1.1.1第2课时 集合的表示方法
一、选择题
1．下列集合的表示中正确的是( )
A．{1，2，2}
B．R＝{全体实数}
C．{3，5}
D．不等式x－5>0的解集为{x－5>0}
2．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是( )
A．0∈A B．1 A
C．－1∈A D．0 A
3．集合用描述法可表示为( )
A．
B．
C．
D．
4．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}是空集，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
5．(多选)方程组的解集可以表示为( )
A．
B．
C．{1，2}
D．{(x，y)|x＝1，y＝2}
6．(多选)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，则( )
A．2 026∈[1]
B．－13∈[3]
C．若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]
D．若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”
7．(多选)非空集合A具有下列性质：①若x，y∈A，则∈A；②若x，y∈A，则x＋y∈A．下列判断一定成立的是( )
A．－1 A
B．∈A
C．若x，y∈A，则xy∈A
D．若x，y∈A，则x－y A
二、填空题
8．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为________．
9．若区间M＝(－2，a)的长度是6，区间N＝[－2，10]的长度是b，则集合S＝{x|ax－b>0}用区间表示为________．
10．设集合M＝{1，3，6，9，12，15}，集合N满足：①有两个元素；②若x∈N，则x＋3∈M且x－3∈M，则满足条件的集合N可以是________．
11．规定 与 是两个运算符号，其运算法则如下，对任意实数a，b有：a b＝ab，a b＝b(a2＋b2＋1)．若－2
12．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋1}，当A＝{2}时，则集合B＝________．
三、解答题
13．下列三个集合：A＝{x|y＝x2＋1}；B＝{y|y＝x2＋1}；C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
14．(1)已知2∈{x|(x－a)(x－a＋1)＝0}，求实数a的值；
(2)已知集合A＝{a－3，2a－1，a2＋1}，若－3∈A，求实数a的值．
15．已知A＝{x|x＝a＋b，a∈Z，b∈Z}．
(1)试写出集合A的五个元素；
(2)判断下列元素是否属于A：0，－，3；
(3)若x∈A，y∈A，试判断x＋y，xy与A的关系．
答案解析
1．C [A不正确，集合中的元素需满足互异性；
B不正确，大括号“{ }”本身就有“全体”的意思；C正确；
D不正确，不等式x－5>0的解集为{x|x－5>0}．]
2．A [∵A＝{x|x(x－1)＝0}＝{0，1}，∴0∈A．]
3．D [由3，，即，从中发现规律，x＝，n∈N*，故可用描述法表示为．]
4．A [若A是空集，则关于x的方程ax2－3x＋2＝0无解，此时a≠0，且Δ＝9－8a<0，
所以a>，即实数a的取值范围是．]
5．ABD [原方程组的解为
其解集中只含有一个元素，可表示为A、B、D．
故选ABD．]
6．ACD [2 026＝5×405＋1，故A正确；－13＝5×(－3)＋2，故B错误；设a＝5n＋k，n∈Z，b＝5m＋k，m∈Z，则a－b＝5(n－m)能被5整除，所以a－b∈[0]，故C正确；若a－b∈[0]，整数a，b被5除所得余数必相同，故D正确．]
7．ABC [对于A，若－1∈A，则＝1∈A，因此－1＋1＝0∈A；而对于x＝－1∈A，y＝0∈A时，显然无意义，不满足∈A，∴－1 A，故A正确．对于B，若x≠0，x∈A，则1＝∈A，∴2＝1＋1∈A，3＝2＋1∈A，依此类推可得，对任意n∈N*，有n∈A，∴20∈A，21∈A，∴∈A，故B正确．对于C，若x，y∈A，则x≠0且y≠0，由B可知1∈A，则∈A，∴xy＝∈A，故C正确．对于D，由B得1，2∈A，取x＝2，y＝1，则x－y＝1∈A，故D错误．]
8．9 [由x2＋y2≤3，知－≤x≤，－≤y≤．又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，所以A中元素的个数为9．]
9．(3，＋∞) [由区间M＝(－2，a)的长度是6，可知a＝4，区间N＝[－2，10]的长度是b，可知b＝12，因此4x－12>0，解得x>3．]
10．{6，9}，{9，12}，{6，12} [由得x∈M．
结合已知条件可得满足条件的集合N可以是{6，9}，{9，12}，{6，12}．]
11． [由题意得，A＝，
因为－2所以当a＝－1时，b＝1，此时x＝－；
当a＝0时，b＝1，此时x＝1，
所以集合A＝．]
12．{3－，3＋} [当A＝{2}时，方程x2＋px＋q＝x有两个相等的实根，为2，
所以解得
所以B＝{x|(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋1}．
由(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋1得x＝3±，
所以B＝{3－，3＋}．]
13．解： (1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R．
集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的实数对，
可以认为集合C是坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线y＝x2＋1的图象．
14．解： (1)易知{x|(x－a)(x－a＋1)＝0}＝{a，a－1}．
当a＝2时，a－1＝1，则{a，a－1}＝{2，1}，符合题意；
当a－1＝2时，a＝3，则{a，a－1}＝{3，2}，符合题意．
综上可知，a＝2或a＝3．
(2)显然a2＋1≠－3．
当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{－3，－1，1}，满足题意；
当2a－1＝－3时，a＝－1，此时A＝{－4，－3，2}，满足题意．
故实数a的值为0或－1．
15．解： (1)当a＝1，b＝0时，元素为1，
当a＝2，b＝1时，元素为2＋，
当a＝2，b＝－1时，元素为2－，
当a＝3，b＝5时，元素为3＋5，
当a＝3，b＝－5时，元素为3－5，
则集合A的五个元素为1，2＋，2－，3＋5，3－5．(答案不唯一)
(2)0＝0＋0×∈A，－＝0＋(－)∈A，＝0＋2∈A，3 A， A．
(3)因为集合A＝{x|x＝a＋b，a，b∈Z}，
又因为x∈A，y∈A，
令x＝m＋n，y＝c＋d(m，n，c，d∈Z)，
所以x＋y＝m＋n＋c＋d＝(m＋c)＋(n＋d)∈A，
xy＝(m＋n)(c＋d)＝(mc＋3nd)＋(nc＋md)∈A，所以x＋y∈A，xy∈A．
4/61.1.1第1课时集合
一、选择题
1．(多选)考察下列每组对象，能组成一个集合的是( )
A．高考数学难题
B．等腰三角形的全体
C．不小于3的正整数
D．的近似值
2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14 B．－5
C． D．
3．设不等式3－2x<0的解集为M，下列判断正确的是( )
A．0∈M，2∈M B．0 M，2∈M
C．0∈M，2 M D．0 M，2 M
4．已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合
6．(多选)已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是( )
A．1∈M B．0 M
C．－1∈M D．－2∈M
7．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
二、填空题
8．给出下列说法：
①0∈ ；②如果a，b∈Z，则a－b∈Z；③所有正方形构成的集合是有限集；④如果a∈N，则－a N．其中正确的是________．(填序号)
9．已知集合A含有两个元素1和2，集合B为方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则a＝________，b＝________．
10．已知集合A中有0，m，m2－3m＋2三个元素，且2∈A，则m的值为________．
11．已知集合P中含有0，2，5三个元素，集合Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素为a＋b，其中a∈P，b∈Q，则集合P＋Q中所有元素的和为________．
12．若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．
三、解答题
13．以某些整数为元素的集合P具有以下两个性质：
①P中的元素有正整数，也有负整数；②若x∈P，y∈P，则x＋y∈P．
(1)若x∈P，求证：3x∈P．
(2)判断集合P是有限集还是无限集？请说明理由．
14．已知集合M是由三个元素－2，3x2＋3x－4，x2＋x－4组成的，若2∈M，求x．
15．设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件：
①1 S；②若a∈S，则∈S．
(1)求证：若a∈S，则1－∈S；
(2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素．
答案解析
1．BC [“难题”这个词界限不确定，不明确哪些元素在该集合中，故A不构成集合；
等腰三角形的全体是明确的，故B构成集合；
不小于3的正整数，即3，4，5…显然C可以构成集合；
的近似值太笼统，没有确定的界限，构不成集合．
故选BC．]
2．D [由题意知a是实数但不是有理数，故a应为无理数，从而选D．]
3．B [当x＝0时，3－2x＝3>0，
所以0不是不等式的解，0 M；
当x＝2时，3－2x＝－1<0，
所以2是不等式3－2x<0的解，2∈M．]
4．D [因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形，故选D．]
5．A [由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A．]
6．BC [由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2．
所以方程为x2－x－2＝0，
解得x1＝－1，x2＝2．
故方程的另一根为－1．]
7．A [当x>0时，x＝|x|＝，－＝－x<0，此时集合共有2个元素；
当x＝0时，x＝|x|＝＝－＝－x＝0，此时集合共有1个元素；
当x<0时，＝|x|＝－x，－＝－x，此时集合共有2个元素．综上，此集合最多有2个元素，
故选A．]
8．② [0 ，故①错误；②正确；③是无限集；当a＝0时，－a＝0∈N，④错误．]
9．－3 2 [因为集合A与集合B相等，且1∈A，2∈A，所以1∈B，2∈B，即1，2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，
所以
所以]
10．3 [由2∈A可知，若m＝2，则m2－3m＋2＝0．这与m2－3m＋2≠0相矛盾．若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时与m≠0相矛盾．
当m＝3时，集合中含有3个元素0，2，3．
故m的值为3．]
11．42 [由a∈P，b∈Q得a＋b的取值分别为1，2，3，4，6，7，8，11．
故集合P＋Q中所有元素的和为42．]
12．3 [当a，b同正时，＝＝1＋1＝2；
当a，b同负时，＝＝－1－1＝－2；
当a，b异号时，＝0．
所以的可能取值所组成的集合中元素共有3个．
13．(1)证明：由②若x∈P，y∈P，则x＋y∈P可得，
若x∈P，则x＋x＝2x∈P，x＋2x＝3x∈P，
所以3x∈P．
(2)集合P为无限集．
假设集合P为有限集，则集合P中的元素必有最大值，且最大值为正整数，不妨设最大值为m，由②知若x，y∈P，则x＋y∈P可得，2m∈P，与集合P的最大值为m矛盾，所以集合P为无限集．
14．解： 当3x2＋3x－4＝2，
即x2＋x－2＝0时，得x＝－2或x＝1，
经检验，x＝－2，x＝1均不符合题意．
当x2＋x－4＝2，即x2＋x－6＝0时，
得x＝－3或x＝2，
经检验，x＝－3，x＝2均符合题意．
所以x＝－3或x＝2．
15．解： (1)证明：因为1 S，由∈S，可得
∈S，
即＝＝1－∈S，
故若a∈S，则1－∈S．
(2)由2∈S，得＝－1∈S；
由－1∈S，得＝∈S；
而当∈S时，＝2∈S，…，
因此当2∈S时，
集合S中必含有－1，两个元素．
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