期中素养评估(第1~3章)
(120分钟120分)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.使有意义的x的取值范围是( )
A.x>2 024 B.x<-2 024 C.x≤2 024 D.x≥2 024
2.下列由左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.a2-b2=(a+b)(a-b)
C.(a+b)2=a2+2ab2+b2 D.a2+2ab=(a+b)2-b2
3.下列运算正确的是( )
A.+= B.×=
C.2÷=1 D.=-5
4.把多项式2ab+4ab2分解因式,应提取的公因式是( )
A.ab B.2ab C.2ab2 D.4ab2
5.(2024·广东中考)方程=的解是( )
A.x=-3 B.x=-9 C.x=3 D.x=9
6.分解因式x4-1得( )
A.(x2+1)(x2-1) B.(x-1)(x+1)3
C.(x+1)2(x-1)2 D.(x-1)(x+1)(x2+1)
7.计算:-=( )
A.2 B.2a-b C. D.
8.实数a,b在数轴上的对应位置如图所示,则-(b-a-2)的化简结果是( )
A.2 B.2a-2 C.2-2b D.-2
9.(2025·娄底期中)已知=+,则A+B的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.一艘货轮在静水中的航速为40 km/h,它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间,与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等,则江水的流速为( )
A.5 km/h B.6 km/h C.7 km/h D.8 km/h
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11.若式子有意义,则实数x的取值范围是 .
12.(2024·兰州中考)因式分解:a2-2a+1= .
13.二次根式是一个整数,那么正整数a的最小值是 .
14.(2024·重庆中考A卷)计算:(π-3)0+()-1= .
15.计算×的结果是 .
16.若实数a,b满足a+b=5,a2b+ab2=-15,则ab的值是 .
17.(2025·怀化期末)已知-=2,则分式的值为 .
18.若分式方程=3-的解为正整数,则整数m的值为 .
三、解答题(本题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(6分)因式分解:
(1)m(a-3)+2(3-a);
(2)25a3-80a2+64a.
20.(6分)(2025·长沙期末)解分式方程:
(1)=;
(2)+1=.
21.(8分)(2025·衡阳祁东县质检)计算:
(1)2×÷5;
(2)4+-+4.
22.(8分)先化简,再求值:÷(x-),并从-1,0,1,2,3中选一个合适的数代入求值.
23.(9分)(2025·娄底涟源市质检)为了“每天锻炼1小时,健康生活一辈子”,王老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车,王老师的家距学校的路程是9千米;在相同的路线上,驾车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍,这样,王老师每天上班要比开车早出发小时,才能按原驾车时间到达学校.
(1)求王老师骑自行车的平均速度;
(2)王老师是否达到每天锻炼1小时的标准,若达到请说明理由;若没达到,请问王老师每天至少还需要锻炼多少小时
24.(9分)整体思想是数学解题中常用的一种思想方法:
下面是某同学对多项式(x2-3x+4)(x2-3x+6)+1进行因式分解的过程.
解:令x2-3x=m,
原式=(m+4)(m+6)+1第一步
=m2+10m+25第二步
=(m+5)2第三步
=(x2-3x+5)2第四步
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是 .
A.提取公因式
B.公式法
(2)请你类比以上方法尝试对多项式(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4进行因式分解.
25.(10分)我们在学习二次根式的时候会发现:有时候两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,如·=a,(+)(-)=()2-()2=3.两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果它们的积不是二次根式,那么这两个代数式互为有理化因式.
请运用有理化因式的知识,解决下列问题:
(1)化简:=
(2)比较大小:--;(用“>”“=”或“<”填空)
(3)设有理数a,b满足+=-6+4,则a+b= ;
(4)已知-=2,求+的值.
26.(10分)(1)已知b>a>0,分式的分子分母都加上1,说明所得分式的值是增大了还是减少了
(2)甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化,第一次的价格为m元/千克,第二次的价格为n元/千克,(m,n是正数,且m≠n);甲每次购买800千克;乙每次用去800元,而不管购买多少饲料.
①甲、乙所购饲料的平均单价分别是多少元/千克
②谁的购买方式平均单价较低 期中素养评估(第1~3章)
(120分钟120分)
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.使有意义的x的取值范围是(D)
A.x>2 024 B.x<-2 024 C.x≤2 024 D.x≥2 024
2.下列由左到右的变形,属于因式分解的是(B)
A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.a2-b2=(a+b)(a-b)
C.(a+b)2=a2+2ab2+b2 D.a2+2ab=(a+b)2-b2
3.下列运算正确的是(B)
A.+= B.×=
C.2÷=1 D.=-5
4.把多项式2ab+4ab2分解因式,应提取的公因式是(B)
A.ab B.2ab C.2ab2 D.4ab2
5.(2024·广东中考)方程=的解是(D)
A.x=-3 B.x=-9 C.x=3 D.x=9
6.分解因式x4-1得(D)
A.(x2+1)(x2-1) B.(x-1)(x+1)3
C.(x+1)2(x-1)2 D.(x-1)(x+1)(x2+1)
7.计算:-=(A)
A.2 B.2a-b C. D.
8.实数a,b在数轴上的对应位置如图所示,则-(b-a-2)的化简结果是(A)
A.2 B.2a-2 C.2-2b D.-2
9.(2025·娄底期中)已知=+,则A+B的值为(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.一艘货轮在静水中的航速为40 km/h,它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间,与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等,则江水的流速为(D)
A.5 km/h B.6 km/h C.7 km/h D.8 km/h
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
11.若式子有意义,则实数x的取值范围是 x≠3 .
12.(2024·兰州中考)因式分解:a2-2a+1= (a-1)2 .
13.二次根式是一个整数,那么正整数a的最小值是 2 .
14.(2024·重庆中考A卷)计算:(π-3)0+()-1= 3 .
15.计算×的结果是 2 .
16.若实数a,b满足a+b=5,a2b+ab2=-15,则ab的值是 -3 .
17.(2025·怀化期末)已知-=2,则分式的值为 .
18.若分式方程=3-的解为正整数,则整数m的值为 -1 .
三、解答题(本题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(6分)因式分解:
(1)m(a-3)+2(3-a);
【解析】(1)m(a-3)+2(3-a)=m(a-3)-2(a-3)=(a-3)(m-2);
(2)25a3-80a2+64a.
【解析】(2)25a3-80a2+64a=a(25a2-80a+64)=a(5a-8)2.
20.(6分)(2025·长沙期末)解分式方程:
(1)=;
【解析】(1)原方程去分母得:x-2=2x-2,
解得x=0,
检验:当x=0时,(x-1)(x-2)≠0,
所以x=0是原方程的解;
(2)+1=.
【解析】(2)原方程去分母,得3+x-2=-(x-3),
即x+1=-x+3,
解得x=1,
检验:当x=1时,x-2≠0,2-x≠0,
所以x=1是原分式方程的解.
21.(8分)(2025·衡阳祁东县质检)计算:
(1)2×÷5;
【解析】(1)原式=2×2××= = =;
(2)4+-+4.
【解析】(2)原式=4+3-2+4=7+2.
22.(8分)先化简,再求值:÷(x-),并从-1,0,1,2,3中选一个合适的数代入求值.
【解析】÷(x-)=÷(-)=÷ =· =.
因为x≠0且x≠3,所以x=-1或x=1或x=2.
当x=-1时,原式==-.(答案不唯一)
23.(9分)(2025·娄底涟源市质检)为了“每天锻炼1小时,健康生活一辈子”,王老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车,王老师的家距学校的路程是9千米;在相同的路线上,驾车的平均速度是骑自行车平均速度的3倍,这样,王老师每天上班要比开车早出发小时,才能按原驾车时间到达学校.
(1)求王老师骑自行车的平均速度;
【解析】(1)设王老师骑自行车的平均速度为x千米/小时,则王老师驾车的平均速度为3x千米/小时,
依题意得:-=,
解得x=12,
经检验,x=12是原方程的解,且符合题意,
答:王老师骑自行车的平均速度为12千米/小时,
(2)王老师是否达到每天锻炼1小时的标准,若达到请说明理由;若没达到,请问王老师每天至少还需要锻炼多少小时
【解析】(2)王老师达到了每天锻炼1小时的标准,理由如下:
由(1)可知,王老师骑自行车的平均速度为12千米/小时,
则王老师骑自行车上班、下班所需要的时间分别为=(小时),
所以王老师骑自行车上下班共需要的时间为+=(小时),
因为>1,所以王老师达到了每天锻炼1小时的标准.
24.(9分)整体思想是数学解题中常用的一种思想方法:
下面是某同学对多项式(x2-3x+4)(x2-3x+6)+1进行因式分解的过程.
解:令x2-3x=m,
原式=(m+4)(m+6)+1第一步
=m2+10m+25第二步
=(m+5)2第三步
=(x2-3x+5)2第四步
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是B.
A.提取公因式
B.公式法
【解析】(1)根据完全平方公式可知,第二步到第三步运用了因式分解的方法是公式法;
(2)请你类比以上方法尝试对多项式(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4进行因式分解.
【解析】(2)令a2-4a=n,
原式=(n+2)(n+6)+4
=n2+8n+16
=(n+4)2
=(a2-4a+4)2
=(a-2)4.
25.(10分)我们在学习二次根式的时候会发现:有时候两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,如·=a,(+)(-)=()2-()2=3.两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果它们的积不是二次根式,那么这两个代数式互为有理化因式.
请运用有理化因式的知识,解决下列问题:
(1)化简:=
【解析】(1)原式==.
(2)比较大小:--;(用“>”“=”或“<”填空)
【解析】(2)因为=+,=+,
又因为+>+,
所以-<-.
(3)设有理数a,b满足+=-6+4,则a+b=-6;
【解析】(3)因为+=-6+4,
所以(-1)a+(+1)b=-6+4,
所以(a+b)-a+b=-6+4,
因为a,b是有理数,
所以a+b=-6,-a+b=4.
(4)已知-=2,求+的值.
【解析】(4)因为-=2,
所以=,
所以=,
所以+=3.
26.(10分)(1)已知b>a>0,分式的分子分母都加上1,说明所得分式的值是增大了还是减少了
【解析】(1)-=-=,
因为b>a>0,
所以b2+b>0,a-b<0,
所以<0,
所以说明所得分式的值增大了;
(2)甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化,第一次的价格为m元/千克,第二次的价格为n元/千克,(m,n是正数,且m≠n);甲每次购买800千克;乙每次用去800元,而不管购买多少饲料.
①甲、乙所购饲料的平均单价分别是多少元/千克
②谁的购买方式平均单价较低
【解析】(2)①甲所购饲料的平均单价是:=(元/千克);
乙所购饲料的平均单价是:=(元/千克);
②-=- =,
因为m,n是正数,且m≠n,所以>0,
所以>,所以乙的购买方式平均单价低.
