第4章 三角形(含答案) 2025-2026学年数学湘教版八年级上册

文档属性

名称 第4章 三角形(含答案) 2025-2026学年数学湘教版八年级上册
格式 zip
文件大小 377.4KB
资源类型 教案
版本资源 湘教版
科目 数学
更新时间 2025-07-15 21:38:31

文档简介

第4章 三角形
(120分钟 120分)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.把一块直角三角板和一把直尺如图放置,若∠1=35°,则∠2的度数等于(B)
A.65° B.55°
C.45° D.60°
2.(2024·长沙浏阳市期末)如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图,AB,AC是伞骨,DM,EM是连接弹簧和伞骨的支架,已知点D,E分别是AB,AC的中点,AB=AC,DM=EM.弹簧M在向上滑动的过程中,总有△ADM≌△AEM,其判定依据是(C)
A.角边角 B.角角边
C.边边边 D.边角边
3.下列定理的逆命题是假命题的是(C)
A.等边对等角
B.两直线平行,内错角相等
C.对顶角相等
D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
4.(2024·烟台中考)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有(D)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
5.如图,在△ABC中,AD为高,AE平分∠BAC,∠B=50°,∠C=80°,则∠DAE的度数为(A)
A.15° B.20°
C.25° D.30°
6.如图,在△ABC中,AB=AC,点D和点E分别在BC和AC上,AD=AE,则下列结论一定正确的是(B)
A.∠1+2∠2=90° B.∠1=2∠2
C.2∠1+∠2=90° D.∠1+∠2=45°
7.如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A'B'C,若点B'恰好落在线段AB上,AC,A'B'交于点O,则∠COA'的度数是(B)
A.50° B.60°
C.70° D.80°
8.如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点在格点上,若画出以AB为边的等腰三角形ABC,使得点C在格点上,则点C的个数是 (D)
A.3 B.4
C.5 D.8
9.如图,在△ABC中,BD是△ABC的中线,EF是BC边的中垂线,且BD与EF相交于点G,连接AG,CG,若四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为7和11,则△ABC的面积为(B)
A.18 B.20
C.22 D.36
10.如图,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A'处,且BA'平分∠ABC,CA'平分∠ACB,若∠BA'C=110°,则∠1+∠2的度数为(A)
A.80° B.90°
C.100° D.110°
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11.如图,钢架桥的设计中采用了三角形的结构,其数学道理是 三角形具有稳定性 .
12.如图,①在OA,OB上分别截取线段OD,OE,使OD=OE;②分别以D,E为圆心,以大于DE的长为半径画弧,在∠AOB内两弧交于点C;③作射线OC.若
∠AOB=60°,则∠AOC= 30° .
13.要说明命题“任何数a的平方都是正数”是假命题,可以举的反例是a= 0 .
14.若a,b,c是△ABC的三边的长,化简|b-c-a|-|c+a-b|= 0 .
15.如图,已知∠ABC=50°,点D在BA上,以点B为圆心,BD长为半径画弧,交BC于点E,连接DE,则∠BDE的度数是 65° .
16.如图,等腰△ABC底边BC的长为4 cm,面积为12 cm2,腰AB的垂直平分线EF交AC于点F,若D为BC边上的中点,M为线段EF上一动点,当点M在 AD与EF的交点处 时,△BDM的周长最短为 8 cm .
17.(2024·内江中考)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为 100° .
18.(2024·达州中考)如图,在△ABC中,AE1,BE1分别是内角∠CAB,外角∠CBD的三等分线,且∠E1AD=∠CAB,∠E1BD=∠CBD,在△ABE1中,AE2,BE2分别是内角∠E1AB,外角∠E1BD的三等分线,且∠E2AD=∠E1AB,∠E2BD=∠E1BD,…,以此规律作下去,若∠C=m°,则∠En= m 度.
三、解答题(本题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(8分)(2025·张家界桑植县期中)已知:线段a和∠α;求作:△ABC,使得AB=a,BC=2a,∠ABC=∠α.(要求:尺规作图,不写作法,但保留作图痕迹)
【解析】如图所示,△ABC即为所求.
20.(6分)如图,在△ABC中,点D是边BC上一点,DE⊥AB于点E,连接CE,∠ACE
=∠BCE,∠ACB=50°,∠B=60°.求∠CED的度数.
【解析】因为∠ACE=∠BCE,∠ACE+∠BCE=∠ACB=50°,所以∠BCE=20°,
∠ACE=30°.因为DE⊥AB,所以∠BED=90°,所以∠BDE=90°-∠B=90°-60°=30°.
因为∠BDE是△CDE的外角,所以∠BDE=∠BCE+∠CED,
所以∠CED=∠BDE-∠BCE=30°-20°=10°.
21.(8分)(2024·宜宾中考)如图,点D,E分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点,且BD=CE,BE与AD交于点F.求证:AD=BE.
【证明】因为△ABC为等边三角形,所以∠ABD=∠C=60°,AB=BC,
在△ABD和△BCE中,,
所以△ABD≌△BCE(边角边),所以AD=BE.
22.(8分)命题:全等三角形的对应边上的高相等.
(1)写成“如果…,那么…”的形式:________________________  ;
(2)根据所给图形写出已知、求证和证明过程.
【解析】(1)写成“如果…,那么…”的形式应该是如果两条线段是全等三角形对应边上的高,那么这两条线段相等.
答案:如果两条线段是全等三角形对应边上的高,那么这两条线段相等
(2)已知:如图,△ABC≌△A'B'C',AD⊥BC,A'D'⊥B'C'.
求证:AD=A'D'.
证明:因为△ABC≌△A'B'C',所以AB=A'B',∠B=∠B',
因为AD⊥BC,A'D'⊥B'C',所以∠ADB=∠A'D'B'=90°,
在△ABD和△A'B'D'中,,
所以△ABD≌△A'B'D'(角角边),所以AD=A'D'.
23.(8分)(2025·长沙期中)如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交CB于点D,连接AD.若AC=8,BC=15.
(1)求△ACD的周长;
(2)在AB下方取点K,以D为圆心,DK长为半径画弧,交AB于点E和点F,求证:AE=BF.
【解析】(1)根据作图过程可知:MN是线段AB的垂直平分线,所以AD=BD,所以△ACD的周长为AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=8+15=23;
(2)设MN与AB交于H,因为MN是线段AB的垂直平分线,所以AH=BH,因为以D为圆心,DK长为半径画弧,交AB于点E和点F,所以DE=DF,所以EH=FH,所以AH-EH=BH-FH,所以AE=BF.
24.(8分)如图所示,在△ABC中,D,E,F分别在BC,AB,AC边上,BE=CD,BD=CF,DG是EF的垂直平分线,试判断△ABC是哪种类型的三角形,并说明理由.
【解析】△ABC是等腰三角形.
证明:连接DE,DF,如图所示,
因为DG是EF的垂直平分线,所以DE=DF,
在△BDE和△CFD中,,
所以△BDE≌△CFD(边边边),所以∠B=∠C,所以AB=AC.即△ABC是等腰三角形.
25.(10分)(2024·南充中考)如图,在△ABC中,点D为BC边的中点,过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
(1)求证:△BDE≌△CDA.
(2)若AD⊥BC,求证:BA=BE.
【解析】(1)因为点D为BC的中点,所以BD=CD,
因为BE∥AC,所以∠EBD=∠C,∠E=∠CAD,
在△BDE和△CDA中,,
所以△BDE≌△CDA(角角边);
(2)因为点D为BC的中点,AD⊥BC,所以直线AD为线段BC的垂直平分线,所以BA=CA,
由(1)可知:△BDE≌△CDA,所以BE=CA,所以BA=BE.
26.(10分)问题情境:如图1,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,可知∠BAD=∠C(不需要证明);
(1)特例探究:如图2,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证:△ABD≌△CAF.
(2)归纳证明:如图3,点B,C在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF.
(3)拓展应用:如图4,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为________  .
【解析】(1)因为CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°,
所以∠BDA=∠AFC=90°,所以∠ABD+∠BAD=90°,
又∠BAD+∠CAF=90°,所以∠ABD=∠CAF,
在△ABD和△CAF中,因为
所以△ABD≌△CAF(角角边).
(2)因为∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=
∠FCA+∠CAF,所以∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA,在△ABE和△CAF中,
因为所以△ABE≌△CAF(角边角).
(3)因为S△ABC=15,CD=2BD,所以S△ABD=×15=5,由(2)可得出△ABE≌△CAF,所以S△ACF+S△BDE=S△ABE+S△BDE=S△ABD=5.
答案:5第4章 三角形
(120分钟 120分)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.把一块直角三角板和一把直尺如图放置,若∠1=35°,则∠2的度数等于( )
A.65° B.55°
C.45° D.60°
2.(2024·长沙浏阳市期末)如图是雨伞在开合过程中某时刻的结构图,AB,AC是伞骨,DM,EM是连接弹簧和伞骨的支架,已知点D,E分别是AB,AC的中点,AB=AC,DM=EM.弹簧M在向上滑动的过程中,总有△ADM≌△AEM,其判定依据是( )
A.角边角 B.角角边
C.边边边 D.边角边
3.下列定理的逆命题是假命题的是( )
A.等边对等角
B.两直线平行,内错角相等
C.对顶角相等
D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
4.(2024·烟台中考)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
5.如图,在△ABC中,AD为高,AE平分∠BAC,∠B=50°,∠C=80°,则∠DAE的度数为( )
A.15° B.20°
C.25° D.30°
6.如图,在△ABC中,AB=AC,点D和点E分别在BC和AC上,AD=AE,则下列结论一定正确的是( )
A.∠1+2∠2=90° B.∠1=2∠2
C.2∠1+∠2=90° D.∠1+∠2=45°
7.如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A'B'C,若点B'恰好落在线段AB上,AC,A'B'交于点O,则∠COA'的度数是( )
A.50° B.60°
C.70° D.80°
8.如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,线段AB的端点在格点上,若画出以AB为边的等腰三角形ABC,使得点C在格点上,则点C的个数是 ( )
A.3 B.4
C.5 D.8
9.如图,在△ABC中,BD是△ABC的中线,EF是BC边的中垂线,且BD与EF相交于点G,连接AG,CG,若四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为7和11,则△ABC的面积为( )
A.18 B.20
C.22 D.36
10.如图,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A'处,且BA'平分∠ABC,CA'平分∠ACB,若∠BA'C=110°,则∠1+∠2的度数为( )
A.80° B.90°
C.100° D.110°
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11.如图,钢架桥的设计中采用了三角形的结构,其数学道理是 .
12.如图,①在OA,OB上分别截取线段OD,OE,使OD=OE;②分别以D,E为圆心,以大于DE的长为半径画弧,在∠AOB内两弧交于点C;③作射线OC.若
∠AOB=60°,则∠AOC= .
13.要说明命题“任何数a的平方都是正数”是假命题,可以举的反例是a= .
14.若a,b,c是△ABC的三边的长,化简|b-c-a|-|c+a-b|= .
15.如图,已知∠ABC=50°,点D在BA上,以点B为圆心,BD长为半径画弧,交BC于点E,连接DE,则∠BDE的度数是 .
16.如图,等腰△ABC底边BC的长为4 cm,面积为12 cm2,腰AB的垂直平分线EF交AC于点F,若D为BC边上的中点,M为线段EF上一动点,当点M在 时,△BDM的周长最短为 .
17.(2024·内江中考)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为 .
18.(2024·达州中考)如图,在△ABC中,AE1,BE1分别是内角∠CAB,外角∠CBD的三等分线,且∠E1AD=∠CAB,∠E1BD=∠CBD,在△ABE1中,AE2,BE2分别是内角∠E1AB,外角∠E1BD的三等分线,且∠E2AD=∠E1AB,∠E2BD=∠E1BD,…,以此规律作下去,若∠C=m°,则∠En= 度.
三、解答题(本题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(8分)(2025·张家界桑植县期中)已知:线段a和∠α;求作:△ABC,使得AB=a,BC=2a,∠ABC=∠α.(要求:尺规作图,不写作法,但保留作图痕迹)
20.(6分)如图,在△ABC中,点D是边BC上一点,DE⊥AB于点E,连接CE,∠ACE
=∠BCE,∠ACB=50°,∠B=60°.求∠CED的度数.
21.(8分)(2024·宜宾中考)如图,点D,E分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点,且BD=CE,BE与AD交于点F.求证:AD=BE.
22.(8分)命题:全等三角形的对应边上的高相等.
(1)写成“如果…,那么…”的形式:________________________ ;
(2)根据所给图形写出已知、求证和证明过程.
23.(8分)(2025·长沙期中)如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交CB于点D,连接AD.若AC=8,BC=15.
(1)求△ACD的周长;
(2)在AB下方取点K,以D为圆心,DK长为半径画弧,交AB于点E和点F,求证:AE=BF.
24.(8分)如图所示,在△ABC中,D,E,F分别在BC,AB,AC边上,BE=CD,BD=CF,DG是EF的垂直平分线,试判断△ABC是哪种类型的三角形,并说明理由.
25.(10分)(2024·南充中考)如图,在△ABC中,点D为BC边的中点,过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
(1)求证:△BDE≌△CDA.
(2)若AD⊥BC,求证:BA=BE.
26.(10分)问题情境:如图1,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,可知∠BAD=∠C(不需要证明);
(1)特例探究:如图2,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证:△ABD≌△CAF.
(2)归纳证明:如图3,点B,C在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF.
(3)拓展应用:如图4,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为________ .
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