1.3.3 直线方程的一般式
课时目标
1.了解直线方程的一般式的形式特征，理解直线方程的一般式与二元一次方程的关系.
2.能正确地进行直线方程的一般式与特殊形式的方程的转化.
3.能运用直线方程的一般式解决有关问题.
1.直线方程的一般式
关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B__________)表示的是__________，称它为直线方程的一般式.
2.直线方程的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
微点助解
求直线方程的一般式的策略
(1)当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程.
(2)在求直线方程时，设方程的一般式有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何直线方程都能表示为一般式.( )
(2)任何一条直线方程的一般式都能与其他四种形式互化.( )
(3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线.( )
(4)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线.( )
2.直线x＋y＋1＝0的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3.[多选]直线l在平面直角坐标系中的位置如图，已知l∥x轴，则直线l的方程可以用下面哪种形式写出( )
A.点斜式 B.斜截式
C.截距式 D.一般式
4.经过点A(8，－2)，斜率为－2的直线方程为 ( )
A.x＋2y－4＝0 B.x－2y－12＝0
C.2x＋y－14＝0 D.x＋2y＋4＝0
题型(一) 求直线方程的一般式
[例1] 根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式.
(1)斜率是－，且经过点A(8，－6)；
(2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3；
(3)经过点(3，－5)，且一个方向向量为a＝(2,4).
听课记录：
[方法技巧] 求直线方程的一般式策略
(1)直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0中要求A，B不同时为0.
(2)由直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式去分母、移项就可以转化为直线方程的一般式(化为方程的一般式后原方程的限制条件就消失了)；反过来，也可以由直线方程的一般式化为斜截式、截距式，注意斜截式、截距式的适用条件.
(3)解决与图象有关的问题时，常通过把直线方程的一般式化为斜截式，利用直线的斜率和纵截距作出判断.
[针对训练]
1.根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式.
(1)经过点A(8，－2)，斜率是－；
(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；
(3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4).
题型(二) 由截距、斜率求参数值
[例2] 设直线l的方程为(m2－m－6)x＋(3m2＋5m－2)y＝3m＋6(m∈R，m≠－2)，根据下列条件分别求m的值.
(1)l在x轴上的截距是－4；
(2)l的斜率为.
听课记录：
[变式拓展]
1.若本例中直线l的倾斜角为45°，试求m的值.
2.若本例中直线l在x轴和y轴上的截距相等，试求m的值.
3.本例中当直线l垂直于y轴时，试求m的值.
(1)求一般式表示的直线的斜率与其在y轴上的截距，可将其化为斜截式，求其在x轴上的截距，可令y＝0，解出x即为所求.
(2)涉及字母参数时，注意分母为零的讨论.
题型(三) 直线方程的一般式的应用
[例3] 已知直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)，直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点.
(1)证明：直线l过定点；
(2)已知点P(－1，－2)，当·最小时，求实数m的值.
听课记录：
含参直线方程的研究策略
(1)明确各种形式方程的系数的几何意义.如点斜式中的斜率k和定点(x0，y0)，斜截式中的斜率k和y轴上的截距b，两点式中的两点坐标，截距式中x轴和y轴上的截距a，b.
(2)对已知方程进行必要的转化.
[针对训练]
2.已知直线l：ax＋(1－2a)y＋1－a＝0.
(1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时，求实数a的值；
(2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围.
直线方程的一般式
?课前环节
1.不全为0 一条直线
[基点训练]
1.(1)√ (2)× (3)× (4)×
2.选B 设直线的倾斜角为α，则直线斜率k＝－＝tan α，因为α∈[0，π)，则α＝，故选B.
3.ABD 4.C
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解：(1)根据点斜式可得直线方程为
y＋6＝－(x－8)，化简可得x＋2y＋4＝0.
(2)根据截距式可得直线方程为＋＝1，化简可得2x－y－3＝0.
(3)由直线的方向向量为a＝(2,4)，可得直线的斜率k＝2，所以所求直线方程为y＋5＝2(x－3)，即2x－y－11＝0.
[针对训练]
1.解：(1)由点斜式写出直线方程y＝－(x－8)－2＝－x＋2，其一般式为x＋2y－4＝0.
(2)由点斜式写出直线方程
y＝0×(x－4)＋2＝2，其一般式为y－2＝0.
(3)由两点式写出直线方程
＝ ＝，
其一般式为x＋y－1＝0.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)令y＝0，得x＝，
由＝－4，解得m＝.
(2)直线l的斜率k＝－＝－.
由－＝，解得m＝.
[变式拓展]
1.解：由k＝－＝tan 45°，
即3－m＝3m－1，得m＝1.
2.解：当x＝0时，y＝＝，
当y＝0时，x＝，
则＝，即m＝－1.
3.解：由直线l的斜率k＝－＝0，
得m＝3.
[题型(三)]
[例3] 解：(1)证明：已知直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)，则(x－2y)m＋2x－y－3＝0，由解得即直线l过定点(2,1).
(2)设直线的方程为＋＝1，a>0，b>0，则A(a,0)，B(0，b)，又直线l过定点(2,1)，
所以＋＝1.又点P(－1，－2)，则·＝(a＋1,2)·(1，b＋2)＝a＋2b＋5＝(a＋2b)＋5＝9＋＋≥9＋2＝13，当且仅当＝，即a＝4，b＝2时取等号，所以直线l的方程为x＋2y－4＝0，所以直线l过(4,0)，即4(m＋2)－3＝0，解得m＝－.
[针对训练]
2.解：(1)由条件知，a≠0且a≠，在直线l的方程中，令y＝0得x＝，
令x＝0得y＝，∴＝×3，
解得a＝1或a＝，
经检验，a＝1，a＝均符合要求，故实数a的值为1或.
(2)当a＝时，直线l的方程为x＋＝0.
即x＝－1，此时直线l不通过第四象限；
当a≠时，直线l的方程为y＝x＋.
直线l不通过第四象限，即
解得
综上所述，当直线l不通过第四象限时，实数a的取值范围为.(共64张PPT)
直线方程的一般式
(强基课—梯度进阶式教学)
1.3.3
课时目标
1.了解直线方程的一般式的形式特征，理解直线方程的一般式与二元一次方程的关系．
2．能正确地进行直线方程的一般式与特殊形式的方程的转化．
3．能运用直线方程的一般式解决有关问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1．直线方程的一般式
关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B___________)表示的是__________，称它为直线方程的一般式．
2．直线方程的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
不全为0
一条直线
基点训练
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何直线方程都能表示为一般式． ( )
(2)任何一条直线方程的一般式都能与其他四种形式互化． ( )
(3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线． ( )
(4)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示为一条直线．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
√
3.[多选]直线l在平面直角坐标系中的位置如图，已知l∥x轴，则直线l的方程可以用下面哪种形式写出( )
A．点斜式 B．斜截式
C．截距式 D．一般式
√
√
√
4．经过点A(8，－2)，斜率为－2的直线方程为( )
A．x＋2y－4＝0 B．x－2y－12＝0
C．2x＋y－14＝0 D．x＋2y＋4＝0
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 求直线方程的一般式
(3)由直线的方向向量为a＝(2,4)，可得直线的斜率k＝2，所以所求直线方程为y＋5＝2(x－3)，即2x－y－11＝0.
求直线方程的一般式策略
(1)直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0中要求A，B不同时为0.
(2)由直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式去分母、移项就可以转化为直线方程的一般式(化为方程的一般式后原方程的限制条件就消失了)；反过来，也可以由直线方程的一般式化为斜截式、截距式，注意斜截式、截距式的适用条件．
(3)解决与图象有关的问题时，常通过把直线方程的一般式化为斜截式，利用直线的斜率和纵截距作出判断．
方法技巧
针对训练
题型(二) 由截距、斜率求参数值
1．若本例中直线l的倾斜角为45°，试求m的值．
变式拓展
2．若本例中直线l在x轴和y轴上的截距相等，试求m的值．
3．本例中当直线l垂直于y轴时，试求m的值．
(1)求一般式表示的直线的斜率与其在y轴上的截距，可将其化为斜截式，求其在x轴上的截距，可令y＝0，解出x即为所求．
(2)涉及字母参数时，注意分母为零的讨论．
方法技巧
题型(三) 直线方程的一般式的应用
解：(1)证明：已知直线l：(m＋2)x－(2m＋1)y－3＝0(m∈R)，
则(x－2y)m＋2x－y－3＝0，
则A(a,0)，B(0，b)，
又直线l过定点(2,1)，
即a＝4，b＝2时取等号，
所以直线l的方程为x＋2y－4＝0，所以直线l过(4,0)，
方法技巧
含参直线方程的研究策略
(1)明确各种形式方程的系数的几何意义．如点斜式中的斜率k和定点(x0，y0)，斜截式中的斜率k和y轴上的截距b，两点式中的两点坐标，截距式中x轴和y轴上的截距a，b.
(2)对已知方程进行必要的转化．
针对训练
2．已知直线l：ax＋(1－2a)y＋1－a＝0.
(1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时，求实数a的值；
(2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围．
课时跟踪检测
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解析：因为方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，
所以2m2＋m－3＝0，m2－m＝0不能同时成立，解得m≠1.
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4．如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B．第二象限
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5．若直线a2x＋y－1＝0的斜率大于－4，则a的取值范围为( )
A．(－2,2) B．(－2,0)∪(0,2)
C．(－∞，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
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解析：直线a2x＋y－1＝0，即y＝－a2x＋1，
则直线的斜率为－a2，
即－a2>－4，
解得－2所以a的取值范围为(－2,2)．
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6．直线l经过点P(－2，－1)且一个方向向量为n＝(6,8)，则直线l方程的一般式为______________．
解析：因为直线l的一个方向向量为n＝(6,8)，
4x－3y＋5＝0
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7．若直线的斜率k与直线在y轴上的截距b相等，则该直线一定经过的点是________．
解析：设直线方程为y＝kx＋b，
∵k＝b，
∴y＝kx＋k＝k(x＋1)，
当x＝－1时，y＝0，
∴该直线一定经过的点是(－1,0)．
(－1,0)
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8．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________．
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10．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值．
(1)在x轴上的截距为1；
(2)斜率为1；
(3)经过定点P(－1，－1)．
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解：(1)∵直线过点P′(1,0)，
∴m2－2m－3＝2m－6，
解得m＝3或m＝1，
又∵m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，∴m＝1.
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因为l经过第四象限，
13．关于x，y的方程a2x－ay－1＝0(a≠0)表示的直线(图中实线)可能是( )
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对于C，直线的斜率和它在y轴上的截距都是负数，不满足题意，所以排除C；
对于D，直线的斜率小于－1，它在y轴上的截距大于零小于1，能满足条件，所以D可能成立．故选D.
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14．已知点M(－1,2)，N(2,3)，直线l：mx＋y－m＋2＝0与线段MN有交点，则m的取值范围为__________________________．
(－∞，－5]∪[2，＋∞)
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解析：因为l：mx＋y－m＋2＝0 y＋2＝－m(x－1)，
即直线l过定点Q(1，－2)，
斜率为－m，
如图所示，所以－m≤－2或－m≥5，解得m≥2或m≤－5.
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(2)由题意可知，直线l2的斜率存在且不为零，
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2课时跟踪检测(五) 直线方程的一般式
A级——综合提能
1.直线＋＝1化成方程的一般式为( )
A.y＝－x＋4 B.y＝－(x－3)
C.4x＋3y－12＝0 D.4x＋3y＝12
2.若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满足( )
A.m≠0 B.m≠－
C.m≠1 D.m≠1，m≠，m≠0
3.经过点(1，)，倾斜角为120°的直线方程为( )
A.x＋y－2＝0 B.x－y＝0
C.x＋y－4＝0 D.x－y＋2＝0
4.如果AC<0，BC>0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.若直线a2x＋y－1＝0的斜率大于－4，则a的取值范围为( )
A.(－2,2) B.(－2,0)∪(0,2)
C.(－∞，2) D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
6.直线l经过点P(－2，－1)且一个方向向量为n＝(6,8)，则直线l方程的一般式为______________.
7.若直线的斜率k与直线在y轴上的截距b相等，则该直线一定经过的点是________.
8.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________.
9.根据下列条件，写出直线方程的一般式：
(1)经过点(0,2)，且倾斜角为；
(2)经过点(2,1)，在x，y轴上有不为0且相等的截距.
10.设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值.
(1)在x轴上的截距为1；
(2)斜率为1；
(3)经过定点P(－1，－1).
B级——应用创新
11.已知直线l的斜率与直线3x＋4y－5＝0的斜率相等，且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24，则直线l的方程是( )
A.3x＋4y－12＝0 B.3x＋4y＋12＝0
C.3x＋4y－24＝0 D.3x＋4y＋24＝0
12.若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值范围为( )
A.(－∞，0)∪(2，＋∞)
B.(－∞，0)∪[2，＋∞)
C.(－∞，0)∪
D.(－∞，0)∪
13.关于x，y的方程a2x－ay－1＝0(a≠0)表示的直线(图中实线)可能是( )
14.已知点M(－1,2)，N(2,3)，直线l：mx＋y－m＋2＝0与线段MN有交点，则m的取值范围为________________.
15.已知直线l1：x＋y＋4－3m＝0.
(1)求证：无论m为何实数，直线l1恒过一定点M；
(2)若直线l2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小，求直线l2的方程.
课时跟踪检测(五)
1．选C 由＋＝1可得4x＋3y＝12，即4x＋3y－12＝0.
2．选C 因为方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，所以2m2＋m－3＝0，m2－m＝0不能同时成立，解得m≠1.
3．选A 因为直线斜率为tan 120°＝－，所以该直线方程为y－＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
4．选B 因为AC<0，且BC>0，所以A，B，C均不为零，由直线方程Ax＋By＋C＝0，可化为y＝－x－，因为AC<0，且BC>0，可得k＝－>0，y轴截距－<0，所以直线通过第一、三、四象限，不通过第二象限．
5．选A 直线a2x＋y－1＝0，即y＝－a2x＋1，则直线的斜率为－a2，即－a2>－4，解得－26．解析：因为直线l的一个方向向量为n＝(6,8)，所以直线l的斜率为k＝，由点斜式得直线l的方程为y＋1＝(x＋2)，即4x－3y＋5＝0.
答案：4x－3y＋5＝0
7．解析：设直线方程为y＝kx＋b，∵k＝b，
∴y＝kx＋k＝k(x＋1)，当x＝－1时，y＝0，∴该直线一定经过的点是(－1,0)．
答案：(－1,0)
8．解析：由已知得∴m＝3.
答案：3
9．解：(1)由题意可知该直线的斜率为k＝tan＝，在纵轴上的截距为b＝2，所以该直线方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.
(2)由题意可设该直线在两坐标轴上的截距为m(m≠0)，由截距式可得其方程为＋＝1，
代入点(2,1)得＋＝1，解得m＝3，故直线方程为x＋y－3＝0.
10．解：(1)∵直线过点P′(1,0)，
∴m2－2m－3＝2m－6，解得m＝3或m＝1，
又∵m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，∴m＝1.
(2)由斜率为1，得
解得m＝.
(3)直线过定点P(－1，－1)，则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，解得m＝或m＝－2.
11．选C 直线3x＋4y－5＝0的斜率为－，可设l的方程为y＝－x＋b.令y＝0，得x＝b，由题可知·|b|＝24，得b＝±6，由于直线l在第一象限与坐标轴围成三角形，所以b＝6，所以选C.
12．选C 若a＝0，则l的方程为x＝－，不经过第四象限．若a＝2，则l的方程为y＝－，经过第四象限．若a≠0且a≠2，将l的方程转化为y＝－x－，因为l经过第四象限，所以－<0或解得a<0或2.综上，a的取值范围为(－∞，0)∪，故选C.
13．选D 关于x，y的方程a2x－ay－1＝0(a≠0)表示的是直线，且直线的斜率为a，在y轴上的截距为－，直线的斜率和它在y轴上的截距的乘积为－1.对于A，直线的斜率和它在y轴上的截距都是正数，不满足题意，所以排除A；对于B，直线的斜率小于1，它在y轴上的截距大于－1小于零，不满足题意，所以排除B；对于C，直线的斜率和它在y轴上的截距都是负数，不满足题意，所以排除C；对于D，直线的斜率小于－1，它在y轴上的截距大于零小于1，能满足条件，所以D可能成立．故选D.
14．解析：因为l：mx＋y－m＋2＝0 y＋2＝－m(x－1)，即直线l过定点Q(1，－2)，斜率为－m，因为kQM＝＝－2，kQN＝＝5，如图所示，所以－m≤－2或－m≥5，解得m≥2或m≤－5.
答案：(－∞，－5]∪[2，＋∞)
15．解：(1)证明：将直线l1的方程化为
m(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0，
解方程组解得
故直线l1恒过定点M.
(2)由题意可知，直线l2的斜率存在且不为零，
设直线l2的方程为y＋2＝k，
令x＝0，可得y＝k－2，令y＝0，可得x＝－1，
由已知可得解得k<0，
所以三角形面积为
S＝＝≥＝4，当且仅当k＝－2时，等号成立，此时直线l2的方程为y＋2＝－2，即2x＋y＋4＝0.