围是(0，)∪(1，＋∞)．
7．(1,2)
解析　由题意，得或解得18．(4，－1)
解析　y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，则x＝4；
令y＋1＝0，则y＝－1.
9.
解析　∵1∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋2)
＝f(log23＋3)＝f(log224)＝＝＝
＝.
10．解　(1)由x－2>0，得x>2，所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.
(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，
所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.
又因为x2＋8≥8，
所以log4(x2＋8)≥log48＝，
即函数y＝log4(x2＋8)的值域是[，＋∞)．
11．解　(1)当a＝2时，函数f(x)＝log2(x＋1)为[3,63]上的增函数，
故f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，
f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.
(2)f(x)－g(x)>0，即loga(1＋x)>loga(1－x)，
①当a>1时，1＋x>1－x>0，得0②当012．a3解析　作x轴的平行线y＝1，直线y＝1与曲线C1，C2，C3，C4各有一个交点，则交点的横坐标分别为a1，a2，a3，a4.由图可知a313.
解　由x2－logmx<0，得x2要使x2∵x＝时，y＝x2＝，
∴只要x＝时，y＝logm≥＝.
∴≤，即≤m.又0∴≤m<1，
即实数m的取值范围是[，1)．
3.2.2　对数函数(二)
课时目标　1.进一步加深理解对数函数的性质.2.掌握对数函数的性质及其应用．
1．设g(x)＝，则g(g())＝________.
2．下列各组函数中，表示同一函数的是________．(填序号)
①y＝和y＝()2；
②|y|＝|x|和y3＝x3；
③y＝logax2和y＝2logax；
④y＝x和y＝logaax.
3．若函数y＝f(x)的定义域是[2,4]，则y＝f(x)的定义域是________．
4．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________．
5．函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f(2)＝________.
6．函数y＝loga(x－2)＋1(a>0且a≠1)恒过定点________．
一、填空题
1．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则a，b，c的大小关系为________．
2．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为________．
3．函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)且f(8)＝3，则下列不等关系判断正确的为________．(填序号)
①f(2)>f(－2)；②f(1)>f(2)；③f(－3)>f(－2)；
④f(－3)>f(－4)．
4．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为________．
5．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)＝________.
6．函数y＝3x(－1≤x<0)的反函数是________．
7．函数f(x)＝lg(2x－b)，若x≥1时，f(x)≥0恒成立，则b应满足的条件是________．
8．函数y＝logax当x>2时恒有|y|>1，则a的取值范围是________．
9．若loga2<2，则实数a的取值范围是______________．
二、解答题
10．已知f(x)＝loga(3－ax)在x∈[0,2]上单调递减，求a的取值范围．
11．已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，其中a为常数．
(1)求a的值；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)能力提升
12．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋)有最小值，则实数a的取值范围是________．
13．已知logm41．在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，底数a对其图象的影响
无论a取何值，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝logax(a>1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当01时函数单调递增．
2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．
2．3.2　对数函数(二)
双基演练
1.
解析　∵g()＝ln<0，
∴g(ln)＝＝，
∴g(g())＝.
2．④
解析　y＝logaax＝xlogaa＝x，
即y＝x，两函数的定义域、值域都相同．
3．[，]
解析　由题意得：2≤x≤4，所以()2≥x≥()4，
即≤x≤.
4．(0，＋∞)
解析　∵3x＋1>1，∴log2(3x＋1)>0.
5．2
解析　由已知得loga(b－1)＝0且logab＝1，
∴a＝b＝2.从而f(2)＝log2(2＋2)＝2.
6．(3,1)
解析　若x－2＝1，则不论a为何值，
只要a>0且a≠1，都有y＝1.
作业设计
1．b解析　因为0所以b2．[，4]
解析　∵－1≤x≤1，
∴2－1≤2x≤2，即≤2x≤2.
∴y＝f(x)的定义域为[，2]
即≤log2x≤2，∴≤x≤4.
3．③
解析　∵loga8＝3，解得a＝2，因为函数f(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)为偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数，由－3<－2，所以f(－3)>f(－2)．
4.
解析　函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)，令y1＝ax，y2＝loga(x＋1)，显然在[0,1]上，y1＝ax与y2＝loga(x＋1)同增或同减．因而[f(x)]max＋[f(x)]min＝f(1)＋f(0)＝a＋loga2＋1＋0＝a，解得a＝.
5．－b
解析　f(－x)＝lg＝lg()－1＝－lg
＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数，故f(－a)＝－f(a)＝－b.
6．y＝log3x(≤x<1)
解析　由y＝3x(－1≤x<0)得反函数是y＝log3x(≤x<1)．
7．b≤1
解析　由题意，x≥1时，2x－b≥1.又2x≥2，∴b≤1.
8．[，1)∪(1,2]
解析　∵|y|>1，即y>1或y<－1，
∴logax>1或logax<－1，
变形为logax>logaa或logax当x＝2时，令|y|＝1，
则有loga2＝1或loga2＝－1，
∴a＝2或a＝.
要使x>2时，|y|>1.
如图所示，a的范围为19．(0,1)∪(，＋∞)
解析　loga2<2＝logaa2.若01，由于y＝logax是增函数，则a2>2，得a>.综上得0.
10．解　由a>0可知u＝3－ax为减函数，依题意则有a>1.
又u＝3－ax在[0,2]上应满足u>0，
故3－2a>0，即a<.
综上可得，a的取值范围是111．解　(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，
∴函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－＝，
解得a＝－1或a＝1(舍)．
(2)f(x)＋ (x－1)＝＋(x－1)
＝(1＋x)，
当x>1时，(1＋x)<－1，
∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)∴m≥－1.
12．(1，)
解析　已知函数f(x)有最小值，令y＝x2－ax＋，由于y的值可以趋于＋∞，所以a>1， 否则，如果013．解　
数形结合可得0§3.3　幂函数
课时目标　1.通过具体问题，了解幂函数的概念.2.从描点作图入手，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．
1．一般地，把形如________的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的图象．
3．结合2中图象，填空．
(1)所有的幂函数图象都过点__________，在(0，＋∞)上都有定义．
(2)若α>0时，幂函数图象过点________________，且在第一象限内______；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象______．
(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调______，在第一象限内，当x从＋∞趋向于原点时，函数在y轴右方无限地逼近于y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴．
(4)当α为奇数时，幂函数图象关于______对称；当α为偶数时，幂函数图象关于______对称．
(5)幂函数在第____象限无图象．
一、填空题
1．下列函数是幂函数的是________．(填序号)
①y＝；②y＝x3；③y＝2x；④y＝x－1.
2．幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为________．
3．下列是y＝的图象的是________．(填序号)
4．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为________．
5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
6．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是________．
7．给出以下结论：
①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；
③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；
④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．
则正确结论的序号为________．
8．函数y＝＋x－1的定义域是________．
9．已知函数y＝x－2m－3的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．
二、解答题
10．比较、、的大小，并说明理由．
11．如图，幂函数y＝x3m－7(m∈N)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．
能力提升
12．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；
(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
13．点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)1．幂函数在第一象限内指数变化规律：
在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．
2．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数中的m是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数中的m、n是奇数还是偶数．y＝xα，当α＝(m、n∈N*，m、
n互质)时，有：
n
m
y＝的奇偶性
定义域
奇数
偶数
非奇非偶函数
[0，＋∞)
偶数
奇数
偶函数
(－∞，＋∞)
奇数
奇数
奇函数
(－∞，＋∞)
3.幂函数y＝的单调性，在(0，＋∞)上，>0时为增函数，<0时为减函数．
§2.4　幂函数
知识梳理
1．y＝xα　3.(1)(1,1)　(2)(0,0)，(1,1)　递增　下凸
(3)(1,1)　递减　(4)原点　y轴　(5)四
作业设计
1．①②④
解析　根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，③中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以③不是幂函数．
2.
解析　设幂函数为y＝xα，依题意，＝4α，
即22α＝2－1，∴α＝－.
∴幂函数为y＝，∴f(8)＝＝＝＝.
3．②
解析　y＝＝，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝＝
＝f(x)，即y＝是偶函数，又∵<1，∴图象上凸．
4．2，，－，－2
解析　作直线x＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．
5．a>c>b
解析　根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝在x>0时是增函数，所以a>c，y＝()x在x>0时是减函数，所以c>b.
6．2
解析　因为x∈(－1,0)∪(0,1)，
所以0<|x|<1.
要使f(x)＝xα>|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，
所以α＝－1,1显然是不成立的．
当α＝0时，f(x)＝1>|x|；
当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；
当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.
综上，α的可能取值为0或－2，共2个．
7．④
解析　当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．
8．(0，＋∞)
解析　y＝的定义域是[0，＋∞)，y＝x－1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．
9．m<－
解析　由幂函数的性质知－2m－3>0，
故m<－.
10．解　考查函数y＝1.1x，∵1.1>1，
∴它在(0，＋∞)上是增函数．
又∵>，∴>.
再考查函数y＝，∵>0，
∴它在(0，＋∞)上是增函数．
又∵1.4>1.1，∴>，
∴>>.
11．解　由题意，得3m－7<0.
∴m<.
∵m∈N，∴m＝0,1或2，
∵幂函数的图象关于y轴对称，
∴3m－7为偶数．
∵m＝0时，3m－7＝－7，
m＝1时，3m－7＝－4，
m＝2时，3m－7＝－1.
故当m＝1时，y＝x－4符合题意．即y＝x－4.
12．解　(1)若f(x)为正比例函数，则?m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，
则?m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
?m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
13．解　设f(x)＝xα，则由题意，得
2＝()α，∴α＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，由题意，得＝(－2)β，
∴β＝－2，即g(x)＝x－2.
在同一平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．
由图象可知：
(1)当x>1或x<－1时，
f(x)>g(x)；
(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1f(x)§3.4　函数的应用
3.4.1 函数与方程
第1课时　函数的零点
课时目标　1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．
1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系
函数图象
判别式
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
与x轴交
点个数
方程的根
无解
2.函数的零点
一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的______．
3．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的______．
4．方程f(x)＝0有实数根
?函数y＝f(x)的图象与x轴有______
?函数y＝f(x)有______．
函数零点的存在性的判断方法
若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
一、填空题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是________．
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法不正确的是________．(填序号)
①若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；
②若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；
③若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；
④若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.
3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
4．已知函数y＝f(x)是偶函数，其部分图象如图所示，则这个函数的零点至少有________个．
5．函数f(x)＝零点的个数为________．
6．已知函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则实数b的取值范围是________．
7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．
8．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为________．
9．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________.
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
二、解答题
10．证明：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．
11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
能力提升
12．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的解的个数是_______________________．
13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．
1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．
(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2．并不是所有的函数都有零点，如函数y＝.
3．对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然当它通过零点时函数值没有变号．
§2.5　函数与方程
2．5.1　函数的零点
知识梳理
1．2个　1个　0个　2个　1个　2.零点　3.实数根　横坐标
4．交点　零点
作业设计
1．2个
解析　方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac<0，∴a≠0，
∴Δ＝b2－4ac>0，
即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，
则对应函数的零点个数为2个．
2．①②④
解析　对于①，可能存在根；
对于②，必存在但不一定唯一；
④显然不成立．
3．0，－
解析　∵a≠0,2a＋b＝0，
∴b≠0，＝－.
令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.
4．4
解析　由图象可知，当x>0时，函数至少有2个零点，因为偶函数的图象关于y轴对称，故此函数的零点至少有4个．
5．2
解析　x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.
x>0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2<0，f(e3)＝1>0，∴f(1)f(e3)<0，
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
综上，f(x)在R上有2个零点．
6．(－∞，0)
解析　设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由f(0)＝0可得d＝0，f(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝ax(x－1)(x－2)?b＝－3a，又由x∈(0,1)时f(x)>0，可得a>0，∴b<0.
7．3　0
解析　∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
8．2
解析　该函数零点的个数就是函数y＝ln x与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝ln x与y＝x－2的图象如下图：
由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)＝ln x－x＋2有2个零点．
9．1
解析　设f(x)＝e2－(x＋2)，由题意知f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k＝1.
10．证明　设f(x)＝x4－4x－2，其图象是连续曲线．
因为f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0.
所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
11．解　令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或，
即或，解得－12．3
解析　由已知得
∴f(x)＝
当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，
即x2＋3x＋2＝0，
∴x＝－1或x＝－2；
当x>0时，方程为x＝2，
∴方程f(x)＝x有3个解．
13．解　设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.
∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
∴，即
∴第2课时　用二分法求方程的近似解
课时目标　1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到题目要求；否则重复(2)～(4)．
一、填空题
1．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.
2．下列图象与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点的是________．(填序号)
3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 007)<0，f(2 008)<0，f(2 009)>0，则下列叙述正确的是________．(填序号)
①函数f(x)在(2 007,2 008)内不存在零点；
②函数f(x)在(2 008,2 009)内不存在零点；
③函数f(x)在(2 008,2 009)内存在零点，并且仅有一个；
④函数f(x)在(2 007,2 008)内可能存在零点．
4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间________．
5．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上的零点有____个．
6．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则下列各式中正确的是________．(填序号)
①f(x1)<0，f(x2)<0；②f(x1)<0，f(x2)>0；
③f(x1)>0，f(x2)<0；④f(x1)>0，f(x2)>0.
7．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)
①(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]；
⑥[5,6]；⑦[6，＋∞).
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
8.用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．
9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.70)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确到为0.1)．
二、解答题
10．确定函数f(x)＝x＋x－4的零点所在的区间．
11．设函数g(x)＝－6x3－13x2－12x－3.
(1)证明：g(x)在区间(－1,0)内有一个零点；
(2)求出函数g(x)在(－1,0)内的零点(精确到0.1)．
能力提升
12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题：
①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．
那么以上叙述中，正确的个数为________．
13．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？
1．函数零点的性质：
从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数；
从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；
若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；
若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．
注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件f(a)·f(b)<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．
2．关于用二分法求函数零点近似值的步骤应注意以下几点：
(1)第一步中要使：①区间长度尽量小；②f(a)·f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0.
(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的，对于求方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根．
2．5.2　用二分法求方程的近似解
作业设计
1．0.625
解析　由题意知f(x0)＝f()＝f(1.5)，代入解析式易计算得0.625.
2．②③④
解析　由①中的图象可知，不存在一个区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，即①中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．
3．④
4．(1.25,1.5)
解析　∵f(1)·f(1.5)<0，x1＝＝1.25.
又∵f(1.25)<0，∴f(1.25)·f(1.5)<0，
则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．
5．1
解析　f(x)＝(x－1)2(x＋1)＝0，
x1＝1，x2＝－1，
故f(x)在[0,2]上有一个零点．
6．②
解析　∵f(x)＝2x－，f(x)由两部分组成，2x在(1，＋∞)上单调递增，－在(1，
＋∞)上单调递增，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．∵x1又∵x2>x0，∴f(x2)>f(x0)＝0.
7．③④⑤
8．[2,2.5)
解析　令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，
f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0.
∵f(2)·f(2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)．
9．0.7
解析　因为0.70与0.6875精确到0.1的近似值都为0.7.
10．解　(答案不唯一)
设y1＝x，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图．
由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，
当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f(4)<0，
当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f(8)＝1>0，
∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．
故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．
11．(1)证明　g(x)＝－6x3－13x2－12x－3.
∵g(－1)＝2>0，g(0)＝－3<0，
∴g(x)在区间(－1,0)内有一个零点．
(2)解　g(－0.5)>0，g(0)<0?x∈(－0.5,0)；
g(－0.5)>0，g(－0.25)<0?x∈(－0.5，－0.25)；
g(－0.5)>0，g(－0.375)<0?x∈(－0.5，－0.375)；
g(－0.437 5)>0，g(－0.375)<0
?x∈(－0.437 5，－0.375)．
因此，x≈－0.4为所求函数g(x)的零点．
12．0
解析　∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，
∴④也错误．
13．解　第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；
第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；
第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．
∴最多称四次．
3.4.1习题课
课时目标　1.进一步了解函数的零点与方程根的联系.2.进一步熟悉用“二分法”求方程的近似解.3.初步建立用函数与方程思想解决问题的思维方式．
1．函数f(x)在区间(0,2)内有零点，则下列正确命题的个数为________．
①f(0)>0，f(2)<0；
②f(0)·f(2)<0；
③在区间(0,2)内，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)<0.
2．函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y＝f(x)的零点个数是________．
3．设函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．
4．方程2x－x－2＝0在实数范围内的解的个数是________．
5．函数y＝()x与函数y＝lg x的图象的交点的横坐标是________．(精确到0.1)
6．方程4x2－6x－1＝0位于区间(－1,2)内的解有________个．
一、填空题
1．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，每一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是________．(填你认为正确的一个区间即可)
3．函数f(x)＝的零点是________．
4．已知二次函数y＝f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则在(m，m＋1)上函数零点的个数是______________．
5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a6．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值________．(填“大于0”，“小于0”，“等于0”或“无法判断”)
7．已知偶函数y＝f(x)有四个零点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和为________．
8．若关于x的二次方程x2－2x＋p＋1＝0的两根α，β满足0<α<1<β<2，则实数p的取值范围为______________．
9．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋1(a∈R)，若方程f(x)＝0至少有一正根，则a的取值范围为________．
二、解答题
10．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.437 5)≈0.162
f(1.406 25)≈－0.054
求方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)．
11．分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0，
(1)有两个负根；
(2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；
(3)有两个实根，且都比1大．
能力提升
12．已知函数f(x)＝x|x－4|.
(1)画出函数f(x)＝x|x－4|的图象；
(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值；
(3)当实数a为何值时，方程f(x)＝a有三个解？
13．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．
1．函数与方程存在着内在的联系，如函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是方程f(x)＝0的解；两个函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标就是方程f(x)＝g(x)的解等．根据这些联系，一方面，可通过构造函数来研究方程的解的情况；另一方面，也可通过构造方程来研究函数的相关问题．利用函数与方程的相互转化去解决问题，这是一种重要的数学思想方法．
2．对于二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0根的问题，从函数角度解决有时比较简洁．一般地，这类问题可从四个方面考虑：①开口方向；②判别式；③对称轴x＝－与区间端点的关系；④区间端点函数值的正负．
习题课
双基演练
1．0
解析　函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，我们并不一定能找到x1，x2∈(a，b)，满足f(x1)·f(x2)<0，故①、②、③都是错误的．
2．1或2
解析　当f(x)的图象和x轴相切与y轴相交时，函数f(x)的零点个数为1，当f(x)的图象与y轴交于原点与x轴的另一交点在x轴负半轴上时，函数f(x)有2个零点．
3．(log32,1)
解析　f(x)＝log3(1＋)－a在(1,2)上是减函数，
由题设有f(1)>0，f(2)<0，解得a∈(log32,1)．
4．2
解析　作出函数y＝2x及y＝x＋2的图象，它们有两个不同的交点，因此原方程有两个不同的根．
5．1.9
解析　令f(x)＝()x－lg x，则f(1)＝>0，f(3)＝－lg 3<0，∴f(x)＝0在(1,3)内有一解，利用二分法借助计算器可得近似解为1.9.
6．2
解析　设f(x)＝4x2－6x－1，由f(－1)>0，f(2)>0，且f(0)<0，知方程4x2－6x－1＝0在
(－1,0)和(0,2)内各有一解，因此在区间(－1,2)内有两个解．
作业设计
1．(0,0.5)，f(0.25)
解析　∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，
故f(x)在(0,0.5)必有零点，利用二分法，
则第二次计算应为f()＝f(0.25)．
2．[1,2](答案不唯一)
解析　因为f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，
所以存在一个零点x∈[1,2]．
3．1
解析　由f(x)＝0，即＝0，得x＝1，即函数f(x)的零点为1.
4．1
解析　二次函数y＝f(x)＝x2＋x＋a可化为y＝f(x)＝(x＋)2＋a－，则二次函数对称轴为x＝－，其图象如图．
∵f(m)<0，由图象知f(m＋1)>0，
∴f(m)·f(m＋1)<0，∴f(x)在(m，m＋1)上有1个零点．
5．a<α<β解析　函数g(x)＝(x－a)(x－b)的两个零点是a，b.
由于y＝f(x)的图象可看作是由y＝g(x)的图象向上平移2个单位而得到的，所以a<α<β6．无法判断
解析　由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．故填“无法判断”．
7．0
解析　不妨设它的两个正零点分别为x1，x2.
由f(－x)＝f(x)可知它的两个负零点分别是－x1，－x2，于是x1＋x2－x1－x2＝0.
8．(－1,0)
解析　设f(x)＝x2－2x＋p＋1，根据题意得f(0)＝p＋1>0，
且f(1)＝p<0，f(2)＝p＋1>0，解得－19．a<0
解析　对ax2＋2x＋1＝0，当a＝0时，x＝－，不符题意；
当a≠0，Δ＝4－4a＝0时，得x＝－1(舍去)．
当a≠0时，由Δ＝4－4a>0，得a<1，
又当x＝0时，f(0)＝1，即f(x)的图象过(0,1)点，
f(x)图象的对称轴方程为x＝－＝－，
当－>0，即a<0时，
方程f(x)＝0有一正根(结合f(x)的图象)；
当－<0，即a>0时，由f(x)的图象知f(x)＝0有两负根，
不符题意．故a<0.
10．解　∵f(1.375)·f(1.437 5)<0，
且1.375与1.4375精确到0.1的近似值都是1.4，
故方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根为1.4.
11．解　(1)方法一　(方程思想)
设方程的两个根为x1，x2，
则有两个负根的条件是
解得－1方法二　(函数思想)
设函数f(x)＝x2＋2x＋m＋1，则原问题转化为函数f(x)与x轴的两个交点均在y轴左侧，结合函数的图象，有

解得－1(2)方法一　(方程思想)
设方程的两个根为x1，x2，则令y1＝x1－2>0，y2＝x2－2<0，问题转化为求方程(y＋2)2＋2(y＋2)＋m＋1＝0，即方程y2＋6y＋m＋9＝0有两个异号实根的条件，故有y1y2＝m＋9<0，解得m<－9.
方法二　(函数思想)
设函数f(x)＝x2＋2x＋m＋1，则原问题转化为函数f(x)与x轴的两个交点分别在2的两侧，结合函数的图象，有f(2)＝m＋9<0，解得m<－9.
(3)由题意知，(方程思想)，
或(函数思想)，
因为两方程组无解，故解集为空集．
12．解　(1)f(x)＝x|x－4|＝
图象如图所示．
(2)当x∈[1,5]时，f(x)≥0且当x＝4时f(x)＝0，故f(x)min＝0；
又f(2)＝4，f(5)＝5，故f(x)max＝5.
(3)由图象可知，当0方程f(x)＝a有三个解．
13．解　①当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．
②当a>0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，
∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，
∴，即，解得③当a<0时，设方程的两根为x1，x2，
则x1x2＝<0，x1，x2一正一负不符合题意．
综上，a的取值范围为3.4.2　函数模型及其应用
课时目标　1.能够找出简单实际问题中的函数关系式.2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题.3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．
1．几种常见的函数模型
(1)一次函数：y＝kx＋b(k≠0)
(2)二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
(3)指数函数：y＝ax(a>0且a≠1)
(4)对数函数：y＝logax(a>0且a≠1)
(5)幂函数：y＝xα(α∈R)
(6)指数型函数：y＝pqx＋r
(7)分段函数
2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：
(1)收集数据；
(2)画散点图；
(3)选择函数模型；
(4)求函数模型；
(5)检验；
(6)用函数模型解释实际问题．
一、填空题
1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：
x(h)
0
1
2
3
细菌数
300
600
1 200
2 400
据此表可推测实验开始前2 h的细菌数为________．
2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是________．
4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________．(填序号)
5．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．
6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为________．
7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．
8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头．
9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
二、解答题
10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？
11．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位为：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
能力提升
12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份
1
2
3
产量(千件)
50
52
53.9
为估计以后每月对该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．
13．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
2．函数拟合与预测的一般步骤：
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美
的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
§2.6　函数模型及其应用
作业设计
1．75
解析　由表中数据观察可得细菌数y与时间x的关系式为y＝300·2x(x∈Z)．当x＝－2时，
y＝300×2－2＝＝75.
2．300
解析　由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b，将(1,800)，(2,1 300)代入得a＝500，b＝300.
当销售量为x＝0时，y＝300.
3．减少7.84%
解析　设某商品价格为a，依题意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，所以四年后的价格与原来价格比较(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，即减少7.84%.
4．①
解析　由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画．
5．2 cm2
解析　设一段长为x cm，则另一段长为(12－x)cm.
∴S＝()2＋(4－)2＝(x－6)2＋2≥2(当且仅当x＝6时，取“＝”)．
6．15,12
解析　由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180.
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
7．2 250
解析　设每台彩电的原价为x元，则x(1＋40%)×0.8－x＝270，解得x＝2 250(元)．
8．400
解析　由题意，x＝1时y＝100，代入求得a＝100,2000年年底时，x＝15，代入得y＝400.
9．2ln 2　1 024
解析　当t＝0.5时，y＝2，
∴2＝，
∴k＝2ln 2，
∴y＝e2tln 2，当t＝5时，
∴y＝e10ln 2＝210＝1 024.
10．解　设每床每夜租金为10＋2n(n∈N)，则租出的床位为
100－10n(n∈N且n<10)
租金f(n)＝(10＋2n)(100－10n)
＝20[－(n－)2＋]，
其中n∈N且n<10.
所以，当n＝2或n＝3时，租金最多，
若n＝2，则租出床位100－20＝80(张)；
若n＝3，则租出床位100－30＝70(张)；
综合考虑，n应当取3，即每床每夜租金选择
10＋2×3＝16(元)．
11．解　(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得：
解得a＝，b＝－，c＝.
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝t2－t＋.
(2)当t＝－＝150(天)时，芦荟种植成本最低为
Q＝×1502－×150＋＝100(元/10 kg)．
12．解　将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得：
或(a>0)
解得(两方程组的解相同)．
∴两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大，
∴选y＝ax＋b较好．
13．解　(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则
a(1－x)m＝a，即＝，＝，解得m＝5，
故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
≥，≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
3.4.2 习题课
课时目标　1.进一步体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性.2.掌握几种初等函数的应用.3.理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法．
1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为________．(填序号)
2．能使不等式log2x3．四人赛跑，假设其跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是___________________________________________．
4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是______________．
5．如图所示，要在一个边长为150 m的正方形草坪上，修建两条宽相等且相互垂直的十字形道路，如果要使绿化面积达到70%，则道路的宽为______m(精确到0.01 m)．
一、填空题
1．下面对函数f(x)＝x与g(x)＝()x在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是________．(填序号)
①f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快；
②f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢；
③f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢；
④f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快．
2．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是________．(填序号)
①y＝ex；②y＝100ln x；③y＝x100；④y＝100·2x.
3．一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为________．
4．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：
型号
小包装
大包装
重量
100克
300克
包装费
0.5元
0.7元
销售价格
3.00元
8.4元
则下列说法中正确的是________．(填序号)
①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3 小包盈利多．
5．某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是________．
6．某地区植被破坏、土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则下列函数中与沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为相似的是________．(填序号)
①y＝0.2x；②y＝(x2＋2x)；③y＝；④y＝0.2＋log16x.
7．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供________人洗澡．
8．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是________．
9．已知甲、乙两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以50 km/h的速度返回甲地，把汽车离开甲地的距离s表示为时间t的函数，则此函数表达式为________．
二、解答题
10．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ是正常数．
(1)说明该函数是增函数还是减函数；
(2)把t表示成原子数N的函数；
(3)求当N＝时，t的值．
11．我县某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位是万元)
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元(精确到1万元)．
能力提升
12．某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求出函数y关于x的解析式．
13．如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a(a>2)，BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，绿地面积为y.
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．
(2)当AE为何值时，绿地面积y最大？
解决实际问题的解题过程：
(1)对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；
(2)建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学中，我们建立的函数模型一般都是基本初等函数；
(3)求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点，正确选择函数知识求得函数模
型的解，并还原为实际问题的解．
这些步骤用框图表示：
习题课
双基演练
1．④
解析　设某地区的原有荒漠化土地面积为a，则x年后的面积为a(1＋10.4%)x，由题意y＝＝1.104x，知④正确．
2．(0,2)∪(4，＋∞)
解析　由题意知x的范围为x>0，由y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象可知，当x>0时，log2x3．f4(x)＝2x
解析　由于指数函数的增长特点是越来越大，故为f4(x)＝2x.
4．y＝
5．24.50
解析　设道路宽为x，则×100%＝30%，
解得x1≈24.50，x2≈275.50(舍去)．
作业设计
1．③
2．①
解析　对于指数函数，当底数大于1时，函数值随x的增大而增长的速度快，又∵e>2，故①的增长速度最快．
3．y＝20－2x(5解析　∵20＝y＋2x，∴y＝20－2x，
又y＝20－2x>0且2x>y＝20－2x，∴54．②④
解析　买小包装时每克费用为元，买大包装每克费用为＝元，而>，所以买大包装实惠，卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)．而2.3>2.1，卖1大包盈利多，故②④正确．
5．少赚约6元
解析　设A、B两种商品的原价为a、b，
则a(1＋20%)2＝b(1－20%)2＝23?a＝，b＝，a＋b－46≈6(元)．
6．③
解析　将(1,0.2)，(2,0.4)，(3,0.76)与x＝1,2,3时，
选项①、②、③、④中得到的y值做比较，
y＝的y值比较接近．
7．4
解析　设最多用t分钟，则水箱内水量y＝200＋2t2－34t，当t＝时y有最小值，此时共放水34×＝289(升)，可供4人洗澡．
8．y＝
解析　设每经过1年，剩留量为原来的a倍，则y＝ax，
且0.957 6＝，从而a＝，因此y＝.
9．s＝
解析　当0≤t≤2.5时s＝60t，
当2.5当3.5≤t≤6.5时s＝150－50(t－3.5)＝325－50t，
综上所述，s＝
10．解　(1)由于N0>0，λ>0，函数N＝N0e－λt是属于指数函数y＝e－x类型的，所以它是减函数，即原子数N的值随时间t的增大而减少．
(2)将N＝N0e－λt写成e－λt＝，
根据对数的定义有－λt＝ln，
所以t＝－(ln N－ln N0)＝(ln N0－ln N)．
(3)把N＝代入t＝(ln N0－ln N)，
得t＝(ln N0－ln)＝ln 2.
11．解　(1)投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，
由图知f(1)＝，∴k1＝，又g(4)＝，∴k2＝.
从而f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10－x万元，设企业的利润为y万元，
y＝f(x)＋g(10－x)＝＋(0≤x≤10)，
令＝t，
则y＝＋t＝－(t－)2＋(0≤t≤)，
当t＝，ymax≈4，
此时x＝10－＝3.75,10－x＝6.25.
所以投入A产品3.75万元，投入B产品6.25万元时，能使企业获得最大利润，且最大利润约为4万元．
12．解　设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M，
经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)，人口量为M(1＋1.2%)，则人均占有粮食为；经过2年后，人均占有粮食为；…；经过x年后，人均占有粮食为y＝，即所求函数解析式为y＝360()x.
13．解　(1)S△AEH＝S△CFG＝x2，
S△BEF＝S△DGH＝(a－x)(2－x)．
∴y＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BEF＝2a－x2－(a－x)(2－x)
＝－2x2＋(a＋2)x.
由，得0(2)当<2，即a<6时，
则x＝时，y取最大值；
当≥2，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2)x，
在(0,2]上是增函数，则x＝2时，ymax＝2a－4.
综上所述：当a<6，AE＝时，
绿地面积取最大值；
当a≥6，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4.
模块综合检测(A)
(时间：120分钟　满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．已知集合{2x，x＋y}＝{7,4}，则整数x＝______，y＝________.
2．已知f(x－1)＝2x＋3，f(m)＝6，则m＝_______________________.
3．函数y＝＋lg(2－x)的定义域是________．
4．函数f(x)＝x3＋x的图象关于________对称．
5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是______．(填序号)
①幂函数；②对数函数；③指数函数；④一次函数．
6．若0①2m>2n；②()m<()n；③log2m>log2n；④m>n.
7．已知a＝，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是________．
8．用列举法表示集合：M＝{m|∈Z，m∈Z}＝________.
9．已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为________．
10．函数y＝|lg(x＋1)|的图象是________．(填序号)
11．若函数f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，g(x)＝是奇函数，则a＋b＝________.
12．已知f(x5)＝lg x，则f(2)＝________.
13．函数y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x<0时，f(x)＝x3＋2x－1，则x>0时函数的解析式f(x)＝________.
14．幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(x)的解析式是________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)(1)计算：＋(lg 5)0＋；
(2)解方程：log3(6x－9)＝3.
16．(14分)某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，求此商品的最佳售价应为多少？
17．(14分)已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
18．(16分)已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域D内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．
(1)函数f(x)＝是否属于集合M？说明理由；
(2)若函数f(x)＝kx＋b属于集合M，试求实数k和b满足的约束条件．
19．(16分)已知奇函数f(x)是定义域[－2,2]上的减函数，若f(2a＋1)＋f(4a－3)>0，求实数a的取值范围．
20．(16分)已知函数f(x)＝.
(1)若a＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．
模块综合检测(A)
1．2　5
解析　由集合相等的定义知，或，
解得或，又x，y是整数，所以x＝2，y＝5.
2．－
解析　令x－1＝t，则x＝2t＋2，
所以f(t)＝2×(2t＋2)＋3＝4t＋7.
令4m＋7＝6，得m＝－.
3．[1,2)
解析　由题意得：，解得1≤x<2.
4．原点
解析　∵f(x)＝x3＋x是奇函数，
∴图象关于坐标原点对称．
5．③
解析　本题考查幂的运算性质．
f(x)f(y)＝axay＝ax＋y＝f(x＋y)．
6．①②③
解析　由指数函数与对数函数的单调性知只有④正确．
7．b>c>a
解析　因为a＝＝0.30.5<0.30.2＝c<0.30＝1，
而b＝20.3>20＝1，所以b>c>a.
8．{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}
解析　由∈Z，且m∈Z，知m＋1是10的约数，故|m＋1|＝1,2,5,10，从而m的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.
9．2
解析　依题意，函数f(x)＝ax＋logax(a>0且a≠1)在[1,2]上具有单调性，
因此a＋a2＋loga2＝loga2＋6，解得a＝2.
10．①
解析　将y＝lg x的图象向左平移一个单位，然后把x轴下方的部分关于x轴对称到上方，就得到y＝|lg(x＋1)|的图象．
11.
解析　∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即lg(10－x＋1)－ax＝lg－ax＝lg(10x＋1)－(a＋1)x
＝lg(10x＋1)＋ax，
∴a＝－(a＋1)，∴a＝－，又g(x)是奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，
即2－x－＝－2x＋，∴b＝1，∴a＋b＝.
12.lg 2
解析　令x5＝t，则x＝.∴f(t)＝lg t，∴f(2)＝lg 2.
13．x3－2－x＋1
解析　∵f(x)是R上的奇函数，∴当x>0时，
f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋2－x－1]＝x3－2－x＋1.
14．f(x)＝
解析　设f(x)＝xn，则有3n＝，即3n＝，∴n＝，
即f(x)＝.
15．解　(1)原式＝＋(lg 5)0＋
＝＋1＋＝4.
(2)由方程log3(6x－9)＝3得
6x－9＝33＝27，∴6x＝36＝62，∴x＝2.
经检验，x＝2是原方程的解．
16．解　设最佳售价为(50＋x)元，最大利润为y元，
y＝(50＋x)(50－x)－(50－x)×40＝－x2＋40x＋500.
当x＝20时，y取得最大值，所以应定价为70元．
故此商品的最佳售价应为70元．
17．解　(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个根，易知Δ>0，即Δ＝4＋12(1－m)>0，
可解得m<；Δ＝0，可解得m＝；Δ<0，可解得m>.
故m<时，函数有两个零点；m＝时，函数有一个零点；
m>时，函数无零点．
(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，∴m＝1.
18．解　(1)D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，若f(x)＝∈M，则存在非零实数x0，使得＝＋1，即x＋x0＋1＝0，
因为此方程无实数解，所以函数f(x)＝?M.
(2)D＝R，由f(x)＝kx＋b∈M，存在实数x0，使得
k(x0＋1)＋b＝kx0＋b＋k＋b，解得b＝0，
所以，实数k和b的约束条件是k∈R，b＝0.
19．解　由f(2a＋1)＋f(4a－3)>0得f(2a＋1)>－f(4a－3)，
又f(x)为奇函数，得－f(4a－3)＝f(3－4a)，
∴f(2a＋1)>f(3－4a)，
又f(x)是定义域[－2,2]上的减函数，
∴2≥3－4a>2a＋1≥－2，
即，∴，
∴实数a的取值范围为[，)．
20．解　(1)当a＝1时，由x－＝0，x2＋2x＝0，
得零点为，0，－2.
(2)显然，函数g(x)＝x－在[，＋∞)上递增，
且g()＝－；
函数h(x)＝x2＋2x＋a－1在[－1，]上也递增，
且h()＝a＋.
故若函数f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，
则a＋≤－，∴a≤－.
故a的取值范围为(－∞，－]．
模块综合检测(B)
(时间：120分钟　满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________________．
2．设函数f(x)＝，则f()的值为________．
3．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是________．
4．三个数a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3之间的大小关系是________．
5．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，那么下列命题中正确的是________．(填序号)
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；
②函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点；
③函数f(x)在区间[2,16)内无零点；
④函数f(x)在区间(1,16)内无零点．
6．已知07．函数f(x)＝x2－2ax＋1有两个零点，且分别在(0,1)与(1,2)内，则实数a的取值范围是________．
8．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设 备的价值为________万元．
9．下列4个函数中：
①y＝2 008x－1；
②y＝loga(a>0且a≠1)；
③y＝；
④y＝x(＋)(a>0且a≠1)．
其中既不是奇函数，又不是偶函数的是________．(填序号)
10．设函数的集合P＝{f(x)＝log2(x＋a)＋b|a＝－，0，，1；b＝－1,0,1}，平面上点的集合Q＝{(x，y)|x＝－，0，，1；y＝－1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P中函数f(x)的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是________．
11．计算：0.25×(－)－4＋lg 8＋3lg 5＝________.
12．若规定＝|ad－bc|，则不等式log<0的解集是________．
13．已知关于x的函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是________．
14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝－1的值域为集合B，且A∪B＝B，求实数m的取值范围．
16．(14分)已知f(x)＝是定义在[－1,1]上的奇函数，试判断它的单调性，并证明你的结论．
17．(14分)若非零函数f(x)对任意实数a，b均有f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且当x<0时，f(x)>1；
(1)求证：f(x)>0；
(2)求证：f(x)为减函数；
(3)当f(4)＝时，解不等式f(x2＋x－3)·f(5－x2)≤.
18．(16分)我市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．
(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)；
(2)选择哪家比较合算？为什么？
19．(16分)已知函数y＝f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件：
①f(x)在D上是单调递增或单调递减函数；
②存在闭区间[a，b]D(其中a(1)判断f(x)＝－x3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．
(2)若f(x)＝k＋是闭函数，求实数k的取值范围．
(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可)
20．(16分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ax－1.其中a>0且a≠1.
(1)求f(2)＋f(－2)的值；
(2)求f(x)的解析式；
(3)解关于x的不等式－1模块综合检测(B)
1．4
解析　∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又∵A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴即a＝4.否则有矛盾．
2.
解析　∵f(3)＝32＋3×3－2＝16，∴＝，
∴f()＝f()＝1－2×()2＝1－＝.
3．[0,1)
解析　由题意得：，∴0≤x<1.
4．b解析　20.3>20＝1＝0.30>0.32>0＝log21>log20.3.
5．③
解析　函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内，故函数f(x)在区间[2,16)内无零点．
6．2
解析　分别画出函数y＝a|x|与y＝|logax|的图象，通过数形结合法，可知交点个数为2.
7．1解析　∵f(x)＝x2－2ax＋1，∴f(x)的图象是开口向上的抛物线．
由题意得：即解得18．a(1－b%)n
解析　第一年后这批设备的价值为a(1－b%)；
第二年后这批设备的价值为a(1－b%)－a(1－b%)·b%＝a(1－b%)2；故第n年后这批设备的价值为a(1－b%)n.
9．①③
解析　其中①不过原点，不可能为奇函数，也可能为偶函数；③中定义域不关于原点对称，则既不是奇函数，又不是偶函数．
10．6
解析　当a＝－，f(x)＝log2(x－)＋b，
∵x>，
∴此时至多经过Q中的一个点；
当a＝0时，f(x)＝log2x经过(，－1)，(1,0)，
f(x)＝log2x＋1经过(，0)，(1,1)；
当a＝1时，f(x)＝log2(x＋1)＋1经过(－，0)，(0,1)，
f(x)＝log2(x＋1)－1经过(0，－1)，(1,0)；
当a＝时，f(x)＝log2(x＋)经过(0，－1)，(，0)，
f(x)＝log2(x＋)＋1经过(0,0)，(，1)．
11．7
解析　原式＝0.25×24＋lg 8＋lg 53＝(0.5×2)2×22＋lg(8×53)＝4＋lg 1 000＝7.
12．(0,1)∪(1,2)
解析　＝|x－1|，
由log|x－1|<0，得0<|x－1|<1，
即013．(1,2)
解析　依题意，a>0且a≠1，
∴2－ax在[0,1]上是减函数，
即当x＝1时，2－ax的值最小，又∵2－ax为真数，
∴，解得114．(－∞，－1)
解析　当x>0时，由1－2－x<－，
()x>，显然不成立．
当x<0时，－x>0.
因为该函数是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝2x－1.
由2x－1<－，即2x<2－1，得x<－1.
又因为f(0)＝0<－不成立，
所以不等式的解集是(－∞，－1)．
15．解　由题意得A＝{x|1由A∪B＝B，得A?B，即－1＋31＋m≥2，即31＋m≥3，
所以m≥0.
16．解　∵f(x)＝是定义在[－1,1]上的奇函数，
∴f(0)＝0，即＝0，∴a＝0.
又∵f(－1)＝－f(1)，∴＝－，
∴b＝0，∴f(x)＝.
∴函数f(x)在[－1,1]上为增函数．
证明如下：
任取－1≤x1∴x1－x2<0，－1∴1－x1x2>0.
∴f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝<0，
∴f(x1)∴f(x)为[－1,1]上的增函数．
17．(1)证明　f(x)＝f(＋)＝f2()≥0，
又∵f(x)≠0，∴f(x)>0.
(2)证明　设x1又∵f(x)为非零函数，
∴f(x1－x2)＝＝
＝>1，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)为减函数．
(3)解　由f(4)＝f2(2)＝，f(x)>0，得f(2)＝.
原不等式转化为f(x2＋x－3＋5－x2)≤f(2)，结合(2)得：
x＋2≥2，∴x≥0，
故不等式的解集为{x|x≥0}．
18．解　(1)f(x)＝5x,15≤x≤40；
g(x)＝.
(2)①当15≤x≤30时，5x＝90，x＝18，
即当15≤x<18时，f(x)当x＝18时，f(x)＝g(x)；
当18g(x)．
②当30g(x)，
∴当15≤x<18时，选甲家比较合算；
当x＝18时，两家一样合算；
当1819．解　(1)f(x)＝－x3在R上是减函数，满足①；
设存在区间[a，b]，f(x)的取值集合也是[a，b]，则，解得a＝－1，b＝1，
所以存在区间[－1,1]满足②，
所以f(x)＝－x3(x∈R)是闭函数．
(2)f(x)＝k＋是在[－2，＋∞)上的增函数，
由题意知，f(x)＝k＋是闭函数，存在区间[a，b]满足②
即：.
即a，b是方程k＋＝x的两根，化简得，
a，b是方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根．
且a≥k，b>k.
令f(x)＝x2－(2k＋1)x＋k2－2，得，
解得－所以实数k的取值范围为(－，－2]．
20．解　(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)，即f(2)＋f(－2)＝0.
(2)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝a－x－1.
由f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，
∵f(－x)＝a－x－1，
∴f(x)＝－a－x＋1(x<0)．
∴所求的解析式为f(x)＝.
(3)不等式等价于
或，
即或.
当a>1时，有或，注意此时loga2>0，loga5>0，
可得此时不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)．
同理可得，当0综上所述，当a>1时，
不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)；
当0模块综合检测(C)
(时间：120分钟　满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是______________．
2．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.
3．设函数f(x)满足：①y＝f(x＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f(－1)与f(2)的大小关系是________．
4．某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元，则p＝________.
5．设f(x)＝则f(f(2))的值为________．
6．定义运算：如1*2=1，则函数f(x)的值域为________.
7．若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则log2＝________.
8．设函数f(x)＝，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是________．
9．在下列四图中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝()x的图象只可为________．
10．已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.
x
1.5
3
5
6
8
9
lg x
4a－2b＋c
2a－b
a＋c
1＋a－b－c
3[1－(a＋c)]
2(2a－b)
其中错误的对数值是________．
11．已知loga>0，若≤，则实数x的取值范围为______________．
12．直线y＝1与曲线y＝x2－＋a有四个交点，则a的取值范围为________________．
13．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则f()、f(2)、f()的大小关系为________．
14．已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0且a≠1)，若f(4)g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是________．
三、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知函数f(x)＝[()x－1]，
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论函数f(x)的增减性．
16．(14分)已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
17．(14分)设函数f(x)＝，其中a∈R.
(1)若a＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求f(x)的最大值和最小值；
(2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数．
18．(16分)关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
19．(16分)
据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．
(1)当t＝4时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
20．(16分)已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)解不等式f(2x2－1)<2.
模块综合检测(C)
1．{x|1解析　题图中阴影部分可表示为(?UM)∩N，集合M＝{x|x>2或x<－2}，集合N＝{x|12.
解析　由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝logm2＋logm5＝logm10.
∵＋＝2，∴logm10＝2，∴m2＝10，m＝.
3．f(－1)>f(2)
解析　由y＝f(x＋1)是偶函数，得到y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－1)＝f(3)．
又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，
∴f(3)>f(2)，即f(－1)>f(2)．
4．25
解析　利润300万元，纳税300·p%万元，
年广告费超出年销售收入2%的部分为
200－1 000×2%＝180(万元)，
纳税180·p%万元，
共纳税300·p%＋180·p%＝120(万元)，∴p%＝25%.
5．2
解析　∵f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，
∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.
6．(0,1]
解析　由题意可知f(x)＝作出f(x)的图象(实线部分)如右图所示；
由图可知f(x)的值域为(0,1]．
7．2
解析　方法一　排除法．
由题意可知x>0，y>0，x－2y>0，
∴x>2y，>2，∴log2>1.
方法二　直接法．
依题意，(x－2y)2＝xy，∴x2－5xy＋4y2＝0，
∴(x－y)(x－4y)＝0，∴x＝y或x＝4y，
∵x－2y>0，x>0，y>0，∴x>2y，
∴x＝y(舍去)，∴＝4，∴log2＝2.
8．3
解析　当x≤1时，函数f(x)＝4x－4与g(x)＝log2x的图象有两个交点，可得h(x)有两个零点，当x>1时，函数f(x)＝x2－4x＋3与g(x)＝log2x的图象有1个交点，可得函数h(x)有1个零点，∴函数h(x)共有3个零点．
9．③
解析　∵>0，∴a，b同号．
若a，b为正，则从①、②中选．
又由y＝ax2＋bx知对称轴x＝－<0，∴②错，
但又∵y＝ax2＋bx过原点，∴①、④错．
若a，b为负，则③正确．
10．lg 1.5
解析　∵lg 9＝2lg 3，适合，故二者不可能错误，同理：lg 8＝3lg 2＝3(1－lg 5)，∴lg 8，lg 5正确．
lg 6＝lg 2＋lg 3＝(1－lg 5)＋lg 3＝1－(a＋c)＋(2a－b)＝1＋a－b－c，故lg 6也正确．
11．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析　由loga>0得0由≤得≤a－1，
∴x2＋2x－4≥－1，解得x≤－3或x≥1.
12．1＜a＜
解析　y＝
作出图象，如图所示．
此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－，要使y＝1与其有四个交点，只需a－＜1＜a，
∴1＜a＜.
13．f()解析　由f(2－x)＝f(x)知f(x)的图象关于直线x＝＝1对称，又当x≥1时，f(x)＝ln x，所以离对称轴x＝1距离大的x的函数值大，
∵|2－1|>|－1|>|－1|，
∴f()14．②
解析　据题意由f(4)g(－4)＝a2×loga4<0，得00时，y＝loga|x|＝logax是减函数．
15．解　(1)()x－1>0，即x<0，所以函数f(x)定义域为{x|x<0}．
(2)∵y＝()x－1是减函数，f(x)＝x是减函数，
∴f(x)＝[()x－1]在(－∞，0)上是增函数．
16．解　(1)要使A为空集，方程应无实根，应满足，解得a>.
(2)当a＝0时，方程为一次方程，有一解x＝；
当a≠0，方程为一元二次方程，使集合A只有一个元素的条件是Δ＝0，解得a＝，
x＝.
∴a＝0时，A＝{}；a＝时，A＝{}．
(3)问题(3)包含了问题(1)、(2)的两种情况，
∴a＝0或a≥.
17．解　f(x)＝＝＝a－，
设x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
(1)当a＝1时，f(x)＝1－，设0≤x1则f(x1)－f(x2)＝，
又x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)∴f(x)在[0,3]上是增函数，
∴f(x)max＝f(3)＝1－＝，
f(x)min＝f(0)＝1－＝－1.
(2)设x1>x2>0，则x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0.
若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
只要f(x1)－f(x2)<0，
而f(x1)－f(x2)＝，
∴当a＋1<0，即a<－1时，有f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x1)∴当a<－1时，f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．
18．解　设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]．
f(0)＝1>0，
(1)当2是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解时，
则4＋2(m－1)＋1＝0，∴m＝－.
(2)当2不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解时，
①方程f(x)＝0在(0,2)上有一个解时，则f(2)<0，
∴4＋2(m－1)＋1<0.∴m<－.
②方程f(x)＝0在(0,2)上有两个解时，则

∴
∴－综合(1)(2)，得m≤－1.
∴实数m的取值范围是(－∞，－1]．
19．解　(1)由图象可知：当t＝4时，v＝3×4＝12，
∴s＝×4×12＝24.
(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2，
当10当20综上可知s＝
(3)∵t∈[0,10]时，smax＝×102＝150<650.
t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650.
∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650.
解得t1＝30，t2＝40，∵20所以沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城．
20．(1)证明　令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝0，
∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)证明　设x2>x1>0，
则f(x2)－f(x1)＝f(x1·)－f(x1)
＝f(x1)＋f()－f(x1)＝f()，
∵x2>x1>0，∴>1.
∴f()>0，即f(x2)－f(x1)>0.
∴f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)解　∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.
又∵f(x)是偶函数，
∴不等式f(2x2－1)<2可化为f(|2x2－1|)又∵函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴|2x2－1|<4.
解得－即不等式的解集为(－，)．
第2、3章 章末检测(A)
(时间：120分钟　满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．若a<，则化简的结果是________．
2．函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是________．
3．函数y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为__________________________________．
4．已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是________________________________．
5．已知函数f(x)＝ax2＋(a3－a)x＋1在(－∞，－1]上递增，则a的取值范围是________．
6．设f(x)＝，则f(5)的值是________．
7．函数y＝1＋的零点是________．
8．利用一根长6米的木料，做一个如图的矩形窗框(包括中间两条横档)，则窗框的高和宽的比值为________时透过的光线最多(即矩形窗框围成的面积最大)．
9．某企业2010年12月份的产值是这年1月份产值的P倍，则该企业2010年度产值的月平均增长率为________．
10．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，且f(m＋3)≤f(5)，则实数m的取值范围是________．
11．函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________．
12．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝________.
13．函数f(x)＝x2－2x＋b的零点均是正数，则实数b的取值范围是________．
14．设偶函数f(x)＝loga|x＋b|在(0，＋∞)上具有单调性，则f(b－2)与f(a＋1)的大小关系为________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)(1)设loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
(2)计算：log49－log212＋.
16．(14分)函数f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.
(1)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
(2)求当x<0时，函数的解析式．
17．(14分)已知函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性．
18．(16分)已知函数f(x)对一切实数x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(3)＝－2.
(1)试判定该函数的奇偶性；
(2)试判断该函数在R上的单调性；
(3)求f(x)在[－12,12]上的最大值和最小值．
19．(16分)某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图(1)，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图(2)．(注：利润与投资量单位：万元)
(1)分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式．
(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
20．(16分)已知常数a、b满足a>1>b>0，若f(x)＝lg(ax－bx)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)证明y＝f(x)在定义域内是增函数；
(3)若f(x)恰在(1，＋∞)内取正值，且f(2)＝lg 2，求a、b的值．
第2、3章 章末检测(A)
1.
解析　∵a<，∴2a－1<0.
于是，原式＝＝.
2．[1，)
解析　由函数的解析式得：即
所以1≤x<.
3．[4，＋∞)
解析　∵x≥1，∴x2＋3≥4，∴log2(x2＋3)≥2，则有y≥4.
4．7
解析　由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A，
则＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，
A2＝98.又A>0，故A＝＝7.
5．[－，0)
解析　由题意知a<0，－≥－1，－＋≥－1，即a2≤3.
∴－≤a<0.
6．24
解析　f(5)＝f(f(10))＝f(f(f(15)))＝f(f(18))＝f(21)＝24.
7．－1
解析　由1＋＝0，得＝－1，∴x＝－1.
8．2
解析　设窗框的宽为x，高为h，则2h＋4x＝6，
即h＋2x＝3，∴h＝3－2x，
∴矩形窗框围成的面积S＝x(3－2x)＝－2x2＋3x(0当x＝－＝＝0.75时，S有最大值．
∴h＝3－2x＝1.5，∴高与宽之比为2.
9.－1
解析　设1月份产值为a，增长率为x，则aP＝a(1＋x)11，∴x＝－1.
10．m≤2
解析　由函数单调性可知，由f(m＋3)≤f(5)有m＋3≤5，故m≤2.
11．－1
解析　f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∵1∈[－2,3]，
∴f(x)max＝4，又∵1－(－2)>3－1，由f(x)图象的对称性可知，
f(－2)的值为f(x)在[－2,3]上的最小值，即f(x)min＝f(－2)＝－5，∴－5＋4＝－1.
12．－1
解析　由题意知，f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
∴(a＋1)x＝0对x≠0恒成立，
∴a＋1＝0，a＝－1.
13．(0,1]
解析　设x1，x2是函数f(x)的零点，则x1，x2为方程x2－2x＋b＝0的两正根，
则有，即.解得014．f(b－2)解析　∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0，此时f(x)＝loga|x|.
当a>1时，函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)；
当0∴f(a＋1)>f(2)＝f(b－2)．
综上可知f(b－2)15．解　(1)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.
∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22·3＝12.
(2)原式＝log23－(log23＋log24)＋
＝log23－log23－2＋＝－.
16．(1)证明　设0f(x1)－f(x2)＝(－1)－(－1)＝，
∵00，x2－x1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(2)解　设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－－1，
又f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)＝－－1，即f(x)＝－－1(x<0)．
17．解　(1)要使此函数有意义，则有或，
解得x>1或x<－1，此函数的定义域为
(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．
(2)f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga(1＋)，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．
所以当a>1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；
当018．解　(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＝f(0)＋f(0)
＝2f(0)，∴f(0)＝0.
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)任取x10，∴f(x2－x1)<0，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，
即f(x2)∴f(x)在R上是减函数．
(3)∵f(x)在[－12,12]上是减函数，
∴f(12)最小，f(－12)最大．
又f(12)＝f(6＋6)＝f(6)＋f(6)＝2f(6)
＝2[f(3)＋f(3)]＝4f(3)＝－8，
∴f(－12)＝－f(12)＝8.
∴f(x)在[－12,12]上的最大值是8，最小值是－8.
19．解　(1)设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元．
由题意，得f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由题图可知f(1)＝，∴k1＝.
又g(4)＝1.6，∴k2＝.
从而f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10－x万元，该企业利润为y万元．
y＝f(x)＋g(10－x)＝＋(0≤x≤10)，
令＝t，则x＝10－t2，
于是y＝＋t＝－(t－2)2＋(0≤t≤)．
当t＝2时，ymax＝＝2.8，
此时x＝10－4＝6，
即当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，最大利润为2.8万元．
20．(1)解　∵ax－bx>0，∴ax>bx，∴()x>1.
∵a>1>b>0，∴>1.
∴y＝()x在R上递增．
∵()x>()0，∴x>0.
∴f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)证明　设x1>x2>0，∵a>1>b>0，
∴ax1>ax2>1,0∴－bx1>－bx2>－1.∴ax1－bx1>ax2－bx2>0.
又∵y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，
∴lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在定义域内是增函数．
(3)解　由(2)得，f(x)在定义域内为增函数，
又恰在(1，＋∞)内取正值，
∴f(1)＝0.又f(2)＝lg 2，
∴∴解得
第2、3章 章末检测(B)
(时间：120分钟　满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．设函数f(x)＝，已知f(x0)＝8，则x0＝________.
2．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.
3．若定义运算a⊙b＝，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
4．函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1①f(0)＝0；②f()＝f(x)；③f(1－x)＝1－f(x)，则f()＋f()＝________.
5．已知函数f(x)＝，则f(2＋log23)的值为______．
6．函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________．
7．函数y＝(x2－3x＋2)的单调递增区间为______________．
8．设0≤x≤2，则函数y＝－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________．
9．函数y＝3|x|－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为________．
10．函数y＝2x与y＝x2的图象的交点个数为____________．
11．已知函数f(x)＝，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______________．
12．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m，长与宽的和为20 m，则仓库容积的最大值为________．
13．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围为________．
14．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
15．(14分)讨论函数f(x)＝x＋(a>0)的单调区间．
16．(14分)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f()＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f()<2.
17．(14分)已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．
18．(16分)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，≤x≤4，
(1)若t＝log2x，求t的取值范围；
(2)求f(x)的最值，并写出最值时对应的x的值．
19．(16分)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求实数a的取值范围．
20．(16分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：
①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；
②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；
③每户每月的定额损耗费a不超过5元．
(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式；
(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：
月份
用水量(立方米)
水费(元)
一
4
17
二
5
23
三
2.5
11
试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m，n，a的值．
第2、3章 章末检测(B)
1.
解析　∵当x≥2时，f(x)≥f(2)＝6，
当x<2时，f(x)∴x＋2＝8(x0≥2)，解得x0＝.
2．－2
解析　∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2.
3．(－∞，1]
解析　由题意知x⊙(2－x)表示x与2－x两者中的较小者，借助y＝x与y＝2－x的图象，不难得出，f(x)的值域为(－∞，1]．
4.
解析　由题意得f(1)＝1－f(0)＝1，
f()＝f(1)＝，f()＝1－f()，
即f()＝，
由函数f(x)在[0,1]上为非减函数得，当≤x≤时，f(x)＝，则f()＝，
又f(×)＝f()＝，
即f()＝.
因此f()＋f()＝.
5.
解析　∵log23∈(1,2)，∴3<2＋log23<4，
则f(2＋log23)＝f(3＋log23)
＝＝()3·＝×＝.
6．－3
解析　∵>0，∴－3∴f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
∴f(－2)＝－f(2)＝－3.
7．(－∞，1)
解析　函数的定义域为{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x>2或x<1}，
令u＝x2－3x＋2，则y＝u是减函数，
所以u＝x2－3x＋2的减区间为函数y＝(x2－3x＋2)的增区间，由于二次函数u＝x2－3x＋2图象的对称轴为x＝，
所以(－∞，1)为函数y的递增区间．
8.　
解析　y＝－3·2x＋5＝(2x)2－3·2x＋5.
令t＝2x，x∈[0,2]，则1≤t≤4，
于是y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，1≤t≤4.
当t＝3时，ymin＝；
当t＝1时，ymax＝×(1－3)2＋＝.
9．[0,8]
解析　当x＝0时，ymin＝30－1＝0，
当x＝2时，ymax＝32－1＝8，
故值域为[0,8]．
10．3
解析　分别作出y＝2x与y＝x2的图象．
知有一个x<0的交点，另外，x＝2，x＝4时也相交．
11．(1，＋∞)
解析　由f(x)＋x－a＝0，
得f(x)＝a－x，
令y＝f(x)，y＝a－x，如图，
当a>1时，y＝f(x)与y＝a－x有且只有一个交点，
∴a>1.
12．300 m3
解析　设长为x m，则宽为(20－x)m，仓库的容积为V，
则V＝x(20－x)·3＝－3x2＋60x,0由二次函数的图象知，顶点的纵坐标为V的最大值．
∴x＝10时，V最大＝300(m3)．
13．(0,1)
解析　函数f(x)＝的图象如图所示，
该函数的图象与直线y＝m有三个交点时m∈(0,1)，此时函数g(x)＝f(x)－m有3个零点．
14．[－1,1]
解析　分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件为b∈[－1,1]．
15．解　任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1则x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·.
当0∴x1x2－a<0.
∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x)在(0，)上是减函数．
当≤x1a，∴x1x2－a>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，
即f(x)在[，＋∞)上是增函数．
∵函数f(x)是奇函数，∴函数f(x)在(－∞，－]上是增函数，在[－，0)上是减函数．
综上所述，f(x)在区间(－∞，－]，[，＋∞)上为增函数，在[－，0)，(0，]上为减函数．
16．解　(1)令x＝y≠0，则f(1)＝0.
(2)令x＝36，y＝6，
则f()＝f(36)－f(6)，f(36)＝2f(6)＝2，
故原不等式为f(x＋3)－f()即f[x(x＋3)]又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
故原不等式等价于
?017．解　(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，令t＝2x，x∈[－3,0]，则t∈[，1]，
故y＝2t2－t－1＝2(t－)2－，t∈[，1]，
故值域为[－，0]．
(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，等价于方程2ax2－x－1＝0在(0，＋∞)上有解．
记g(x)＝2ax2－x－1，当a＝0时，解为x＝－1<0，不成立；
当a<0时，开口向下，对称轴x＝<0，
过点(0，－1)，不成立；
当a>0时，开口向上，对称轴x＝>0，
过点(0，－1)，必有一个根为正，符合要求．
故a的取值范围为(0，＋∞)．
18．解　(1)∵t＝log2x，≤x≤4，
∴log2≤t≤log24，
即－2≤t≤2.
(2)f(x)＝(log24＋log2x)(log22＋log2x)
＝(log2x)2＋3log2x＋2，
∴令t＝log2x，
则y＝t2＋3t＋2＝(t＋)2－，
∴当t＝－即log2x＝－，x＝2－时，
f(x)min＝－.
当t＝2即x＝4时，f(x)max＝12.
19．解　当a＝0时，函数为f(x)＝2x－3，其零点x＝不在区间[－1,1]上．
当a≠0时，函数f(x)在区间[－1,1]分为两种情况：
①函数在区间[－1,1]上只有一个零点，此时：

或，
解得1≤a≤5或a＝.
②函数在区间[－1,1]上有两个零点，此时
，即.
解得a≥5或a<.
综上所述，如果函数在区间[－1,1]上有零点，那么实数a的取值范围为(－∞，]∪[1，＋∞)．
20．解　(1)依题意，得y＝
其中0(2)∵0由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米．
将和分别代入②，
得
③－④，得n＝6.
代入17＝9＋n(4－m)＋a，得a＝6m－16.
又三月份用水量为2.5立方米，
若m<2.5，将代入②，得a＝6m－13，
这与a＝6m－16矛盾．
∴m≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量．
将代入①，得11＝9＋a，
由解得
∴该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且m＝3，n＝6，a＝2.
课件22张PPT。1.理解n次方根、n次根式的概念；
2.正确运用根式运算性质化简、求值；
3.体会分类讨论思想、符号化思想的作用.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　n次方根，n次根式答案问题导学 　　　　新知探究 点点落实思考　若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？一般地，有：(1)n次实数方根答案(2)根式
式子 叫做根式，其中n叫做 ，a叫做被开方数.根指数3.1.1　分数指数幂(一)第3章　3.1　指数函数知识点二　根式的性质答案一般地，有：答案0aa－a返回类型一　根式的意义题型探究 　　　　重点难点 个个击破反思与感悟解析答案反思与感悟解析答案∴a－1≥0，∴a≥1.类型二　利用根式的性质化简或求值反思与感悟例2　化简：解析答案解　由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.反思与感悟跟踪训练2　求下列各式的值：解析答案类型三　有限制条件的根式的化简反思与感悟解析答案∵－3原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；
当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4，反思与感悟返回∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.解析答案1231.已知x5＝6，则x＝ .达标检测 　　　　4答案52.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是 .12345③答案123452答案－212345答案2x－112345答案3.一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数这两种情况.返回规律与方法课件27张PPT。3.1.1　分数指数幂(二)第3章　3.1　指数函数1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化；
2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值；
3.了解无理数指数幂的意义.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　分数指数幂答案问题导学 　　　　新知探究 点点落实思考　根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？答案　当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.一般地，分数指数幂的意义：答案(3)0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 .0没有意义知识点二　有理数指数幂的运算性质答案思考　规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？答案　由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的.知识点三　无理数指数幂答案一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的 .有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.实数整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)atas＝at＋s(a>0，t，s∈Q)；
(2)(at)s＝ats(a>0，t，s∈Q)；
(3)(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q).返回类型一　根式与分数指数幂之间的相互转化题型探究 　　　　重点难点 个个击破例1　用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0，x>0，y>0)：解析答案解　 解　 反思与感悟解析答案解　方法一　从里向外化为分数指数幂反思与感悟方法二　从外向里化为分数指数幂.(1)根式直观，分数指数幂易运算.
(2)运算化简时要注意公式的前提条件，保持式子运算前后恒等.反思与感悟解析答案跟踪训练1　把下列根式化成分数指数幂：解　解　解析答案解　类型二　用指数幂运算公式化简求值例2　计算下列各式(式中字母都是正数)：解　解析答案反思与感悟解析答案＝4ab0＝4a；解　一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.反思与感悟跟踪训练2　解析答案解　原式＝ 解析答案解　由 解析答案两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理得：x＋x－1＝23，类型三　运用指数幂运算公式解方程反思与感悟例3　已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值.解　方法一　∵a>0，b>0，又ab＝ba，解析答案方法二　因为ab＝ba，b＝9a，所以a9a＝(9a)a，即(a9)a＝(9a)a，反思与感悟指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到我们代入、消元等目的.返回解析答案1231.化简 的值为 .达标检测 　　　　454答案123452. ＝ .?答案12345答案a212345答案答案12345161.指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.
2.根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.返回规律与方法课件33张PPT。3.1.2　指数函数(一)第3章　3.1　指数函数1.理解指数函数的概念；
2.掌握指数函数的图象和性质；
3.会应用指数函数的性质比较大小，解不等式.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　指数函数答案问题导学 　　　　新知探究 点点落实思考1　前面我们对指数幂的指数进行了扩充，那么扩充后函数y＝2x中的x可以取哪些值？答案　x∈R.y＝2x与y＝x2的区别是：y＝2x它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来.一般地， 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .函数y＝ax(a>0，且a≠1)R思考2　指数函数定义中为什么规定了a>0且a≠1?答案答案　原因如下：(3)如果a＝1，y＝1x＝1，是个常数函数，没有研究的必要.知识点二　指数函数的图象和性质答案思考　函数的性质包括哪些？如何探索指数函数的性质？答案　函数性质通常包括定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性.可以通过描点作图，先研究具体的指数函数性质，再推广至一般.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质：(0,1)答案01y>101单调增函数单调减函数知识点三　比较幂的大小答案思考　若x1＜x2，则 与 (a＞0且a≠1)大小关系如何？ 答案　当a＞1时，y＝ax在R上为单调增函数，所以 ，当0＜a＜1时，y＝ax在R上为单调减函数，所以 一般地，比较幂大小的方法有：
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的 性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的 的变化规律来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断.答案单调图象中间值知识点四　解指数方程、不等式答案思考　若 则x1，x2大小关系如何？答案　当f(x)在区间[m，n]上单调递增(减)时，若x1，x2∈[m，n]，则f(x1)＜f(x2)?x1＜x2(x1＞x2).
所以，当0＜a＜1时， ?x1＞x2，
当a＞1时， ?x1＜x2.简单指数不等式的解法：
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的 求解；
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的 求解；
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.单调性返回答案单调性类型一　求指数函数的解析式题型探究 　　　　重点难点 个个击破例1　已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式.解　设f(x)＝ax，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，即a3＝π，解得a＝ ，于是f(x)＝ .反思与感悟解析答案根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数位置是x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数.要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可.反思与感悟跟踪训练1　已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值.解　由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2.
将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2.解析答案类型二　指数函数图象的应用反思与感悟例2　直线y＝2a与函数y＝|2x－1|图象有两个公共点，求实数a的取值范围.解析答案图象如下：由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|图象有两个公共点，(1)指数函数图象的平移规律：
若已知y＝ax的图象，则把y＝ax的图象向左平移b(b>0)个单位长度，则得到y＝ax＋b的图象；把y＝ax的图象向右平移b(b>0)个单位长度，则得到y＝ax－b的图象；把y＝ax的图象向上平移b(b>0)个单位长度，则得到y＝ax＋b的图象；把y＝ax的图象向下平移b(b>0)个单位长度，则得到y＝ax－b的图象.
(2)指数函数图象的对称规律：
函数y＝ax的图象与y＝a－x的图象关于y轴对称；y＝ax的图象与y＝－ax的图象关于x轴对称；函数y＝ax的图象与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称.反思与感悟跟踪训练2　试画出y＝2|x－1|的图象.解析答案图象如下：类型三　指数函数单调性的应用例3　比较下列各题中两个值的大小.
(1)1.7－2.5,1.7－3；解　∵1.7＞1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是单调增函数.
∵－2.5＞－3，∴1.7－2.5＞1.7－3.解析答案(2)1.70.3,1.50.3；解　方法一　∵1.7＞1.5，∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方.而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.解析答案∴1.70.3＞1.50.3.(3)1.70.3,0.83.1.反思与感悟解　∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，
∴1.70.3＞0.83.1.解析答案反思与感悟当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.跟踪训练3　比较下列各题中的两个值的大小.
(1)0.8－0.1,1.250.2；解　∵0＜0.8＜1，∴y＝0.8x在R上是单调减函数.
∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
即0.8－0.1＜1.250.2.解析答案解析答案例4　解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1).解　(1)当0∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
(2)当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当01时，不等式的解集为{x|x≤－6}.解析答案反思与感悟反思与感悟解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响.跟踪训练4　已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是 .返回解析答案∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x1.若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是
.123达标检测 　　　　45答案2.曲线C1，C2，C3，C4分别是指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx和y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是 .b .(0，＋∞)解析答案123455.已知函数f(x)＝4＋ax－1 (a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则定点P的坐标为 . 解析　y＝ax过定点(0,1)，y＝ax向右移1个单位，向上移4个单位，得
y＝ax－1＋4的图象，
∴y＝ax－1＋4过定点(1,5).(1,5)1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2.指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.
3.比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.规律与方法4.解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解.如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论.
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解.返回课件29张PPT。3.1.2　指数函数(二)第3章　3.1　指数函数1.会用指数函数模型刻画和解决简单的实际问题；
2.会解af(x)＝ag(x)型的指数方程；
3.掌握与指数函数复合的函数单调性解决方法；
4.了解与指数函数有关的函数奇偶性的判断方法.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　指数函数模型答案问题导学 　　　　新知探究 点点落实思考　细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，…，则细胞分裂次数x与细胞个数f(x)的函数关系式是什么？答案　f(1)＝2，f(2)＝22，f(3)＝22×2＝23，…
可得f(x)＝2x，x∈N.一般地，生活中许多问题诸如有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)表示并加以解决.知识点二　指数方程答案思考　在知识点一的思考中，细胞只需分裂多少次即可达到1 024个？答案　令2x＝1 024＝210，得x＝10.即细胞只需分裂10次即可达到1 024个.一般地，指数里含有未知数的方程叫指数方程.形如af(x)＝ag(x) (a>0且a≠1)的方程，可利用指数函数单调性化为f(x)＝g(x)来解决.知识点三　与指数函数复合的函数单调性答案一般地，有：形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有 的定义域.
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有 的单调性；当0y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性 .相同相同返回答案相反类型一　解指数方程题型探究 　　　　重点难点 个个击破例1　解下列关于x的方程：解析答案∴32x＋4＝3－2(x＋2)，
∴2x＋4＝－2(x＋2)，
∴x＝－2.(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.解　∵22x＋2＋3×2x－1＝0，
∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.
令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，反思与感悟解析答案(1)af(x)＝b型通常化为同底来解.
(2)解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围.转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍.反思与感悟解析答案跟踪训练1　已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)，若f(g(1))＝1，则a＝ .解析　∵g(x)＝ax2－x，∴g(1)＝a－1.
∵f(x)＝5|x|，
∴f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，∴|a－1|＝0，
∴a＝1.1类型二　指数函数模型及应用例2　某县现有100万人，经过x年后为y万人.如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：
(1)写出y关于x的函数解析式；解析答案解　当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
当x＝2时，y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
当x＝3时，y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3；
……
故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x (x∈N*).反思与感悟(2)计算10年后该县的人口总数(精度为0.1万人)；
(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)解　当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.
故10年后该县约有112.7万人.解析答案建立函数模型时通常需要写出x＝1,2,3，…时对应y值以归纳规律，而模型建得对不对也可通过令x＝1,2来验证.反思与感悟?解析答案即至少要过滤8次才能使产品达到市场要求.类型三　与指数函数复合的函数单调性问题反思与感悟解析答案反思与感悟跟踪训练3　已知函数f(x)＝2ax＋2(a为常数).
(1)求函数f(x)的定义域；解　函数f(x)＝2ax＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R.解析答案(2)若a>0，试证明函数f(x)在R上是单调增函数；解　任取x1，x2∈R，且x1由a>0得ax1＋2因为y＝2x在R上是单调增函数，
所以有 即f(x1)所以函数f(x)在R上是单调增函数.(3)当a＝1时，求函数y＝f(x)，x∈(－1,3]的值域.解　由(2)知当a＝1时，f(x)＝2x＋2在(－1,3]上是增函数.
所以f(－1)所以函数f(x)的值域为(2,32].解析答案类型四　与指数函数有关的函数奇偶性问题例4　(1)判断f(x)＝3x＋3－x，g(x)＝3x－3－x的奇偶性；解　∵f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x)＝3x＋3－x，
∴f(－x)＝3－x＋3x，
∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数.
又∵g(x)＝3x－3－x，∴g(－x)＝3－x－3x，
∴g(x)＝－g(－x)，即函数g(x)是奇函数.解析答案反思与感悟?解析答案由(1)知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数.∴h(x)为奇函数.反思与感悟指数函数本身是非奇非偶函数，但可以与其他函数组合为具有奇偶性的函数.熟悉一些常见的组合，可以提高解题速度.返回解　x∈(－∞，＋∞)，当f(x)≠0时，x≠0，解析答案∴f(x)＝f(－x)；
当f(x)＝0时，x＝0，则有f(－x)＝f(x)＝f(0)＝0.
∴f(x)为偶函数.1231.方程42x－1＝8的解是 .达标检测 　　　　4解析答案5??2.函数 的单调递减区间是 .1234解析答案5?解析答案12345解析　由ax－1≠0得x≠0，所以此函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).奇解析答案123454.若函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0且a≠1)的图象过点A(0,1)，B(3,8)，则函数f(x)的解析式为 .解析　由函数f(x)的图象过点A(0,1)，所以f(x)＝2x.f(x)＝2x123455.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 .??解析答案1.建立函数模型时取x＝1,2,3，…观察归纳y与x的关系是一个有效的办法.
2.解指数方程、复合函数的单调性都与指数函数单调性有关；而指数函数也可以是构成奇函数、偶函数的素材.所以，指数函数是一种基本函数，它可以与其他函数一起构成丰富的函数世界，而研究这个函数世界，又处处用到指数函数的图象与性质.返回规律与方法课件25张PPT。第1课时　对数的概念第3章　3.2.1　对 数1.了解对数的概念；
2.会进行对数式与指数式的互化；
3.会求简单的对数值.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　对数的概念答案问题导学 　　　　新知探究 点点落实答案　因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念.如果a (a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是
，记作 ，其中，a叫做 ，N叫做 .
通常将以10为底的对数叫做 ，以e为底的对数称为 ，log10N可简记为 ，logeN简记为 .答案以a为底N的对数对数的底数真数常用对数自然对数lg Nln NlogaN＝b知识点二　对数与指数的关系答案思考　loga1等于？答案　若设loga1＝t，化为指数式at＝1，则不难求得t＝0，即loga1＝0.一般地，有对数与指数的关系
若a>0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝ .
对数恒等式： ＝ ；logaax＝ (a>0，且a≠1).
对数的性质：
(1)1的对数为 ；
(2)底的对数为 ；
(3)零和负数 .答案xNx零1没有对数返回类型一　对数的概念题型探究 　　　　重点难点 个个击破例1　在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是 .{b|20，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.反思与感悟解析答案解得0①54＝625；解析答案③3a＝27；解　log5625＝4；解　log327＝a；解　 5.73＝m.反思与感悟?②logx8＝6；
③lg 100＝x；
④－ln e2＝x.解析答案解　10x＝100＝102，于是x＝2.解　由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.
所以x＝－2.要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解.反思与感悟(2) 81；跟踪训练2　计算：(1)log927；?解析答案(3) 625.∴x＝3.类型三　应用对数的基本性质求值例3　求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；解　∵log2(log5x)＝0.
∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.解析答案解　∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.(2)log3(lg x)＝1；解析答案∴x＝1.反思与感悟(4)33＋log3x＝2.解　解析答案反思与感悟本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题.跟踪训练3　(1)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为 .返回解析　∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1.
∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.解析答案(2)求 的值(a，b，c∈R＋且不等于1，N＞0).9解　 1231.logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是 .　ba＝N达标检测 　　　　45答案2.若logax＝1，则x＝ .a12345答案3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是 .
①e0＝1与ln 1＝0；12345③log39＝2与 ＝3；④log77＝1与71＝7.③答案123454.已知logx16＝2，则x＝ .4答案答案123455.设10lg x＝100，则x的值为 .1001.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2) ＝N.
2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算；而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.规律与方法3.指数式与对数式的互化返回课件25张PPT。第2课时　对数的运算及换底公式第3章　3.2.1　对 数1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件；
2.掌握换底公式及其推论；
3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　对数运算性质答案问题导学 　　　　新知探究 点点落实思考　有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算.那么，有没有类似乘法口诀的结论，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？答案　有.例如，设logaM＝m，logaN＝n，则am＝M，an＝N，∴MN＝am·an＝am＋n，∴loga(MN)＝m＋n＝logaM＋logaN.得到的结论loga(MN)＝logaM＋logaN可以当公式直接进行对数运算.?答案logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM知识点二　换底公式答案答案　把3x＝5化为对数式为：log35＝x，?1返回答案类型一　积商幂的对数运算题型探究 　　　　重点难点 个个击破∴y>0，z>0.反思与感悟解析答案使用公式要注意成立条件，log2(－3)(－5)＝log2(－3)＋log2(－5)是不成立的.log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的.要特别注意loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN.反思与感悟解析答案类型二　换底公式?解析答案反思与感悟(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.解析答案反思与感悟解　方法一　∵log189＝a,18b＝5，
∴log185＝b，解析答案方法二　∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b，反思与感悟方法三　∵log189＝a,18b＝5，
∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18，在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，可以选择以10为底数进行换底.反思与感悟跟踪训练2　已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.解析答案类型三　化简求值反思与感悟例3　已知logax＝logac＋b，求x.解　方法一　由对数定义可知：解析答案方法二　由已知移项可得：logax－logac＝b，方法三　∵b＝logaab，
∴logax＝logac＋logaab＝loga(c·ab)，
∴x＝c·ab.反思与感悟当a＞0且a≠1，N＞0时，恒有 ＝N.?解　∵I＝1 w/m2，解析答案＝10×12lg 10＝120(dB).答　I＝1 w/m2时，相应的分贝值为120 dB；(2)70 dB时声音强度I是60 dB时声音强度I′的多少倍？返回解析答案答　70 dB时声音强度I是60 dB时声音强度I′的10倍.123?0达标检测 　　　　4答案5123452.log35－log345＝ .－2答案12345?4答案123454.log84＝ .?答案123455.log29×log34＝ .4答案1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
2.运用对数的运算性质应注意
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.
(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.
(3)在运算过程中避免出现以下错误：
①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，
③logaM±logaN＝loga(M±N).返回规律与方法········课件36张PPT。3.2.2　对数函数(一)第3章　3.2　对数函数1.理解对数函数的概念；
2.掌握对数函数的性质及简单应用；
3.掌握对数函数图象及简单的图象变换.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　对数函数的概念答案问题导学 　　　　新知探究 点点落实思考　已知细胞分裂个数y与分裂次数x满足y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？答案　由于y＝2x是单调增函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y.一般地，函数 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .y＝logax(a>0，且a≠1)(0，＋∞)知识点二　对数函数的图象与性质答案思考　y＝logax化为指数式是x＝ay.你能用指数函数单调性推导出对数函数单调性吗？答案　当a＞1时，若0＜x1＜x2，则 ，解指数不等式，得y1＜y2从而y＝logax在(0，＋∞)上为单调增函数.
当0＜a＜1时，同理可得y＝logax在(0，＋∞)上为单调减函数.类似地，我们可以借助指数函数图象和性质得到对数函数图象和性质：答案(0，＋∞)R(1,0)答案(－∞，0)[0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0]x轴知识点三　不同底的对数函数图象相对位置答案思考　y＝log2x与y＝log3x同为(0，＋∞)上的单调增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？答案　可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数.一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0①系数为1.
②底数为大于0且不等于1的常数.
③对数的真数仅有自变量x.反思与感悟解析答案跟踪训练1　判断下列函数是不是对数函数？并说明理由.
(1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)；
(2)y＝log2x－1；
(3)y＝logxa(x＞0，且x≠1)；
(4)y＝log5x.解　∵(1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；
∵(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；
∵(3)中底数是自变量x，而非常数a，
∴不是对数函数.
(4)为对数函数.类型二　对数函数的定义域反思与感悟解析答案例2　求下列函数的定义域：
(1)y＝loga(9－x2)；(2)y＝log2(16－4x).解　由9－x2>0，得－3∴函数y＝loga(9－x2)的定义域是{x|－30，得4x<16＝42，由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}.求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.反思与感悟跟踪训练2　求下列函数的定义域：解析答案解析答案∴x≥1，∴所求函数定义域为{x|x≥1}.类型三　比较对数的大小例3　比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log23.4，log28.5；解　考察对数函数y＝log2x，
因为它的底数2>1，
所以它在(0，＋∞)上是单调增函数，
又3.4＜8.5，
于是log23.4所以它在(0，＋∞)上是单调减函数，
又1.8＜2.7，
于是 log0.31.8>log0.32.7.解析答案反思与感悟(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1).解　当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是单调增函数，
又5.1＜5.9，
于是loga5.1当0又5.1＜5.9，
于是loga5.1>loga5.9.
综上，当a＞1时，loga5.1＜loga5.9，
当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.解析答案反思与感悟比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的，需要对底数进行讨论.解析答案a＞b＞c类型四　对数函数的图象例4　画出函数y＝lg|x－1|的图象.解析答案反思与感悟解　(1)先画出函数y＝lg x的图象(如图).解析答案反思与感悟(2)再画出函数y＝lg|x|的图象(如图).解析答案反思与感悟(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图象(如图).反思与感悟反思与感悟画图象一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点如本题x＝0,1,2三点.返回解析答案跟踪训练4　画出函数y＝|lg(x－1)|的图象.解析答案解　(1)先画出函数y＝lg x的图象(如图).解析答案(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图象如图.(3)再画出函数y＝|lg(x－1)|的图象如图：返回1231.下列函数为对数函数的是 .
①y＝logax＋1(a＞0且a≠1)；
②y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)；
③y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)；
④y＝2logax(a＞0且a≠1).达标检测 　　　　45③答案2.函数y＝log2(x－2)的定义域是 .(2，＋∞)12345答案123453.已知函数f(x)＝log2x－2，则f(x)>0的解集是 .(4，＋∞)答案答案123454.如图的四个对数函数的底数分别为a1，a2，a3，a4，则a1，a2，a3，a4的大小关系为 .a30，且a≠1)中，底数a对其图象的影响.无论a取何值，对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝logax(a>1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当01时函数单调递增.
2.比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较.规律与方法3.两个函数图象的对称性
(1)返回(2)课件33张PPT。3.2.2　对数函数(二)第3章　3.2　对数函数1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法；
2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法；
3.会解简单的对数不等式；
4.了解反函数的概念及其图象特点.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　y＝logaf(x)型函数的单调区间答案问题导学 　　　　新知探究 点点落实思考　我们知道y＝2f(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，那么y＝log2f(x)的单调区间与y＝f(x)的单调区间相同吗？答案　y＝log2f(x)与y＝f(x)的单调区间不一定相同，因为y＝log2f(x)的定义域与y＝f(x)定义域不一定相同.一般地，形如函数f(x)＝logag(x)的单调区间的求法：①先求g(x)＞0的解集(也就是函数f(x)的定义域)；②当底数a大于1时，g(x)＞0限制之下g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间，g(x)＞0限制之下g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间；③当底数0当a＞1时，知识点三　反函数的概念答案思考　如果把y＝2x视为A＝R→B＝(0，＋∞)的一个映射，那么y＝log2x是从哪个集合到哪个集合的映射？答案　如图，y＝log2x是从B＝(0，＋∞)到A＝R的一个映射，相当于A中元素通过f：x→2x对应B中的元素2x，y＝log2x的作用是B中元素2x原路返回对应A中元素x.(1)同底的指数函数与对数函数互为反函数
像y＝ax与y＝logax(a>0且a≠1)这样的两个函数叫做互为反函数.一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x).
由指数函数y＝ax(a>0，a≠1)和对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的定义知：
y＝ax的定义域为R，就是y＝logax的值域，而y＝ax的值域(0，＋∞)就是
y＝logax的定义域.(2)反函数的性质
①互为反函数的两个函数y＝ax与y＝logax(a>0，a≠1)的图象关于直线y＝x对称.
②若函数y＝f(x)的图象上有一点(a，b)，则(b，a)必在其反函数的图象上；
反之，若点(b，a)在反函数的图象上，则(a，b)必在原函数的图象上.
③互为反函数的两个函数的单调性相同.返回类型一　对数型复合函数的单调性题型探究 　　　　重点难点 个个击破例1　求函数y＝ (－x2＋2x＋1)的值域和单调区间.反思与感悟解析答案解　设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－(x－1)2＋2.反思与感悟∵y＝ t为单调减函数，且0(1)求函数f(x)的值域；解　由题意得－x2＋2x>0，∴x2－2x<0，
∴0当0即f(－x)＝－f(x)，反思与感悟即f(－x)＝－f(x)，(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数).
(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)＋f(－x)＝0来判断，运算相对简单.反思与感悟解析答案所以函数的定义域为R且关于原点对称，解析答案即f(－x)＝－f(x).＝lg(1＋x2－x2)＝0.类型三　对数不等式反思与感悟例3　已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0,且a≠1).解关于x的不等式：loga(1－ax)＞f(1).解　∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a).
∴1－a＞0.∴0＜a＜1.
∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a).解析答案∴不等式的解集为(0,1).反思与感悟对数不等式解法要点
(1)化为同底loga f(x)＞logag(x)；
(2)根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向；
(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)＞0且g(x)＞0.跟踪训练3　已知函数f(x)＝ 若f(a)＞f(－a)，则实数a的
取值范围是 .解析　①当a＞0时，f(a)＝log2a，f(－a)＝ a，解析答案log2x,x＞0, (-x),x＜0,②当a＜0时，f(a)＝ (－a)，f(－a)＝log2(－a)，由①②得－1＜a＜0或a＞1.(－1,0)∪(1，＋∞)类型四　反函数的图象及性质反思与感悟例4　设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值.解　将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.
如图可知，a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标.解析答案由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a).而A，B都在直线y＝－x＋3上，所以b＝－a＋3(A点坐标代入)，或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3.反思与感悟指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象关于直线y＝x对称.点(a，b)关于直线y＝x的对称点为(b，a).在本题中，y＝2x与y＝3－x的交点难以解出，但我们可以设出来，整体讨论a＋b的值这种“设而不求”思想以后会时常遇到.跟踪训练4　函数f(x)＝3x (0即函数f(x)的值域为(1,9].
故f(x)的反函数的定义域为(1,9].解析答案(1,9]1231.函数f(x)＝log2(3－x)在 上是单调 函数.(填“增”或“减”)(－∞，3)　 减达标检测 　　　　4答案5?奇函数12345答案3.f(x)＝lg(x2＋a)的值域为R，则实数a的取值范围是 .12345a≤0答案123454.lg(2x－1)>lg(x＋2)的解集是 .{x|x>3}答案123455.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝ .log2x答案1.与对数函数有关的复合函数单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.
2.y＝ax与x＝logay图象是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示应变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax与y＝ax关于y＝x对称，因为(a，b)与(b，a)关于y＝x对称.返回规律与方法课件25张PPT。3.3　幂函数第3章　指数函数、对数函数和幂函数1.理解幂函数的概念；
2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法；
3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　幂函数的概念答案问题导学 　　　　新知探究 点点落实答案　底数为x，指数为常数.一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.y＝xα知识点二　幂函数的图象与性质填写下表：答案[0，＋∞){x|x≠0}[0，＋∞)[0，＋∞){y|y≠0}奇非奇非偶奇增减增增减减RRRRR奇偶根据上表，可以归纳一般幂函数特征：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 ；
(2)α>0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是 函数.特别地，当α>1时，幂函数的图象 ；当0<α<1时，幂函数的图象 ；
(3) 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；
(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从 到 的顺序排列.(1,1)原点返回答案增下凸上凸α<0小大类型一　幂函数的概念题型探究 　　　　重点难点 个个击破例1　已知y＝(m2＋2m－2) ＋2n－3是幂函数，求m，n的值.反思与感悟解析答案幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为一常数这三个条件，才是幂函数.如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝ 都不是幂函数.反思与感悟解析答案y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1), 所以常函数y＝1不是幂函数.1类型二　幂函数的图象及应用反思与感悟?解析答案反思与感悟?(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1x1>0，所以x1－x2<0，于是f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)所以f(x)＝ 在区间(0，＋∞)内是减函数.反思与感悟(2)若(a＋1) <(3－2a) ，则a的取值范围是________.解析　由(1)知f(x)＝ 在区间(0，＋∞)内是减函数.解析答案反思与感悟本例第(2)问是核心问题，第(1)问是铺垫，很多时候，我们会直接面对没有第(1)问的第(2)问，这个时候需要我们主动构造函数，并针对解题需要研究某方面的性质.跟踪训练3　讨论函数y＝ 的定义域、奇偶性和单调性.返回解析答案解　函数y＝f(x)＝ 的定义域为实数集R.
∵f(－x)＝(－x) ＝[(－x)4] ＝ ＝f(x)，
∴f(x)为偶函数.∴函数图象关于y轴对称.
又f(x)在区间[0，＋∞)上为单调增函数，
∴f(x)在区间(－∞，0]上为单调减函数.123(－∞，1]　 减达标检测 　　　　45答案?12345答案?答案123451,3∴按由小到大的顺序排列为解析答案123454.把 由小到大排列为_____________________.综合以上性质，可得如图图象.解析答案12345?返回规律与方法课件22张PPT。第1课时　函数的零点第3章　3.4.1　函数与方程1.理解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的关系；
2.会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间；
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　函数的零点概念答案问题导学 　　　　新知探究 点点落实思考　函数的“零点”是一个点吗？答案　不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.一般地，对于函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的 .
方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0 ?函数y＝f(x)的图象 ?函数y＝f(x) .答案f(x)＝0零点有实数根与x轴有交点有零点知识点二　零点存在定理答案思考　函数零点有时是不易求或求不出来的.一般地，有函数零点存在性定理：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 的一条曲线，并且有
，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内 .不间断返回答案f(a)·f(b)<0有零点类型一　求函数的零点题型探究 　　　　重点难点 个个击破例1　函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为______________.反思与感悟解析答案解析　由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.x＝1或x＝10函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.反思与感悟解析答案跟踪训练1　函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是_____.解析　f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)
＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3).
可知零点为±1,－2,3，共4个.4类型二　判断函数的零点所在的区间反思与感悟例2　根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是_______.解析答案解析　令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.(1,2)在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点.反思与感悟跟踪训练2　若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝____.解析　∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是单调增函数，∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点.
∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln 2<0，f(3)＝9－7＋ln 3>0，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2,3)内，
∴n＝2.解析答案2类型三　判断函数零点个数反思与感悟例3　求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数.解析答案反思与感悟解　方法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，
∴f(x)在(0,1)上必定存在零点.
又显然f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2在(－1，＋∞)上为单调增函数.
故函数f(x)有且只有一个零点.
方法二　在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg (x＋1)的草图.由图象知g(x)＝lg (x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点.反思与感悟判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数.跟踪训练3　求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数.返回解　方法一　由于f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点.函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调增函数，所以它至多有一个零点.
∴f(x)有且仅有一个零点.
方法二　通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论.也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数y＝ln x与y＝－2x＋6的图象交点的个数.解析答案1231.函数y＝x的零点是____.0达标检测 　　　　45答案2.函数f(x)＝x2－2x的零点个数是___.212345答案3.若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是____.
①f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点；
②f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点；
③f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点；
④f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点.12345③答案答案123451解析答案123455.已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，若f(2)＝0，则f(x)在R上的零点个数是___.解析　因为f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x).
因此当f(2)＝0时必有f(－2)＝0.
因为f(x)在原点处有定义，故f(0)＝0.
又f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，
故函数f(x)的零点为－2,0,2.31.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.
2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是不间断的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.
3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象.
4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.返回规律与方法课件24张PPT。第2课时　用二分法求方程的
近似解第3章　3.4.1　函数与方程1.理解二分法的原理及其适用条件；
2.掌握二分法的实施步骤；
3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　二分法的原理答案问题导学 　　　　新知探究 点点落实思考　上节课，我们已经知道f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2,3)内，如何缩小零点所在区间(2,3)的范围？答案　①取区间(2,3)的中点2.5.
②计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内.对于在区间[a，b]上连续不断且 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点
，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.可用二分法来求
.答案f(a)·f(b)<0一分为二逐步逼近零点方程的近似解知识点二　用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤??返回类型一　二分法求零点近似值题型探究 　　　　重点难点 个个击破例1　证明方程6－3x＝2x在(1,2)内有唯一一个实数解，并求出这个实数解的一个近似值(精确到0.1).反思与感悟解析答案解　设f(x)＝6－3x－2x，∵f(1)＝6－3－2＝1>0，
f(2)＝6－6－22＝－4<0，又f(x)在定义域内是减函数，
故f(x)＝0在(1,2)内有唯一的解.
用二分法逐次计算，列表如下：反思与感悟解析答案∵1.218 75与1.234 375精确到0.1的近似值都是1.2，故6－3x＝2x在(1,2)内的一个近似解是1.2.反思与感悟用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.反思与感悟跟踪训练1　用二分法求方程x3－2＝0的近似解(精确到0.1).解析答案解　设f(x)＝x3－2.
由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可取区间(1,2)为初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：解析答案由于1.25与1.312 5精确到0.1的近似值都是1.3，因此x3－2＝0的一个精确到0.1的近似解是1.3.类型二　二分法的应用反思与感悟例2　在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆，10 km长的线路大约有200多根电线杆.想一想，如何迅速查出故障所在？解析答案解　如图所示，应首先从中点C处查.用检测仪器向两端测试，若发现AC段正常，则断定故障在BC段；再到BC段的中点D处查，若这次发现BD段正常，则故障在CD段；再到CD段的中点去查.反思与感悟每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50 m至100 m，即两根电线杆之间.这种检查线路故障的方法，就是二分法的应用.二分法不仅可用于查找线路、水管故障，还可用于实验设计、资料查询等.反思与感悟跟踪训练2　有16枚金币，外表完全相同，但其中有一枚是略轻的假币.如何用一架天平迅速地把这枚假币找出来？解　先在天平两盘上各放8枚，较重的那一侧全是真币，排除；再把剩下的8枚均分，较重的一侧全是真币，又排除4枚，按此过程再进行2次，即可找出假币.解析答案返回123?④达标检测 　　　　4答案52.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是_____.①12345答案3.方程2x－1＋x＝5的根所在的区间为_______.
①(0,1)； ②(1,2)；
③(2,3)； ④(3,4).12345③答案12345?答案12345?(2,3)答案1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.
2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号.
3.求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.规律与方法4.二分法的实施步骤可以概括为一段口诀：
定区间，找中点，中值计算两边看.
同号去，异号算，零点落在异号间.
周而复始怎么办？精确度上来判断.返回课件34张PPT。3.4.2　函数模型及其应用第3章　3.4　函数的应用 1.理解函数模型的概念和作用；
2.能用函数模型解决简单的实际问题；
3.了解建立拟合函数模型的思想和步骤，并了解检验和调整的必要性.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　函数模型答案问题导学 　　　　新知探究 点点落实思考　自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型.类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？答案　函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选择函数(假说)来拟合，这个函数即为函数模型.函数模型通常用来解释已有数据和预测.一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.知识点二　用函数模型解决实际问题(1)解答应用问题的基本思想(2)解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③求模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将数学结论还原为实际应用问题的结论.知识点三　数据拟合答案思考1　我们知道不同的身高需要坐不同高度的桌椅，但你知道任一确定的身高对应的桌椅的最佳高度吗？如何解决？答案　我们知道桌椅高度与身高有关系，但我们不知道具体的对应关系是什么.这需要调查获得大量的数据，再从数据中找出规律或近似的规律.一般地，现实世界中的事物都是相互联系、相互影响的，反映事物变化的变量之间就存在着一定的关系.这些关系的发现，通常是通过试验或实验测定得到一批数据，再经过分析处理得到的.
数据拟合就是研究变量之间这种关系，并给出近似的数学表达式的一种方法，根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制.此类题的解题过程一般有如下五步：
(1)作图：即根据已知数据，画出散点图；
(2)选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数具有类似图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试；
(3)求出函数模型：求出(2)中找到的几个函数模型的解析式；
(4)检验：将(3)中求出几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数模型；
(5)利用所求出的函数模型解决问题.思考2　数据拟合时，得到的函数为什么要检验？答案答案　因为限于我们的认识水平和一些未知因素的影响，现实可能与我们所估计的函数有误差或甚至不切合客观实际，此时就要检验，调整模型或改选其他函数模型.返回类型一　利用已知函数模型求解实际问题题型探究 　　　　重点难点 个个击破例1　某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程.反思与感悟解析答案反思与感悟在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解.反思与感悟解析答案跟踪训练1　商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：
①买一个茶壶送一个茶杯，②按购买总价的92%付款.某顾客购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数x个，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法？解　由优惠办法①得函数关系式为
y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*).
由优惠办法②得函数关系式为
y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N*).
当该顾客购买茶杯40个时，采用优惠办法①应付款y1＝5×40＋60＝260元；采用优惠办法②应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6元，由于y2求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.反思与感悟解析答案解　设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元.解析答案所以3－x＝2.25(万元).
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，总共获得利润为1.05万元.类型三　拟合函数模型例3　人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国的人口数据资料：(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符； 解析答案解　设1951～1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9.由55 196(1＋ r1) ＝ 56 300，可得1951年的人口增长率r1≈0.020 0.同理可得，r2≈0.021 0，r3≈0.022 9，r4≈0.025 0，r5≈0.019 7，r6≈0.022 3，r7≈0.027 6，r8≈0.022 2，r9≈0.018 4.于是，1951～1959年期间，我国人口的年均增长率为r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈0.022 1.令y0＝55 196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55 196e0.022 1t，t∈N.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y＝55 196e0.022 1t(t∈N)的图象.由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.(2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？ 反思与感悟解　将y＝130 000代入y＝55 196e0.022 1t，
由计算器可得t≈38.76.
所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.解析答案反思与感悟(1)已给出函数模型的实际应用题时，关键是考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答.
(2)判断所得到的数学模型是否拟合，必须使所有数据基本接近数学模型，对于一般的应用问题，不会让数学模型完全符合，只是基本符合，对此，无最优解，只有满意解.跟踪训练3　已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.
(1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？解析答案解　已知人口模型为y＝y0ert，其中y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年增长率.
若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3%估计，有y＝5e0.003t.
当y＝10时，解得t≈231.
所以，1881年世界人口约为1650年的2倍.
同理可知，2003年世界人口数约为1970年的2倍.(2)实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？解析答案返回解　由此看出，此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况.1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是__________.123分段函数达标检测 　　　　4答案52.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是_______________.?12345答案3.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：12345下面的函数关系式中，拟合效果最好的是_____.
①y＝2x－1; ②y＝x2－1；
③y＝2x－1; ④y＝1.5x2－2.5x＋2.④答案123454.某同学最近5年内的学习费用y千元与时间x年的关系如下图所示，可选择的模拟函数模型是_____.①y＝ax＋b; ②y＝ax2＋bx＋c；
③y＝aex＋b; ④y＝aln x＋b.②答案解析答案123455.从2016年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为_____.(注：lg 4＝0.602，lg 1.08＝0.033)?191.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.
2.用模型拟合，毕竟是模型，和实际还是有差距，也有适用范围.所以可以通过补充数据检验和修改模型，以提高拟合效果.返回规律与方法课件43张PPT。习题课　函数的应用第3章　指数函数、对数函数和幂函数1.进一步掌握常用的函数模型解析式的求法及应用；
2.提高在面临实际问题时，通过自己建立函数模型来解决问题的能力；
3.培养借助表格、图象处理数据的能力.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　常见函数模型答案问题导学 　　　　新知探究 点点落实ax＋b(a、b为常数，a≠0)ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)axn＋b(a，b为常数，a≠0)知识点二　幂、指数、对数函数增长速度比较答案增函数增函数增函数陡稳定快于快于ax>xn>logax知识点三　使用函数模型的注意事项答案思考1　(1)求给定的函数模型的解析式，通常使用_________法.
(2)使用待定系数法求解析式时，假设有n个系数待定，则需要列____个关于待定系数的方程.待定系数n思考2　回想一下当你面临实际问题时，是如何建立函数模型的，特别需要注意哪些要点？答案答案　处理实际问题的关键是：①全面、准确地接收题目提供的信息，②根据需求整理信息，③正确表达其中蕴含的数量关系，④注意变量的实际意义对取值范围的影响.思考3　回顾上节例3人口增长问题的处理方法，回答下列问题：
(1)如何寻找拟合函数？答案(2)当有多个候选拟合函数模型时，如何进行选择？(3)使用拟合函数预测的结果一定准确吗？预报准确度受哪些因素影响？答案　根据原始数据、表格，绘出散点图；考察散点图，画出拟合曲线；从函数模型中挑出“最贴近”拟合曲线的函数类型，求出其待定系数.答案　把已知数据特别是远期数据分别代入候选函数，根据拟合效果择优录用.答案　利用拟合函数得到的结果不一定准确.预报准确度与建立拟合函数依据的制约因素全面与否，数据采集密集度，采集区间长度都有关系.思考4　我们在处理以往案例中，大量使用了表格、图象.用它们处理数据有什么优势？答案答案　表格便于我们定量观察量与量之间的依存关系.单调性及增长速度，图象则更直观.返回类型一　选择函数模型的实际问题题型探究 　　　　重点难点 个个击破例1　某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？按此模型，如果某人的销售利润是343万元，则所获奖金为多少？反思与感悟解析答案解　确定三个奖励模型中哪个能符合公司的要求，其本质是判断这三个函数模型哪一个的函数值y符合y≤5且y≤0.25x.
下面画出了三个奖励模型的函数图象，反思与感悟解析答案观察图象，对于模型y＝0.25x，当x＝20时，y＝5，因此，当x>20时，y>5，所以不符合.?反思与感悟解析答案?反思与感悟用函数有关的知识建立数学模型，难点是理解题意，把实际问题数学化，建立数学模型一定要过好三关.
(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口.
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型.反思与感悟解析答案跟踪训练1　假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？解析答案解　设第x天所得的回报为y元，那么方案一对应的函数为y＝40(x∈N*)；方案二对应的函数为y＝10x(x∈N*)；方案三对应的函数为y＝0.4×2x－1
(x∈N*).
这三个方案的回报如下表：解析答案解析答案从每天的回报量来看：第1～3天方案一最多；第4天方案一和方案二一样多，方案三最少；第5～8天方案二最多；第9天以后方案三最多.
这三个函数模型的图象如下图所示.解析答案从中分析出它们的增长在速度上的差异是：方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数是增函数，方案二的函数的增长量固定不变，方案三的增长是加速的，比方案二快的多.回
报/
元从累积回报来看，投资1～6天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或第二种投资方案；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天(含11天)以上，应选择第三种投资方案. 类型二　幂函数、指数函数、对数函数增长的差异探究反思与感悟例2　观察下面表中的数据，你对函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x的增长差异有什么认识？解　尽管在x的某一范围内，有2x4时，2x>x2>log2x.解析答案判断函数的增长速度，一是可以直接感受函数值的增长快慢.二是可以设缩小，Δx＝xn＋1－xn.通过观察函数值的差Δy＝f(x＋Δx)－f(x)来量化.三还可以借助图象，增长速度匀速的，图象是直线；增长速度越来越快的图象表现为下凹，反之则为上凸.反思与感悟跟踪训练2　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；解　当x充分大时，图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，另一个函数就是幂函数y＝x3.∴C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.解析答案(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 013)，g(2 013)的大小.解　∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，
∴1＜x1＜2,9＜x2＜10.∴x1＜6＜x2,2 013＞x2.
从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，
∴f(6)＜g(6).
当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2 013)＞g(2 013).
又g(2 013)＞g(6)，∴f(2 013)＞g(2 013)＞g(6)＞f(6).解析答案类型三　选择拟合函数的问题例3　某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：解析答案(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.解　以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.解析答案根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？反思与感悟解　将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175, 由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2, 所以，这个男生偏胖.解析答案反思与感悟依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的函数模型的探索方法：
(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；
(2)根据散点图设出比较接近的可能的函数模型的解析式；
(3)利用待定系数法求出各解析式；
(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题.跟踪训练3　为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；解　利用计算机几何画板软件，描点如图甲.解析答案(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；解析答案解　从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx.解析答案用计算器可得a≈2.4，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型：y＝2.4＋1.8x.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系.(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，可以灌溉土地多少公顷？返回解　由y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公顷.解析答案?1232 400达标检测 　　　　45答案2.某种电热水器的水箱盛满水是200升.浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止.现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供____人洗澡.1234解析答案5解析　设t分钟时水箱的水有y升，依题意有y＝200＋2t2－34t，当t＝8.5时，y有最小值，共放水289升，可供4人洗澡.43.某种商品第一年提价25%，第二年欲恢复成原价，则应降价________.1234520%答案123454.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差___元.10答案答案123455.下列四个函数随x的增长而增长最快的是___.(填序号)
①y＝ex; ②y＝ln x；
③y＝x100; ④y＝2x.①1.函数模型的应用实例主要包括三个方面
(1)利用给定的函数模型解决实际问题；
(2)建立确定的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.
2.解决实际问题的流程规律与方法3.在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)、y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，logax＜xn＜ax.4.函数拟合与预测的一般步骤
(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图.
(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的.因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.返回课件31张PPT。习题课　对数函数第3章　指数函数、对数函数和幂函数1.巩固和深化对数及其运算的理解和运用；
2.掌握简单的对数函数的图象变换及其应用；
3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题．问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一　对数概念及其运算答案问题导学 　　　　新知探究 点点落实1.a>0，且a≠1
由指数式对数式互化可得恒等式：2.对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质：
(1)0和负数没有对数，即N 0；
(2)loga1＝ ；
(3)logaa＝ .N>01?答案loga(MN)??知识点二　对数函数及其图象、性质答案函数 叫做对数函数.
(1)对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的定义域为 ；值域为 ；
(2)对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象过点 ；
(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递 ；
当0(4)直线y＝1与函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象交点为 .y＝logax(a>0，a≠1)(0，＋∞)(1,0)增减(a,1)返回R类型一　对数式的化简与求值题型探究 　　　　重点难点 个个击破解　方法一　利用对数定义求值：解析答案??∴x＝－1.方法二　利用对数的运算性质求解：???反思与感悟解析答案?反思与感悟解析答案反思与感悟???在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化.反思与感悟解析答案解析答案(2)已知函数f(x)＝lg x，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝____.解析　∵f(ab)＝lg(ab)＝1.
∴f(a2)＋f(b2)＝lg a2＋lg b2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2.2类型二　对数函数图象的应用?解析答案解　∵f(x)＝logax，则y＝|f(x)|的图象如图.跟踪训练2　已知函数f(x)＝|lg x|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是__________.解析答案解析答案解析　画出函数f(x)＝|lg x|的图象如图所示.∵0＜a＜b，f(a)＝f(b)，∴0＜a＜1，b＞1，
∴lg a＜0，lg b＞0.
又f(a)＝f(b)，∴－lg a＝lg b，ab＝1，答案　(3，＋∞)类型三　对数函数的综合应用例3　已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上.
(1)写出函数g(x)的解析式；解析答案解　设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，
则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，
∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，
∴－y＝loga(－x＋1)，
即y＝g(x)＝－loga(1－x).(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围.解析答案由题意知，只要F(x)min≥m即可.
∵F(x)在[0,1)上是单调增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.
故m≤0即为所求.解析答案解析答案(2)你发现这样的函数f(x)还具有其他什么样的性质？试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来，并加以证明.返回解　发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是奇函数.
因为x＝y＝0代入条件，得f(0)＋f(0)＝f(0)，
所以f(0)＝0.
将y＝－x代入条件得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0?f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)在(－1,1)上是奇函数.
又发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是单调减函数.解析答案返回即f(x)－f(y)＞0?f(x)＞f(y)，
所以函数f(x)在(－1,1)上是单调减函数.解析　在同一坐标系内分别画出y＝log2(x＋4)，y＝3x的图象如下：1231.方程log2(x＋4)－3x＝0的实根个数为____.达标检测 　　　　4解析答案5由图易知y＝log2(x＋4)与y＝3x图象有2个交点，
∴log2(x＋4)＝3x有2个根.22.对于函数f(x)的定义域中任意x1，x2(x1≠x2)，当f(x)＝lg x时，有如下结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；
②f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；②③1234答案5上述结论中正确的为________.(填序号)3.已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为________.解析答案12345解析答案123454.函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的
值为____.??解析答案123453?规律与方法4.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数).
5.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.
6.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.返回课件36张PPT。章末复习课第3章　指数函数、对数函数和幂函数1.掌握基本初等函数的图象和性质；
2.会借助基本初等函数的图象性质研究函数与方程问题；
3.能建立函数模型解决简单的实际问题．要点归纳题型探究达标检测学习目标知识网络构建要点归纳 　　　　主干梳理 点点落实1.分数指数幂
(1)方根：如果一个实数x满足 (n>1，n∈N*)，那么称x为a的n次实数方根.xn＝a答案重点知识回顾(3)幂的运算性质：asat＝ ，(as)t＝ ，(ab)t＝ .其中，a 0，b 0，s，t∈Q.as＋tast>>atbt2.指数函数
函数 (a>0，a≠1)叫做指数函数,它的定义域是 ,值域是 ，指数函数的图象恒过定点 .
当 时，函数y＝ax在(－∞，＋∞)上是单调增函数；
当 时，函数y＝ax在(－∞，＋∞)上是单调减函数.y＝ax答案(0，＋∞)(0,1)a>10>?logaN＝b4.对数函数
函数 (a>0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是 ，值域是 ，对数函数的图象恒过定点 .
当 时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是单调增函数；
当05.幂函数
形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.当 时，幂函数的图象恒过(0,0)，(1,1)两个点，函数在区间[0，＋∞)上是增函数.y＝logax答案(0，＋∞)(1,0)a>1y＝xαα>0R6.函数的零点
使函数y＝f(x)的值为 的实数x称为函数y＝f(x)的零点.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，且 ，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.0答案不间断f(a)·f(b)<0本章先研究了三种基本的初等函数：指数函数、对数函数及幂函数，接下来学习了函数的应用和函数与方程的结合.函数在研究方程的根的问题上起到了不小的作用.几种基本初等函数模型在现实生活中大量的应用着，因此本章内容无论是知识性，还是应用性，都成为高考的热点，考查的题型既有填空题又有解答题.高考中，几乎每套试卷都有本章的考查，有单独考查的，也有与其他知识结合命题的，希望同学们在平时生活中多多应用数学，做一个有心人.高考考向分析返回类型一　指数、对数的运算题型探究 　　　　重点难点 个个击破提炼化简方向：根式化分数指数幂，异底化同底.
化简技巧：分与合.
注意事项：变形过程中字母范围的变化.解析答案例1　化简：(1) 解　原式＝ ＝log39－9＝2－9＝－7.反思与感悟解析答案指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.反思与感悟解析答案解析　∵log32×log2(log327)＝log32×log23∴原式＝ 111类型二　幂、指数、对数函数的综合应用反思与感悟解析答案反思与感悟所以1＋2x＋a·4x>0在(－∞，1]上恒成立.
因为4x>0，解析答案反思与感悟指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究.反思与感悟跟踪训练2　函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求函数f(x)的定义域；解得－3则h(t)＝t2＋t－1，
令h(t)＝t2＋t－1＝0，解析答案∴函数g(x)不存在零点.反思与感悟(2)求函数g(x)的最小值.解析答案解　设t＝ex，则h(t)＝t2＋|t－a|(显然t∈[1,3]).
当a≤1时，h(t)＝t2＋t－a在区间[1,3]上是增函数，
所以h(x)的最小值为h(1)＝2－a.?反思与感悟1.函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.
2.确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.跟踪训练3　若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则函数f(x)可以是_____.
①f(x)＝4x－1; ②f(x)＝(x－1)2；③f(x)＝ex－1; ④f(x)＝ln(x－1).解析答案①类型四　函数模型及应用例4　在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的函数关系为R＝kr4(k>0，k是常数).
(1)假设气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量速率R的表达式；解　由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数).
由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，解析答案反思与感悟(2)已知(1)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率.即气体通过管道半径为5 cm时，该气体的流量速率约为3 086 cm3/s.解析答案反思与感悟一旦选定函数模型，下面的工作就是挖掘题目条件求出待定系数.跟踪训练4　为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝ (a为常数)，如图，根据图中所提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间
的函数关系式为____________________.解析　由题意和图示知，当0≤t≤0.1时，可设y＝kt(k为待定系数)，由于点(0.1,1)在直线上，∴k＝10；
同理，当t>0.1时，解析答案(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过______小时后，学生才能回到教室.返回解析　由题意可得 <0.25，得t>0.6，即至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室.解析答案0.61232达标检测 　　　　4解析答案52.函数y＝ 的值域为__________.1234解析答案5解析答案12345异解析答案123454.已知函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，a≠1)，那么函数f(x)的零点个数是________.解析　在同一坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，当a＞1时，如图(1)，当0＜a＜1时，如图(2).1或2答案123455.用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是下图中的_____.x31.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题.
2.从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查.
3.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围.规律与方法4.函数模型的应用实例的基本题型
(1)给定函数模型解决实际问题；
(2)建立确定的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.
5.函数建模的基本过程如图返回