3.3圆周角（2）学案（无答案）2024-2025学年青岛版九年级上册

3.3 圆周角（2）
【学习目标】
了解并证明圆周角定理推论2、3，能运用它们进行推理和计算。
【学习重点】圆周角定理推论2、3
【学习难点】圆周角定理推论的运用，几何证明中思路的探究
【学习过程】
复习引入
圆周角及推论1
新知探究
探究1：圆周角定理推论2
（1）如图，在⊙O中，∠C1，∠C2，∠C3都是所对的圆周角，它们的大小有什么关系？由此你能得到什么结论？
（2）如图，在⊙O 中，=，那么它们所对的圆周角∠ACB与∠DFE相等吗？反之，如果∠ACB与∠DFE 都是⊙O的圆周角，并且∠ACB =∠DFE，那么与相等吗？由此你能得到什么结论？如果在等圆中呢？
知识点1：圆周角定理推论2
___________的圆周角相等；______________，相等的圆周角所对的弧相等。
注意：①以上两个命题为互逆真命题
②前提：在同圆或等圆中
③圆中证等角、等弧的重要依据。在圆中证明两个三角形相似，常借助同弧（或等弧）所对的圆周角相等找等角，根据相似三角形判定定理1证明相似。
【跟踪练习】如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝71°，∠CAB＝53°，点D在上，则∠ADB的大小为　 　
探究2：圆周角定理推论3
（1）如图，在⊙O中，AB是圆的直径，C是圆上异于A，B的一点，∠ACB的度数是多少？为什么？
（2）如果∠ACB 是⊙O的圆周角，∠ACB = 90°， 那么它所对的弦经过圆心吗？为什么？
知识点2：圆周角定理推论3
直径所对的圆周角是_______ 90°的圆周角所对的弦是______
几何语言 ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB = 90° ∵∠ACB = 90° ∴AB是⊙O的直径
注意：①以上两个命题为互逆真命题
②3种作辅助线的方法：见直径，作直角；有直角，作直径；需直角，作直径
【跟踪练习】
如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆玻璃镜的半径是（　　）
A．cm B．5cm C．6cm D．10cm
典型例题
例1.如图，△ABC 内接于⊙O，A 为劣弧BC的中点，∠BAC=120°。过点B作⊙O的直径BD，连接AD。若AD=6，求AC的长。
例2.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，点O为圆心。△ADC与△ABE相似吗？说明理由。
如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，C是AE的中点. CD⊥AB，垂足为点D。AE交CD于点F，连接 AC。求证：AF = CF。
四、课堂小结 本节课你有什么收获？
五、当堂检测
1.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（　　）
A． B． C．2 D．
2.如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（　　）
A．22° B．32° C．34° D．44°
六、课后分层作业
【基础闯关】
1．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．65°
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径．若CD＝10，弦AC＝6，则cos∠ABC的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．
如图，已知在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若∠BAC＝40°，则的度数是　 　度．
5．如图，在⊙O中，，∠DCB＝28°，则∠ABC＝　 　°．
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题
6.如图，在⊙O中，弦AB∥CD .
（1）AD与BC相等吗？为什么？
（2）你能找出图中所有相等的圆周角吗？
【能力提升】
7．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（　　）
A．99° B．110° C．108° D．117°
8．如图， ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是（　　）
A．44° B．54° C．72° D．53°
9．某数学研究性学习小组制作了如图的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（　　）
A． B． C． D．
第7题 第8题 第9题
10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则cos∠DMN为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是 　 　．
12．如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为 　 　．
第10题 第11题 第12题
【培优创新】
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，在上取一点E，使，连接DE，作射线CE交AB边于点F．
（1）求证：∠A＝∠ACF；
（2）若AC＝8，cos∠ACF，求BF及DE的长．