4.3.2 全等三角形的判定定理(边角边)
知识点1 用“边角边”判定三角形全等
1.(概念应用题)如图,已知AB=AC,D,E分别为AB,AC上的点,AD=AE,则下列结论不一定成立的是( )
A.∠B=∠C B.DB=EC
C.DC=EB D.AD=DB
2.如图,在△ABC中,∠A=40°,∠B=∠C,BE=CD,BD=CF,则∠EDF= ( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.(2024·邵阳武冈市期末)如图,已知AB=AD,AC=AE,要证△ABC≌△ADE,可以添加的条件是 ( )
A.∠1=∠2 B.∠B=∠D
C.∠C=∠E D.∠CAD=∠DAC
4.已知:如图,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求证:∠B=∠E.
5.如图,已知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)判断△BOC的形状,并说明理由.
知识点2 “边角边”性质的应用
6.(生活情境题)如图,工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽.卡钳由两根钢条AA',BB'组成,O为AA',BB'的中点.只要量出A'B'的长度,由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度.那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是 .
7.把两根钢条AD,BC的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳),如图,若测得AB=8厘米,则槽宽为 厘米.
8.如图,要用“边角边”证△ABC≌△ADE,若已知AB=AD,AC=AE,则还需具备条件( )
A.∠B=∠D B.∠C=∠E
C.∠1=∠2 D.∠3=∠4
9.如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK.若∠MKN=48°,则∠P的度数为( )
A.48° B.66° C.84° D.92°
10.如图,△ABC是等边三角形,且BD=CE,∠1=15°,则∠2的度数为 .
11.如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF.
求证:(1)△ABF≌△DCE;
(2)AF∥DE.
12.(抽象能力、运算能力)如图①,在有公共顶点的△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠CAB=∠EAD.
(1)求证:CE=BD;
(2)若将△ADE绕点A沿逆时针方向旋转使点C,E,D在同一条直线上时,如图②,(1)中的结论是否仍然成立 如果结论成立,请证明;如果结论不成立,请说明理由.4.3.2 全等三角形的判定定理(边角边)
知识点1 用“边角边”判定三角形全等
1.(概念应用题)如图,已知AB=AC,D,E分别为AB,AC上的点,AD=AE,则下列结论不一定成立的是(D)
A.∠B=∠C B.DB=EC
C.DC=EB D.AD=DB
2.如图,在△ABC中,∠A=40°,∠B=∠C,BE=CD,BD=CF,则∠EDF= (C)
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.(2024·邵阳武冈市期末)如图,已知AB=AD,AC=AE,要证△ABC≌△ADE,可以添加的条件是 (A)
A.∠1=∠2 B.∠B=∠D
C.∠C=∠E D.∠CAD=∠DAC
4.已知:如图,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求证:∠B=∠E.
【证明】因为AF=DC,
所以AF+CF=DC+CF,即AC=DF,
因为AB∥DE,所以∠A=∠D,
在△ABC和△DEF中,,
所以△ABC≌△DEF(边角边),
所以∠B=∠E.
5.如图,已知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)判断△BOC的形状,并说明理由.
【解析】(1)在△ABD和△ACE中,
所以△ABD≌△ACE(边角边).
(2)△BOC是等腰三角形,理由如下:
因为△ABD≌△ACE,所以∠ABD=∠ACE.
因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,
所以∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,
则∠OBC=∠OCB,
所以BO=CO,所以△BOC是等腰三角形.
知识点2 “边角边”性质的应用
6.(生活情境题)如图,工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽.卡钳由两根钢条AA',BB'组成,O为AA',BB'的中点.只要量出A'B'的长度,由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度.那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是 边角边 .
7.把两根钢条AD,BC的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳),如图,若测得AB=8厘米,则槽宽为 8 厘米.
8.如图,要用“边角边”证△ABC≌△ADE,若已知AB=AD,AC=AE,则还需具备条件(C)
A.∠B=∠D B.∠C=∠E
C.∠1=∠2 D.∠3=∠4
9.如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK.若∠MKN=48°,则∠P的度数为(C)
A.48° B.66° C.84° D.92°
10.如图,△ABC是等边三角形,且BD=CE,∠1=15°,则∠2的度数为 60° .
11.如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF.
求证:(1)△ABF≌△DCE;
(2)AF∥DE.
【证明】(1)因为AB∥CD,所以∠B=∠C,
因为BE=CF,
所以BE-EF=CF-EF,即BF=CE,
在△ABF和△DCE中
所以△ABF≌△DCE(边角边);
(2)因为△ABF≌△DCE,
所以∠AFB=∠DEC,
所以∠AFE=∠DEF,
所以AF∥DE.
12.(抽象能力、运算能力)如图①,在有公共顶点的△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,且∠CAB=∠EAD.
(1)求证:CE=BD;
(2)若将△ADE绕点A沿逆时针方向旋转使点C,E,D在同一条直线上时,如图②,(1)中的结论是否仍然成立 如果结论成立,请证明;如果结论不成立,请说明理由.
【解析】(1)因为∠CAB=∠EAD,
所以∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB,
所以∠CAE=∠BAD,
在△CAE和△BAD中,
所以△CAE≌△BAD(边角边),
所以CE=BD;
(2)结论仍然成立,
证明如下:因为∠CAB=∠EAD,
所以∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB,
所以∠CAE=∠BAD,
在△CAE和△BAD中,
所以△CAE≌△BAD(边角边),
所以CE=BD.
