第1章 因式分解
（120分钟 120分）
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.多项式-3m4n4-9m3n2+12m5n3因式分解时应提取的公因式为 (B)
A.3mn B.-3m3n2 C.3mn2 D.-3m2n2
2.下列等式从左到右变形是因式分解的是 (C)
A.6a2b=2a23b B.x2-3x-4=x(x-3)-4
C.ab2-2ab=ab(b-2) D.(2-a)(2+a)=4-a2
3.课堂练习中,王莉同学做了如下4道因式分解题,你认为王莉做得不够完整的一道是 (A)
A.x3-x=x(x2-1) B.x2+2xy+y2=(x+y)2
C.x2y-xy2=xy(x-y) D.ab2-6ab+9a=a(b-3)2
4.如果多项式x2+加上一个单项式后,能够直接用完全平方公式进行因式分解,那么在下列单项式中,可以加上的是 (B)
A.4x B.x C.8x D.x4
5.因式分解4-x2+2x3-x4,分组合理的是 (A)
A.(4-x2)+(2x3-x4) B.(4-x2-x4)+2x3
C.(4-x4)+(-x2+2x3) D.(4-x2+2x3)-x4
6.已知某正方形的面积是(9+12x+4x2)cm2(x>-),则该正方形的周长是________cm. (D)
A.3-x B.2x+3 C.16-4x D.8x+12
7.若多项式5x2+17x-12可因式分解为(x+a)(bx+c),其中a,b,c均为整数,则a-c的值是 (B)
A.1 B.7 C.11 D.13
8.如图,有一张边长为b的正方形纸板,在它的四角各剪去边长为a的正方形.然后将四周突出的部分折起,制成一个无盖的长方体纸盒.用M表示其底面积与侧面积的差,则M可表示为 (A)
A.(b-6a)(b-2a)
B.(b-3a)(b-2a)
C.(b-5a)(b-a)
D.(b-2a)2
9.多项式:①16x2-8x;②(x-1)2-4(x-1)+4;③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2;④-4x2-1+4x.因式分解后,结果中含有相同因式的是(C)
A.①和② B.③和④ C.①和④ D.②和③
10.不论x,y为何有理数,多项式x2+y2-4x-2y+8的值总是 (C)
A.负数 B.零 C.正数 D.非负数
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11.在公式(a+b)(a-b)=a2-b2中,从左到右是 整式乘法 ,从右到左的变形是 因式分解 .
12.(2024·宜宾中考)分解因式:2a2-2= 2(a+1)(a-1) .
13.如果x,y满足方程组,那么x2-y2的值为 .
14.如果a2+a+1=0,那么a2 023+a2 022+a2 021= 0 .
15.因式分解:(3x+2y)2-(x+y)2= (2x+y)(4x+3y) .
16.若多项式x2-mx+15因式分解后,有一个因式是x+5,则m的值为 -8 .
17.甲、乙两人完成因式分解x2+ax+b时,甲看错了a的值,分解的结果是(x+2)(x-9),乙看错了b的值,分解的结果为(x-4)(x+7),那么x2+ax+b因式分解正确的结果为 (x-3)(x+6) .
18.若A=111×2 019×2 022,B=2 021×2 020×111,则B-A的值为 222 .
三、解答题(本题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(6分)(2025·长沙期末)因式分解:
(1)4xy2-4xy+x;
(2)81x4-1.
【解析】(1)4xy2-4xy+x
=x(4y2-4y+1)
=x(2y-1)2;
(2)81x4-1
=(9x2+1)(9x2-1)
=(9x2+1)(3x-1)(3x+1).
20.(6分)给出三个多项式:a2+3ab-2b2,b2-3ab,ab+6b2.请任意选择两个多项式进行加法运算,并把结果因式分解.
【解析】(答案不唯一)(a2+3ab-2b2)+(b2-3ab)
=a2+3ab-2b2+b2-3ab
=a2-b2
=(a+b)(a-b).
21.(8分)已知a是一个正整数,且a除以3余1.判断a2+4a+4是否一定能被9整除,并说明理由.
【解析】一定能被9整除.理由如下:
设a除以3余1的商为b,则a=3b+1,a2+4a+4=(a+2)2=(3b+3)2=[3(b+1)]2=9(b+1)2,
所以a2+4a+4一定能被9整除.
22.(8分)已知a,b满足等式x=a2-6ab+9b2,y=4a-12b-4,试判断x,y的大小关系.
【解析】 x-y=(a2-6ab+9b2)-(4a-12b-4)
=a2-6ab+9b2-4a+12b+4
=(a-3b)2-4(a-3b)+4
=(a-3b-2)2,
因为(a-3b-2)2≥0,所以x≥y.
23.(9分)对于二次三项式a2+6a+9,可以用公式法将它分解成(a+3)2的形式,但对于二次三项式a2+6a+8,就不能直接应用完全平方公式了,我们可以在二次三项式中先加上一项9,使其成为完全平方式,再减去9这项,使整个式子的值保持不变,于是有a2+6a+8=a2+6a+9-9+8=(a+3)2-1=[(a+3)+1][(a+3)-1]=(a+4)(a+2).请仿照上面的做法,将下列各式因式分解:
(1)x2-6x-16;
(2)x2+2ax-3a2.
【解析】(1)原式=x2-6x+9-25=(x-3)2-52=(x-3-5)(x-3+5)=(x-8)(x+2);
(2)原式=x2+2ax+a2-4a2=(x+a)2-(2a)2=(x+a-2a)(x+a+2a)=(x-a)(x+3a).
24.(9分)在进行计算或化简时,可以根据题目特点,将一个分数或分式变成两部分之差.例如:==1-;==-;==(-)等.
(问题解决)
利用上述材料中的方法,解决下列问题:
(1)求++++…++的值;
(2)求++++…++的值;
(3)求++++…+的值.
【解析】(1)++++…++
=+++…++
=1-+-+-+…+-+-
=1-=;
(2)++++…++
=×[+++…+
=×[+++…+
=×(1-+-+-+…+-)
=×(1-)
=×=;
(3)++++…+
=+++…+
=×(1-+-+-+…+-)
=×(1-)
=×
=.
25.(10分)(2025·长沙浏阳市期末)对于形如x2-2ax+a2这样的二次三项式,可以用公式法将它分解成(x-a)2的形式.但对于二次三项式x2-2ax-3a2,就不能直接运用公式了.此时,我们可以在二次三项式x2-2ax-3a2中先加上一项a2,使它与x2-2ax的和成为一个完全平方式,再减去a2,整个式子的值不变,于是有x2-2ax-3a2=(x2-2ax+a2)-a2-3a2=(x-a)2-4a2=(x-3a)·(x+a).像这样,先添一适当项,使式中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变的方法称为配方法.利用以上配方法解决下列问题:
(1)利用配方法分解因式:a2-4a-5.
(2)求二次三项式m2+6m+1的最小值.
(3)已知x是实数,试比较x2-5x+5与-x2+3x-4的大小,请说明理由.
【解析】(1)a2-4a-5=a2-4a+4-5-4=(a-2)2-9=(a-2+3)(a-2-3)=(a+1)(a-5).
(2)m2+6m+1=m2+6m+9-9+1=(m+3)2-8,
当m=-3时,二次三项式m2+6m+1的最小值为-8.
(3)x2-5x+5-(-x2+3x-4)
=x2-5x+5+x2-3x+4
=2x2-8x+9
=2(x2-4x)+9
=2(x-2)2+1>0,
所以x2-5x+5>-x2+3x-4.
26.(10分)综合与实践
阅读材料,掌握知识
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等,但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究:
分解因式:3x2+3xy-5x-5y.
解法一:3x2+3xy-5x-5y=(3x2+3xy)-(5x+5y)=3x(x+y)-5(x+y)=(x+y)(3x-5);
解法二:3x2+3xy-5x-5y=(3x2-5x)+(3xy-5y)=x(3x-5)+y(3x-5)=(3x-5)(x+y).
小结:对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时,我们可以将多项式分为若干组,再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的,这就是因式分解的分组分解法.
理解知识,尝试应用
分解因式
(1)ab-ac+bc-b2;
(2)a2+1-b2-2a;
提炼思想,拓展应用
(3)已知三角形的三边长分别是a,b,c,且满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,试判断这个三角形的形状,并说明理由.
【解析】(1)原式=(ab-ac)-(b2-bc)
=a(b-c)-b(b-c)
=(a-b)(b-c).
(2)原式=(a2-2a+1)-b2
=(a-1)2-b2
=(a-1+b)(a-1-b)
=(a+b-1)(a-b-1).
(3)△ABC是等边三角形,理由如下:
a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,
(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)=0,
(a-b)2+(b-c)2=0,
因为(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,所以a-b=0,b-c=0,所以a=b=c,所以△ABC是等边三角形.第1章 因式分解
（120分钟 120分）
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.多项式-3m4n4-9m3n2+12m5n3因式分解时应提取的公因式为 ( )
A.3mn B.-3m3n2 C.3mn2 D.-3m2n2
2.下列等式从左到右变形是因式分解的是 ( )
A.6a2b=2a23b B.x2-3x-4=x(x-3)-4
C.ab2-2ab=ab(b-2) D.(2-a)(2+a)=4-a2
3.课堂练习中,王莉同学做了如下4道因式分解题,你认为王莉做得不够完整的一道是 ( )
A.x3-x=x(x2-1) B.x2+2xy+y2=(x+y)2
C.x2y-xy2=xy(x-y) D.ab2-6ab+9a=a(b-3)2
4.如果多项式x2+加上一个单项式后,能够直接用完全平方公式进行因式分解,那么在下列单项式中,可以加上的是 ( )
A.4x B.x C.8x D.x4
5.因式分解4-x2+2x3-x4,分组合理的是 ( )
A.(4-x2)+(2x3-x4) B.(4-x2-x4)+2x3
C.(4-x4)+(-x2+2x3) D.(4-x2+2x3)-x4
6.已知某正方形的面积是(9+12x+4x2)cm2(x>-),则该正方形的周长是________cm. ( )
A.3-x B.2x+3 C.16-4x D.8x+12
7.若多项式5x2+17x-12可因式分解为(x+a)(bx+c),其中a,b,c均为整数,则a-c的值是 ( )
A.1 B.7 C.11 D.13
8.如图,有一张边长为b的正方形纸板,在它的四角各剪去边长为a的正方形.然后将四周突出的部分折起,制成一个无盖的长方体纸盒.用M表示其底面积与侧面积的差,则M可表示为 ( )
A.(b-6a)(b-2a)
B.(b-3a)(b-2a)
C.(b-5a)(b-a)
D.(b-2a)2
9.多项式:①16x2-8x;②(x-1)2-4(x-1)+4;③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2;④-4x2-1+4x.因式分解后,结果中含有相同因式的是( )
A.①和② B.③和④ C.①和④ D.②和③
10.不论x,y为何有理数,多项式x2+y2-4x-2y+8的值总是 ( )
A.负数 B.零 C.正数 D.非负数
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11.在公式(a+b)(a-b)=a2-b2中,从左到右是 ,从右到左的变形是 .
12.(2024·宜宾中考)分解因式:2a2-2= .
13.如果x,y满足方程组,那么x2-y2的值为 .
14.如果a2+a+1=0,那么a2 023+a2 022+a2 021= .
15.因式分解:(3x+2y)2-(x+y)2= .
16.若多项式x2-mx+15因式分解后,有一个因式是x+5,则m的值为 .
17.甲、乙两人完成因式分解x2+ax+b时,甲看错了a的值,分解的结果是(x+2)(x-9),乙看错了b的值,分解的结果为(x-4)(x+7),那么x2+ax+b因式分解正确的结果为 .
18.若A=111×2 019×2 022,B=2 021×2 020×111,则B-A的值为 .
三、解答题(本题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(6分)(2025·长沙期末)因式分解:
(1)4xy2-4xy+x;
(2)81x4-1.
20.(6分)给出三个多项式:a2+3ab-2b2,b2-3ab,ab+6b2.请任意选择两个多项式进行加法运算,并把结果因式分解.
21.(8分)已知a是一个正整数,且a除以3余1.判断a2+4a+4是否一定能被9整除,并说明理由.
22.(8分)已知a,b满足等式x=a2-6ab+9b2,y=4a-12b-4,试判断x,y的大小关系.
23.(9分)对于二次三项式a2+6a+9,可以用公式法将它分解成(a+3)2的形式,但对于二次三项式a2+6a+8,就不能直接应用完全平方公式了,我们可以在二次三项式中先加上一项9,使其成为完全平方式,再减去9这项,使整个式子的值保持不变,于是有a2+6a+8=a2+6a+9-9+8=(a+3)2-1=[(a+3)+1][(a+3)-1]=(a+4)(a+2).请仿照上面的做法,将下列各式因式分解:
(1)x2-6x-16;
(2)x2+2ax-3a2.
24.(9分)在进行计算或化简时,可以根据题目特点,将一个分数或分式变成两部分之差.例如:==1-;==-;==(-)等.
(问题解决)
利用上述材料中的方法,解决下列问题:
(1)求++++…++的值;
(2)求++++…++的值;
(3)求++++…+的值.
25.(10分)(2025·长沙浏阳市期末)对于形如x2-2ax+a2这样的二次三项式,可以用公式法将它分解成(x-a)2的形式.但对于二次三项式x2-2ax-3a2,就不能直接运用公式了.此时,我们可以在二次三项式x2-2ax-3a2中先加上一项a2,使它与x2-2ax的和成为一个完全平方式,再减去a2,整个式子的值不变,于是有x2-2ax-3a2=(x2-2ax+a2)-a2-3a2=(x-a)2-4a2=(x-3a)·(x+a).像这样,先添一适当项,使式中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变的方法称为配方法.利用以上配方法解决下列问题:
(1)利用配方法分解因式:a2-4a-5.
(2)求二次三项式m2+6m+1的最小值.
(3)已知x是实数,试比较x2-5x+5与-x2+3x-4的大小,请说明理由.
26.(10分)综合与实践
阅读材料,掌握知识
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等,但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究:
分解因式:3x2+3xy-5x-5y.
解法一:3x2+3xy-5x-5y=(3x2+3xy)-(5x+5y)=3x(x+y)-5(x+y)=(x+y)(3x-5);
解法二:3x2+3xy-5x-5y=(3x2-5x)+(3xy-5y)=x(3x-5)+y(3x-5)=(3x-5)(x+y).
小结:对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时,我们可以将多项式分为若干组,再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的,这就是因式分解的分组分解法.
理解知识,尝试应用
分解因式
(1)ab-ac+bc-b2;
(2)a2+1-b2-2a;
提炼思想,拓展应用
(3)已知三角形的三边长分别是a,b,c,且满足a2+2b2+c2-2ab-2bc=0,试判断这个三角形的形状,并说明理由.
