4.3.5 全等三角形的应用
1.小明在学习了全等三角形的相关知识后,发现了一种测量距离的方法,如图,小明直立在河岸边的O处,他压低帽子帽沿,使视线通过帽沿,恰好落在河对岸的A处,然后转过身,保持和刚才完全一样的姿势,这时视线落在水平地面的B处(A,O,B三点在同一水平直线上),小明通过测量O,B之间的距离,即得到O,A之间的距离.小明这种方法的原理是(C)
A.边边边 B.边角边 C.角边角 D.角角边
2.(2025·长沙望城区期末)小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有1,2,3,4的四块),你认为将其中的哪一块带去,就能配一块与原来一样大小的三角形 应该带第 4 块.
3.如图,小明与小红玩跷跷板游戏,如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是50 cm,当小红从水平位置CD下降30 cm时,求小明离地面的高度.
【解析】在△OCF与△ODG中,
所以△OCF≌△ODG(角角边),
所以CF=DG=30(cm),
所以小明离地面的高度是50+30=80(cm).
4.如图,点D为码头,A,B两个灯塔与码头的距离相等,DA,DB为海岸线.一轮船离开码头,计划沿∠ADB的平分线航行,在航行途中C点处,测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等.试问:轮船航行是否偏离指定航线 请说明理由.
【解析】轮船航行没有偏离指定航线.
理由:由题意知:DA=DB,AC=BC,
在△ADC和△BDC中,,
所以△ADC≌△BDC(边边边),
所以∠ADC=∠BDC,
即DC为∠ADB的平分线,所以轮船航行没有偏离指定航线.
5. (2025·长沙宁乡市期末)如图,书架两侧摆放了若干本相同的书籍,左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板,其直角顶点C在书架底部DE上,当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时,顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿.已知每本书长20 cm,厚度为2 cm,则两摞书之间的距离DE为 (A)
A.24 cm B.23 cm C.22 cm D.21 cm
6.沛沛沿一段笔直的人行道行走,边走边欣赏风景,在由C走到D的过程中,通过隔离带的空隙P,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语,具体信息如下:如图,AB∥PM∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于P,PD⊥CD垂足为D.已知CD=16米.请根据上述信息求标语AB的长度为 16 米.
7.(2025·长沙质检)小强为了测量一幢高楼高AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P.如图,CD⊥DB,AB⊥DB,测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°,测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°,且CD=PB.
(1)证明:△CPD≌△PAB;
(2)CD=10米,DB=36米,求大楼AB的高.
【解析】(1)因为∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,
所以∠DCP=∠APB=54°,
在△CPD和△PAB中,
,
所以△CPD≌△PAB(角边角);
(2)因为△CPD≌△PAB,
所以DP=AB,
因为DB=36米,PB=10米,
所以AB=DP=36-10=26(米),
故大楼AB的高是26米.
8.小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后,对其作了进一步地探究.在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动,如图,OA表示小球静止时的位置,当小明用发声物体靠近小球时,小球从OA摆到OB位置,此时过点B作BD⊥OA于点D,且测得点B到OA的距离为8 cm;当小球摆到OC位置时,OB与OC恰好垂直(图中的A,B,O,C在同一平面上),过点C作CE⊥OA于点E,测得点C到OA的距离为14 cm.
(1)判断CE与OD的数量关系,并证明;
(2)求两次摆动中点B和点C的高度差DE的长.
【解析】(1)CE=OD.证明如下:因为OB⊥OC,所以∠BOD+∠COE=90°,
因为BD⊥OA,CE⊥OA,所以∠ODB=∠CEO=90°,所以∠BOD+∠OBD=90°,所以∠OBD=∠COE.
在△COE和△OBD中,,
所以△COE≌△OBD(角角边),所以CE=OD;
(2)因为点B到OA的距离为8 cm,点C到OA的距离为14 cm,所以CE=14 cm,AB=8 cm,
因为△COE≌△OBD,所以OE=BD=8 cm,CE=OD=14 cm,所以DE=OD-OE=14-8=6(cm),所以两次摆动中点B和点C的高度差DE的长为6 cm.
9.(抽象能力、应用意识)八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度AB的实践活动,测量方案如表:
课题 测量学校教学楼高度AB
测量工具 测角仪、皮尺等
测量方 案示意图 (理想状态:地面水平,AB垂直于地面,点B,C,D在水平地面上)
测量 步骤 (1)在教学楼外水平地面上,选定一点C; (2)测量教学楼顶点A视线CA与水平地面所成的角∠ACB; (3)测量BC的长度; (4)放置一根与BC长度相同的标杆DE,DE垂直于水平地面(B,C,D三点共线); (5)测量标杆顶部E视线CE与水平地面所成的角∠ECD,再测量CD的长度.
测量 数据 ∠ACB=78.2°,∠ECD=11.8°,BC=DE=2.5 m,CD=12 m.
请你根据兴趣小组测量方案及数据,计算教学楼高度AB.
【解析】由题意得:AB⊥BC,DE⊥BC,所以∠ABC=∠CDE=90°.
因为∠ACB=78.2°,所以∠BAC=90°-∠ACB=90°-78.2°=11.8°.
又因为∠ECD=11.8°,所以∠BAC=∠DCE.
因为BC=DE,所以△ABC≌△CDE(角角边),所以AB=CD,
因为CD=12 m,所以AB=12 m.
答:教学楼高度AB为12 m.4.3.5 全等三角形的应用
1.小明在学习了全等三角形的相关知识后,发现了一种测量距离的方法,如图,小明直立在河岸边的O处,他压低帽子帽沿,使视线通过帽沿,恰好落在河对岸的A处,然后转过身,保持和刚才完全一样的姿势,这时视线落在水平地面的B处(A,O,B三点在同一水平直线上),小明通过测量O,B之间的距离,即得到O,A之间的距离.小明这种方法的原理是( )
A.边边边 B.边角边 C.角边角 D.角角边
2.(2025·长沙望城区期末)小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有1,2,3,4的四块),你认为将其中的哪一块带去,就能配一块与原来一样大小的三角形 应该带第 块.
3.如图,小明与小红玩跷跷板游戏,如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是50 cm,当小红从水平位置CD下降30 cm时,求小明离地面的高度.
4.如图,点D为码头,A,B两个灯塔与码头的距离相等,DA,DB为海岸线.一轮船离开码头,计划沿∠ADB的平分线航行,在航行途中C点处,测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等.试问:轮船航行是否偏离指定航线 请说明理由.
5. (2025·长沙宁乡市期末)如图,书架两侧摆放了若干本相同的书籍,左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板,其直角顶点C在书架底部DE上,当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时,顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿.已知每本书长20 cm,厚度为2 cm,则两摞书之间的距离DE为 ( )
A.24 cm B.23 cm C.22 cm D.21 cm
6.沛沛沿一段笔直的人行道行走,边走边欣赏风景,在由C走到D的过程中,通过隔离带的空隙P,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语,具体信息如下:如图,AB∥PM∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于P,PD⊥CD垂足为D.已知CD=16米.请根据上述信息求标语AB的长度为 米.
7.(2025·长沙质检)小强为了测量一幢高楼高AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P.如图,CD⊥DB,AB⊥DB,测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°,测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°,且CD=PB.
(1)证明:△CPD≌△PAB;
(2)CD=10米,DB=36米,求大楼AB的高.
8.小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后,对其作了进一步地探究.在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动,如图,OA表示小球静止时的位置,当小明用发声物体靠近小球时,小球从OA摆到OB位置,此时过点B作BD⊥OA于点D,且测得点B到OA的距离为8 cm;当小球摆到OC位置时,OB与OC恰好垂直(图中的A,B,O,C在同一平面上),过点C作CE⊥OA于点E,测得点C到OA的距离为14 cm.
(1)判断CE与OD的数量关系,并证明;
(2)求两次摆动中点B和点C的高度差DE的长.
9.(抽象能力、应用意识)八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度AB的实践活动,测量方案如表:
课题 测量学校教学楼高度AB
测量工具 测角仪、皮尺等
测量方 案示意图 (理想状态:地面水平,AB垂直于地面,点B,C,D在水平地面上)
测量 步骤 (1)在教学楼外水平地面上,选定一点C; (2)测量教学楼顶点A视线CA与水平地面所成的角∠ACB; (3)测量BC的长度; (4)放置一根与BC长度相同的标杆DE,DE垂直于水平地面(B,C,D三点共线); (5)测量标杆顶部E视线CE与水平地面所成的角∠ECD,再测量CD的长度.
测量 数据 ∠ACB=78.2°,∠ECD=11.8°,BC=DE=2.5 m,CD=12 m.
请你根据兴趣小组测量方案及数据,计算教学楼高度AB.
