3.3圆周角 （3）学案（无答案）2024-2025学年青岛版九年级上册

3.3 圆周角（3）
【学习目标】
了解并证明圆周角定理推论4，能运用它进行推理和计算。
【学习重点】探索圆周角定理推论4
【学习难点】运用圆周角定理推论4进行推理和计算。
【学习过程】
复习引入
同桌互相提问圆的内接三角形的知识、圆周角定理及其推论
新知探究
探究.圆周角定理推论4
（1）如图，四边形ABCD的顶点与⊙O具有怎样的关系？
像这样，所有顶点都在同一个圆上的多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。在右图中，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.
（2）∠A与∠C是四边形ABCD的一组对角，也都是⊙O的圆周角，它们在⊙O中所对的分别是哪两条弧？这两条弧有什么关系？你发现∠A与∠C 具有怎样的数量关系？∠B与∠D也具有这样的数量关系吗？
知识点.圆周角定理推论4
圆内接四边形的对角________
几何语言：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠A+∠C=180 ，∠B+∠D=180°
【跟踪练习】
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=98°，∠C的度数为______.
典型例题
例1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BOD=140°，求∠C的度数。
例2.如图，△ABC内接于⊙O，D，F分别是AC与AB上的点，=，连接AF并延长交CB的延长线于点E，连接AD，CD。求证：∠CAD=∠E。
【跟踪练习】如图，圆心角∠AOB＝120°，P是上任一点（不与A，B重合），点C在AP的延长线上，则∠BPC等于（　　）
A．45° B．60° C．75° D．85°
例3.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长.
（你有几种解答方法？与大家分享）
四、课堂小结 本节课你有什么收获？
五、当堂检测
1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（　　）
A．138° B．121° C．118° D．112°
2.如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是____________．
3.如图，D是△ABC的外接圆上的一点. AD平分△ABC的外角∠EAC，求证：BD=CD
六、课后分层作业
【基础闯关】
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝80°，∠F＝25°，则∠E的度数为（　　）
A．55° B．50° C．45° D．40°
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，∠ADC的度数为（　　）
A．125° B．130° C．135° D．140°
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是的中点，点E是上的一点，若
∠CED＝40°，则∠ADC＝　 　度．
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题
【能力提升】
6.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为（　　）
A．50° B．60° C．80° D．90°
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（　　）
A．60° B．62° C．72° D．73°
8．如图已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝CD＝5，AC＝7，BE＝3，下列命题：
①△AED∽△BEC，②∠AEB＝90°，③∠BDA＝45°，④图中全等的三角形共有3对．
其中正确的命题有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若
∠D＝78°，则∠EAC的度数为（　　）
A．22° B．24° C．27° D．30°
如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C＝2∠A，则
BD＝　 　．
11．已知⊙O的半径是7，AB是⊙O的弦，且AB的长为7，则弦AB所对的圆周角的度数为 　 　．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
【培优创新】
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；
（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．