2025-2026学年人教A版数学必修第一册课时练习：1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定（含解析）

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定
一、选择题
1．命题“ x∈R，3x2－2x＋1＞0”的否定是(　　)
A． x∈R，3x2－2x＋1＞0
B． x∈R，3x2－2x＋1＜0
C． x∈R，3x2－2x＋1≥0
D． x∈R，3x2－2x＋1≤0
2．命题“所有平行四边形的对角线互相平分”的否定是(　　)
A．所有的平行四边形的对角线不互相平分
B．对角线不互相平分的四边形不是平行四边形
C．存在一个平行四边形的对角线互相平分
D．存在一个平行四边形的对角线不互相平分
3．命题p：“ x∈R，使得x2＋x＋1＝0”，下列说法正确的是(　　)
A． p：“ x R，x2＋x＋1≠0”是假命题
B． p：“ x∈R，x2＋x＋1≠0”是假命题
C． p：“ x R，x2＋x＋1≠0”是真命题
D． p：“ x∈R，x2＋x＋1≠0”是真命题
4．设A是奇数集，B是偶数集，则命题“ x∈A，2x B”的否定是(　　)
A． x∈A，2x∈B　 B． x A，2x∈B
C． x A，2x B 　 D． x A，2x∈B
5．(多选)已知命题p：有些三角形是轴对称图形，命题q：梯形的对角线相等，则(　　)
A．p是存在量词命题
B．q是全称量词命题
C．p是假命题
D． q是真命题
6．已知命题p： x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<1 　 B．a≤1
C．a>1 　 D．a≥1
7．命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定是(　　)
A． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
B． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
C． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
D． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
8．(多选)下列命题的否定为真命题的是(　　)
A．p：所有四边形的内角和都是360°
B．q： x∈R，x2＋2x＋2≤0
C．r： x∈{x| x是无理数}，x2是无理数
D．s：对所有实数a，都有|a|>0
9．(多选)若“ x∈M，x2>x”为真命题，“ x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．{x|2≤x≤3}
二、填空题
10．命题“ x∈R，x2＋2x＋5≠0”是________(填“真”或“假”)命题，它的否定是________．
11．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是________．
12．命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
13．写出下列命题的否定，并判断下列命题的否定的真假．
(1)命题p：梯形的内角和是360°；
(2)命题q： a∈R，二次函数y＝9x2＋7a的图象关于y轴对称．
14．已知命题p： x∈R，使x2－2x＋m＝0，命题q：－2(1)写出 p；
(2)若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围．
15．某中学开展小组合作学习模式，高一(1)班王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．两位同学题中m的取值范围是否一致，为什么？
答案解析
1．D
2．D　[根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即将全称量词改为存在量词，并否定原结论，所以原命题的否定为“存在一个平行四边形的对角线不互相平分”．故选D．]
3．D　[因为命题p：“ x∈R，使得x2＋x＋1＝0”，所以 p：“ x∈R，x2＋x＋1≠0”，又x2＋x＋1＝≠0，所以 p为真命题，故选D．]
4．A　[“ x∈A，2x B”，它的否定是“ x∈A，2x∈B”．故选A．]
5．ABD　[由题意得，p是存在量词命题，q是全称量词命题，A，B正确；因为等腰三角形是轴对称图形，所以p是真命题，C错误；因为有些梯形(例如直角梯形)的对角线不相等，所以q是假命题， q是真命题，D正确．故选ABD．]
6．D　[因为p为假命题，所以 p为真命题，所以 x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1．故选D．]
7．D　[由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定为“ x∈R， n∈N*，使得n8．BD　[A选项，所有四边形的内角和都是360°，故p为真命题，则 p为假命题，A错误；
B选项， q： x∈R，x2＋2x＋2>0，由于x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，故 q为真命题，B正确；
C选项，当x＝π时，x2也是无理数，故r为真命题，则 r为假命题，C错误；
D选项，当a＝0时，|a|＝0，故s为假命题，故 s为真命题，D正确．故选BD．]
9．BD　[若“ x∈M，x2>x”为真命题，则x2－x>0，由二次函数y＝x2－x的图象(图略)知，x<0或x>1；若“ x∈M，x>3”为假命题，则“ x∈M，x≤3”为真命题，综上，x<0或110．真　 x∈R，x2＋2x＋5＝0　[由于x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4>0，所以 x∈R，x2＋2x＋5≠0是真命题，
它的否定是： x∈R，x2＋2x＋5＝0．]
11． m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根　[命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题．
p： m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．]
12．{a|a≥1}　[命题“存在x>1，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“任意x>1，使得2x＋a≥3”是真命题，因为 x>1，都有2x＋a>2＋a，
所以2＋a≥3，则a≥1．]
13．解：(1) p：有一个梯形的内角和不是360°．
因为所有梯形的内角和都为360°，所以 p是假命题．
(2) q： a∈R，二次函数y＝9x2＋7a的图象不关于y轴对称．
因为 a∈R，二次函数y＝9x2＋7a的图象的对称轴为直线x＝0，
所以 q是假命题．
14．解：(1) p： x∈R，x2－2x＋m≠0．
(2)若p是真命题，得Δ＝4－4m≥0，所以m≤1．
若p为真命题，q为假命题，则
解得m≤－2．
若p为假命题，q为真命题，则
解得1所以m的取值范围为{m|m≤－2或115．解：一致．因为命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“ x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中的m的取值范围是一致的．
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