期末素养评估(第1~5章)
(120分钟 120分)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025·长沙岳麓区质检)若代数式有意义,则实数x的取值范围是(D)
A.x≠3 B.x>0
C.x>0且x≠3 D.x≥0且x≠3
2.一个三角形三边的长度分别为4,x,9,则这个三角形的边长x的长度可能是(C)
A.4 B.5 C.6 D.13
3.化简(-)÷的结果是(B)
A. B.- C. D.-
4.将多项式m2-m进行因式分解,结果正确的是(B)
A.m(m+1) B.m(m-1)
C.-m(m-1) D.(m+1)(m-1)
5.下列各式计算正确的是(D)
A.+= B.3×2=6
C.4-3=1 D.÷=3
6.《九章算术》中有一个问题:“今有垣高一丈.倚木于垣,上与垣齐.引木却行一尺,其木至地.问木长几何 ”其内容表述为:“有一面墙,高1丈,将一根木杆斜靠在墙上,使木杆的上端与墙的上端对齐,下端落在地面上.如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺,则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上.问木杆长多少尺 ”(说明:1丈=10尺)设木杆长x尺,依题意,下列方程正确的是(A)
A.102+(x-1)2=x2 B.(x+1)2=x2+102
C.x2=(x-1)2+12 D.(x+1)2=x2+12
7.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应下列六个字:华、爱、我、中、游、美,现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是(C)
A.我爱美 B.中华游 C.爱我中华 D.美我中华
8.(2025·永州冷水滩区期中)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,交AD于F,已知BD=2,则AF的长为(B)
A.2 B.4 C.6 D.8
9.某人从A地步行到B地,当走到预定时间时,离B地还有0.5千米;若把步行速度提高25%,则可比预定时间早半小时到达B地.已知A,B两地相距12.5千米,则这个人原来步行的速度是(B)
A.2千米/时 B.4千米/时 C.5千米/时 D.6千米/时
10.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列四个结论:①∠BOC=90°+∠A,②∠EBO=∠AEF,③∠DOC+∠OCB=90°,④设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=.其中正确的结论有(D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11.命题“等边三角形的三个角相等”的逆命题是 三个角相等的三角形是等边三角形 .
12.计算×的结果是 3 .
13.(2025·张家界永定区期中)比较大小:3-1 < ()0.
14.(2025·邵阳大祥区期末)如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,
∠2=30°,则∠3= 55° .
15.如图,在Rt△ABC中,分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形,面积分别记为S1,S2,S3,若S3+S2-S1=18,则图中阴影部分的面积为 4.5 .
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP= 5或10 时,△ABC和△PQA全等.
17.(2024·眉山中考)已知a1=x+1(x≠0且x≠-1),a2=,a3=,…,an=,则a2 024的值为 - .
18.如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4,E是△ABC内一点且BE平分∠ABC,若△BCE的面积为,则△ABE的面积为 .
三、解答题(本题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(6分)(2025·张家界慈利县模拟)把下面各式分解因式:
(1)3x2-12;
【解析】(1)3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2);
(2)ax2-4axy+4ay2.
【解析】(2)ax2-4axy+4ay2=a(x2-4xy+4y2)=a(x-2y)2.
20.(6分)如图,△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=40°,∠C=60°,求∠DAE的度数.
【解析】因为∠B=40°,∠C=60°,
所以∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.
因为AE平分∠BAC,
所以∠BAE=∠BAC=40°,
所以∠AEC=∠B+∠BAE=80°.
因为AD⊥BC,
所以∠ADE=90°,
所以∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=10°.
21.(8分)(2024·广安中考)先化简(a+1-)÷,再从-2,0,1,2中选取一个适合的数代入求值.
【解析】原式=(-)·
=·
=,
由题意得:a≠1且a≠-2,
当a=0时,原式==-1,
当a=2时,原式==0.
22.(8分)(2025·长沙浏阳市期末)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,E为AC上的一点.
求证:(1)AC平分∠DAB;
【证明】(1)在△ADC和△ABC中,
所以△ADC≌△ABC(边边边),
所以∠BAE=∠DAE,所以AC平分∠DAB.
(2)BE=DE.
【证明】(2)在△ABE和△ADE中,
所以△ABE≌△ADE(边角边),所以BE=DE.
23.(9分)为了加快长株潭城市群建设与发展,要在长沙和株洲两座城市之间新建一条城际铁路方便出行.铁路建成后,铁路运行里程由现在的70 km缩短至60 km,城际铁路的预计平均时速要比现行的平均时速快110 km,运行时间是现行时间的.
(1)设该城际铁路建成前在长沙和株洲两地运行的现行时间是x h,则该城际铁路建成后在长沙和株洲两地的运行时间是________ h(用含x的式子表示);
【解析】(1)因为该城际铁路建成后,运行时间是现行时间的,且该城际铁路建成前在长沙和株洲两地运行的现行时间是x h,所以该城际铁路建成后在长沙和株洲两地的运行时间是x h.
答案:x
(2)根据(1)中设的未知数x,结合题意,列方程,求出该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间.
【解析】(2)根据题意得:-=110,
解得:x=,
经检验,x=是所列方程的解,且符合题意,
所以x=×=(h).
答:该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间为 h.
24.(9分)(2025·湘西州花垣县期中)如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB上的一点,过点D作DE⊥BC于点E,延长ED和CA,交于点F.
(1)求证:△ADF是等腰三角形;
【解析】(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C,
因为FE⊥BC,所以∠F+∠C=90°,∠B+∠BDE=90°,所以∠F=∠BDE.
因为∠BDE=∠FDA,所以∠F=∠FDA,所以AF=AD,所以△ADF是等腰三角形.
(2)若∠F=30°,BD=4,EC=6,求AC的长.
【解析】(2)因为DE⊥BC,所以∠DEB=90°,因为∠F=30°,所以∠BDE=30°,
因为BD=4,所以BE=BD=2,
因为AB=AC,所以△ABC是等边三角形,所以AC=AB=BE+EC=8.
25.(10分)阅读下列材料,然后回答问题.
在进行二次根式的化简与运算时,我们有时会碰上如,,一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:==,
==,
===-1.
以上这种化简的步骤称为分母有理化.
(1)化简:.
【解析】(1)==.
(2)化简:.
【解析】(2)==-.
(3)化简:+++…+.
【解析】(3)+++…+
=(-1+-+-+…+-)
=(-1).
26.(10分)通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题:
【模型呈现】
某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图(如图1,由外到内含三个正方形)中提炼出两个三角形全等模型图(如图2、图3),即“一线三等角”模型和“K字”模型.
【问题发现】(1)如图2,已知△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,一直线过顶点C,过A,B分别作其垂线,垂足分别为E,F,求证:△AEC≌△CFB;
【解析】(1)因为∠ACB=90°,所以∠ECA+∠FCB=90°,
又因为AE⊥EF,BF⊥EF,所以∠AEF=∠BFC=90°,
所以∠ECA+∠EAC=90°,所以∠FCB=∠EAC.
在△AEC和△CFB中,,
所以△AEC≌△CFB(角角边).
(2)如图3,若改变直线的位置,其余条件与(1)相同,请写出EF,AE,BF之间的数量关系,并说明理由;
【解析】(2)EF=BF-AE,理由如下:
因为∠AEC=∠CFB=90°,∠ACB=90°,
所以∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠BCF=90°,
所以∠CAE=∠BCF.
又因为AC=BC,所以△CAE≌△BCF(角角边),
所以CE=BF,AE=CF,所以EF=CE-CF=BF-AE.
【问题提出】
(3)在(2)的条件下,若BF=4AE,EF=5,求△BFC的面积.
【解析】(3)由(2)得EF=BF-AE,又因为BF=4AE,EF=5,所以EF=3AE=5,所以AE=.
因为CF=AE,所以AE=CF=,则BF=,
所以S△BFC=BF·CF=××=.期末素养评估(第1~5章)
(120分钟 120分)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025·长沙岳麓区质检)若代数式有意义,则实数x的取值范围是( )
A.x≠3 B.x>0
C.x>0且x≠3 D.x≥0且x≠3
2.一个三角形三边的长度分别为4,x,9,则这个三角形的边长x的长度可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.13
3.化简(-)÷的结果是( )
A. B.- C. D.-
4.将多项式m2-m进行因式分解,结果正确的是( )
A.m(m+1) B.m(m-1)
C.-m(m-1) D.(m+1)(m-1)
5.下列各式计算正确的是( )
A.+= B.3×2=6
C.4-3=1 D.÷=3
6.《九章算术》中有一个问题:“今有垣高一丈.倚木于垣,上与垣齐.引木却行一尺,其木至地.问木长几何 ”其内容表述为:“有一面墙,高1丈,将一根木杆斜靠在墙上,使木杆的上端与墙的上端对齐,下端落在地面上.如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺,则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上.问木杆长多少尺 ”(说明:1丈=10尺)设木杆长x尺,依题意,下列方程正确的是( )
A.102+(x-1)2=x2 B.(x+1)2=x2+102
C.x2=(x-1)2+12 D.(x+1)2=x2+12
7.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息:a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应下列六个字:华、爱、我、中、游、美,现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是( )
A.我爱美 B.中华游 C.爱我中华 D.美我中华
8.(2025·永州冷水滩区期中)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,交AD于F,已知BD=2,则AF的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
9.某人从A地步行到B地,当走到预定时间时,离B地还有0.5千米;若把步行速度提高25%,则可比预定时间早半小时到达B地.已知A,B两地相距12.5千米,则这个人原来步行的速度是( )
A.2千米/时 B.4千米/时 C.5千米/时 D.6千米/时
10.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列四个结论:①∠BOC=90°+∠A,②∠EBO=∠AEF,③∠DOC+∠OCB=90°,④设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11.命题“等边三角形的三个角相等”的逆命题是 .
12.计算×的结果是 .
13.(2025·张家界永定区期中)比较大小:3-1 ()0.
14.(2025·邵阳大祥区期末)如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,
∠2=30°,则∠3= .
15.如图,在Rt△ABC中,分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形,面积分别记为S1,S2,S3,若S3+S2-S1=18,则图中阴影部分的面积为 .
16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,当AP= 时,△ABC和△PQA全等.
17.(2024·眉山中考)已知a1=x+1(x≠0且x≠-1),a2=,a3=,…,an=,则a2 024的值为 .
18.如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4,E是△ABC内一点且BE平分∠ABC,若△BCE的面积为,则△ABE的面积为 .
三、解答题(本题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(6分)(2025·张家界慈利县模拟)把下面各式分解因式:
(1)3x2-12;
(2)ax2-4axy+4ay2.
20.(6分)如图,△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=40°,∠C=60°,求∠DAE的度数.
21.(8分)(2024·广安中考)先化简(a+1-)÷,再从-2,0,1,2中选取一个适合的数代入求值.
22.(8分)(2025·长沙浏阳市期末)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,E为AC上的一点.
求证:(1)AC平分∠DAB;
(2)BE=DE.
23.(9分)为了加快长株潭城市群建设与发展,要在长沙和株洲两座城市之间新建一条城际铁路方便出行.铁路建成后,铁路运行里程由现在的70 km缩短至60 km,城际铁路的预计平均时速要比现行的平均时速快110 km,运行时间是现行时间的.
(1)设该城际铁路建成前在长沙和株洲两地运行的现行时间是x h,则该城际铁路建成后在长沙和株洲两地的运行时间是________ h(用含x的式子表示);
(2)根据(1)中设的未知数x,结合题意,列方程,求出该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间.
24.(9分)(2025·湘西州花垣县期中)如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB上的一点,过点D作DE⊥BC于点E,延长ED和CA,交于点F.
(1)求证:△ADF是等腰三角形;
(2)若∠F=30°,BD=4,EC=6,求AC的长.
25.(10分)阅读下列材料,然后回答问题.
在进行二次根式的化简与运算时,我们有时会碰上如,,一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:==,
==,
===-1.
以上这种化简的步骤称为分母有理化.
(1)化简:.
(2)化简:.
(3)化简:+++…+.
26.(10分)通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题:
【模型呈现】
某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图(如图1,由外到内含三个正方形)中提炼出两个三角形全等模型图(如图2、图3),即“一线三等角”模型和“K字”模型.
【问题发现】(1)如图2,已知△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,一直线过顶点C,过A,B分别作其垂线,垂足分别为E,F,求证:△AEC≌△CFB;
(2)如图3,若改变直线的位置,其余条件与(1)相同,请写出EF,AE,BF之间的数量关系,并说明理由;
【问题提出】
(3)在(2)的条件下,若BF=4AE,EF=5,求△BFC的面积.
