第5章 直角三角形
(120分钟 120分)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.∠A=90°-∠C B.∠A=∠B-∠C
C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A=∠B=∠C
2.一直角三角形的两直角边长为6和8,则斜边长为( )
A.10 B.13
C.7 D.14
3.(2025·株洲荷塘区质检)已知在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,则下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A.∠A-∠B=∠C B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
C.a=1,b=,c=2 D.a∶b∶c=8∶15∶17
4.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,下列结论错误的是( )
A.∠A=∠2 B.∠1和∠B都是∠A的余角
C.∠1=∠2 D.图中有3个直角三角形
5.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为( )
A.0.5 km B.0.6 km
C.0.9 km D.1.2 km
6.如图是某公园一段索道的示意图,已知A,B两点间的距离为30米,∠A=30°,则缆车从A点到B点的过程中,上升的高度(BC的长)为( )
A.10米 B.15米
C.20米 D.30米
7.如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,若∠B=28°,则∠AEC=( )
A.28° B.59°
C.60° D.62°
8.如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( )
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC三条角平分线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点
D.△ABC三边的中垂线的交点
9.一个长方形抽屉长4 cm,宽3 cm,贴抽屉底面放一根木棒,那么这根木棒最长(不计木棒粗细)可以是( )
A.4 cm B.5 cm
C.6 cm D.7 cm
10.(2025·衡阳期末)如图,△ABC两个外角的平分线BD与CE相交于点P,PN⊥AC于点N,PM⊥AB于点M,且BD∥AC,小明同学得出了下列结论:①PM=PN;②点P在∠CAB的平分线上;③∠CPB=90°-∠A;④AB=CB.其中错误的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11.在△ABC中,∠ABC=90°,AC=4,点D为AC的中点,则BD的长为 .
12.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,要使△ABD≌△ACD,若根据“HL”判定,还需要添加条件 .
13.有一组勾股数,其中的两个分别是8和17,则第三个数是 .
14.如图,在△ABC中,∠A=40°,∠C=90°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则∠EBC= .
15.如图所示,数轴上点O,A,B分别对应数字0,2,3,过点B作PQ⊥AB,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交PQ于点C,以原点O为圆心,OC长为半径画弧,交数轴正半轴于点M,则点M所对应的数为 .
16.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是 .
17.如图,CO,BO是△ABC的两个外角∠PCB,∠QBC的平分线,OM⊥AP,ON⊥AQ,且OM=ON.下列结论中正确的个数为 .
①∠PAO=∠QAO;②∠AOB=∠ACB;③2∠COB=180°+∠CAB;④∠PAQ+
2∠COB=180°.
18.如图,∠MON=90°,已知在△ABC中,AC=BC=25,AB=14,△ABC的顶点A,B分别在边OM,ON上,当点B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,△ABC的形状始终保持不变,在运动的过程中,点C到点O的最小距离为 .
三、解答题(本题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(6分)(2025·长沙期中)如图所示,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
求证:Rt△ABE≌Rt△CBF.
20.(6分)如图,E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为点C和点D.
求证:∠ECD=∠EDC.
21.(8分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,BE平分∠ABC,分别交CD,AC于点F,E.
(1)若∠CEF=50°,求∠A的度数;
(2)∠CFE与∠CEF相等吗 请说明理由.
22.(8分)如图,有一张四边形纸片ABCD,AB⊥BC.经测得AB=9 cm,BC=
12 cm,CD=8 cm,AD=17 cm.
(1)求A,C两点之间的距离.
(2)求这张纸片的面积.
23.(9分)消防车上的云梯示意图如图1所示,云梯最多只能伸长到15米,消防车高3米,如图2,某栋楼发生火灾,在这栋楼的B处有一老人需要救援,救人时消防车上的云梯伸长至最长,此时消防车的位置A与楼房的距离为12米.
(1)求B处与地面的距离.
(2)完成B处的救援后,消防员发现在B处的上方3米的D处有一小孩没有及时撤离,为了能成功地救出小孩,则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米
24.(9分)(2025·长沙雨花区质检)如图,△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,AD=BD.
(1)求证:AC=BE;
(2)求∠B的度数.
25.(10分)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,点E是边BC延长线上一点,连接AE,DE,过点C作CF⊥DE于点F,且DF=EF.
(1)求证:AD=CE.
(2)若CD=5,AC=6,求△AEB的面积.
26.(10分)综合与实践.
【问题驱动】如何验证勾股定理
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成图1.
【探索新知】从面积的角度思考,不难发现:大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积.从而得到数学等式:(a+b)2=c2+4×ab,化简证得勾股定理:a2+b2=c2.
【初步运用】
(1)如图1,若b=2a,求小正方形的面积与大正方形的面积的比值;
(2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠,如图2,若a=4,b=6,求此时空白部分的面积.第5章 直角三角形
(120分钟 120分)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是(C)
A.∠A=90°-∠C B.∠A=∠B-∠C
C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A=∠B=∠C
2.一直角三角形的两直角边长为6和8,则斜边长为(A)
A.10 B.13
C.7 D.14
3.(2025·株洲荷塘区质检)已知在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,则下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是(B)
A.∠A-∠B=∠C B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
C.a=1,b=,c=2 D.a∶b∶c=8∶15∶17
4.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,下列结论错误的是(C)
A.∠A=∠2 B.∠1和∠B都是∠A的余角
C.∠1=∠2 D.图中有3个直角三角形
5.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为(D)
A.0.5 km B.0.6 km
C.0.9 km D.1.2 km
6.如图是某公园一段索道的示意图,已知A,B两点间的距离为30米,∠A=30°,则缆车从A点到B点的过程中,上升的高度(BC的长)为(B)
A.10米 B.15米
C.20米 D.30米
7.如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,若∠B=28°,则∠AEC=(B)
A.28° B.59°
C.60° D.62°
8.如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在(B)
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC三条角平分线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点
D.△ABC三边的中垂线的交点
9.一个长方形抽屉长4 cm,宽3 cm,贴抽屉底面放一根木棒,那么这根木棒最长(不计木棒粗细)可以是(B)
A.4 cm B.5 cm
C.6 cm D.7 cm
10.(2025·衡阳期末)如图,△ABC两个外角的平分线BD与CE相交于点P,PN⊥AC于点N,PM⊥AB于点M,且BD∥AC,小明同学得出了下列结论:①PM=PN;②点P在∠CAB的平分线上;③∠CPB=90°-∠A;④AB=CB.其中错误的个数为(A)
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11.在△ABC中,∠ABC=90°,AC=4,点D为AC的中点,则BD的长为 2 .
12.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,要使△ABD≌△ACD,若根据“HL”判定,还需要添加条件 AB=AC .
13.有一组勾股数,其中的两个分别是8和17,则第三个数是 15 .
14.如图,在△ABC中,∠A=40°,∠C=90°,线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则∠EBC= 10° .
15.如图所示,数轴上点O,A,B分别对应数字0,2,3,过点B作PQ⊥AB,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交PQ于点C,以原点O为圆心,OC长为半径画弧,交数轴正半轴于点M,则点M所对应的数为 .
16.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是 15 .
17.如图,CO,BO是△ABC的两个外角∠PCB,∠QBC的平分线,OM⊥AP,ON⊥AQ,且OM=ON.下列结论中正确的个数为 3 .
①∠PAO=∠QAO;②∠AOB=∠ACB;③2∠COB=180°+∠CAB;④∠PAQ+
2∠COB=180°.
18.如图,∠MON=90°,已知在△ABC中,AC=BC=25,AB=14,△ABC的顶点A,B分别在边OM,ON上,当点B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,△ABC的形状始终保持不变,在运动的过程中,点C到点O的最小距离为 17 .
三、解答题(本题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(6分)(2025·长沙期中)如图所示,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.
求证:Rt△ABE≌Rt△CBF.
【证明】在Rt△ABE和Rt△CBF中,因为,
所以Rt△ABE≌Rt△CBF(斜边、直角边).
20.(6分)如图,E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为点C和点D.
求证:∠ECD=∠EDC.
【证明】因为E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,
所以CE=DE,
所以∠ECD=∠EDC(等边对等角).
21.(8分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,BE平分∠ABC,分别交CD,AC于点F,E.
(1)若∠CEF=50°,求∠A的度数;
(2)∠CFE与∠CEF相等吗 请说明理由.
【解析】(1)因为∠ACB=90°,∠CEF=50°,所以∠CBE=40°,
因为BE平分∠ABC,所以∠ABC=80°,
所以∠A=90°-80°=10°;
(2)∠CFE=∠CEF,理由如下:
因为∠ACB=90°,所以∠CBE+∠CEB=90°,
因为CD⊥AB,所以∠EBA+∠BFD=90°
又因为BE平分∠ABC,
所以∠CBE=∠EBA,
所以∠CEB=∠BFD,
因为∠BFD=∠CFE,
所以∠CEB=∠CFE,
即∠CFE=∠CEF.
22.(8分)如图,有一张四边形纸片ABCD,AB⊥BC.经测得AB=9 cm,BC=
12 cm,CD=8 cm,AD=17 cm.
(1)求A,C两点之间的距离.
(2)求这张纸片的面积.
【解析】(1)连接AC,如图.
在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=9 cm,BC=12 cm,
所以AC===15(cm).
即A,C两点之间的距离为15 cm;
(2)因为CD2+AC2=82+152=172=AD2,
所以∠ACD=90°,
所以四边形纸片ABCD的面积为S△ABC+S△ACD
=AB·BC+AC·CD
=×9×12+×15×8
=54+60
=114(cm2).
23.(9分)消防车上的云梯示意图如图1所示,云梯最多只能伸长到15米,消防车高3米,如图2,某栋楼发生火灾,在这栋楼的B处有一老人需要救援,救人时消防车上的云梯伸长至最长,此时消防车的位置A与楼房的距离为12米.
(1)求B处与地面的距离.
(2)完成B处的救援后,消防员发现在B处的上方3米的D处有一小孩没有及时撤离,为了能成功地救出小孩,则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米
【解析】(1)在Rt△OAB中,因为AB=15米,OA=12米,
所以OB===9(米),
所以BE=OB+OE=9+3=12(米).
答:B处与地面的距离是12米;
(2)在Rt△OCD中,
因为CD=15米,OD=OB+BD=9+3=12(米),
所以OC===9(米),
所以AC=OA-OC=12-9=3(米).
答:消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为3米.
24.(9分)(2025·长沙雨花区质检)如图,△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,AD=BD.
(1)求证:AC=BE;
(2)求∠B的度数.
【解析】(1)因为DE⊥AB于E,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,所以CD=DE,
在Rt△ACD与Rt△BED中,,
所以Rt△ACD≌Rt△BED,所以AC=BE.
(2)因为AD是△ABC的角平分线,
所以∠CAD=∠BAD,
因为AD=BD,所以∠B=∠BAD,
所以∠CAD=∠BAD=∠B.
因为∠C=90°,
所以∠CAD+∠BAD+∠B=90°,
所以∠B=30°.
25.(10分)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,点E是边BC延长线上一点,连接AE,DE,过点C作CF⊥DE于点F,且DF=EF.
(1)求证:AD=CE.
(2)若CD=5,AC=6,求△AEB的面积.
【解析】(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,
所以CD=AD=AB,
因为CF⊥DE,DF=EF,
所以CE=CD,
所以AD=CE.
(2)由(1)知,CE=CD=AB=5,
所以AB=10,
在Rt△ABC中,BC==8,
所以BE=BC+EC=13,
所以S△AEB=BE·AC=×13×6=39.
26.(10分)综合与实践.
【问题驱动】如何验证勾股定理
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成图1.
【探索新知】从面积的角度思考,不难发现:大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积.从而得到数学等式:(a+b)2=c2+4×ab,化简证得勾股定理:a2+b2=c2.
【初步运用】
(1)如图1,若b=2a,求小正方形的面积与大正方形的面积的比值;
(2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠,如图2,若a=4,b=6,求此时空白部分的面积.
【解析】(1)由题意得:b=2a,c=a,
所以小正方形面积∶大正方形面积=5a2∶9a2=5∶9.
(2)空白部分的面积为52-2××4×6=28.
