1.3.1 直线方程的点斜式
课时目标
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式.
2.了解直线方程的斜截式与一次函数的关系.
3.会利用直线方程的点斜式与斜截式解决有关问题.
(一)直线方程的点斜式
设过点P(x0，y0)且斜率为k的直线l的方程为____________________，此方程称为直线方程的点斜式.
斜率 存在 不存在(α＝90°)
点斜式 无
特殊情况图示 k＝0时，l与x轴平行或重合 k不存在时，l⊥x轴，不能用点斜式求方程
微点助解
(1)构成直线的要素有两个：一个点和一个方向，点斜式方程是这两个要素的直接反映.
(2)当倾斜角为90°时，直线没有斜率，点斜式方程不存在.
(3)由点斜式方程y－y0＝k(x－x0)中能观察到，直线过定点(x0，y0)，斜率为k.
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝.( )
(2)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3).( )
(3)直线y－2＝3(x＋1)的斜率是3.( )
2.若直线l过点(－1,1)且斜率为1，则直线l的方程为( )
A.x－y－2＝0 B.x＋y－2＝0
C.x－y＋2＝0 D.x＋y＋2＝0
(二)直线方程的斜截式
斜截式
已知条件 经过点(0，b)且斜率为k
图示
方程形式
适用条件 斜率存在
微点助解
(1)b为直线l在y轴上的截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零.
(2)方程的斜截式可由过点(0，b)的方程的点斜式得到.
(3)当k≠0时，方程的斜截式就是一次函数的表示形式.
(4)斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.
(5)斜截式是点斜式的特殊情况，在方程y＝kx＋b中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.
[基点训练]
1.直线l在y轴上的截距为2，且斜率为－1，则该直线方程为( )
A.y＝－x＋2 B.y＝x＋2
C.y＝x－2 D.y＝－x－2
2.直线y＝x＋3在y轴上的截距为________.
题型(一) 直线方程的点斜式
[例1] 写出下列直线方程的点斜式：
(1)过点A(－4,3)，斜率k＝3；
(2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°；
(3)过点C(－1,2)，且与y轴平行；
(4)过点D(2,1)和E(3，－4).
听课记录：
求直线方程的点斜式的思路
[针对训练]
1.与向量a＝平行，且经过点的直线方程为( )
A.y＝x－ B.y＝－x－
C.y＝x－18 D.y＝－x＋10
2.求满足下列条件的直线方程的点斜式.
(1)过点P(－3，－1)，斜率k＝；
(2)过点P(0,5)，且与x轴垂直；
(3)过点P(，1)，倾斜角是120°.
题型(二) 直线方程的斜截式
[例2] 写出下列直线方程的斜截式：
(1)直线的斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)直线的倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
听课记录：
直线方程的斜截式的求解策略
(1)求直线方程的斜截式只要分别把直线的斜率和在y轴上的截距代入方程即可.
(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线方程的斜截式.
[针对训练]
3.根据下列条件求直线方程的斜截式：
(1)斜率是，截距是－2；
(2)倾斜角是135°，截距是3；
(3)倾斜角为120°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
题型(三) 含参数的直线方程的几何特征
[例3] 已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3听课记录：
对于含参数k的直线方程y－y0＝k(x－x0)，该直线恒过定点(x0，y0).
[针对训练]
4.已知直线l：y＝ax＋.
(1)求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
直线方程的点斜式
?课前环节
(一)y－y0＝k(x－x0) y－y0＝k(x－x0)
[基点训练]
1.(1)× (2)√ (3)√
2.选C 直线l的斜率为1，又直线l过点(－1，1)，则直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.
(二)y＝kx＋b
[基点训练]
1.A
2.解析：由直线的斜截式可得，直线y＝x＋3在y轴上的截距为3.
答案：3
?课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解：(1)由方程的点斜式可知，所求直线方程为y－3＝3[x－(－4)].
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线方程的点斜式为y－4＝－[x－(－1)].
(3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，
∴直线的方程不能用点斜式表示.由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1.
(4)∵直线过点D(2,1)和E(3，－4)，
∴斜率k＝＝－5.
故所求直线方程的点斜式为y－1＝－5(x－2).
[针对训练]
1.选A 依题意可知，所求直线的斜率为，所以所求直线的方程为y＋4＝(x－4)，即y＝x－.
2.解：(1)∵直线过点P(－3，－1)，斜率k＝，
∴直线方程的点斜式为y＋1＝(x＋3).
(2)∵与x轴垂直的直线，其斜率不存在，
∴直线的方程为x＝0.
(3)∵直线的倾斜角是120°，
∴k＝tan 120°＝－.又直线过点P(，1)，
∴直线方程的点斜式为y－1＝－(x－).
[题型(二)]
[例2] 解：(1)由直线方程的斜截式可知，
所求方程为y＝3x－3.
(2)∵k＝tan 60°＝，
∴所求直线方程的斜截式为y＝x＋5.
(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2).
∴k＝＝，∴所求直线方程的斜截式为y＝x－2.
[针对训练]
3.解：(1)由题意，当直线在y轴上的截距为－2时，直线方程的斜截式为y＝x－2；当直线在x轴上的截距为－2时，直线的方程为y＝(x＋2)，即直线方程的斜截式为y＝x＋.综上，直线方程的斜截式为y＝x－2或y＝x＋.
(2)由题意，直线倾斜角是135°，截距是3，所以斜率为k＝tan 135°＝－1.当直线在y轴上的截距为3时，直线方程的斜截式为y＝－x＋3；当直线在x轴上的截距为3时，直线的方程为y＝－(x－3)，所以直线方程的斜截式为y＝－x＋3.综上，直线方程的斜截式为y＝－x＋3.
(3)因为倾斜角为120°，所以k＝tan 120°＝－，因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距为3或－3.故所求直线方程的斜截式为y＝－x＋3或y＝－x－3.
[题型(三)]
[例3] 解：(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)，由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1).
(2)设y＝f(x)＝kx＋2k＋1，
因为当－3需满足即
解得－≤k≤1，
所以实数k的取值范围是.
[针对训练]
4.解：(1)证明：因为y＝ax＋＝a＋，所以直线l恒过定点.
因为点位于第一象限，所以无论a为何值，直线l必经过第一象限.
(2)设A，则直线OA的斜率kOA＝＝3.若直线l不经过第二象限，则直线l的斜率kl≥3，即a≥3.所以实数a的取值范围为[3，＋∞).(共64张PPT)
直线方程的点斜式
(强基课—梯度进阶式教学)
1.3.1
课时目标
1．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式．
2．了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．
3．会利用直线方程的点斜式与斜截式解决有关问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
(一)直线方程的点斜式
设过点P(x0，y0)且斜率为k的直线l的方程为_________________，此方程称为直线方程的点斜式.
斜率 存在 不存在(α＝90°)
点斜式 ___________________ 无
特殊情况 图示 k＝0时，l与x轴平行或重合 k不存在时，l⊥x轴，
不能用点斜式求方程
y－y0＝k(x－x0)
y－y0＝k(x－x0)
(1)构成直线的要素有两个：一个点和一个方向，点斜式方程是这两个要素的直接反映．
(2)当倾斜角为90°时，直线没有斜率，点斜式方程不存在．
(3)由点斜式方程y－y0＝k(x－x0)中能观察到，直线过定点(x0，y0)，斜率为k.
基点训练
2．若直线l过点(－1,1)且斜率为1，则直线l的方程为( )
A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0
C．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0
解析：直线l的斜率为1，又直线l过点(－1，1)，则直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.
√
(二)直线方程的斜截式
斜截式
已知条件 经过点(0，b)且斜率为k
图示
方程形式 ____________
适用条件 斜率存在
y＝kx＋b
微点助解
(1)b为直线l在y轴上的截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零．
(2)方程的斜截式可由过点(0，b)的方程的点斜式得到．
(3)当k≠0时，方程的斜截式就是一次函数的表示形式．
(4)斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线．
(5)斜截式是点斜式的特殊情况，在方程y＝kx＋b中，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距．
基点训练
1．直线l在y轴上的截距为2，且斜率为－1，则该直线方程为( )
A．y＝－x＋2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2 D．y＝－x－2
√
2．直线y＝x＋3在y轴上的截距为__________．
解析：由直线的斜截式可得，直线y＝x＋3在y轴上的截距为3.
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课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] 写出下列直线方程的点斜式：
(1)过点A(－4,3)，斜率k＝3；
(2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°；
(3)过点C(－1,2)，且与y轴平行；
(4)过点D(2,1)和E(3，－4)．
题型(一) 直线方程的点斜式
解：(1)由方程的点斜式可知，
所求直线方程为y－3＝3[x－(－4)]．
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线方程的点斜式为y－4＝－[x－(－1)]．
(3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，
∴直线的方程不能用点斜式表示．由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1.
(4)∵直线过点D(2,1)和E(3，－4)，
求直线方程的点斜式的思路
方法技巧
针对训练
√
(2)∵与x轴垂直的直线，其斜率不存在，
∴直线的方程为x＝0.
(3)∵直线的倾斜角是120°，
[例2] 写出下列直线方程的斜截式：
(1)直线的斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)直线的倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
解：(1)由直线方程的斜截式可知，
所求方程为y＝3x－3.
题型(二) 直线方程的斜截式
(3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，
∴直线过点(4,0)和(0，－2)．
直线方程的斜截式的求解策略
(1)求直线方程的斜截式只要分别把直线的斜率和在y轴上的截距代入方程即可．
(2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写出直线方程的斜截式．
方法技巧
针对训练
(2)由题意，直线倾斜角是135°，截距是3，所以斜率为k＝tan 135°＝－1.当直线在y轴上的截距为3时，直线方程的斜截式为y＝－x＋3；当直线在x轴上的截距为3时，直线的方程为y＝－(x－3)，所以直线方程的斜截式为y＝－x＋3.综上，直线方程的斜截式为y＝－x＋3.
因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，
所以直线在y轴上的截距为3或－3.
[例3] 已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3解：(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)，由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．
(2)设y＝f(x)＝kx＋2k＋1，
因为当－3题型(三) 含参数的直线方程的几何特征
对于含参数k的直线方程y－y0＝k(x－x0)，该直线恒过定点(x0，y0)．
方法技巧
针对训练
若直线l不经过第二象限，则直线l的斜率kl≥3，即a≥3.
所以实数a的取值范围为[3，＋∞)．
课时跟踪检测
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解析：设直线y＝－x＋2的倾斜角为θ，
可知tan θ＝k＝－1 ，
又 0≤θ<π，
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4．已知直线y＝kx＋1－3k，当k变化时，所有的直线恒过定点( )
A．(1,3) B．(－1，－3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
解析：直线y＝kx＋1－3k变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．
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5.已知直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有( )
A．k1b2
C．k1>k2且b1>b2 D．k1>k2且b11
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解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知90°<α1<α2<180°，所以k10，所以b11
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7．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程的斜截式是______________________________．
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所以直线的倾斜角为60°或120°，
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8．已知直线y＝kx＋b，当x∈[－3,4]时，y∈[－8,13]，则此直线的方程为_______________________(写成直线方程的斜截式形式)．
y＝3x＋1或y＝－3x＋4
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解析：当k>0时，函数y＝kx＋b单调递增，
解得k＝3，b＝1，直线方程为y＝3x＋1；
当k<0时，函数y＝kx＋b单调递减，
解得k＝－3，b＝4，直线方程为y＝－3x＋4；k＝0时，不满足题意．
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9．写出下列直线上不同于已知点的一个点的坐标：
(1)点P1(1,3)，斜率为2；
(2)点P2(－1,2)，斜率为－1.
解：(1)因为直线过点P1(1,3)，斜率为2，
所以直线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.
所以令x＝0，可得y＝1，
即直线过点(0,1)．(答案不唯一)
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(2)因为直线过点P2(－1,2)，斜率为－1，
所以直线方程为y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋1.所以令x＝0，可得y＝1，
即直线过点(0,1)．(答案不唯一)
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B级——应用创新
11．[多选]下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a不可能正确的是( )
√
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解析：①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A、B、C、D都不成立；
②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A、B、C、D都不成立；
③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立．
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12．在等腰三角形AOB中，|AO|＝|AB|，O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB方程的点斜式为( )
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)
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13．过点(－1,1)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为___________________________．
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(2)由(1)可知kAC＝－1，可得直线AC的方程为y－1＝－1(x－1)，即lAC：x＋y－2＝0，
将y＝0代入，即求得C点坐标为(2,0)．
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15．已知当－1解：由题意，得当－10，
如图所示，要满足题意，只需点A(－1，－m＋1)，
B(1，m＋1)在x轴上方或在x轴上即可，课时跟踪检测(三) 直线方程的点斜式
A级——综合提能
1.已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为( )
A.9 B.－9
C. D.－
2.过点(1，－1)且方向向量为(－2,3)的直线的方程为( )
A.y－1＝－(x－1)
B.y－1＝－(x＋1)
C.y＋1＝－(x－1)
D.y＋1＝(x－1)
3.已知直线方程为y＝－x＋2，则直线的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
4.已知直线y＝kx＋1－3k，当k变化时，所有的直线恒过定点( )
A.(1,3) B.(－1，－3)
C.(3,1) D.(－3，－1)
5.已知直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有( )
A.k1B.k1b2
C.k1>k2且b1>b2
D.k1>k2且b16.经过点(3，－1)且斜率为的直线方程的点斜式为______________.
7.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程的斜截式是________________.
8.已知直线y＝kx＋b，当x∈[－3,4]时，y∈[－8,13]，则此直线的方程为________________(写成直线方程的斜截式形式).
9.写出下列直线上不同于已知点的一个点的坐标：
(1)点P1(1,3)，斜率为2；
(2)点P2(－1,2)，斜率为－1.
10.已知直线m的一个方向向量为v＝(3，)，直线l的倾斜角为直线m的倾斜角的2倍.求当直线l分别满足下列条件时直线l方程的点斜式.
(1)过点P(3，－4)；
(2)与y轴的交点为(0，－3).
B级——应用创新
11.[多选]下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a不可能正确的是( )
12.在等腰三角形AOB中，|AO|＝|AB|，O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB方程的点斜式为( )
A.y－1＝3(x－3) B.y－1＝－3(x－3)
C.y－3＝3(x－1) D.y－3＝－3(x－1)
13.过点(－1,1)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为_________________.
14.在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1,1)，B(5,1)，点C在x轴上，且∠CAB＝.
(1)求直线AC的斜率；
(2)求直线BC的方程.
15.已知当－1课时跟踪检测(三)
1．选B 由y＋＝(x－1)，得y＝x－9，∴l在y轴上的截距为－9.
2．选C 由方向向量得直线的斜率为－，所以得直线方程为y＋1＝－.
3．选B 设直线y＝－x＋2的倾斜角为θ，可知tan θ＝k＝－1 ，又 0≤θ<π，所以θ＝.
4．选C 直线y＝kx＋1－3k变形为y－1＝k(x－3)，由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．
5．选A 设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知90°<α1<α2<180°，所以k10，所以b16．解析：根据直线方程的点斜式，可得y－(－1)＝(x－3)．
答案：y－(－1)＝(x－3)
7．解析：因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，所以直线的斜率为或－.又因为在y轴上的截距为－6，所以直线方程的斜截式是y＝x－6或y＝－x－6.
答案：y＝x－6或y＝－x－6
8．解析：当k>0时，函数y＝kx＋b单调递增，则解得k＝3，b＝1，直线方程为y＝3x＋1；当k<0时，函数y＝kx＋b单调递减，则解得k＝－3，b＝4，直线方程为y＝－3x＋4；k＝0时，不满足题意．
答案：y＝3x＋1或y＝－3x＋4
9．解：(1)因为直线过点P1(1,3)，斜率为2，
所以直线方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.
所以令x＝0，可得y＝1，
即直线过点(0,1)．(答案不唯一)
(2)因为直线过点P2(－1,2)，斜率为－1，
所以直线方程为y－2＝－(x＋1)，
即y＝－x＋1.所以令x＝0，可得y＝1，
即直线过点(0,1)．(答案不唯一)
10．解：(1)∵直线m的一个方向向量为v＝(3, )，
∴直线m的斜率为，则直线m的倾斜角为30°，∴直线l的倾斜角为60°，
即直线l的斜率为tan 60°＝.
∵直线l过点P(3，－4)，∴直线l方程的点斜式为y－(－4)＝(x－3)．
(2)由(1)知，直线l的斜率为.
∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
∴直线l方程的点斜式为y－(－3)＝(x－0)．
11．选ABD ①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A、B、C、D都不成立；②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A、B、C、D都不成立；③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立．
12.选D 设线段OB的中点为M，连接AM，因为|AO|＝|AB|，则AM⊥x轴，则点M(1,0)，故点B(2,0)，所以直线AB的斜率为k＝＝－3，所以直线AB方程的点斜式为y－3＝－3(x－1)．
13．解析：由题意可知，直线斜率存在且不为0，设直线方程为y－1＝k(x＋1)，令x＝0，解得y＝k＋1；令y＝0，解得x＝－.由题意可得－＝2(k＋1)，解得k＝－1或k＝－，所以直线方程为y＝－x或y＝－x＋.
答案：y＝－x或y＝－x＋
14．解：(1)如图，A(1,1)，B(5，1)，可知直线AB平行于x轴，已知点C在x轴上且∠CAB＝，可知直线AC与x轴非负半轴所夹角度为，即直线AC的倾斜角为，故直线AC的斜率kAC＝tan＝－1.
(2)由(1)可知kAC＝－1，可得直线AC的方程为y－1＝－1(x－1)，即lAC：x＋y－2＝0，
将y＝0代入，即求得C点坐标为(2,0)．
已知B(5,1)，kBC＝＝，
可得直线BC的方程为y－0＝(x－2)，
化简得lBC：x－3y－2＝0.
15．解：由题意，得当－10，
如图所示，要满足题意，只需点A(－1，－m＋1)，B(1，m＋1)在x轴上方或在x轴上即可，
所以解得－1≤m≤1，
故实数m的取值范围是[－1,1]．
