1.3几何证明举例（第2课时）课件(共20张PPT) 2025-2026学年青岛版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 1.3几何证明举例（第2课时）课件(共20张PPT) 2025-2026学年青岛版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 青岛版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-16 07:55:52 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
青岛版2024·八年级上册
1.3 几何证明举例
第一章
推理与证明
1.3.2 推论的意义与运用
章节导读
1.1定义与证明
1.2证明
1.3几何证明举例
定义
命题
如何证明
互逆命题的推导与证明
推论的意义与运用
反证法的证明范式
合情推理到逻辑推理
学 习 目 标
1
2
明确区分定理与推论的逻辑关系
掌握“由定理直接推出推论”的演绎方法
3
能够运用推论简化证明过程，迁移推理方法解决新问题
情境导入
希帕索斯的“无理”之死——推论的不可反驳性
毕达哥拉斯学派奉行“万物皆整数比”的理念
认为一切数都可以表示成整数或两个整数之比。
但学生希帕索斯从勾股定理（）得出这样一个推论:
边长为1的正方形对角线（）无法表示为整数比
这个由勾股定理推出来的“”，让学派内的所有信徒和学生都没办法推翻它是无理数的事实
情境导入
希帕索斯的“无理”之死——推论的不可反驳性
但“”是无理数这一推论却始终无法反驳，由此引发了“第一次数学危机”
这激怒了毕达哥拉斯学派，他们以“背叛”罪名判处希帕索斯死刑
那么数学推论到底是什么？它有什么意义和用途？
今天我们将从“三角形的内角和”定理出发
看它会诞生出何种“危险推论”，同时探索推论的意义。
新知探究
“三角形内角和”定理的证明
【回顾】上学期，我们从基本事实（如平角定义、平行线性质）出发，说明了“三角形的内角和等于180°”的正确性。
怎样严格证明“三角形的内角和等于180°”呢？
【思考与交流】
证明：三角形的内角和等于180°。
已知：如图，∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角。
求证：∠A + ∠B + ∠C = 180°。
提示：
（1）通过“剪拼法”可将三个角拼为平角（上学期实验方法）；
（2）类似地，我们可以通过“作平行线”（辅助线），将角“转移”到同一顶点，利用平行线性质实现证明。
A
B
C
新知探究
“三角形内角和”定理的证明
【证明步骤】
A
C
B
作辅助线：延长BC至D，过点C作CE∥AB
所以∠B = ∠ECD（两直线平行，同位角相等）
∠A = ∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∠ACB + ∠ACE + ∠ECD = 180°（平角的定义）
∠ACB + ∠A + ∠B = 180°（等量代换）
D
E
【定理结论】 △内角和定理：三角形的内角和等于180°
方法技巧
辅助线：为证明需要，在原图上添加的线（通常画成虚线）
你还能想到其他添加辅助线的方法吗？
例：过点A作BC的平行线，或过点B作AC的平行线
新知探究
三角形外角的性质与推论
观察下图，三角形的一个外角∠ACD与它不相邻的两个内角∠A、∠B之间有怎样的数量关系？
由以上证明可知： ∠ACD = ∠ACE + ∠ECD
= ∠A + ∠B（两直线平行，内错角/同位角相等）
∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B（不等式性质）
概括与表达
三角形内角和的推论：
推论一：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
推论二：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
知识补充
由基本事实或定理直接推出的真命题叫作推论；
推论可以作为定理使用。
新知探究
直角三角形的性质与推论
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A与∠B有什么数量关系？
证明：在RT△ABC中
因为∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理）
所以∠A + ∠B = 180° - ∠C（等式性质）
所以∠C = 90°（已知直角）
所以∠A + ∠B = 90°（代入计算）
同样，也可以证明以上条件与结论反过来也成立
概括与表达
直角三角形的推论：
推论一：直角三角形的性质定理： 直角三角形的两个锐角互余
推论二：直角三角形的判定定理： 有两个角互余的三角形是直角三角形
B
知识补充
Rt△ABC的含义：
即直角三角形，其中某个角为直角
知识小结
推论的辨析
知识总结：推论与定理的区别
维度 定理（如三角形内角和定理） 推论（如外角性质/直角互余）
定义
依赖关系
推导过程
地位作用
经严格证明的核心真命题
由定理/基本事实直接推出的真命题
不依赖其他定理（依赖公理/基本事实）
必须依赖已有定理（如内角和定理）
复杂（多步辅助线/公理组合，如作平行线证内角和）
简单（1-2步推导，如外角=180°-内角和）
数学体系的“地基”，可推导多个推论
定理的“延伸应用”，直接服务解题
推论是定理的逻辑延伸，推理是连接“已知”与“未知”的桥梁。 无论是定理还是推论，都是数学严谨性的体现！
新知探究
推论的实际运用
已知：在△ABC中，∠B=∠C，D是BC边上一点；过点D作 DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、D。
求证：∠FDE=∠C。
A
B
C
D
E
F
证明：
因为DE⊥AB，DF⊥BC（已知）
所以∠DEB=90°，∠FDC=90°（垂直的定义）
因为∠EDC是△EBD的外角（外角定义）
所以∠EDC=∠B+∠DEB（三角形的外角=不相邻两内角和）
因为∠EDC=∠FDE+∠FDC（已知）
所以∠FDE+∠FDC=∠B+∠DEB（等量代换）
所以∠FDE+90°=∠B+90°（等量代换）
因为∠B=∠C（已知）
所以∠FDE=∠C（等量代换）
本题中，我们使用了三角形内角和的推论，想想要是不用词条推论，会多多少条步骤 你能总结推论的意义吗
知识小结
推论的意义
概括与表达
推论的意义：
1.**知识延伸的捷径**：从定理“生长”出新结论，避免重复证明
（如外角性质直接用内角和推导）
2.**解题效率的提升**：推论作为“半成品工具”，简化复杂问题
（如用互余性质快速求直角三角形锐角）
3.**逻辑思维的训练**：体会“定理→推论”的严谨链条，培养“言必有据”的推理习惯
通过情境中希帕索斯的故事我们可以知道，推论还具有不可反驳性，下面就让我们体会合理运用定理与推论是如何简化证明过程的
即时训练
合理使用定理简化证明过程
1.证明：四边形四个内角的和等于360°。
已知：如图，∠A、∠B、∠C，∠D是四边形ABCD的四个内角。
求证：∠BAD + ∠B + ∠BCD +∠D=360°
证明：连接AC，可得△ ABC与△ ACD
B
所以∠B+∠BAC+∠ACB=180°，∠D+∠DAC+∠DCA=180°（三角形内角和定理）
因为∠BAD=∠BAC+∠DAC，
∠BCD=∠BCA+∠DCA（角的和的定义）
所以∠BAD + ∠B + ∠BCD +∠D=180°+180°=360°（等量代换）
知识补充
使用三角形的内角和定理使得本题的证明过程大大减少，同样的，可以证明出多边形内角和为：
（n-2）180°
即时训练
合理使用推论简化证明过程
2. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，CD⊥AB，垂足为点D
求证：∠1=∠B
1
证明：因为∠ACB=90°（已知）
所以∠A + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余）
因为CD⊥AB（已知）
所以∠ADC=90°（垂直定义）
所以∠A + ∠1 = 90°（直角三角形两锐角互余）
所以∠1 = ∠B（同角的余角相等）
本题证明合理的使用了直角三角形的推论，让证明过程得到简化；同时还用到相关的定理，使得本题证明过程更加严谨。
方法技巧
即时训练
合理使用推论简化证明过程
3. 已知：如图，D是△ABC内一点，连接DB、DC。
求证：∠BDC>∠A
E
证明：延长BD交AC于E（构造外角）
因为∠BDC是△CDE的外角（外角定义）
所以∠BDC > ∠DEC（三角形外角大于不相邻内角）
因为∠DEC是△ABE的外角（外角定义）
所以∠DEC > ∠A（三角形外角大于不相邻内角）
所以∠BDC > ∠A（不等式传递性）
方法技巧
此题的证明逻辑链如下：
构造辅助线→用外角定理建立不等关系→通过中间角传递不等
在这个过程中，容易发现，使用三角形内角和的推论极大的简化了证明过程，也使得证明过程更加严谨
课堂练习
一、填空
第2题证明“∠1=∠B”时，两次用到“直角三角形两锐角互余”，该结论是由“______________________”（填定理名称）直接推出的，因此它是该定理的________（填“定理”或“推论”）。
第3题证明“∠BDC>∠A”的关键依据是“三角形的外角大于任何一个不相邻的内角”，该结论是“________________”（填定理名称）的推论，其作用是__________________________（填推论的意义，如“简化角的大小关系证明”）。
三角形内角和定理
推论
三角形内角和定理
直接建立不相邻角的大小关系
方法技巧
推论不是孤立的结论，而是定理的“快捷应用工具”，其核心意义在于简化推理过程，提升解题效率。
课堂练习
2.（即时训练变式）在第2题图中，已知Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，若∠A=40°，仅用“直角三角形两锐角互余”这一推论，求∠1和∠B的度数，并说明推论如何简化计算。
提示：在前面证明∠1=∠B时，不仅仅用到了“直角三角形的两锐角互余”这一推论，还用到了“等角的余角相等”这一定理
解：在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=50°（直角三角形两锐角互余推论）
在Rt△ACD中，∠1=90°-∠A=50°（直角三角形两锐角互余推论）
简化意义：直接用推论得出结果，无需重新计算三角形内角和。
方法技巧
通用结论：在Rt△ABC中，CD⊥AB（双垂直模型），则： ① ∠1=∠B，∠2=∠A（每组锐角对应相等，均由“同角的余角相等”推导）
课堂练习
已知： ① ∠ACE是△ABC的外角； ② BD平分∠ABC，CD平分∠ACE。
求证： ∠D = ∠A。
E
F
因为 BD平分∠ABC（已知）
所以 ∠DBC = ∠ABC，同理∠DCE = ∠ACE（角平分线定义）
因为 ∠ACE是△ABC的外角（已知）
所以 ∠D = ∠DCE - ∠DBC（等式变形）
= ∠ACE - ∠ABC
= (∠A + ∠ABC - ∠ABC) （等量代换）
所以 ∠ACE = ∠A + ∠ABC，同理∠DCE = ∠DBC + ∠D（三角形的外角和定理）
= ∠A（化简）
方法技巧
运用两次外角和推论，是连接已知与未知的桥梁，极大的简化了证明过程
课堂总结
1. 推论是什么？
由已知定理直接推出的真命题，但依赖于已有的定理（无需重新证明）
2. 推论的意义
简化证明流程
建立“已知”与“未知”的桥梁
3.推论的运用逻辑
优先用推论：如看到三角形外角，立即想到“外角定理”（不用内角和重新推导）
进行代数化简：如用推论结果消去中间角，快速得结论。
可结合其他定理：如将分角转化为原角的一半，便于代入
感谢聆听!
青岛版2024·八年级上册
1.3 几何证明举例
第一章
推理与证明
1.3.2 推论的意义与运用
章节导读
1.1定义与证明
1.2证明
1.3几何证明举例
定义
命题
如何证明
互逆命题的推导与证明
推论的意义与运用
反证法的证明范式
合情推理到逻辑推理
学 习 目 标
1
2
明确区分定理与推论的逻辑关系
掌握“由定理直接推出推论”的演绎方法
3
能够运用推论简化证明过程，迁移推理方法解决新问题
情境导入
希帕索斯的“无理”之死——推论的不可反驳性
毕达哥拉斯学派奉行“万物皆整数比”的理念
认为一切数都可以表示成整数或两个整数之比。
但学生希帕索斯从勾股定理（）得出这样一个推论:
边长为1的正方形对角线（）无法表示为整数比
这个由勾股定理推出来的“”，让学派内的所有信徒和学生都没办法推翻它是无理数的事实
情境导入
希帕索斯的“无理”之死——推论的不可反驳性
但“”是无理数这一推论却始终无法反驳，由此引发了“第一次数学危机”
这激怒了毕达哥拉斯学派，他们以“背叛”罪名判处希帕索斯死刑
那么数学推论到底是什么？它有什么意义和用途？
今天我们将从“三角形的内角和”定理出发
看它会诞生出何种“危险推论”，同时探索推论的意义。
新知探究
“三角形内角和”定理的证明
【回顾】上学期，我们从基本事实（如平角定义、平行线性质）出发，说明了“三角形的内角和等于180°”的正确性。
怎样严格证明“三角形的内角和等于180°”呢？
【思考与交流】
证明：三角形的内角和等于180°。
已知：如图，∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角。
求证：∠A + ∠B + ∠C = 180°。
提示：
（1）通过“剪拼法”可将三个角拼为平角（上学期实验方法）；
（2）类似地，我们可以通过“作平行线”（辅助线），将角“转移”到同一顶点，利用平行线性质实现证明。
A
B
C
新知探究
“三角形内角和”定理的证明
【证明步骤】
A
C
B
作辅助线：延长BC至D，过点C作CE∥AB
所以∠B = ∠ECD（两直线平行，同位角相等）
∠A = ∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∠ACB + ∠ACE + ∠ECD = 180°（平角的定义）
∠ACB + ∠A + ∠B = 180°（等量代换）
D
E
【定理结论】 △内角和定理：三角形的内角和等于180°
方法技巧
辅助线：为证明需要，在原图上添加的线（通常画成虚线）
你还能想到其他添加辅助线的方法吗？
例：过点A作BC的平行线，或过点B作AC的平行线
新知探究
三角形外角的性质与推论
观察下图，三角形的一个外角∠ACD与它不相邻的两个内角∠A、∠B之间有怎样的数量关系？
由以上证明可知： ∠ACD = ∠ACE + ∠ECD
= ∠A + ∠B（两直线平行，内错角/同位角相等）
∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B（不等式性质）
概括与表达
三角形内角和的推论：
推论一：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
推论二：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
知识补充
由基本事实或定理直接推出的真命题叫作推论；
推论可以作为定理使用。
新知探究
直角三角形的性质与推论
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A与∠B有什么数量关系？
证明：在RT△ABC中
因为∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理）
所以∠A + ∠B = 180° - ∠C（等式性质）
所以∠C = 90°（已知直角）
所以∠A + ∠B = 90°（代入计算）
同样，也可以证明以上条件与结论反过来也成立
概括与表达
直角三角形的推论：
推论一：直角三角形的性质定理： 直角三角形的两个锐角互余
推论二：直角三角形的判定定理： 有两个角互余的三角形是直角三角形
B
知识补充
Rt△ABC的含义：
即直角三角形，其中某个角为直角
知识小结
推论的辨析
知识总结：推论与定理的区别
维度 定理（如三角形内角和定理） 推论（如外角性质/直角互余）
定义
依赖关系
推导过程
地位作用
经严格证明的核心真命题
由定理/基本事实直接推出的真命题
不依赖其他定理（依赖公理/基本事实）
必须依赖已有定理（如内角和定理）
复杂（多步辅助线/公理组合，如作平行线证内角和）
简单（1-2步推导，如外角=180°-内角和）
数学体系的“地基”，可推导多个推论
定理的“延伸应用”，直接服务解题
推论是定理的逻辑延伸，推理是连接“已知”与“未知”的桥梁。 无论是定理还是推论，都是数学严谨性的体现！
新知探究
推论的实际运用
已知：在△ABC中，∠B=∠C，D是BC边上一点；过点D作 DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、D。
求证：∠FDE=∠C。
A
B
C
D
E
F
证明：
因为DE⊥AB，DF⊥BC（已知）
所以∠DEB=90°，∠FDC=90°（垂直的定义）
因为∠EDC是△EBD的外角（外角定义）
所以∠EDC=∠B+∠DEB（三角形的外角=不相邻两内角和）
因为∠EDC=∠FDE+∠FDC（已知）
所以∠FDE+∠FDC=∠B+∠DEB（等量代换）
所以∠FDE+90°=∠B+90°（等量代换）
因为∠B=∠C（已知）
所以∠FDE=∠C（等量代换）
本题中，我们使用了三角形内角和的推论，想想要是不用词条推论，会多多少条步骤 你能总结推论的意义吗
知识小结
推论的意义
概括与表达
推论的意义：
1.**知识延伸的捷径**：从定理“生长”出新结论，避免重复证明
（如外角性质直接用内角和推导）
2.**解题效率的提升**：推论作为“半成品工具”，简化复杂问题
（如用互余性质快速求直角三角形锐角）
3.**逻辑思维的训练**：体会“定理→推论”的严谨链条，培养“言必有据”的推理习惯
通过情境中希帕索斯的故事我们可以知道，推论还具有不可反驳性，下面就让我们体会合理运用定理与推论是如何简化证明过程的
即时训练
合理使用定理简化证明过程
1.证明：四边形四个内角的和等于360°。
已知：如图，∠A、∠B、∠C，∠D是四边形ABCD的四个内角。
求证：∠BAD + ∠B + ∠BCD +∠D=360°
证明：连接AC，可得△ ABC与△ ACD
B
所以∠B+∠BAC+∠ACB=180°，∠D+∠DAC+∠DCA=180°（三角形内角和定理）
因为∠BAD=∠BAC+∠DAC，
∠BCD=∠BCA+∠DCA（角的和的定义）
所以∠BAD + ∠B + ∠BCD +∠D=180°+180°=360°（等量代换）
知识补充
使用三角形的内角和定理使得本题的证明过程大大减少，同样的，可以证明出多边形内角和为：
（n-2）180°
即时训练
合理使用推论简化证明过程
2. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，CD⊥AB，垂足为点D
求证：∠1=∠B
1
证明：因为∠ACB=90°（已知）
所以∠A + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余）
因为CD⊥AB（已知）
所以∠ADC=90°（垂直定义）
所以∠A + ∠1 = 90°（直角三角形两锐角互余）
所以∠1 = ∠B（同角的余角相等）
本题证明合理的使用了直角三角形的推论，让证明过程得到简化；同时还用到相关的定理，使得本题证明过程更加严谨。
方法技巧
即时训练
合理使用推论简化证明过程
3. 已知：如图，D是△ABC内一点，连接DB、DC。
求证：∠BDC>∠A
E
证明：延长BD交AC于E（构造外角）
因为∠BDC是△CDE的外角（外角定义）
所以∠BDC > ∠DEC（三角形外角大于不相邻内角）
因为∠DEC是△ABE的外角（外角定义）
所以∠DEC > ∠A（三角形外角大于不相邻内角）
所以∠BDC > ∠A（不等式传递性）
方法技巧
此题的证明逻辑链如下：
构造辅助线→用外角定理建立不等关系→通过中间角传递不等
在这个过程中，容易发现，使用三角形内角和的推论极大的简化了证明过程，也使得证明过程更加严谨
课堂练习
一、填空
第2题证明“∠1=∠B”时，两次用到“直角三角形两锐角互余”，该结论是由“______________________”（填定理名称）直接推出的，因此它是该定理的________（填“定理”或“推论”）。
第3题证明“∠BDC>∠A”的关键依据是“三角形的外角大于任何一个不相邻的内角”，该结论是“________________”（填定理名称）的推论，其作用是__________________________（填推论的意义，如“简化角的大小关系证明”）。
三角形内角和定理
推论
三角形内角和定理
直接建立不相邻角的大小关系
方法技巧
推论不是孤立的结论，而是定理的“快捷应用工具”，其核心意义在于简化推理过程，提升解题效率。
课堂练习
2.（即时训练变式）在第2题图中，已知Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，若∠A=40°，仅用“直角三角形两锐角互余”这一推论，求∠1和∠B的度数，并说明推论如何简化计算。
提示：在前面证明∠1=∠B时，不仅仅用到了“直角三角形的两锐角互余”这一推论，还用到了“等角的余角相等”这一定理
解：在Rt△ABC中，∠B=90°-∠A=50°（直角三角形两锐角互余推论）
在Rt△ACD中，∠1=90°-∠A=50°（直角三角形两锐角互余推论）
简化意义：直接用推论得出结果，无需重新计算三角形内角和。
方法技巧
通用结论：在Rt△ABC中，CD⊥AB（双垂直模型），则： ① ∠1=∠B，∠2=∠A（每组锐角对应相等，均由“同角的余角相等”推导）
课堂练习
已知： ① ∠ACE是△ABC的外角； ② BD平分∠ABC，CD平分∠ACE。
求证： ∠D = ∠A。
E
F
因为 BD平分∠ABC（已知）
所以 ∠DBC = ∠ABC，同理∠DCE = ∠ACE（角平分线定义）
因为 ∠ACE是△ABC的外角（已知）
所以 ∠D = ∠DCE - ∠DBC（等式变形）
= ∠ACE - ∠ABC
= (∠A + ∠ABC - ∠ABC) （等量代换）
所以 ∠ACE = ∠A + ∠ABC，同理∠DCE = ∠DBC + ∠D（三角形的外角和定理）
= ∠A（化简）
方法技巧
运用两次外角和推论，是连接已知与未知的桥梁，极大的简化了证明过程
课堂总结
1. 推论是什么？
由已知定理直接推出的真命题，但依赖于已有的定理（无需重新证明）
2. 推论的意义
简化证明流程
建立“已知”与“未知”的桥梁
3.推论的运用逻辑
优先用推论：如看到三角形外角，立即想到“外角定理”（不用内角和重新推导）
进行代数化简：如用推论结果消去中间角，快速得结论。
可结合其他定理：如将分角转化为原角的一半，便于代入
感谢聆听!
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