2025-2026学年人教B版数学必修第一册课时练习：1.2.3充分条件，必要条件（2课时打包）（含解析）

1.2.3充分条件与必要条件
一、选择题
1．“a和b都是奇数”是“a＋b是偶数”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
2．“m>n”是“m2>n2”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件又是必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知p：0A．0C．4．使|x|＝x成立的一个必要条件是(　　)
A．x<0 B．x≥0或x≤－1
C．x>0 D．x≤－1
5．(多选)有以下说法，其中正确的为(　　)
A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件
B．“x∈(A∩B)”是“x∈A”的必要条件
C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件
D．“x>3”是“x2>4”的充分条件
6．设甲、乙、丙三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　)
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既是甲的充分条件又是甲的必要条件
D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
7．x＋y>2m的一个充分条件是(　　)
A．x>m或y>m B．x>m且yC．x>m且y>m D．x>m或y二、填空题
8．设a∈R，则“a<1”是“a2<1”成立的________(选填“充分”或“必要”)条件．
9．“某运动员在运动会中获得奖牌”是“该运动员参加运动会”的________(选填“充分”或“必要”)条件．
10．已知条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是 q的充分条件，则a的取值范围是________．
11．给出下列四个条件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a＝3，b＝－2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中________是a＋b>0的充分条件．(填序号)
12．用“充分”或“必要”填空：
(1)“x≠3”是“|x|≠3”的________条件；
(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的________条件．
三、解答题
13．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件(用“充分”，“必要”作答)．
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(4)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．
14．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？
(1)若x>2，则|x|>1；
(2)若x<3，则x2<4；
(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等；
(4)若A∩B＝A，则 UB UA．
15．(1)是否存在实数m，使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的充分条件？
(2)是否存在实数m，使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的必要条件？
答案解析
1．A　[两个奇数的和是偶数，但和为偶数的两个数有可能是两个偶数，不一定是两个奇数，所以“a和b都是奇数” “a＋b是偶数”，“a＋b是偶数” “a和b都是奇数”．所以“a和b都是奇数”是“a＋b是偶数”的充分条件．]
2．D　[当m＝1，n＝－2时，m>n，但是m2n2，但是mn”是“m2>n2”的既不充分也不必要条件．]
3．C　[由0那么命题p的一个充分条件是4．B　[因为|x|＝x x≥0 x≥0或x≤－1，所以使|x|＝x成立的一个必要条件是x≥0或x≤－1．]
5．ACD　[A正确，由于“m是有理数” “m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；
B不正确，因为“x∈A” “x∈(A∩B)”，
所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件；
C正确，由于“x＝3” “x2－2x－3＝0”，
故“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件；
D正确，由于“x>3” “x2>4”，
所以“x>3”是“x2>4”的充分条件．]
6．A　[由甲是乙的必要条件，得乙 甲．由丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，得丙 乙，但乙 丙，结构示意图如图．综上有丙 乙 甲，但是乙 丙．故有丙 甲，但是甲 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A．
]
7．C　[选项A，取x＝m－1，y＝m＋0.5，满足x>m或y>m，但x＋y<2m，故充分性不成立；
选项B，取x＝m＋0.5，y＝m－1，满足x>m且y选项C，由不等式的性质，x>m且y>m能推出x＋y>2m，故充分性成立；
选项D，取x＝m＋0.5，y＝m－1，满足x>m或y8．必要　[由“a<1”推不出“a2<1”，而由“a2<1”能推出“a<1”，故“a<1”是“a2<1”成立的必要条件．]
9．充分　[该运动员获得奖牌，一定参加了运动会；参加运动会，不一定获得奖牌，所以是充分条件．]
10．(－∞，1]　[p：x>1，若p是q的充分条件，则p对应集合是q对应集合的子集，故a≤1．]
11．①③④　[问题是“谁”是“a＋b>0”的充分条件，即为“谁” a＋b>0．
①a>0，b>0 a＋b>0；②a<0，b<0 a＋b>0；③a＝3，b＝－2 a＋b>0；④a>0，b<0且|a|>|b| a＋b>0．]
12．(1)必要　(2)充分　[(1)当|x|≠3时，x≠±3，
所以“x≠3” “|x|≠3”，“|x|≠3” “x≠3”，所以“x≠3”是“|x|≠3”的必要条件．
(2)因为个位数字是5或0的自然数都能被5整除，所以“个位数字是5的自然数” “这个自然数能被5整除”，“这个自然数能被5整除” “这个自然数的个位数字是5”，所以“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件．]
13．解：　(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
(3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
14．解：　(1)若x>2，则|x|>1成立，反之当x＝－2时，满足|x|>1但x>2不成立，即p是q的充分条件．
(2)若x<3，则x2<4不一定成立，反之若x2<4，
则－2(3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p是q的既不充分也不必要条件．
(4)A∩B＝A A B UB UA，
反之也成立，所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件．
15．解：　(1)欲使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的充分条件，
则只要 {x|x<－1或x>3}，
即只需－≤－1，
所以m≥2．故存在实数m≥2，
使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的充分条件．
(2)欲使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3} ，这是不可能的．
故不存在实数m，使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的必要条件．
1/61.2.3第2课时充要条件
一、选择题
1．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A B”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(多选)设x∈R，则x>2的一个必要不充分条件可以是(　　)
A．x>1　　B．x>2　　C．x≥2　　D．x>3
5．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
6．(多选)已知集合A＝{x|－1A．m≤－2 B．m<－2
C．m<2 D．－47．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}．已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝maxmin，则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
8．《左传僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．则“有毛”是“有皮”的________．(将正确的序号填在横线上)
①充分条件；②必要条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．
9．若p：x－3<0是q：2x－310．已知2a－b＝3，则使得“m>－a2＋b＋1对任意的实数a，b恒成立”的一个充分不必要条件为________．(用含m的式子表示)
11．对于集合A，B及元素x，若A B，则“x∈B”是“x∈A∪B”的________(选填“充分”“必要”或“充要”)条件．
12．设p：实数x满足a0)，q：实数x满足2三、解答题
13．已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
14．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面的问题中横线部分．若问题中的a存在，求出a的取值范围，若问题中的a不存在，请说明理由．
问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|1－a≤x≤1＋a，a>0}，是否存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________？
15．对于非零实数x，y有x>y，试探求<的充要条件，并加以证明．
答案解析
1．C　[由A∩B＝A可知A B；
反过来A B，则A∩B＝A，故选C．]
2．A　[因为a>6 a2>36，
所以“a>6”是“a2>36”的充分条件．
因为a2>36 a>6或a<－6，
所以“a>6”是“a2>36”的不必要条件．
故选A．]
3．B　[根据题意得，A B，B A，B C，D C，C D，
所以D C B A，即D A，
可从集合的角度考虑得出A D，
所以A是D的必要不充分条件．]
4．AC　[由x>2，可得构成集合M＝{x|x>2}，结合选项，可得集合{x|x>1}，{x|x≥2}均真包含M，
所以x>1与x≥2是x>2的一个必要不充分条件．]
5．B　[(法一)若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，
所以由a2＝b2 a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，
所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab a2＝b2．
所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．
(法二)因为“a2＝b2” “a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab” “a＝b”，
所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系．
又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，
所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．]
6．BD　[因为集合A＝{x|－1所以A∩B＝ 等价于m＋1≤－1，即m≤－2，
对比选项，m<－2，－47．A　[当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝maxmin＝1×1＝1．
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c，∴max＝．
又∵l＝1，
∴min＝，
即＝或＝，得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件．]
8．①　[由题意知，“无皮” “无毛”，所以“有毛” “有皮”，即“有毛”是“有皮”的充分条件，故填①．]
9．{m|m>3}　[由x－3<0得x<3，由2x－3{x|x<3} ，
所以(m＋3)>3，解得m>3．]
10．m＝0(答案不唯一，满足m>－1均可)　[2a－b＝3，则b＝2a－3，所以－a2＋b＋1＝－a2＋2a－3＋1＝－a2＋2a－2＝－(a－1)2－1，所以a＝1时，－a2＋b＋1取得最大值为－1，因此m>－a2＋b＋1对任意的实数a，b恒成立的充要条件是m>－1，在此范围内任取一数均可．]
11．充要　[由x∈B，显然可得x∈A∪B；反之，由A B，则A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故“x∈B”是“x∈A∪B”的充要条件．]
12．　[因为q是p的充分不必要条件，
所以q对应的集合是p对应集合的真子集，
所以(2，5] (a，4a)，其中a>0，
则得得即实数a的取值范围是．]
13．证明：　设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．
(1)充分性(p q)：如图，作OP⊥l于点P，则OP＝d．若d＝r，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ．在Rt△OPQ中，OQ>OP＝r．所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P．所以直线l与⊙O相切．
(2)必要性(q p)：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l．因此，d＝OP＝r．
由(1)(2)可得，d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
14．解：　选①，则A是B的真子集，则1－a≤0且1＋a≥4(两等号不同时取)，又a>0，解得a≥3，
所以a存在，a的取值范围为{a|a≥3}．
选②，则B是A的真子集，则1－a≥0且1＋a≤4(两等号不同时取)，又a>0，解得0选③，则A＝B，则1－a＝0且1＋a＝4，又a>0，方程组无解，所以不存在满足条件的a．
15．解：　充要条件是xy>0，证明如下：
必要性：由<，知>0，又x>y，则x－y>0，所以xy>0．
充分性：因为x>y，所以y－x<0．
因为xy>0，所以>0，所以<0，即<．
综上所述，对于非零实数x，y，当x>y时，<的充要条件是xy>0．
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