第1章 集 合
§1.1 集合的含义及其表示
第1课时 集合的含义
课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．
1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个________．集合中的每一个对象称为该集合的________，简称______．
2．集合通常用________________表示，用____________________表示集合中的元素．
3．如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a____A，读作“a______A”，如果a不是集合A的元素，就说a__________A，记作a____A，读作“a________A”．
4．集合中的元素具有________、________、________三种性质．
5．实数集、有理数集、整数集、自然数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____或______来表示．
一、填空题
1．下列语句能确定是一个集合的是________．(填序号)
①著名的科学家；
②留长发的女生；
③2010年广州亚运会比赛项目；
④视力差的男生．
2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是________．(填序号)
①0∈A；②a?A；③a∈A；④a＝A.
3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是________．(填序号)
①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形．
4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是________．(填序号)
①1；②－2；③6；④2.
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________．
6．由实数x、－x、|x|、及－所组成的集合，最多含有________个元素．
7．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)
①不超过π的正整数；
②本班中成绩好的同学；
③高一数学课本中所有的简单题；
④平方后等于自身的数．
8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．
9．用符号“∈”或“?”填空
－______R，－3______Q，－1_______N，π______Z.
二、解答题
10．判断下列说法是否正确？并说明理由．
(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；
(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；
(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素；
(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．
11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.
能力提升
12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A (a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．
2．集合中元素的三个性质
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．
第1章 集 合
§1.1 集合的含义及其表示
第1课时 集合的含义
知识梳理
1．集合 元素 元 2.大写拉丁字母A，B，C… 小写拉丁字母a，b，c，… 3.属于 ∈ 属于 不属于 ? 不属于
4．确定性 互异性 无序性 5.R Q Z N N* N＋
作业设计
1．③
解析 ①、②、④都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．
2．③
解析 由题意知A中只有一个元素a，∴0?A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”．
3．④
解析 集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的．
4．③
解析 因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将各项中的数值代入验证知填③.
5．3
解析 由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．
6．2
解析 因为|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．
7．①④
解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.
8．－1
解析 当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.
9．∈ ∈ ? ?
10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．
(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．
(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．
(4)不正确，因为个子高没有明确的标准．
11．解 由－3∈A，
可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，
∴a＝－.
12．解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．
13．证明 (1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，
∴A不可能为单元素集．
第2课时 集合的表示
课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
1．列举法
将集合的元素____________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．两个集合相等
如果两个集合所含的元素____________，那么称这两个集合相等．
3．描述法
将集合的所有元素都具有的______(满足的______)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．
4．集合的分类
(1)有限集：含有________元素的集合称为有限集．
(2)无限集：含有________元素的集合称为无限集．
(3)空集：不含任何元素的集合称为空集，记作____．
一、填空题
1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为___________________________________．
2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示________．(填序号)
①方程y＝2x－1；
②点(x，y)；
③平面直角坐标系中的所有点组成的集合；
④函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合．
3．将集合表示成列举法为______________．
4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为________．
5．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则有________．(填序号)
①－1∈A；②0∈A；③∈A；④2∈A.
6．方程组的解集不可表示为________．
①{(x，y)|}；②{(x，y)|}；
③{1,2}；④{(1,2)}．
7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，∈N}＝______________________________.
8．下列各组集合中，满足P＝Q的为________．(填序号)
①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；
②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；
③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．
9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)
①M＝{π}，N＝{3.141 59}；
②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；
③M＝{x|－1
④M＝{1，，π}，N＝{π，1，|－|}．
二、解答题
10．用适当的方法表示下列集合
①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
③不等式x－2>6的解的集合；
④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
能力提升
12．下列集合中，不同于另外三个集合的是________．
①{x|x＝1}；②{y|(y－1)2＝0}；③{x＝1}；④{1}．
13．已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是____________________________________________________．
1．在用列举法表示集合时应注意：
①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？
(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
第2课时 集合的表示
知识梳理
1．一一列举 2.完全相同 3.性质 条件
4．(1)有限个 (2)无限个 (3)?
作业设计
1．{1,2,3,4}
解析 {x∈N＋|x－3<2}＝{x∈N＋|x<5}＝{1,2,3,4}．
2．④
解析 集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合．
3．{(2,3)}
解析 解方程组得
所以答案为{(2,3)}．
4．{1}
解析 方程x2－2x＋1＝0可化简为(x－1)2＝0，
∴x1＝x2＝1，
故方程x2－2x＋1＝0的解集为{1}．
5．②
6．③
解析 方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故③不符合．
7．{5,4,2，－2}
解析 ∵x∈Z，∈N，
∴6－x＝1,2,4,8.
此时x＝5,4,2，－2，即A＝{5,4,2，－2}．
8．②
解析 ①中P、Q表示的是不同的两点坐标；
②中P＝Q；③中P表示的是点集，Q表示的是数集．
9．④
解析 只有④中M和N的元素相等，故答案为④.
10．解 ①∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，
∴解集为{0，－1}；
②{x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}；
③{x|x>8}；
④{1,2,3,4,5,6}．
11．解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，
满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，
所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．
12．③
解析 由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}
＝{1}，
而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合．
13．x0∈N
解析 M＝{x|x＝，k∈Z}，
N＝{x|x＝，k∈Z}，
∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，
∴x0∈M时，一定有x0∈N.
§1.2 子集、全集、补集
课时目标 1.理解子集、真子集的意义，会判断两集合的关系.2.理解全集与补集的意义，能正确运用补集的符号.3.会求集合的补集，并能运用Venn图及补集知识解决有关问题．
1．子集
如果集合A的__________元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A称为集合B的________，记作______或______．任何一个集合是它本身的______，即A?A.
2．如果A?B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的________，记为______或(______)．
3．______是任何集合的子集，______是任何非空集合的真子集．
4．补集
设A?S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的______，记为______(读作“A在S中的补集”)，即?SA＝{x|x∈S，且x?A}．
5．全集
如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个______，全集通常记作U.
集合A相对于全集U的补集用Venn图可表示为
一、填空题
1．集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是________．
2．满足条件{1,2}M?{1,2,3,4,5}的集合M的个数是________．
3．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则?UA＝________.
4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则?UM＝________.
5．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是_____________________________．
6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．
7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则?UA＝________，?UB＝______，?BA＝________.
9．已知全集U，AB，则?UA与?UB的关系是____________________．
二、解答题
10．设全集U＝{x∈N*|x<8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}．
(1)求?U(A∪B)，?U(A∩B)；
(2)求(?UA)∪(?UB)，(?UA)∩(?UB)；
(3)由上面的练习，你能得出什么结论？请结事Venn图进行分析．
11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设集合U＝A，求?UB.
能力提升
12．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，?UA＝{5}，求实数a，b的值．
13．已知集合A＝{x|11．子集概念的多角度理解
(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝?时，A?B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A?B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A?B.
2．?UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A?U；其次是定义?UA＝{x|x∈U，且x?A}，补集是集合间的运算关系．
3．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.
§1.2 子集、全集、补集
知识梳理
1．任意一个 子集 A?B B?A 子集 2.真子集 AB BA
3．空集 空集 4.补集 ?SA 5.全集
作业设计
1．PQ
解析 ∵P＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，
∴PQ.
2．7
解析 M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．
3．{3,9}
解析 在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成?UA.
4．{x|x<－2或x>2}
解析 ∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴?UM＝{x|x<－2或x>2}．
5．②
解析 由N＝{－1,0}，知N?M.
6．SP＝M
解析 运用整数的性质方便求解．集合M、P表示成被3整除余1的整数集，集合S表示成被6整除余1的整数集．
7．－3
解析 ∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.
8．{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5}
解析 由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得?UA＝{0,1,3,5,7,8}，?UB＝{7,8}，?BA＝{0,1,3,5}．
9．?UB?UA
解析 画Venn图，观察可知?UB?UA.
10．解 (1)∵U＝{x∈N*|x<8}＝{1,2,3,4,5,6,7}，A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，A∩B＝{5}，∴?U(A∪B)＝{6}，?U(A∩B)＝{1,2,3,4,67}．
(2)∵?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,3,6,7}，∴(?UA)∪(?UB)＝{1,2,3,4,6,7}，(?UA)∩(?UB)＝{6}．
(3)?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)(如左下图)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)(如右下图)．
11．解 因为B?A，因而x2＝3或x2＝x.
①若x2＝3，则x＝±.
当x＝时，A＝{1,3，}，B＝{1,3}，此时?UB＝{}；
当x＝－时，A＝{1,3，－}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，－}，此时?UB＝{－}．
②若x2＝x，则x＝0或x＝1.
当x＝1时，A中元素x与1相同，B中元素x2与1也相同，不符合元素的互异性，故x≠1；
当x＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，U＝A＝{1,3,0}，从而?UB＝{3}．
综上所述，?UB＝{}或{－}或{3}．
12．解 ∵?UA＝{5}，∴5∈U且5?A.
又b∈A，∴b∈U，由此得
解得或经检验都符合题意．
13．解 (1)当a＝0时，A＝?，满足A?B.
(2)当a>0时，A＝{x|又∵B＝{x|－1(3)当a<0时，A＝{x|∵A?B，∴∴a≤－2.
综上所述，a＝0或a≥2或a≤－2.
§1.3 交集、并集
课时目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
1．交集
(1)定义：一般地，由____________________元素构成的集合，称为集合A与B的交集，记作________．
(2)交集的符号语言表示为A∩B＝__________.
(3)交集的图形语言表示为下图中的阴影部分：
(4)性质：A∩B＝______，A∩A＝____，A∩?＝____，A∩B＝A?______.
2．并集
(1)定义：一般地，________________________的元素构成的集合，称为集合A与B的并集，记作______．
(2)并集的符号语言表示为A∪B＝______________.
(3)并集的图形语言(即Venn图)表示为图中的阴影部分：
(4)性质：A∪B＝______，A∪A＝____，A∪?＝____，A∪B＝A?______，A____A∪B，A∩B____A∪B.
一、填空题
1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B＝________.
2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B＝________.
3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是________．
①A?B；②B?C；③A∩B＝C；④B∪C＝A.
4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N＝________.
5．设集合A＝{5,2a}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＋b等于________．
6．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则下列关系正确的是________．
①N∈M；②M∪N＝M；③M∩N＝M；④M>N.
7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.
8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.
9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1二、解答题
10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝?.求p，q的值．
11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
能力提升
12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为________．
13．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．
1．对并集、交集概念全方面的感悟
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．
“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
拓展 交集与并集的运算性质，除了教材中介绍的以外，还有A?B?A∪B＝B，A?B?A∩B＝A.这种转化在做题时体现了化归与转化的思想方法，十分有效．
§1.3 交集、并集
知识梳理
1．(1)所有属于集合A且属于集合B的 A∩B (2){x|x∈A，且x∈B} (4)B∩A A ? A?B 2.(1)由所有属于集合A或属于集合B A∪B (2){x|x∈A，或x∈B} (4)B∪A A A B?A
? ?
作业设计
1．{0,1,2,3,4}
2．{x|－1≤x<1}
解析 由交集定义得{x|－1≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－1≤x<1}．
3．④
解析 参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A＝B∪C.
4．{(3，－1)}
解析 M、N中的元素是平面上的点，M∩N是集合，并且其中元素也是点，解得
5．3
解析 依题意，由A∩B＝{2}知2a＝2，
所以，a＝1，b＝2，a＋b＝3.
6．②
解析 ∵NM，∴M∪N＝M.
7．0或1
解析 由A∪B＝A知B?A，
∴t2－t＋1＝－3①
或t2－t＋1＝0②
或t2－t＋1＝1③
①无解；②无解；③t＝0或t＝1.
8．1
解析 ∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.
9．－1 2
解析 ∵B∪C＝{x|－3∴A∩(B∪C)＝A，
由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}，
∴a＝－1，b＝2.
10．解 由A∩C＝A，A∩B＝?，可得：A＝{1,3}，
即方程x2＋px＋q＝0的两个实根为1,3.
∴，∴.
11．解 ∵A∩B＝B，∴B?A.
∵A＝{－2}≠?，∴B＝?或B≠?.
当B＝?时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠?时，此时a≠0，则B＝{－}，
∴－∈A，即有－＝－2，得a＝.
综上，得a＝0或a＝.
12．6
解析 x的取值为1,2，y的取值为0,2，
∵z＝xy，∴z的取值为0,2,4，所以2＋4＝6.
13．解 符合条件的理想配集有
①M＝{1,3}，N＝{1,3}．
②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．
③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．
共3个．
课件27张PPT。第1章 1.1 集合的含义及其表示第1课时 集合的含义1.通过实例理解集合的有关概念；
2.初步理解集合中元素的三个特性；
3.体会元素与集合的属于关系；
4.了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象．问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一 集合的概念答案问题导学 新知探究 点点落实思考 有首歌中唱道：“他大舅他二舅都是他舅”你能从集合的角度解读一下这句话吗？答案 “某人的舅”是一个集合，某人的大舅、二舅都是这个集合中的元素．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．常用大写字母A，B，C，…来表示．
集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．
集合的元素常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． 知识点二 元素与集合的关系答案??一般地，元素与集合的关系有两种，分别为 、 ，数学符号分别为 、 .属于不属于∈?知识点三 元素的三个特性答案思考1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？集合元素确定性的含义是什么？答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合，因“帅哥”无明确的标准．高于175厘米的男生能构成一个集合，因标准确定．元素确定性的含义：集合中的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．思考2 构成单词“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少个？答案答案 2个．集合中的元素互不相同，这叫元素的互异性．思考3 “中国的直辖市”构成的集合中，元素包括哪些？甲同学说：北京、上海、天津、重庆；乙同学说：上海、北京、重庆、天津，他们的回答都正确吗？由此说明什么？答案 两个同学都说出了中国直辖市的所有城市，因此两个同学的回答都是正确的，由此说明集合中的元素是无先后顺序的，这就是元素的无序性．一般地，元素的三个特性是指 、 、 ．确定性互异性无序性知识点四 常用数集及表示符号NN*或N＋返回答案ZQR类型一 集合的概念题型探究 重点难点 个个击破例1 考察下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；解 对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；解析答案(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；解 能构成集合；(3)某校2015年在校的所有高个子同学；解 “高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；反思与感悟解析答案??判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．解析答案跟踪训练1 下列给出的对象中，能构成集合的是___．
①著名数学家； ②很大的数；
③聪明的人； ④小于3的实数．解析 只有④有明确的标准，能构成一个集合．④类型二 元素与集合的关系?解析答案解析答案(2)若A为单元素集合，求a.即a2＋a－1＝0，反思感悟因为集合元素具有确定性，故元素与集合有且只有两种关系：∈，?.跟踪训练2 已知集合A中的元素是自然数，且满足“若a∈A，则4－a∈A”，则集合A中最多有___个元素．解析 因为集合A中的元素是自然数，且a∈A,4－a∈A，所以a≥0,4－a≥0，解得0≤a≤4，又a是自然数，所以集合A中最多有0,1,2,3,4共5个元素．解析答案5类型三 元素的三个特性的应用例3 已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素0,1，x.
(1)若－3∈A，求a的值；解 由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求．
∴a＝0或－1.解析答案反思与感悟(2)若x2∈B，求实数x的值．解 当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，
但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.解析答案无序性应用主要在元素属于某集合，则可能是集合中任一元素；互异性应用在求出某值后要验证集合中元素是否重复．跟踪训练3 若a2－a＋2∈{0,2,4,2－a}，求实数a.返回解 (1)若a2－a＋2＝0，无解．
(2)若a2－a＋2＝2，即a2－a＝0，a＝0或1.
但a＝0时，2－a＝2，违反元素互异性，舍去；
(3)若a2－a＋2＝4，即a2－a－2＝0，a＝2或a＝－1.
但a＝2时，2－a＝0，违反元素互异性，舍去．
(4)若a2－a＋2＝2－a，a＝0，同上舍去．
综上，a＝1或－1.解析答案1231.下列给出的对象中，能组成集合的是____.
①一切很大的数；
②好心人；
③漂亮的小女孩；
④方程x2－1＝0的实数根.④达标检测 4答案52.下面说法正确的是____.
①所有在N中的元素都在N*中；
②所有不在N*中的数都在Z中；
③所有不在Q中的实数都在R中；
④方程4x＝－8的解既在N中又在Z中.③1234答案53.由“book中的字母”构成的集合中元素个数为___.3答案12345?∈∈??答案12345解析答案5.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m＝___.解析 由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意.3123451.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.
2.元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a?A.
3.集合中元素的三个特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系.返回课件29张PPT。第2课时 集合的表示第1章 1.1 集合的含义及其表示1.掌握用列举法表示有限集；
2.理解描述法格式及其适用情形；
3.学会在集合不同的表示法中作出选择和转换；
4.理解集合相等、有限集、无限集、空集等概念.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一 列举法答案问题导学 新知探究 点点落实思考 要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合.而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？答案 把它们一一列举出来.知识点二 描述法答案思考 能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？答案 不能.表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}.知识点三 Venn图知识点四 集合相等、有限集、无限集、空集答案思考1 集合A＝{x|x＝4k±1，k∈Z}与集合B＝{y|y＝2n－1，n∈Z}元素是否完全相同？答案 用列举法表示两个集合，
即A＝{…，－1,1,3,5，…}；
B＝{…，－1,1,3,5，…}.
∴A与B尽管形式不一样，但它们所含的元素完全一样，故A＝B.一般地，如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，则称这两个集合相等，记作A＝B.思考2 集合A＝{x∈R|x2<1}，B＝{x∈N|x2<1}，C＝{x∈R|x2<－1}中的元素各有多少个？答案 A＝{x∈R|－1B＝{0}，元素只有一个；
C中没有元素.答案一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集，不含任何元素的集合称为空集，记作?.返回类型一 用列举法表示集合题型探究 重点难点 个个击破例1 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；解 设小于10的所有自然数组成的集合为A，
那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.解析答案反思与感悟解析答案(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合.解 设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，
那么B＝{0,1}.解 设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.1.花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的.
2.列举法表示的集合的种类
(1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；
(2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；
(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}.解析答案跟踪训练1 用列举法表示下列集合.
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；解 满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}.解析答案解 ∵a≠0，b≠0，
∴a与b可能同号也可能异号，故故所有的值组成的集合为{－2,0,2}.类型二 用描述法表示集合例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合.
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；解 设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为解析答案反思与感悟(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.解 设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10B＝{x∈Z|10(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；解 方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}.解析答案(2)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合.解 “二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}.类型三 选择适当的方法表示集合反思与感悟例3 用适当的方法表示下列集合.
(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；解 列举法：{0,2,4}；或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}.解析答案(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合.解 列举法：{(0,0)，(2,0)}.解 描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}.用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.跟踪训练3 若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2 000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝____________________.返回解析 由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2 000的值为2 000,2 001,2 004，所以B＝{2 000,2 001,2 004}.解析答案{2 000,2 001,2 004}1231.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为____.{1}达标检测 4答案52.一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是__________.{(1，－2)}1234答案53.设A＝{x∈N|1≤x<6}，用列举法表示为____________.{1,2,3,4,5}答案123454.第一象限的点组成的集合可以表示为__________________.{(x，y)|x>0且y>0}答案12345答案5.集合A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋3，k∈Z}，则A____B.＝123451.在用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示.
2.在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；
(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.返回课件25张PPT。1.2 子集、全集、补集第1章 集 合1.理解子集、真子集、全集、补集的概念；
2.能用符号和Venn图，数轴表达集合间的关系；
3.掌握列举有限集的所有子集的方法，给定全集，会求补集.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一 子集答案问题导学 新知探究 点点落实思考 如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？答案 所有的白马都是马，马不一定是白马.知识点二 真子集答案思考 在知识点一中，我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？答案 用真子集.知识点三 全集、补集答案思考 自然数集N中，除了正整数还有谁？整数集Z中呢？答案 N中除了正整数还有0.Z中除了正整数还有负整数和0.1.全集
如果集合S包含我们所要研究的各个集合，那么这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.
2.补集返回类型一 如何理解子集、真子集的概念题型探究 重点难点 个个击破例1 已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A?B，求实数a的值.?反思与感悟解析答案集合A的子集可分三类：?、A本身，A的非空真子集，解题中易忽略?.解析答案跟踪训练1 已知集合A＝{x|1所以?UA＝{4,5,6,7,8}，?UB＝{1,2,7,8}.解 ?UB＝{x|x是三边都不相等的三角形}；
?AB＝{x|x是有且仅有两边相等的三角形}.(3)U＝R，A＝{x|1∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}.
而?UB＝{－1,0,2}，
∴B＝?U(?UB)＝{－3,1,3,4,6}.解 A＝{x|x<－1或x≥1}.1231.下列命题中正确的有___个.
(1)空集没有子集； (2)任何集合都至少有两个子集；
(3)空集是任何集合的真子集； (4)若??A，则A≠?； (5)?＝{0}.1达标检测 4解析答案5解析 利用子集、真子集、空集的概念逐一判断：
(1)错误，因为空集是任何集合的子集，所以???；
(2)错误，如?，它只有一个子集；
(3)错误，因为空集不是空集的真子集；
(4)正确，因为空集是任何非空集合的真子集；
(5)错误，因为{0}表示由元素0所组成的单元素集，不是空集.2.用适当的符号填空：
(1){a，b}___{a，b，c}，a__{a，b，c}；
(2)?___ {x|x2＋3＝0，x∈R}，?____R；
(3)N____ {0,1}，Q___N；
(4){0}____{x|x2－x＝0}.? 1234答案5∈＝????3.已知S＝{2,3,4}，A＝{4,3}，则?SA＝____.解析答案12345解析 ?SA表示S中不属于A的所有元素组成的集合.{2}解析答案123454.已知A＝{x|x≥3，x∈R}，U＝R，则?UA＝________.解析 借助数轴，得?UA＝{x|x<3}.{x|x<3}解析答案123455.已知集合：(1){0}；(2){?}；(3){x|3m3m，此集合不是空集.在集合(4)中，不论a取何值，a＋2总是大于a，故集合(4)是空集.对于集合(5)，x2＋2x＋5＝0在实数范围内无解，故为空集.故填(4)(5).(4)(5)1.对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法.
(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.
(3)在真子集的定义中，A?B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x∈A./2.集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉.
3.补集是相对于全集而言的，有限集求补集一般借助Venn图，连续的数集求补集常用数轴，求时注意端点取舍.返回课件28张PPT。1.3 交集、并集第1章 集 合1.理解交集、并集、区间的概念；
2.会用符号、Venn图和数轴表示交集、并集；
3.会求简单集合的交、并、补综合运算.问题导学题型探究达标检测学习目标知识点一 交集答案问题导学 新知探究 点点落实思考 一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？答案 1张.红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有红桃A一张.
交集的概念及性质：知识点二 并集答案思考 某次校运动会上，高一(一)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛.已知两项都报的有3人，你能算出高一(一)班参赛人数吗？答案 19人.参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19人.
并集的概念及性质：知识点三 集合的区间表示为叙述方便，在今后的学习中，常常会用到区间的概念，用区间表示集合如下表(其中a，b∈R，且a＝{x|－1A∩B＝{x|1A∩B＝{(2,3)}，几何意义是两条直线x＝2和y＝3的交点组成的集合.在利用集合的交集、并集性质解题时，若条件中出现A∪B＝A，或A∩B＝B，解答时常转化为B?A，然后用集合间的关系解决问题，运算时要考虑B＝?的情况，切记不可漏掉.解析答案跟踪训练1 (1)集合A＝{x|－13}，求A∪B，A∩B；(2)集合A＝{x|2k3}，
A∩B＝{x|－15}，若A∪B＝B，求a的取值范围.解 A∪B＝B?A?B.当2a>a＋3，即a>3时，A＝?，满足A?B.
当2a＝a＋3，即a＝3时，A＝{6}，满足A?B.
当2a－1.解析答案a>－1类型三 集合的综合运算??解析答案∴?UA＝{x|x≥0}.反思与感悟(2)若B＝{x|2a若2a2}
且A∪(?RB)＝R，
∴{x|1≤x≤2}?A，∴a≥2.解析答案a≥21231.已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝____________.{－1,0,1,2}达标检测 4答案52.已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝________.{0,2}12345答案3.设集合P＝{1,2,3,4,5}，集合Q＝{x∈R|2≤x≤5}，那么P∩Q＝__________.12345{2,3,4,5}答案123454.已知A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合A∩B＝____，A∪B＝_________________.?{x|x≤0或x≥1}答案解析答案123455.全集U＝R，A＝{x|－5≤x<1}，B＝{x|x≤2}，则(?UA)∩B＝__________________.解析 ?UA＝{x|x<－5或x≥1}，(?UA)∩B，如图：∴(?UA)∩B＝{x|x<－5或1≤x≤2}.{x|x<－5或1≤x≤2}1.对并集、交集概念的理解
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合.
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.2.集合的交、并、补运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并、补运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否.返回课件25张PPT。章末复习课第1章 集 合1.梳理构建集合的知识网络；
2.系统理解和掌握集合的基础知识；
3.能运用集合间的关系和集合的基本运算解决问题.要点归纳题型探究达标检测学习目标知识网络构建要点归纳 主干梳理 点点落实重点知识回顾答案1.集合元素的三特性：________，________，________.
2.元素与集合有且只有两种关系：____，____.
3.已经学过的集合表示方法有________，_______，________，
_________________，________.确定性 互异性 无序性∈ ?列举法 描述法 Venn图常用数集字母代号 区间4.完成下表：答案x∈A?x∈BA?B答案{x|x∈A且x∈B}5.常用结论
(1)?_____A.
(2)A∪?＝____；A∪A＝____；A∪B＝A?_____.
(3)A∩?＝____；A∩A＝____；A∩B＝A?_____.
(4)A∪(?UA)＝____；A∩(?UA)＝____；?U(?UA)＝____.答案?AAA?B?AA?BU?A返回类型一 集合的概念题型探究 重点难点 个个击破例1 设集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________.{(4,4)}反思与感悟解析答案要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等.解析答案所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.2类型二 集合间的基本关系反思与感悟例2 若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可能取值组成的集合.?解析答案1.在解决两个数集关系问题时，合理运用数轴分析与求解可避免出错.在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论，分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答.
2.对于两集合A，B，当A?B时，不要忽略A＝?的情况.跟踪训练2 设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4x＋a＝0，a为常数} ，若B?A，求实数a的取值范围.解 由已知得A＝{1,2}.若B?A，则集合B有两种情况，B＝?或B≠?.
当B＝?时，方程x2－4x＋a＝0无实根，
∴Δ＝16－4a＜0，∴a＞4.
当B≠?时，若Δ＝0，则有a＝4，B＝{2}?A满足条件；若Δ＞0，则1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，但由根与系数的关系知矛盾，故Δ＞0不成立.
∴当B≠?时，a＝4.
综上所述，满足B?A时，a的取值范围是a≥4.
∴满足B?A的a的取值范围是a＜4.解析答案类型三 集合的交、并、补运算反思与感悟例3 设全集为R，A＝[3,7)，B＝(2,10)，求?R(A∪B)及(?RA)∩B.解 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：解析答案由图知，A∪B＝(2,10)，
∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，
∵?RA＝{x|x<3或x≥7}.
∴(?RA)∩B＝{x|2＝(2,3)∪[7,10).求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否.跟踪训练3 已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3,6}，B＝{1,4,5}，则A∩(?UB)＝______.解析 ∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{1,4,5}，
∴?UB＝{0,2,3,6}，
又∵A＝{1,3,6}，∴A∩(?UB)＝{3,6}.解析答案{3,6}类型四 补集思想的应用反思与感悟例4 若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围.解析答案补集的性质A＝?U(?UA)为我们提供了“正难则反”的解题思想——补集思想，有些数学问题，若直接从正面解决不太容易，或解题思路不明朗，或需要考虑的因素太多，则考虑用补集思想考虑其对立面，即从问题结论的反面出发，探索已知和未知之间的关系，从而化繁为简，化难为易，开拓新的解题思路.跟踪训练4 设集合A＝{x|a≤x≤a＋4}，B＝{x|x<－1，或x>5}，若A∩B≠?，求实数a的取值范围.返回解析答案解得－1≤a≤1.即A∩B＝?时，实数a的取值范围为M＝{a|－1≤a≤1}.
而A∩B≠?时，实数a的取值范围显然是集合M在R中的补集，故实数a的取值范围为{a|a<－1，或a>1}.1231.已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有____个.4达标检测 45答案2.已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1,3，a2－6a＋10}，且M∩N＝{2,3}，则a的值为___.21234解析答案5解析 ∵M∩N＝{2,3}，
∴2∈M,3∈M,2∈N,3∈N.
∴a2－3a＋5＝3且a2－6a＋10＝2.
由a2－3a＋5＝3解得a＝1或a＝2，由a2－6a＋10＝2，解得a＝2或a＝4，∴满足条件的a＝2.12345?答案4.设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(?IM)∩(?IN)＝____.12345?答案答案123455.已知P＝{y|y＝a2＋1，a∈R}，Q＝{m|m＝x2－4x＋5，x∈R}，则P∩Q____P∪Q.(填“＝”“?”或“?”)＝1.要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系.
2.在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一.返回习题课
课时目标 1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．
1．若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，则A∩B等于________．
2．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝________.
3．设集合A＝{x|x≤}，a＝，那么下列关系正确的是________．
①a?A；②a?A；③{a}?A；④{a}A.
4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(?IM)∩(?IN)＝________.
5．设A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，则集合A与B的关系为________．
6．设A＝{x∈Z|－6≤x≤6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5,6}，求：
(1)A∪(B∩C)；
(2)A∩(?A(B∪C))．
一、填空题
1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则集合P、Q的关系为________．
2．符合条件{a}P?{a，b，c}的集合P的个数是________________________．
3．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则M与P的关系是________．
4．如图所示，M，P，S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是________．
5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|36．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．
7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1D∈/A，x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为____．
8．已知全集U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}，?UA＝{5}，则a＝________.
9．设U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，则(?UM)∪(?UN)＝________.
二、解答题
10．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
(1)求A∩B；
(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
11．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？
能力提升
12．对于k∈A，如果k－1?A且k＋1?A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？
13．设数集M＝{x|m≤x≤m＋}，N＝{x|n－≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合M∩N的长度的最小值．
1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解交、并、补集的意义，并能将题目中符号语言准确转化为文字语言．
2．集合运算的法则可借助于Venn图理解，无限集的交集、并集和补集运算可结合数轴，运用数形结合思想．
3．熟记一些常用结论和性质，可以加快集合运算的速度．
4．在有的集合题目中，如果直接去解可能比较麻烦，若用补集的思想解集合问题可变得更简单．
习题课
双基演练
1．{x|－1解析 ∵A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<3}，
∴A∩B＝{x|－12．{x|x<－5或x>－3}
解析 画出数轴，将不等式－35在数轴上表示出来，不难看出M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
3．④
4．?
解析 ∵?IM＝{d，e}，?IN＝{a，c}，
∴(?IM)∩(?IN)＝{d，e}∩{a，c}＝?.
5．A＝B
解析 4k－3＝4(k－1)＋1，k∈Z，可见A＝B.
6．解 ∵A＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}
(1)又∵B∩C＝{3}，
∴A∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．
(2)又∵B∪C＝{1,2,3,4,5,6}，
∴?A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}
∴A∩(?A(B∪C))＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．
作业设计
1．QP
2．3
解析 集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．
3．MP
解析 ∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….
∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….
∴MP.
4．(M∩S)∩(?SP)
解析 阴影部分是M∩S的部分再去掉属于集合P的一小部分，因此为(M∩S)∩(?SP)．
5．{a|3≤a≤4}
解析 根据题意可画出下图．
∵a＋2>a－1，∴A≠?.有解得3≤a≤4.
6．a≤2
解析 如图中的数轴所示，
要使A∪B＝R，a≤2.
7．1
解析 当x＝1时，x－1＝0?A，x＋1＝2∈A；
当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；
当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4?A；
当x＝5时，x－1＝4?A，x＋1＝6?A；
综上可知，A中只有一个孤立元素5.
8．4
解析 ∵A∪(?UA)＝U，由?UA＝{5}知，a2－2a－3＝5，
∴a＝－2，或a＝4.
当a＝－2时，|a－7|＝9,9?U，∴a≠－2.
a＝4经验证，符合题意．
9．{x|x<1或x≥5}
解析 ?UM＝{x|x<1}，?UN＝{x|x<0或x≥5}，
故(?UM)∪(?UN)＝{x|x<1或x≥5}
或由M∩N＝{x|1≤x<5}，(?UM)∪(?UN)＝?U(M∩N)
＝{x|x<1或x≥5}．
10．解 (1)∵B＝{x|x≥2}，
∴A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)∵C＝{x|x>－}，B∪C＝C?B?C，
∴－<2，∴a>－4.
11.
解 由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18人．
12．解 依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．
13．解 在数轴上表示出集合M与N，可知当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1时，M∩N的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|≤x≤}，长度为－＝；当n＝且m＝时，M∩N＝{x|≤x≤}，长度为－＝.综上，M∩N的长度的最小值为.
第1章 集 合(A)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N＝________.
2．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝________.
3．已知集合A{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．
4．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，则A＝________.
5．已知集合A＝{x|x2＋x＋1＝0，m≥0}，若A∩R＝?，则m的取值范围是________．
6．设U为全集，M、N是U的两个子集，用适当的符号填空：
(1)若M?N，则?UM________?UN；
(2)若?UM＝N，则M________?UN.
7．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩(?UM)＝________.
8．已知全集U＝{x|－2 008≤x≤2 008}，A＝{x|09．已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则(A∩?UB)∪(B∩?UA)等于________．
10．已知集合A＝{x|x<1或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|511．已知集合A＝{－2，－1,1,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B＝________.
12．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)
①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；
②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；
③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．
13．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．
14．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_____________________．
二、解答题(本大题共6小题，满分90分)
15．(14分)已知集合A＝{a＋2,2a2＋a}，若3∈A，求a的值．
16．(14分)若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，求b－a的值．
17．(14分)已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(?UA)∩B＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．
18．(16分)设集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
(1)若A＝B，求a的值；
(2)若?A∩B，且A∩C＝?，求a的值；
(3)若A∩B＝A∩C≠?，求a的值．
19．(16分)已知集合A＝{x|020．(16分)向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
第1章 集 合(A)
1．{2,4,8}
解析 因为N＝{x|x是2的倍数}＝{…，0,2,4,6,8，…}，故M∩N＝{2,4,8}．
2．{x|0≤x≤1}
解析 A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，
解得A∩B＝{x|0≤x≤1}．
3．5
解析 若A中有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}，若A中有2个奇数，则A＝{1,3}．
4．.{3,9}
解析 借助于Venn图解，因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又因为(?UB)∩A＝{9}，所以9∈A.
5．0≤m<4
解析 ∵A∩R＝?，∴A＝?，∴方程x2＋x＋1＝0无解，
即Δ＝m－4<0.∴m<4.又m≥0，∴0≤m<4.
6．(1)? (2)＝
解析 (1)由题意，如图所示，
可知?UM??UN.
(2)由?UM＝N，如图所示，
可知M＝?UN.
7．{3,5}
解析 ?UM＝{2,3,5}，N＝{1,3,5}，
则N∩(?UM)＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．
8．0解析 由全集定义知A?U，从而a≤2 008，
又?UA≠U，∴A≠?，从而a>0，综上可知09．{x|x>0或x≤－1}
解析 ∵?UB＝{x|x>－1}，∴A∩?UB＝{x|x>0}．
又∵?UA＝{x|x≤0}，∴B∩?UA＝{x|x≤－1}．
∴(A∩?UB)∪(B∩?UA)＝{x|x>0或x≤－1}．
10．－4
解析 如图所示，
可知a＝1，b＝6,2a－b＝－4.
11．{1,4,9,16}
解析 B＝{x|x＝t2，t∈A}＝{1,4,9,16}．
12．②
解析 ①中P、Q表示的是不同的两点坐标；
②中P＝Q；③中P表示的是点集，Q表示的是数集．
13．6
解析 (1)若A中有且只有1个奇数，则A＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}；
(2)若A中没有奇数，则A＝{2}或?.
14．12
解析 设全集U为某班30人，集合A为喜爱篮球运动的15人，集合B为喜爱乒乓球运动的10人，如图．
设所求人数为x，则x＋10＝30－8?x＝12.
15．解 ∵3∈A，∴a＋2＝3或2a2＋a＝3.
当a＋2＝3时，解得a＝1.
当a＝1时，2a2＋a＝3.
∴a＝1(舍去)．
当2a2＋a＝3时，解得a＝－或a＝1(舍去)．
当a＝－时，a＋2＝≠3，∴a＝－符合题意．∴a＝－.
16．解 由{1，a＋b，a}＝{0，，b}可知a≠0，
则只能a＋b＝0，是有以下对应法则：
①
或②
由①得符合题意；②无解．
所以b－a＝2.
17．解 ∵(?UA)∩B＝{2}，
∴2∈B，但2?A.
∵A∩(?UB)＝{4}，∴4∈A，但4?B.∴，
∴a＝，b＝－.
18．解 B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，
C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4,2}．
(1)若A＝B，由根与系数的关系可得a＝5和a2－19＝6同时成立，即a＝5.
(2)由于?A∩B，且A∩C＝?，故只可能3∈A.
此时a2－3a－10＝0，也即a＝5或a＝－2.
当a＝5时，A＝B＝{2,3}，A∩C≠?，舍去；
当a＝－2时，A＝{－5,3}，满足题意，故a＝－2.
(3)当A∩B＝A∩C≠?时，只可能2∈A，
有a2－2a－15＝0，
也即a＝5或a＝－3，经检验知a＝－3.
19.
解 当a＝0时，显然B?A；
当a<0时，若B?A，如图，
则
∴∴－当a>0时，如图，若B?A，
则
∴∴020．解 赞成A的人数为50×＝30，
赞成B的人数为30＋3＝33，
记50名学生组成的集合为U，
赞成事件A的学生全体为集合M；
赞成事件B的学生全体为集合N.
设对事件A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的学生人数为＋1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.
则Venn图如图所示：
依题意(30－x)＋(33－x)＋x＋(＋1)＝50，解得x＝21.
所以对A，B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人．
第1章 集 合(B)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．下列各组对象中能构成集合的是________．(填序号)
①北京尼赏文化传播有限公司的全体员工；
②2010年全国经济百强县；
③2010年全国“五一”劳动奖章获得者；
④美国NBA的篮球明星．
2．设全集U＝R，集合A＝{x||x|≤3}，B＝{x|x<－2或x>5}，那么如图所示的阴影部分所表示的集合为________．
3．设全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|x>1}，则集合A∩?UB＝________.
4．已知f(x)、g(x)为实数函数，且M＝{x|f(x)＝0}，N＝{x|g(x)＝0}，则方程[f(x)]2＋[g(x)]2＝0的解集是________．(用M、N表示)．
5．设集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且A?B，则实数k的取值范围为________．
6．定义两个数集A，B之间的距离是|x－y|min(其中x∈A，y∈B)．若A＝{y|y＝x2－1，
x∈Z}，B＝{y|y＝5x，x∈Z}，则数集A，B之间的距离为________．
7．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x组成的集合为________．
8．若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，B?A，则实数m的取值范围为____________．
9．若集合A、B、C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C之间的关系是________．
10．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合运算：P*Q＝{z|z＝ab(a＋b)，a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1}，Q＝{2,3}，则P*Q中元素之和为________．
11．集合M由正整数的平方组成，即M＝{1,4,9,16,25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的．M对下列运算封闭的是________．
①加法 ②减法 ③乘法 ④除法
12．设全集U＝{(x，y)|x，y∈R}，集合M＝{(x，y)|＝1}，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则?U(M∪N)＝________.
13．若集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x14．设集合A＝{x|x2＋x－1＝0}，B＝{x|ax＋1＝0}，若BA，则实数a的不同取值个数为________个．
三、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈U}，求q的值及?UA.
16．(14分)已知全集U＝R，集合M＝{x|x≤3}，N＝{x|x<1}，求M∪N，(?UM)∩N，(?UM)∪(?UN)．
17．(14分)设集合A＝{x∈R|2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2－2(m＋1)x＋m2＝0}．
(1)若m＝4，求A∪B；
(2)若B?A，求实数m的取值范围．
18．(16分)已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}．
(1)若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；
(2)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
19．(16分)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B?A，求实数a的取值范围．
20．(16分)已知两个正整数集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{a，a，a，a}，其中a1第1章 集 合(B)
1．④
解析 根据集合中元素的确定性来判断是否构成集合．因为①、②、③中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而④中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA球员是否是篮球明星，故不能构成集合．
2．[－2,3]
解析 化简集合A，得A＝{x|－3≤x≤3}，集合B＝{x|x<－2或x>5}，所以A∩B＝{x|－3≤x<－2}，阴影部分为?A(A∩B)，即为{x|－2≤x≤3}．
3．{x|0解析 由x2－2x<0，得0所以A∩?UB＝{x|04．M∩N
解析 若[f(x)]2＋[g(x)]2＝0，则f(x)＝0且g(x)＝0，
故[f(x)]2＋[g(x)]2＝0的解集是M∩N.
5．[－1，]
解析 由题意，得解得：
∴实数k的取值范围为[－1，]．
6．0
解析 集合A表示函数y＝x2－1的值域，由于x∈Z，所以y的值为－1,0,3,8,15,24，….集合B表示函数y＝5x的值域，由于x∈Z，所以y的值为0,5,10,15，….因此15∈A∩B.
所以|x－y|min＝|15－15|＝0.
7．{－3,2}
解析 ∵2∈M，∴3x2＋3x－4＝2或x2＋x－4＝2，解得x＝－2,1，－3,2，经检验知，只有－3和2符合集合中元素的互异性，故所求的集合为{－3,2}．
8．[－1，＋∞)
解析 ∵B?A，当B＝?时，
得2m－1>m＋1，∴m>2，
当B≠?时，得
解得－1≤m≤2.
综上所述，m的取值范围为m≥－1.
9．A?C
解析 ∵A∩B＝A，∴A?B，
∵B∪C＝C，∴B?C，∴A?C.
10．18
解析 ∵P＝{0,1}，Q＝{2,3}，a∈P，b∈Q，故对a，b的取值分类讨论．当a＝0时，z＝0；当a＝1，b＝2时，z＝6；当a＝1，b＝3时，z＝12.综上可知：P*Q＝{0,6,12}，元素之和为18.
11．③
解析 设a、b表示任意两个正整数，则a2、b2的和不一定属于M，如12＋22＝5?M；a2、b2的差也不一定属于M，如12－22＝－3?M；a2、b2的商也不一定属于M，如＝?M；因为a、b表示任意两个正整数，a2·b2＝(ab)2，ab为正整数，所以(ab)2属于M，即a2、b2的积属于M.
12．{(2,3)}
解析 集合M表示直线y＝x＋1上除点(2,3)外的点，即为两条射线上的点构成的集合，集合N表示直线y＝x＋1外的点，所以M∪N表示直线y＝x＋1外的点及两条射线，?U(M∪N)中的元素就是点(2,3)．
13．3
14．3
解析 注意B＝?的情况不要漏了．
15．解 设方程x2－5x＋q＝0的两根为x1、x2，
∵x∈U，x1＋x2＝5，
∴q＝x1x2＝1×4＝4或q＝x1·x2＝2×3＝6.
当q＝4时，A＝{x|x2－5x＋4＝0}＝{1,4}，
∴?UA＝{2,3,5}；
当q＝6时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，
∴?UA＝{1,4,5}．
16．解 由题意得M∪N＝{x|x≤3}，?UM＝{x|x>3}，?UN＝{x|x≥1}，
则(?UM)∩N＝{x|x>3}∩{x|x<1}＝?，
(?UM)∪(?UN)＝{x|x>3}∪{x|x≥1}
＝{x|x≥1}．
17．解 (1)当m＝4时，A＝{x∈R|2x－8＝0}＝{4}，B＝{x∈R|x2－10x＋16＝0}＝{2,8}，
∴A∪B＝{2,4,8}．
(2)若B?A，则B＝?或B＝A.
当B＝?时，有Δ＝[－2(m＋1)]2－4m2＝4(2m＋1)<0，得m<－；
当B＝A时，有Δ＝[－2(m＋1)]2－4m2＝4(2m＋1)＝0，
且－＝4，解得m不存在．
故实数m的取值范围为(－∞，－)．
18．解 A中元素x即为方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R，x∈R)的解．
(1)∵A中只有一个元素，
∴ax2＋2x＋1＝0只有一解．
当a＝0时，方程为2x＋1＝0，解得x＝－符合题意；
当a≠0且Δ＝4－4a＝0即a＝1时，方程的解x1＝x2＝－1，此时A中也只有一元素
－1.
综上可得：当a＝0时，A中的元素为－；当a＝1时，A中的元素为－1.
(2)若A中只有一个元素，由(1)知a＝0或a＝1，
若A中没有元素，即方程ax2＋2x＋1＝0无解，
∴，解得a>1，
综上可得：a>1或a＝0或a＝1.
19．解 A＝{x|x2＋4x＝0}＝{x|x＝0或x＝－4}＝{0，－4}．
∵B?A，∴B＝?或B＝{0}或B＝{－4}或B＝{0，－4}．
当B＝?时，即x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实根，
由Δ<0，即4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1；
当B＝{0}时，由根与系数的关系：0＋0＝－2(a＋1)，
0×0＝a2－1?a＝－1；
当B＝{－4}时，由根与系数的关系：－4－4＝－2(a＋1)，
(－4)×(－4)＝a2－1?无解；
当B＝{0，－4}时，由根与系数的关系：0－4＝－2(a＋1)，
0×(－4)＝a2－1?a＝1.
综上所述，a＝0或a≤－1.
20．解 ∵1≤a1∴a∵A∩B＝{a1，a4}，
∴只可能有a1＝a?a1＝1.
而a1＋a4＝10，∴a4＝9，∴a≠a4.
(1)若a＝a4，则a2＝3，
∴A∪B＝{1,3，a3,9，a，81}，
∴a3＋a＋94＝124?a3＝5；
(2)若a＝a4，则a3＝3，同样可得a2＝5>a3，与条件矛盾，不合题意．
综上所述，A＝{1,3,5,9}，B＝{1,9,25,81}．
