1.2.2 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
课时目标
1.理解直线的倾斜角与斜率的关系.了解直线的方向向量，理解直线的方向向量与斜率的关系.
2.会应用倾斜角与斜率、方向向量之间的关系解决一些简单的应用问题.
1.斜率与倾斜角的关系
(1)直线的斜率k与倾斜角α满足k＝__________＝____________(x1≠x2).
(2)斜率与倾斜角的变化规律
图示
倾斜角α(范围) 0
斜率k (范围) 0 k____0，且随着α的增大而________ 不存在 k____0，且随着α的增大而________
微点助解
倾斜角与斜率的关系
(1)在平面直角坐标系中，每一条直线都有唯一确定的倾斜角，但不是每一条直线都有斜率.
(2)斜率相等的直线的倾斜角必相等，而倾斜角相等的直线的斜率未必相等.
(3)当直线与x轴不垂直时，利用直线上两个不同点的坐标或直线的倾斜角都可以计算直线的斜率.
2.直线的斜率与方向向量的关系
若k是直线l的斜率，则v＝________是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝__________.
微点助解
(1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a＝(0,1).
(2)任意直线的方向向量可以表示为a＝(cos θ，sin θ)(θ为倾斜角).
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线的倾斜角为θ，则sin θ>0( )
(2)直线的倾斜角θ的取值范围为0≤θ<π( )
(3)若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θ( )
(4)若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ( )
2.若直线l的一个方向向量为(2,3)，则它的斜率k为( )
A. B.
C.－ D.－
3.已知直线l经过A(－1,0)，B(1,2)两点，则直线l的倾斜角是( )
A. B.
C. D.
4.过点A(－1，)，B(1,3)的直线的倾斜角为________.
题型(一) 直线的斜率与倾斜角的关系
[例1] (1)若直线l的倾斜角α∈，求直线l斜率k的取值范围；
(2)若直线l的斜率k∈[－1,1]，求直线l倾斜角α的取值范围.
听课记录：
斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变化.如图所示，过点P的直线l与线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而直线PC与线段AB不相交，所以直线l的斜率k的取值范围是[kPA，kPB].解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线的位置.
[针对训练]
1.已知A(1，－4)，B(λ，2)两点所在直线的倾斜角为，则实数λ的值为( )
A.－5 B.－7
C.－2 D.2
2.过点A(2,1)，B(m,3)的直线的倾斜角α的取值范围是，求实数m的取值范围.
题型(二) 直线的斜率与方向向量的关系
[例2] 已知直线l的斜率为－，求直线l的模长为1的方向向量.
听课记录：
若直线l的一个方向向量为a＝(u，v)，则当u＝0时，直线l的斜率不存在；当u≠0时，k＝.
[针对训练]
3.若直线l的倾斜角为，方向向量为e＝(－1，a)，则实数a的值是( )
A. B.－
C. D.－
4.已知直线l经过点A(1,4)，且斜率为2，则直线l的一个方向向量为________.
题型(三) 直线的倾斜角与斜率的综合问题
[例3] 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.
听课记录：
[变式拓展]
1.本例条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围.
2.本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”，求直线l的斜率k的取值范围.
3.若本例改为“已知两点A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上”，求的最大值.
(1)直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系为k＝＝tan α(其中x1≠x2).
(2)求代数式最值或范围的方法：由斜率公式k＝的形式，可知代数式的几何意义是过P(x，y)与P′(a，b)两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来求解.
[针对训练]
5.已知两点A(1,4)，B(3,1)，直线l的斜率为a，且过定点P(0,2).
(1)若是直线l的一个方向向量，求a的值；
(2)若直线l与线段AB有交点，求a的取值范围.
直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
?课前环节
1.(1)tan α (2)＞ 增大 ＜ 增大
2.(1，k)
[基点训练]
1.(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.选A ∵(2,3)＝2·，且(1，k)是直线的方向向量，∴k＝.
3.选B 设直线l的倾斜角为α，由已知可得直线l的斜率k＝＝1，又α∈[0，π)，所以倾斜角是，故选B.
4.60°
?课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解：(1)因为k＝tan α，α∈，tan＝，tan ＝，结合正切函数在的单调性得k的取值范围为.
(2)直线l的斜率k∈[－1,1]，tan＝1，tan ＝－1，结合正切函数在[0，π)的单调性得α的取值范围为∪.
[针对训练]
1.选A 因为A(1，－4)，B(λ，2)两点所在直线的倾斜角为，所以kAB＝＝tan，即＝－1，解得λ＝－5，故选A.
2.解：因为直线的倾斜角α的取值范围是，所以直线的斜率不存在或斜率k满足k≤－1或k≥1.若斜率不存在，则m＝2；若斜率存在，则k＝＝，从而≥1或≤－1，解得2[题型(二)]
[例2] 解：设直线l的方向向量为b＝(x，y)，
则＝－.①∵|b|＝1，∴x2＋y2＝1.
②由①②得或
∴b＝或b＝.
[针对训练]
3.选A ∵直线l的方向向量为e＝(－1，a)，∴直线l的斜率为k＝＝－a.又直线的倾斜角α＝，∴斜率k＝tan＝－＝－a，解得a＝.
4.解析：不妨令直线l的一个方向向量为(x，y)，则k＝，所以可以取x＝1，则y＝2，此时直线l的一个方向向量为(1,2).
答案：(1,2)(答案不唯一)
[题型(三)]
[例3] 解：如图，由题意知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
[变式拓展]
1.解：由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是{α|45°≤α≤135°}.
2.解：由本例知与线段AB有公共点时，斜率k满足k≤－1或k≥1.则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为(－1,1).
3.解：设Q(3,0)，
则kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－，
∵点P(x，y)是线段AB上的任意一点，
∴的取值范围是，
故的最大值为－.
[针对训练]
5.解：(1)因为是直线l的一个方向向量，
所以a＝kAB＝＝－.
(2)如图，因为kPA＝＝2，kPB＝＝－，
所以要使直线l与线段AB有交点，则a的取值范围为.(共72张PPT)
直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系(强基课—梯度进阶式教学)
1.2.2
课时目标
1.理解直线的倾斜角与斜率的关系．了解直线的方向向量，理解直线的方向向量与斜率的关系．
2.会应用倾斜角与斜率、方向向量之间的关系解决一些简单的应用问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1．斜率与倾斜角的关系
tan α
(2)斜率与倾斜角的变化规律
＞
增大
＜
增大
2．直线的斜率与方向向量的关系
(1，k)
微点助解
(1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a＝(0,1)．
(2)任意直线的方向向量可以表示为a＝(cos θ，sin θ)(θ为倾斜角)．
基点训练
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线的倾斜角为θ，则sin θ>0 ( )
(2)直线的倾斜角θ的取值范围为0≤θ<π ( )
(3)若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θ ( )
(4)若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ ( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
√
√
60°
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 直线的斜率与倾斜角的关系
方法技巧
针对训练
√
所以直线的斜率不存在或斜率k满足k≤－1或k≥1.
若斜率不存在，
则m＝2；若斜率存在，
解得2综上可知，实数m的取值范围是[0,4]．
题型(二) 直线的斜率与方向向量的关系
解：设直线l的方向向量为b＝(x，y)，
方法技巧
针对训练
√
解析：∵直线l的方向向量为e＝(－1，a)，
4．已知直线l经过点A(1,4)，且斜率为2，则直线l的一个方向向量为___________________．
(1,2)(答案不唯一)
[例3] 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
题型(三) 直线的倾斜角与斜率的综合问题
1．本例条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围．
解：由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是{α|45°≤α≤135°}．
2．本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”，求直线l的斜率k的取值范围．
解：由本例知与线段AB有公共点时，斜率k满足k≤－1或k≥1.则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为(－1,1)．
变式拓展
解：设Q(3,0)，
方法技巧
5．已知两点A(1,4)，B(3,1)，直线l的斜率为a，且过定点P(0,2)．
(1)若是直线l的一个方向向量，求a的值；
(2)若直线l与线段AB有交点，求a的取值范围．
针对训练
课时跟踪检测
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解析：由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，
所以(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，
解得y＝－1.故选C.
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6．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为_______________．
解析：由题意知，kPA＝－1.
若点P在x轴上，则设P(m,0)(m≠1)，
(3,0)或(0,3)
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7．已知直线l的方向向量为(－1,2)，直线l的倾斜角为α，则tan 2α＝________.
解析：∵直线l的方向向量为(－1,2)，
∴直线l的斜率等于－2，
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8．若经过点P(1－a,1)和Q(2a,3)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是___________．
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解析：因为直线的倾斜角是钝角，
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9．(1)已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°；
(2)已知直线l1的方向向量为n＝(2,1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，求直线l2的斜率．
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解：(1)①当点P在x轴上时，设点P(a,0)．
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(2)设直线l1的倾斜角为α，
则直线l2的倾斜角为2α.
∵直线l1的方向向量为n＝(2,1)，
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10．已知两点M(2m＋3，m)，N(m－2,1)，
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)若直线MN的方向向量为a＝(0，－2 023)，求m.
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解：(1)若直线MN的倾斜角为锐角，
解得m＞1或m＜－5.
所以当m∈(－∞，－5)∪(1，＋∞)时，直线MN的倾斜角为锐角．
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(2)若直线MN的倾斜角为钝角，
解得－5＜m＜1.
所以当M∈(－5,1)时，直线MN的倾斜角为钝角．
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(3)若直线MN的方向向量为a＝(0，－2 023)，
则斜率不存在，
即点M，N的横坐标相等，
故2m＋3＝m－2，
解得m＝－5.
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B级——应用创新
11．若直线l的斜率为k，且k2＝3，则直线l的倾斜角为( )
A．30°或150° B．45°或135°
C．60°或120° D．90°或180°
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12.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3的图象如图所示，则下列结论正确的是 ( )
A．k1>k2>k3
B．k3>k1>k2
C．k2>k1>k3
D．k2>k3>k1
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解析：由k＝tan α，结合y＝tan x的函数图象可知，直线l3对应的倾斜角为钝角，则k3<0，直线l1与l2都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，则k2>k1>0，故k2>k1>k3.
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13．已知经过坐标平面内A(1,2)，B(－2,2m－1)两点的直线的方向向量为(1，sin α)，则实数m的取值范围为________．
[0,3]
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解析：由题意知直线的斜率一定存在，
设直线AB的斜率为k，
由直线的方向向量为(1，sin α)，
可得k＝sin α，
∵－1≤sin α≤1，
∴k∈[－1,1]，
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解：(1)当m＝－1时，直线AB的斜率不存在，
当m≠－1时，直线AB的斜率
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由图可知kPA≤k≤kPB.
由已知可得A(1,1)，B(－1,5)，
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2课时跟踪检测(二) 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
A级——综合提能
1.已知直线l的一个方向向量为(，1)，则直线l的倾斜角θ＝( )
A.0 B.
C. D.
2.经过A(0,1＋)，B(3,1)两点的直线的倾斜角为 ( )
A. B.
C. D.
3.已知过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1) ，则y＝( )
A.－ B.
C.－1 D.1
4.在平面直角坐标系内，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为( )
A.－2 B.0
C. D.2
5.已知直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是( )
A.[0,2] B.[0,1]
C. D.
6.已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为__________.
7.已知直线l的方向向量为(－1,2)，直线l的倾斜角为α，则tan 2α＝________.
8.若经过点P(1－a,1)和Q(2a,3)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________.
9.(1)已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°；
(2)已知直线l1的方向向量为n＝(2,1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，求直线l2的斜率.
10.已知两点M(2m＋3，m)，N(m－2,1)，
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)若直线MN的方向向量为a＝(0，－2 023)，求m.
B级——应用创新
11.若直线l的斜率为k，且k2＝3，则直线l的倾斜角为( )
A.30°或150° B.45°或135°
C.60°或120° D.90°或180°
12.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.k1>k2>k3
B.k3>k1>k2
C.k2>k1>k3
D.k2>k3>k1
13.已知经过坐标平面内A(1,2)，B(－2,2m－1)两点的直线的方向向量为(1，sin α)，则实数m的取值范围为________.
14.已知两点A(－1,2)，B(m,3)，
(1)求直线AB的斜率k；
(2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的范围.
15.已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值.
课时跟踪检测(二)
1．选B 由题意知，因为直线l的一个方向向量为(，1)，所以直线l的斜率k＝＝.
又k＝tan θ，所以tan θ＝.因为θ∈[0，π)，所以θ＝.
2．选D 因直线经过A(0,1＋)，B(3,1)两点，则直线AB的斜率为k＝＝－，设直线AB倾斜角为α，显然α≠，于是得tan α＝－，而α∈[0，π)，则α＝，所以所求的直线的倾斜角为.
3．选C 由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，得＝(－2，－3－y)，又直线AB的一个方向向量为n＝(－1，－1)，因此n∥，所以(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1.故选C.
4．选B 由题意知，△ABC的边AC，AB所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以边AC，AB所在直线的斜率之和为tan 60°＋tan 120°＝ ＋(－)＝0.
5.选A 如图所示，当直线l在l1的位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2的位置时，k＝＝2，故直线l的斜率的取值范围是[0,2]．
6．解析：由题意知，kPA＝－1.
若点P在x轴上，则设P(m,0)(m≠1)，
则＝－1，解得m＝3；
若点P在y轴上，则设P(0，n)，
则＝－1，解得n＝3.
故点P的坐标为(3,0)或(0,3)．
答案：(3,0)或(0,3)
7．解析：∵直线l的方向向量为(－1,2)，
∴直线l的斜率等于－2，
∴tan α＝－2，tan 2α＝＝＝.
答案：
8．解析：因为直线的倾斜角是钝角，所以斜率<0，解得a<.所以实数a的取值范围是.
答案：
9．解：(1)①当点P在x轴上时，设点P(a,0)．
又A(1,2)，∴直线PA的斜率k＝＝.
又直线PA的倾斜角为60°，
∴tan 60°＝，解得a＝1－，
∴点P的坐标为.
②当点P在y轴上时，设点P(0，b)，
同理可得b＝2－，∴点P的坐标为(0,2－)．
故所求点P的坐标为或(0,2－)．
(2)设直线l1的倾斜角为α，则直线l2的倾斜角为2α.∵直线l1的方向向量为n＝(2,1)，
∴直线l1的斜率为tan α＝，
∴直线l2的斜率为tan 2α＝＝.
10．解：(1)若直线MN的倾斜角为锐角，
则直线MN的斜率k＝＞0，
解得m＞1或m＜－5.所以当m∈(－∞，－5)∪(1，＋∞)时，直线MN的倾斜角为锐角．
(2)若直线MN的倾斜角为钝角，则直线MN的斜率k＝＜0，解得－5＜m＜1.所以当M∈(－5,1)时，直线MN的倾斜角为钝角．
(3)若直线MN的方向向量为a＝(0，－2 023)，则斜率不存在，即点M，N的横坐标相等，故2m＋3＝m－2，解得m＝－5.
11．选C 设直线l的倾斜角为α，
则0°≤α<180°，因为k2＝3，所以k＝±.
当k＝时，即tan α＝，则α＝60°；
当k＝－时，即tan α＝－，则α＝120°，
所以直线l的倾斜角为60°或120°.
12.选C 由k＝tan α，结合y＝tan x的函数图象可知，直线l3对应的倾斜角为钝角，则k3<0，直线l1与l2都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，则k2>k1>0，故k2>k1>k3.
13．解析：由题意知直线的斜率一定存在，设直线AB的斜率为k，由A(1,2)，B(－2,2m－1)两点知k＝＝.由直线的方向向量为(1，sin α)，可得k＝sin α，∵－1≤sin α≤1，∴k∈[－1,1]，即－1≤≤1，解得0≤m≤3.
答案：[0,3]
14．解：(1)当m＝－1时，直线AB的斜率不存在，当m≠－1时，直线AB的斜率
k＝＝.
(2)当m＝－1时，α＝；
当m≠－1时，k＝，
因为m∈，且m≠－1，
所以－≤m＋1≤，且m＋1≠0，
所以 ≤－或≥，
即tan α≤－或tan α≥，
所以α∈∪.
综上，直线AB的倾斜角α∈.
15．解：如图所示，由的几何意义及题意可知，它表示经过曲线段AB上任一点(x，y)与定点P(－2，－3)的直线的斜率k.
由图可知kPA≤k≤kPB.
由已知可得A(1,1)，B(－1,5)，
则kPA＝＝，
kPB＝＝8，∴≤k≤8，
∴的最大值为8，最小值为.
