第2章 分式（120分钟 120分）
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.(2025·长沙期末)给出如下式子:①;②;③;④,其中是分式的是 ( )
A.①②③④ B.③④ C.①③ D.②④
2.下列各式正确的是 ( )
A.用科学记数法表示30 800=3.08×105
B.(x-2)0=1
C.用科学记数法表示0.000 002 1=2.1×10-6
D.(-2)-2=
3.下列关于分式的判断,正确的是 ( )
A.当x=3时,的值为0
B.当x≠3时,的值存在
C.无论x为何值,不可能是整数
D.无论x为何值,的值总为正数
4.下列各式计算结果为a5的是 ( )
A.(a3)2 B.a10÷a2 C.a4·a D.(-1)-1a5
5.(2024·德阳中考)分式方程=的解是 ( )
A.3 B.2 C. D.
6.下列变形中,正确的是 ( )
A.= B.=
C.= D.=
7.“若关于x的方程=+1无解,求a的值.”尖尖和丹丹的做法如下:
尖尖: 去分母得ax=12+3x-9, 移项得ax-3x=12-9, 合并同类项得 (a-3)x=3, 因为原方程无解, 所以a-3=0, 所以a=3. 丹丹: 去分母得ax=12+3x-9, 移项,合并同类项得 (a-3)x=3,解得x=, 因为原方程无解, 所以x为增根, 所以3x-9=0,解得x=3, 所以=3,解得a=4.
下列说法正确的是 ( )
A.尖尖对,丹丹错 B.尖尖错,丹丹对
C.两人都错 D.两人的答案合起来才对
8.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目,其白话译文为:一份文件,若用慢马送到900里远的城市,所需时间比规定时间多1天;若改为快马派送,则所需时间比规定时间少3天,已知快马的速度是慢马的2倍,求规定时间,设规定时间为x天,则可列出正确的方程为 ( )
A.=2× B.=2×
C.=2× D.=2×
9.a,b,c是有理数且abc<0,则++的值是 ( )
A.-3 B.3或-1 C.-3或1 D.-3或-1
10.(2024·齐齐哈尔中考)如果关于x的分式方程-=0的解是负数,那么实数m的取值范围是 ( )
A.m<1且m≠0 B.m<1
C.m>1 D.m<1且m≠-1
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11.当x为 时,分式的值为0.
12.计算:-= .
13.(2024·成都中考)分式方程=的解是 .
14.若(x-y-2)2+|xy+3|=0,则÷的值是 .
15.定义一种新运算nxn-1dx=an-bn,例如2xdx=k2-m2.则-x-2dx= .
16.关于x的分式方程+-=0有解,则k满足 .
17.学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动,小亮每天坚持读书.原计划用a天读完b页的书,如果要提前m天读完,那么平均每天比原计划要多读的页数为 (用含a,b,m的最简分式表示).
18.对于分式P=,我们把分式P'=叫作P的伴随分式.若分式P1=,分式P2是P1的伴随分式,分式P3是P2的伴随分式,分式P4是P3的伴随分式……以此类推,则分式P2 024= .
三、解答题(本题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(6分)(1)计算:+(-2 023)0+2-1;
(2)(2024·山西中考)化简: (+)÷.
20.(6分)解方程:(1)(2024·广州中考)=.
(2)-2=.
21.(8分)对于整数a,b,我们定义:a▲b=10a×10b,a△b=10a÷10b.例如:5▲3=105×103=108,5△3=105÷103=102.
(1)求(2▲1)-(6△3)的值;
(2)若x▲3=5△1,求x的值.
22.(8分)(2025·娄底期中)先化简:÷(m+1-),再从±1,±2中选择一个合适的m值代入求值.
23.(9分)已知关于x的分式方程+=2.若分式方程的解是正数,求m的取值范围.
24.(9分)(2025·长沙宁乡市期末)《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定:超速行驶属违法行为.为确保行车安全,某一段总路程为300千米的高速公路全程小型车限速120千米/时(即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/时),以下是刘师傅和杨师傅行驶完这段高速公路后的对话片段:
刘师傅:“杨师傅,你的平均速度比我快25%,行驶完全程比我少用了40分钟.”
杨师傅:“虽然我的平均车速比你快,但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快10%,并没有超速啊!”
根据以上对话,你认为杨师傅在行驶过程中是否有超速,请说明理由.
25.(10分)阅读材料,完成下列任务:
部分分式分解
我们知道,将一个多项式转化成若干整式的积的形式,叫作分解因式.分解因式的结果中,每一个因式的次数都低于原来多项式的次数.而有一些特殊的分式可以分解成若干分式的和的形式,我们称之为部分分式分解.
例如,将部分分式分解的方法如下:
因为x2-9=(x+3)(x-3),所以设=+.
去分母,得6=A(x-3)+B(x+3).
整理,得6=(A+B)x+3(B-A).
所以,解得.
所以=+,即=-.
显然,部分分式分解的结果中,各分母的次数都低于原分式分母的次数.
任务:
(1)将部分分式分解;
(2)已知部分分式分解的结果是+,则M+N的值为 .
26.(10分)某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召,积极扩大粮食生产规模,计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种,甲区的农田比乙区的农田多10 000亩,甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种,且两区适宜试种农田的面积刚好相同.
(1)求甲、乙两区各有农田多少亩.
(2)在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后,为加强油菜的虫害治理,基地派出一批性能相同的无人机,对试种农田喷洒除虫药,由于两区地势差别,派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍(每架次无人机喷洒时间相同),喷洒任务完成后,发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩,求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩 第2章 分式（120分钟 120分）
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.(2025·长沙期末)给出如下式子:①;②;③;④,其中是分式的是 (C)
A.①②③④ B.③④ C.①③ D.②④
2.下列各式正确的是 (C)
A.用科学记数法表示30 800=3.08×105
B.(x-2)0=1
C.用科学记数法表示0.000 002 1=2.1×10-6
D.(-2)-2=
3.下列关于分式的判断,正确的是 (D)
A.当x=3时,的值为0
B.当x≠3时,的值存在
C.无论x为何值,不可能是整数
D.无论x为何值,的值总为正数
4.下列各式计算结果为a5的是 (C)
A.(a3)2 B.a10÷a2 C.a4·a D.(-1)-1a5
5.(2024·德阳中考)分式方程=的解是 (D)
A.3 B.2 C. D.
6.下列变形中,正确的是 (D)
A.= B.=
C.= D.=
7.“若关于x的方程=+1无解,求a的值.”尖尖和丹丹的做法如下:
尖尖: 去分母得ax=12+3x-9, 移项得ax-3x=12-9, 合并同类项得 (a-3)x=3, 因为原方程无解, 所以a-3=0, 所以a=3. 丹丹: 去分母得ax=12+3x-9, 移项,合并同类项得 (a-3)x=3,解得x=, 因为原方程无解, 所以x为增根, 所以3x-9=0,解得x=3, 所以=3,解得a=4.
下列说法正确的是 (D)
A.尖尖对,丹丹错 B.尖尖错,丹丹对
C.两人都错 D.两人的答案合起来才对
8.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目,其白话译文为:一份文件,若用慢马送到900里远的城市,所需时间比规定时间多1天;若改为快马派送,则所需时间比规定时间少3天,已知快马的速度是慢马的2倍,求规定时间,设规定时间为x天,则可列出正确的方程为 (B)
A.=2× B.=2×
C.=2× D.=2×
9.a,b,c是有理数且abc<0,则++的值是 (C)
A.-3 B.3或-1 C.-3或1 D.-3或-1
10.(2024·齐齐哈尔中考)如果关于x的分式方程-=0的解是负数,那么实数m的取值范围是 (A)
A.m<1且m≠0 B.m<1
C.m>1 D.m<1且m≠-1
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11.当x为 -3 时,分式的值为0.
12.计算:-= 1 .
13.(2024·成都中考)分式方程=的解是 x=3 .
14.若(x-y-2)2+|xy+3|=0,则÷的值是 - .
15.定义一种新运算nxn-1dx=an-bn,例如2xdx=k2-m2.则-x-2dx= - .
16.关于x的分式方程+-=0有解,则k满足 k≠-3且k≠5 .
17.学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动,小亮每天坚持读书.原计划用a天读完b页的书,如果要提前m天读完,那么平均每天比原计划要多读的页数为 (用含a,b,m的最简分式表示).
18.对于分式P=,我们把分式P'=叫作P的伴随分式.若分式P1=,分式P2是P1的伴随分式,分式P3是P2的伴随分式,分式P4是P3的伴随分式……以此类推,则分式P2 024= .
三、解答题(本题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(6分)(1)计算:+(-2 023)0+2-1;
(2)(2024·山西中考)化简: (+)÷.
【解析】(1)原式=+1+=2.
(2) (+)÷
=·
=·
=.
20.(6分)解方程:(1)(2024·广州中考)=.
(2)-2=.
【解析】(1)原方程去分母得:x=6x-15,
解得:x=3,
检验:当x=3时,x(2x-5)≠0,
故原方程的解为x=3.
(2)-2=,
x-2-2(x-4)=x,
解得:x=3,
检验:当x=3时,x-4≠0,
所以x=3是原方程的解.
21.(8分)对于整数a,b,我们定义:a▲b=10a×10b,a△b=10a÷10b.例如:5▲3=105×103=108,5△3=105÷103=102.
(1)求(2▲1)-(6△3)的值;
(2)若x▲3=5△1,求x的值.
【解析】(1)原式=102·101-106÷103=103-103=0;
(2)根据题意得,10x·103=105÷101,
所以1=104,所以x+3=4,所以x=1.
22.(8分)(2025·娄底期中)先化简:÷(m+1-),再从±1,±2中选择一个合适的m值代入求值.
【解析】÷(m+1-)
=÷
=·
=·
=,
因为m=1或±2时,原分式的值不存在,所以m=-1,
当m=-1时,原式==-3.
23.(9分)已知关于x的分式方程+=2.若分式方程的解是正数,求m的取值范围.
【解析】因为+=2,
所以去分母,得2-(x+m)=2(x-2),解得x=.
因为分式方程的解为正数,
所以>0,且≠2,解得m<6且m≠0.
24.(9分)(2025·长沙宁乡市期末)《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定:超速行驶属违法行为.为确保行车安全,某一段总路程为300千米的高速公路全程小型车限速120千米/时(即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/时),以下是刘师傅和杨师傅行驶完这段高速公路后的对话片段:
刘师傅:“杨师傅,你的平均速度比我快25%,行驶完全程比我少用了40分钟.”
杨师傅:“虽然我的平均车速比你快,但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快10%,并没有超速啊!”
根据以上对话,你认为杨师傅在行驶过程中是否有超速,请说明理由.
【解析】杨师傅在行驶过程中有超速,理由如下:
设刘师傅的平均速度为x千米/时,则杨师傅的平均速度为(1+25%)x千米/时,
根据题意得:-=,
解得:x=90,
所以(1+25%)x=(1+25%)×90=112.5(千米/时),
所以(1+10%)×112.5=123.75(千米/时).
因为123.75>120,所以杨师傅在行驶过程中有超速.
25.(10分)阅读材料,完成下列任务:
部分分式分解
我们知道,将一个多项式转化成若干整式的积的形式,叫作分解因式.分解因式的结果中,每一个因式的次数都低于原来多项式的次数.而有一些特殊的分式可以分解成若干分式的和的形式,我们称之为部分分式分解.
例如,将部分分式分解的方法如下:
因为x2-9=(x+3)(x-3),所以设=+.
去分母,得6=A(x-3)+B(x+3).
整理,得6=(A+B)x+3(B-A).
所以,解得.
所以=+,即=-.
显然,部分分式分解的结果中,各分母的次数都低于原分式分母的次数.
任务:
(1)将部分分式分解;
(2)已知部分分式分解的结果是+,则M+N的值为1.
【解析】(1)因为x2-4x=x(x-4),
所以设=+,
去分母,得8=A(x-4)+Bx,
整理,得8=(A+B)x-4A,
所以,解得,
所以=+,即=-.
(2)+
=
=,
因为=+,所以,
所以M+N=1.
26.(10分)某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召,积极扩大粮食生产规模,计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种,甲区的农田比乙区的农田多10 000亩,甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种,且两区适宜试种农田的面积刚好相同.
(1)求甲、乙两区各有农田多少亩.
(2)在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后,为加强油菜的虫害治理,基地派出一批性能相同的无人机,对试种农田喷洒除虫药,由于两区地势差别,派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍(每架次无人机喷洒时间相同),喷洒任务完成后,发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒亩,求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩
【解析】(1)设乙区有农田x亩,则甲区有农田(x+10 000)亩,
根据题意得80%(x+10 000)=x,
解得x=40 000,
所以x+10 000=40 000+10 000=50 000.
答:甲区有农田50 000亩,乙区有农田40 000亩.
(2)设派往甲区每架次无人机平均喷洒y亩,则派往乙区每架次无人机平均喷洒(y-)亩,
根据题意得=×1.2,
解得y=100,
经检验,y=100是此分式方程的解,且符合题意.
答:派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩.
