3.1圆的对称性（1）学案（无答案）2024-2025学年青岛版九年级上册

3.1 圆的对称性（1）
【学习目标】
1.探索圆的轴对称性性质
2.探索并证明垂径定理，掌握垂径定理，会用垂径定理解决有关问题
【学习重点】垂径定理的应用
【学习难点】垂径定理的应用
【学习过程】
复习引入
你还记得什么是圆吗？你学过圆的哪些知识？
新知探究
探究一：在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心O，再任意作出一条直径AB，将⊙O沿直径AB折叠。
1.你发现了什么？
2.再任意作一条直径，重复（1）中的操作，还有同样的结论吗？
知识点：圆的轴对称性
圆是轴对称图形， 都是它的对称轴。
【跟踪练习】
下列说法中，不正确的是　　
A．圆是轴对称图形
B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴
C．圆的任一直径都是圆的对称轴
D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴
探究二：如图，CD是⊙O的弦，AB是与CD垂直的直径，垂足为点 E。
将⊙O沿直径AB折叠，你发现线段CE与DE有什么关系？与有什么关系？与 有什么关系？
如何证明你的结论？以小组为单位进行讨论
知识点：垂径定理
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
几何语言：
∵AB⊥CD
∴CE=DE，=，=
注意：
①垂径可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其本质是过圆心；
②平分两条弧指的是平分弦所对的优弧和劣弧；
③垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，也是圆的计算的重要依据。
弦长a，弦心距d，半径r，弓高h的关系：
；r=d+h
【跟踪练习】下列命题中，正确的是　　
A．平分弦的直线必垂直于这条弦
B．垂直于弦的直线必过圆心
C．平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
D．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧
典型例题
如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C，D，且AC= BD。求证：OA = OB
例2.1400多年前，我国隋朝时期建造的赵州石拱桥的桥拱近似于圆弧形，它的跨度AB（弧所对的弦长）为 37.02 m，拱高CD（弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高）为7.23 m。求桥拱所在圆的半径（精确到 0.1 m）。
课堂小结 本节课你有什么收获
当堂检测
1.如图，AB是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为点M，求证：∠ACD =∠ADC。
2.如图，⊙O是水平放置的输油管道的横截面，其直径为 650 mm，油面的宽度AB = 600 mm。求油的最大深度。
课后分层作业
【基础闯关】
1．如图，已知的直径于点，则下列结论不一定成立的是　　
A． B． C． D．
2．如图，，是的弦，，，垂足分别为，．如果，那么　　
A．3.5 B．7 C．10.5 D．9
3．在中，为其内一点，过点的最长弦的长为，最短的弦的长为，则的长为　　
A． B． C． D．
4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为4米，半径长为3米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是　　
A．1米 B．米 C．3米 D．米
第3题 第4题 第6题
5．如图，是的直径，弦于点，，，则的半径　　．
【能力提升】
6．如图，在半径为的中，弦与交于点，，，，则的长是　　
A． B．
C． D．
7．如图，某古城大门口的平面图上方是半圆，下方是矩形，有一辆装货后宽3米的货车从大门中间进入古城，那么货车装货后的最大高度为 　　米．
8．如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，则的长为　 　．
9．数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度．
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度；
（参考数据：，，，
根据以上信息，北纬纬线的长度约为 　　千米．
第9题 第10题 第11题
10．如图，的半径为，弦，，，圆心位于，的上方，求和的距离．
【培优创新】
11．已知在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点，（如图）．
（1）求证：；
（2）若大圆的半径，小圆的半径，且圆心到直线的距离为6，求的长．