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【北师大版八年级数学（上）课时练习】
§5.4 应用二元一次方程组 （3）
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损，，则答案中另一个方程应为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题6分）在一种扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来预估还没有发出的牌的点数大小，“牌值”的计算方式为：没有发牌时，“牌值”为0；发出的牌点数为2至9时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加1；发出的牌点数为10、J、Q、K、A、大王、小王时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减1．若一副完整的扑克牌已发出34张，且此时的“牌值”为10，则随机发出的下一张牌的可能性判断正确的是（ ）
A．点数小的牌可能性大B．点数大的牌可能性大 C．两者可能性一样大 D．无法判断
3．（本题6分）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（ ）天．
A． B． C． D．
4．（本题6分）如图，长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，
与的差为，小长方形的周长为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题6分）在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等；得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则（ ）
8
2
A． B．10 C．5 D．0
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎．已知某品牌轮胎若安装在前轮应行驶5000公里报废，若安装在后轮应行驶3000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶 公里．
7．（本题6分）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为 ．
8．（本题6分）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒4小盒共装108瓶；2大盒3小盒共装76瓶．若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶可列方程组为： ．
9．（本题6分）如图所示的图案均是由8个大小一样的小长方形拼成的，且图2中小正方形（阴影部分）的面积为，则小长方形的面积为 ．
10．（本题6分）琪琪沿街匀速行走，发现每隔从背后驶过一辆7路公交车，每隔从迎面驶来一辆7路公交车．假设每辆7路公交车行驶速度相同，而且7路公交车总站每隔固定时间发一辆车．
问：
（1）7路公交车行驶速度是琪琪行走速度的 倍．
（2）7路公交车总站每间隔 发一辆车．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）小红和姐姐相距．如果她们同时出发且相向而行，那么经过两人相遇；如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发，那么在小红出发后姐姐追上小红．小红、姐姐的平均速度分别是多少？
12．（本题8分）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹．
(1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？
(2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？
13．（本题8分）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和”
(1)如图①所示幻方，求x的值；
(2)如图②所示幻方，求a，b的值；
(3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整．
14．（本题8分）现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
(1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
(2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是多少厘米？
15．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，点，分别是第三象限与第二象限内的点，将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C）．
(1)若点，，求C点的坐标；
(2)连接，过点B作的垂线，E是直线上一点，连接，且的最小值为1．
①若，求证：直线轴；
②在①的条件下，若点B，D及点都是以关于x，y的二元一次方程的解为坐标的点，试判断与的大小关系，并说明理由．
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【北师大版八年级数学（上）课时练习】
§5.4 应用二元一次方程组 （3）
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午9时从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损，，则答案中另一个方程应为（ ）
A． B． C． D．
解：由题意知，表示上山的路程等于下山的路程，
a表示上山用的时间，b表示下山用的时间，
由题意知，小明从家到山顶所用时间为，
从山顶回到家所用时间为，
上山比下山多用时间为：，
，
故选：C．
2．（本题6分）在一种扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来预估还没有发出的牌的点数大小，“牌值”的计算方式为：没有发牌时，“牌值”为0；发出的牌点数为2至9时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加1；发出的牌点数为10、J、Q、K、A、大王、小王时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减1．若一副完整的扑克牌已发出34张，且此时的“牌值”为10，则随机发出的下一张牌的可能性判断正确的是（ ）
A．点数小的牌可能性大 B．点数大的牌可能性大
C．两者可能性一样大 D．无法判断
解：设一副完整的扑克牌已发出的34张牌中点数小的张数为张，点数大的张数为张，
则，
解得：，
∴已发出的34张牌中点数小的张数为张，点数大的张数为张，
∴剩余的张牌中点数大的张数为张，点数小的张数为，
∵剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等，
∴下一张发出的牌是点数大的牌的几率是，下一张发出的牌是点数小的牌的几率是，
∴两者可能性一样大，
故选：C．
3．（本题6分）羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（ ）天．
A． B． C． D．
解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，
由题意得，，
解得
∴两个工程队各工作了天，
故选：．
4．（本题6分）如图，长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，与的差为，小长方形的周长为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意可得：，
解方程组可得：，
，，
长方形的面积是，
一个小长方形的面积是，
图中阴影部分的面积是．
故选：D．
5．（本题6分）在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等；得到的的方格称为一个三阶幻方，如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则（ ）
8
2
A． B．10 C．5 D．0
解：由题意得：，
解得：，
∴，
故选：C．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎．已知某品牌轮胎若安装在前轮应行驶5000公里报废，若安装在后轮应行驶3000公里报废，如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶 公里．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，
则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，
设一对新轮胎交换位置前走了x公里，交换位置后走了y公里，
由题意得：，
两式相加，得，
解得：，
故答案为：3750．
7．（本题6分）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有类似于图1的数字之和的这个规律，则的值为 ．
解：∵，
∴每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍，
依题意，第一行相加为：
∴，
∴
设第二行中间的数为，则
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
8．（本题6分）一种商品有大、小盒两种包装，3大盒4小盒共装108瓶；2大盒3小盒共装76瓶．若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶可列方程组为： ．
解：设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，
根据题意得：
故答案为：．
9．（本题6分）如图所示的图案均是由8个大小一样的小长方形拼成的，且图2中小正方形（阴影部分）的面积为，则小长方形的面积为 ．
解：设小长方形的长为，宽为，
依题意，得，
解得，
∴小长方形的面积为．
故答案为：．
10．（本题6分）琪琪沿街匀速行走，发现每隔从背后驶过一辆7路公交车，每隔从迎面驶来一辆7路公交车．假设每辆7路公交车行驶速度相同，而且7路公交车总站每隔固定时间发一辆车．
问：
（1）7路公交车行驶速度是琪琪行走速度的 倍．
（2）7路公交车总站每间隔 发一辆车．
解：设7路公交车行驶速度米/分钟，琪琪匀速行走的速度米/分钟，7路公交车发出时间间隔为分钟，由题意得
，
解得：，
故答案：（1）（2）．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）小红和姐姐相距．如果她们同时出发且相向而行，那么经过两人相遇；如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发，那么在小红出发后姐姐追上小红．小红、姐姐的平均速度分别是多少？
解：设小红的平均速度是，姐姐的平均速度是，
由题意，得
解得
答：小红的平均速度是，姐姐的平均速度是．
12．（本题8分）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹．
(1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？
(2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？
（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意得，
解得：
答：每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹；
（2）解：设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意得
解得：
答：快递车的总配送路程是千米
13．（本题8分）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和”
(1)如图①所示幻方，求x的值；
(2)如图②所示幻方，求a，b的值；
(3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整．
（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）解：根据题意得：
，
解得：；
（3）解：根据题意得：，
整理得：，
∴，
∵m，a为正整数，
∴或或，
当时，
第三行的三个数从左到右依次为13，8，15，第三列三个数从上到下依次为11，10，15，
每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都36，
∴第二行的三个数从左到右依次为14，12，10，
∴第一列三个数从上到下依次为11，12，13，
∴第一行的三个数从左到右依次为11，14，11，
11 14 11
12 12 10
13 8 15
当时，
同理将对应的幻方填写完整，如下：
15 10 11
8 12 16
13 14 9
当时，
同理将对应的幻方填写完整，如下
21 4 11
2 12 22
13 20 3
14．（本题8分）现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
(1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
(2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是多少厘米？
（1）解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：，
解得，
．
每个小长方形的面积为60；
（2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，
由题意得，
解得，
．
小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是．
15．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，点，分别是第三象限与第二象限内的点，将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点（点A对应点C）．
(1)若点，，求C点的坐标；
(2)连接，过点B作的垂线，E是直线上一点，连接，且的最小值为1．
①若，求证：直线轴；
②在①的条件下，若点B，D及点都是以关于x，y的二元一次方程的解为坐标的点，试判断与的大小关系，并说明理由．
（1）解：，，
将A点先向右平移个单位，再向下平移1个单位得到点C，
，即；
（2）解：①，，
将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点，
，
，
的纵坐标相等，即到轴的距离相等，
轴，
，
x轴；
②依题意，在①的条件下由轴，
的最小值为1，
点向右平移1个单位，再向下平移1个单位到点，
，
，
点B，D及点是方程的解，
∴，
②①得：，
将代入①得，
又，
，
．
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