1.1 一次函数的图象与直线的方程
1.2.1 直线的倾斜角和斜率
课时目标
1.结合图形，探索确定直线位置的几何要素：点和方向．
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.掌握过两点的直线斜率的计算公式.
逐点清(一) 直线的倾斜角
[多维度理解]
定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按__________方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的__________.通常倾斜角用α表示
范围 当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________
微点助解
(1)在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.
(2)直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画，是对直线的倾斜程度的刻画，是相对于x轴正向位置的刻画，如图.
倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
直线 平行(重合)于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降
[细微点练明]
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意一条直线都有唯一的倾斜角.( )
(2)一条直线的倾斜角可以为－30°.( )
(3)倾斜角为0°的直线有无数条.( )
(4)若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1).( )
2.如图，直线l与y轴正向之间的夹角为30°，则直线的倾斜角为( )
A.30° B.60°
C.45° D.不确定
3.设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A.α＋40° B.α－140°
C.140°－α D.α＋40°或α－140°
4.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________.
逐点清(二) 直线的斜率
[多维度理解]
如果直线经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，那么可得斜率公式为k＝__________.
微点助解
(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.
(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关.
(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换.
(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0.
[细微点练明]
1.若过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线斜率不存在，则m的值等于( )
A.1 B.－1
C.2 D.－2
2.已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是( )
A.5 B.8
C. D.7
3.已知经过两点(5，m)和(2,8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是( )
A.(2,8) B.(8，＋∞)
C.(11，＋∞) D.(－∞，11)
4.满足下列条件的直线的斜率是否存在？若存在，求其斜率.
(1)经过点A(2,3)，B(4,5)；
(2)经过点C(－2,3)，D(2，－1)；
(3)经过点P(－3,1)，Q(－3,10)；
(4)经过点M(a,2)，N(3,6).
逐点清(三) 直线斜率的应用
[典例] 已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a).
(1)若A，B，C三点在同一直线上，求实数a的值；
(2)若点A不在直线BC上，求实数a的取值范围.
听课记录：
(1)判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在.
(2)若三点共线，则任意两点连线的斜率不一定相等，也可能都不存在.若斜率相等，说明有公共点，才能得出三点共线.
[针对训练]
判断下列三点是否在同一条直线上.
(1)A(－3,1)，B(2，－4)，C(3,0)；
(2)D(5，－1)，E(－1,2)，F(－5,4).
直线的倾斜角和斜率
[逐点清(一)]
[多维度理解] 逆时针 倾斜角 0 [0，π)
[细微点练明]
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.选B 由倾斜角的定义可得，该直线的倾斜角为90°－30°＝60°.
3.选D 根据题意，画出图象，如图所示.
因为0° ≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.
4.解析：设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.
答案：135°
[逐点清(二)]
[多维度理解]
[细微点练明]
1.D
2.选C 由斜率公式可得＝1，解得m＝.
3.选C 由题意得>1，解得m>11.
4.解：(1)存在.直线AB的斜率kAB＝＝1.
(2)存在.直线CD的斜率kCD＝＝－1.
(3)不存在.因为xP＝xQ＝－3.
(4)当a＝3时，斜率不存在；当a≠3时，直线MN的斜率kMN＝.
[逐点清(三)]
[典例] 解：(1)∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，
即＝，解得a＝2或a＝.
(2)当A，B，C三点共线时，a＝2或a＝，
那么当A，B，C三点不共线，
即点A不在直线BC上时，a≠2且a≠.
故实数a的取值范围为∪∪(2，＋∞).
[针对训练]
解：(1)因为kAB＝＝－1，
kAC＝＝－，所以kAB≠kAC，
所以A，B，C三点不在同一条直线上.
(2)因为kDE＝＝－，
kDF＝＝－，所以kDE＝kDF.
又直线DE与直线DF有公共点D，
所以D，E，F三点在同一条直线上.(共55张PPT)
第一章
直线与圆
1.1
一次函数的图象与直线的方程
1.2
直线的倾斜角、斜率及其关系
直线的倾斜角和斜率
(概念课—逐点理清式教学)
1.2.1
课时目标
1.结合图形，探索确定直线位置的几何要素：点和方向.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念．掌握过两点的直线斜率的计算公式.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 直线的倾斜角
逐点清(二) 直线的斜率
逐点清(三) 直线斜率的应用
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 直线的倾斜角
01
多维度理解
定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按________方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的________．通常倾斜角用α表示
范围 当直线l和x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为____.因此，直线的倾斜角α的取值范围为________
逆时针
倾斜角
0
[0，π)
微点助解
(1)在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．
(2)直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画，是对直线的倾斜程度的刻画，是相对于x轴正向位置的刻画，如图.
倾斜角 α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
直线 平行(重合)于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降
细微点练明
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意一条直线都有唯一的倾斜角． ( )
(2)一条直线的倾斜角可以为－30°. ( )
(3)倾斜角为0°的直线有无数条． ( )
(4)若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)． ( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．如图，直线l与y轴正向之间的夹角为30°，则直线的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．45° D．不确定
解析：由倾斜角的定义可得，该直线的倾斜角为90°－30°＝60°.
√
3．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为( )
A．α＋40° B．α－140°
C．140°－α D．α＋40°或α－140°
√
解析：根据题意，画出图象，如图所示．
因为0° ≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.
4.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________．
135°
解析：设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，
所以∠BAC＝120°，
所以α2＝120°＋α1＝135°.
逐点清(二) 直线的斜率
02
多维度理解
微点助解
(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.
(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关．
(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换．
(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0.
细微点练明
√
1．若过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线斜率不存在，则m的值等于 ( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
√
3．已知经过两点(5，m)和(2,8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是( )
A．(2,8) B．(8，＋∞)
C．(11，＋∞) D．(－∞，11)
√
4．满足下列条件的直线的斜率是否存在？若存在，求其斜率．
(1)经过点A(2,3)，B(4,5)；
(2)经过点C(－2,3)，D(2，－1)；
(3)经过点P(－3,1)，Q(－3,10)；
(4)经过点M(a,2)，N(3,6)．
逐点清(三) 直线斜率的应用
03
[典例] 已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)．
(1)若A，B，C三点在同一直线上，求实数a的值；
(2)若点A不在直线BC上，求实数a的取值范围．
解：(1)∵A，B，C三点共线，
∴kAB＝kBC，
(1)判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在．
(2)若三点共线，则任意两点连线的斜率不一定相等，也可能都不存在．若斜率相等，说明有公共点，才能得出三点共线．
方法技巧
判断下列三点是否在同一条直线上．
(1)A(－3,1)，B(2，－4)，C(3,0)；
(2)D(5，－1)，E(－1,2)，F(－5,4)．
针对训练
所以kAB≠kAC，
所以A，B，C三点不在同一条直线上．
所以kDE＝kDF.
又直线DE与直线DF有公共点D，
所以D，E，F三点在同一条直线上．
课时跟踪检测
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1．[多选]图中α能表示直线l的倾斜角的是( )
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2．[多选]下列说法正确的是( )
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
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3.如图，直线l的倾斜角为( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
解析：由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.
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4．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是 ( )
A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0)
C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5)
解析：对于D，因为x1＝x2＝－2，
所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．
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5．若某条直线与x轴垂直，则该直线的倾斜角和斜率分别是( )
A．0°，0 B．90°，不存在
C．90°，0 D．0°，不存在
解析：与x轴垂直的直线的倾斜角是90°，其斜率不存在．
6．已知直线l的倾斜角为θ－25°，则角θ的取值范围为( )
A．25°≤θ≤155° B．－25°≤θ≤155°
C．0°≤θ≤180° D．25°≤θ<205°
解析：因为直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°，
所以由0°≤θ－25°<180°得25°≤θ<205°.
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7．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
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解析：设A(a，b)是直线l上任意一点，
则平移后得点A′(a－2，b＋2)，
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8．将直线MN绕原点旋转60°得到直线M′N′，若直线M′N′的斜率为1，则直线MN的倾斜角是( )
A．105° B．165°
C．15°或75° D．105°或165°
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解析：因为直线M′N′的斜率为1，
所以直线M′N′的倾斜角是45°，
若将M′N′绕原点逆时针旋转60°得到直线MN，
则直线MN的倾斜角是105°，
若将M′N′绕原点顺时针旋转60°得到直线MN，
则直线MN的倾斜角是165°.
9．若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，b)在同一直线上，则实数b等于( )
A．－12 B．－6
C．6 D．12
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解析：因为kAB＝kAC，
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10．[多选]下列各组中，三点不能构成三角形的三个顶点的为( )
A．(1,3)，(5,7)，(10,12)
B．(－1,4)，(2,1)，(－2,5)
C．(0,2)，(2,5)，(3,7)
D．(1，－1)，(3,3)，(5,7)
解析：当三点共线时，不能构成三角形，A，B，C，D四个选项中，A，B，D中的三点共线，故选ABD.
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11．已知三点A(x,2x)，B(1,0)，C(3x，x)，若直线AB的斜率为1，则直线BC的斜率为______．
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解得x＝－1，
则点C为(－3，－1)．
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12．若直线l向上的方向与y轴的正方向成40°角，则直线l的倾斜角为________________．
50°或130°
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解析：如图，直线l有两种情况，故直线l的倾斜角为50°或130°.
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13．若A(1,2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点不共线，则实数m的取值范围是____________．
解析：由题意知，kAB≠kAC，
{m|m≠3}
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15．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点．求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0.
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∴(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0.
∵x2≠x3，∴x1＋x2＋x3＝0.课时跟踪检测(一) 直线的倾斜角和斜率
1.[多选]图中α能表示直线l的倾斜角的是( )
2.[多选]下列说法正确的是( )
A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B.若k是直线的斜率，则k∈R
C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
3.如图，直线l的倾斜角为( )
A.60° B.120°
C.30° D.150°
4.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是 ( )
A.(4,2)与(－4,1)
B.(0,3)与(3,0)
C.(3，－1)与(2，－1)
D.(－2,2)与(－2,5)
5.若某条直线与x轴垂直，则该直线的倾斜角和斜率分别是( )
A.0°，0 B.90°，不存在
C.90°，0 D.0°，不存在
6.已知直线l的倾斜角为θ－25°，则角θ的取值范围为( )
A.25°≤θ≤155° B.－25°≤θ≤155°
C.0°≤θ≤180° D.25°≤θ<205°
7.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是( )
A.－2 B.－1
C.1 D.2
8.将直线MN绕原点旋转60°得到直线M′N′，若直线M′N′的斜率为1，则直线MN的倾斜角是( )
A.105° B.165°
C.15°或75° D.105°或165°
9.若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，b)在同一直线上，则实数b等于( )
A.－12 B.－6
C.6 D.12
10.[多选]下列各组中，三点不能构成三角形的三个顶点的为( )
A.(1,3)，(5,7)，(10,12)
B.(－1,4)，(2,1)，(－2,5)
C.(0,2)，(2,5)，(3,7)
D.(1，－1)，(3,3)，(5,7)
11.已知三点A(x,2x)，B(1,0)，C(3x，x)，若直线AB的斜率为1，则直线BC的斜率为______.
12.若直线l向上的方向与y轴的正方向成40°角，则直线l的倾斜角为________________.
13.若A(1,2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点不共线，则实数m的取值范围是________.
14.设过点A的直线的斜率为k，分别根据下列条件写出直线上另一点B的坐标(答案不唯一)：
(1)k＝4，A(1,2)；(2)k＝－2，A(－2，－3)；
(3)k＝－，A(2，－4)；(4)k＝，A(－3,2).
15.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点.求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0.
课时跟踪检测(一)
1．AC 2.ABC
3．选D 由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.
4．选D 对于D，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．
5．选B 与x轴垂直的直线的倾斜角是90°，其斜率不存在．
6．选D 因为直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°，所以由0°≤θ－25°<180°得25°≤θ<205°.
7．选B 设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b＋2)，于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－1.
8．选D 因为直线M′N′的斜率为1，所以直线M′N′的倾斜角是45°，若将M′N′绕原点逆时针旋转60°得到直线MN，则直线MN的倾斜角是105°，若将M′N′绕原点顺时针旋转60°得到直线MN，则直线MN的倾斜角是165°.
9．选C 因为kAB＝kAC，又kAB＝＝3，kAC＝＝，所以3＝，即b＝6.
10．选ABD 当三点共线时，不能构成三角形，A，B，C，D四个选项中，A，B，D中的三点共线，故选ABD.
11．解析：由kAB＝＝1，解得x＝－1，则点C为(－3，－1)．所以kBC＝＝.
答案：
12．解析：如图，直线l有两种情况，故直线l的倾斜角为50°或130°.
答案：50°或130°
13．解析：由题意知，kAB≠kAC，
即≠，解得m≠3.
答案：{m|m≠3}
14．解：(1)取点B(0，y)，由＝4，
得y＝－2，则点B为(0，－2)．
(2)取点B(0，y)，由＝－2，
得y＝－7，则点B为(0，－7)．
(3)取点B(0，y)，由＝－，
得y＝－1，则点B为(0，－1)．
(4)取点B(0，y)，由＝，
得y＝6，则点B为(0,6)．
15．证明：由题意得kAB＝，kAC＝，
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，
∴＝，
∴x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x，
∴(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0.
∵x2≠x3，∴x1＋x2＋x3＝0.
