2025-2026学年人教A版数学必修第一册课时练习：1.4.1充分条件与必要条件（含解析）

1.4.1充分条件与必要条件
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分又是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
2．下列“若p，则q”形式的命题中，满足p是q的充分条件的是(　　)
A．若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB
B．若x是无理数，则x2也是无理数
C．若x＝y，则＝
D．若四边形的四条边相等，则四边形是正方形
3．已知集合A＝{x|1＜x≤3}，集合B＝{x|m－1＜x＜2m＋1}，且x∈A是x∈B的充分条件，则实数m的取值范围为(　　)
A．m≤1 　 B．m≤1或m＞2
C．1＜m＜2 　 D．1＜m≤2
4．(多选)如果命题“p q”是真命题，那么下列说法一定正确的是(　　)
A．p是q的充分条件 　 B．p是q的必要条件
C．q是p的必要条件 　 D．q是p的充分条件
5．(多选)－＜5x－3＜12的一个必要条件是(　　)
A．－＜x＜4 　 B．－＜x＜2
6．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　 )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
7．已知p：－4＜x－a＜4，q：2＜x＜3，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|－1≤a≤6}
B．{a|a≤－1}
C．{a|a≥6}
D．{a|a≤－1或a≥6}
8．(多选)下列式子：
①x<1；②0其中，可以是－1A．① 　 B．②
C．③ 　 D．④
C．－3＜x＜ 　 D．－1＜x＜6
二、填空题
9．设集合A＝{1，2}．
(1)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件；
(2)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件．
10．下列说法正确的是________．(只填序号)
①“x>5”是“x>4”的充分条件；
②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；
③“－211．已知A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x12．“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分条件可以为________；一个必要条件可以为________．
三、解答题
13．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？
(1)若x>2，则x>1；
(2)若x－1＝，则x＝1；
(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等．
14．已知P＝{x|a－415．已知条件p：x<1－a或x>1＋a和条件q：x<或x>1，求使p是q的充分条件但不是必要条件的最小正整数a．
答案解析
1．A
2．A　[线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，故A满足题意；若x＝，则x2＝2，故B不满足题意；对于C中，若x＝y，当x＝y<0，则不成立，故C不满足题意；四条边相等的四边形未必是正方形，故D不满足题意．]
3．D　[因为集合A＝{x|14．AC　[根据必要条件和充分条件的定义，p q为真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，所以AC正确．]
5．AD　[由－<5x－3<12，解得－6．A　[
因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙丙，如图．综上，有丙 甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A．]
7．A　[因为p是q的必要条件，即q p，则有{x|28．BCD　[∵－19．(1){1，2，3}(答案不唯一)　(2){1}({1}，{2}任选一个作答即可)
10．①③　[②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②错误；①③正确．]
11．{a|a>2}　[B的充分条件是A，即A是B的充分条件，得A B，即A B，得a>2．]
12．a>3(答案不唯一)　a>－1(答案不唯一)　[因为一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根，设两个根为x1，x2，
所以解得a≥2．
故一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个充分条件可以为a>3；
一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个必要条件可以为a>－1．]
13．解：(1)若x>2，则x>1成立，反之不成立，即p是q的充分条件．
(2)由x－1＝，得x＝1或x＝2，故p是q的必要条件．
(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
14．解：因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，
所以Q P，
所以所以－1≤a≤5．
即a的取值范围为{a|－1≤a≤5}．
15．解：依题意a>0，由条件p：x<1－a或x>1＋a，
可设M＝{x|x<1－a，或x>1＋a}，
由条件q：x<或x>1，
可设N＝x<，或x>1}．
要使p是q的充分条件但不是必要条件，
则M?N，应有或
解得a≥．
令a＝1，则M＝{x|x<0，或x>2}?N＝x<，或x>1}，
即p q，反之不成立．所以a＝1．
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