第3章 二次根式
(120分钟120分)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025·衡阳蒸湘区期中)下列式子中,属于最简二次根式的是(B)
A. B. C. D.
2.若x<-1,则下列二次根式一定有意义的是(D)
A. B.
C. D.
3.下列计算正确的是(D)
A.4·=4 B.5·5=5
C.4·2=6 D.4·=4
4.在下列各式中,化简正确的是(D)
A.=±4 B.==3
C.===3 D.=
5.已知x,y为实数,且+(y+2)2=0,则x+y的立方根为(D)
A.-3 B.3 C.1 D.-1
6.设的小数部分是a,则(4+a)·a的值为(C)
A.1 B. C.3 D.-2
7.若x=+,y=-,则x2+2xy+y2的值为(A)
A.2 023 B.2 C.2 D.8
8.(2025·衡阳石鼓区质检)已知实数a在数轴上的位置如图所示,则化简+的结果为(A)
A.2 B.-2 C.2a-6 D.-2a+6
9.如图,从一个大正方形中裁去面积为16 cm2和24 cm2的两个小正方形,则余下的面积为(A)
A.16 cm2 B.40 cm2
C.8 cm2 D.(2+4)cm2
10.将1,,,按图中所示的方式排列,若规定(m,n)表示第m排从左到右第n个数,则(4,2)与(21,2)表示的两数的积是(D)
A.1 B.2 C.2 D.6
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11.化简:-= .
12.要使+有意义,则x应满足 x≤3且x≠ .
13.已知a=+,b=,则a与b的关系是 a=b .
14.若a>0,把化简成最简二次根式 - .
15.若a,b满足b=+-3,则平面直角坐标系中P(a,b)在第 四 象限.
16.若|a|=4,=3,且a+b<0,则a-b的值是 -7或-1 .
17.(2024·成都中考)若m,n为实数,且(m+4)2+=0,则(m+n)2的值为 1 .
18.已知实数a满足|2 020-a|+=a,则a的取值范围是 a≥2 021 ;那么a-2 0202+1的值是 2 022 .
三、解答题(本题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(8分)化简:(1);
【解析】(1)原式==×=5;
(2);
【解析】(2)原式===;
(3)(a>0).
【解析】(3)原式==·=4a.
20.(8分)(2025·衡阳期中)计算:
(1)÷×;
【解析】(1)÷×= =;
(2)(2 024-π)0++|2-|-()-1.
【解析】(2)原式=1+2+2--2=1+.
21.(8分)已知x=,y=,求+和(x-1)(y-1)的值.
【解析】因为x+y==,xy==1,
所以+====3;
(x-1)(y-1)
=xy-x-y+1
=xy-(x+y)+1
=1-+1
=2-.
22.(8分)下面是小明同学计算-(-)的过程,请认真阅读并完成相应的任务.
解:-(-)
=-(2-5)……第一步
=-×2-×5……第二步
=--……第三步
=--……第四步
=-……第五步
任务一:小明同学的解答过程从第二步开始出现错误,这一步错误的原因是去括号后,括号内第二项没有变号.
【解析】任务一:小明同学的解答过程从第二步开始出现错误,这一步错误的原因是去括号后,括号内第二项没有变号.
任务二:请你写出正确的计算过程.
【解析】任务二:-(-)
=-(2-5)
=-+
=.
23.(8分)已知长方形的长a=,宽b=.
①求长方形的周长;
【解析】①长方形的周长为2×(+)=2×(2+)=6;
②求与长方形等面积的正方形的周长,并比较长方形周长与正方形周长的大小关系.
【解析】②长方形的面积为×=2×=6,
则正方形的边长为,
所以此正方形的周长为4,
因为6=,4=,且>,
所以6>4,
则长方形的周长大于正方形的周长.
24.(8分)某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地,长BC为米,宽AB为米,现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛(即图中阴影部分),每个长方形花坛的长为(+1)米,宽为(-1)米.
(1)求长方形ABCD的周长.(结果化为最简二次根式)
【解析】(1)(+)×2=(8+5)×2=13×2=26(米),
答:长方形ABCD的周长为26米.
(2)除去修建花坛的地方,其他地方全修建成通道,通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖,要铺完整个通道,则购买地砖需要花费多少元
【解析】(2)×-2×(+1)×(-1)=8×5-2×(13-1)=80-24=56(平方米),6×56=336(元).
答:购买地砖需要花费336元.
25.(8分)若最简二次根式与可以合并.
(1)求a的值;
【解析】(1)因为最简二次根式与可以合并,
所以2a-2=-a+16,2a-2≥0,-a+16≥0,
所以a=6;
(2)对于任意不相等的两个数x,y,定义一种运算“※”如下:x※y=,如:3※2==.求a※[a※(-2)]的值.
【解析】(2)当a=6时,a※[a※(-2)]=6※[6※(-2)]=6※=6※==.
26.(10分)小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形:
(一)一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化,如:===-1;
===-.
(二)一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如:=4+2,=8+2,=a+b+2(a≥0,b≥0);
再根据平方根的定义可得:=+1,=+,
=+(a≥0,b≥0);
请回答下列问题:
(1)归纳:观察上面的解题过程,请直接写出下列各式的结果.
①=-;(n为正整数)= .
②=2-;当1≤x≤2时,化简=1-.
【解析】(1)①==-;
==;
②===2-;
因为1≤x≤2,
所以==1-;
(2)应用:求+++…+的值.
【解析】(2)+++…+
=-1+-+-+…+-
=-1
=45-1
=44;
(3)拓广:求-+-的值.
【解析】(3)-+-=-+-
=-+- = ==-1.第3章 二次根式
(120分钟120分)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025·衡阳蒸湘区期中)下列式子中,属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.若x<-1,则下列二次根式一定有意义的是( )
A. B.
C. D.
3.下列计算正确的是( )
A.4·=4 B.5·5=5
C.4·2=6 D.4·=4
4.在下列各式中,化简正确的是( )
A.=±4 B.==3
C.===3 D.=
5.已知x,y为实数,且+(y+2)2=0,则x+y的立方根为( )
A.-3 B.3 C.1 D.-1
6.设的小数部分是a,则(4+a)·a的值为( )
A.1 B. C.3 D.-2
7.若x=+,y=-,则x2+2xy+y2的值为( )
A.2 023 B.2 C.2 D.8
8.(2025·衡阳石鼓区质检)已知实数a在数轴上的位置如图所示,则化简+的结果为( )
A.2 B.-2 C.2a-6 D.-2a+6
9.如图,从一个大正方形中裁去面积为16 cm2和24 cm2的两个小正方形,则余下的面积为( )
A.16 cm2 B.40 cm2
C.8 cm2 D.(2+4)cm2
10.将1,,,按图中所示的方式排列,若规定(m,n)表示第m排从左到右第n个数,则(4,2)与(21,2)表示的两数的积是( )
A.1 B.2 C.2 D.6
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11.化简:-= .
12.要使+有意义,则x应满足 .
13.已知a=+,b=,则a与b的关系是 .
14.若a>0,把化简成最简二次根式 .
15.若a,b满足b=+-3,则平面直角坐标系中P(a,b)在第 象限.
16.若|a|=4,=3,且a+b<0,则a-b的值是 .
17.(2024·成都中考)若m,n为实数,且(m+4)2+=0,则(m+n)2的值为 .
18.已知实数a满足|2 020-a|+=a,则a的取值范围是 ;那么a-2 0202+1的值是 .
三、解答题(本题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(8分)化简:(1);
(2);
(3)(a>0).
20.(8分)(2025·衡阳期中)计算:
(1)÷×;
(2)(2 024-π)0++|2-|-()-1.
21.(8分)已知x=,y=,求+和(x-1)(y-1)的值.
22.(8分)下面是小明同学计算-(-)的过程,请认真阅读并完成相应的任务.
解:-(-)
=-(2-5)……第一步
=-×2-×5……第二步
=--……第三步
=--……第四步
=-……第五步
任务一:小明同学的解答过程从第 步开始出现错误,这一步错误的原因是 .
任务二:请你写出正确的计算过程.
23.(8分)已知长方形的长a=,宽b=.
①求长方形的周长;
②求与长方形等面积的正方形的周长,并比较长方形周长与正方形周长的大小关系.
24.(8分)某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地,长BC为米,宽AB为米,现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛(即图中阴影部分),每个长方形花坛的长为(+1)米,宽为(-1)米.
(1)求长方形ABCD的周长.(结果化为最简二次根式)
(2)除去修建花坛的地方,其他地方全修建成通道,通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖,要铺完整个通道,则购买地砖需要花费多少元
25.(8分)若最简二次根式与可以合并.
(1)求a的值;
(2)对于任意不相等的两个数x,y,定义一种运算“※”如下:x※y=,如:3※2==.求a※[a※(-2)]的值.
26.(10分)小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形:
(一)一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化,如:===-1;
===-.
(二)一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如:=4+2,=8+2,=a+b+2(a≥0,b≥0);
再根据平方根的定义可得:=+1,=+,
=+(a≥0,b≥0);
请回答下列问题:
(1)归纳:观察上面的解题过程,请直接写出下列各式的结果.
①=-;(n为正整数)= .
②=2-;当1≤x≤2时,化简=1-.
(2)应用:求+++…+的值.
(3)拓广:求-+-的值.
