(共17张PPT)
第十八章 分式
第5课 分式的加法与减法(1)
同分母分式相加减
同分母分式相加减，分母 ，把分子相加减.用式子表示为
± ＝ .
(教材P152)计算：
(1) ＋ ＝ ； (2) － ＝ ；
不变
2
(3) － ＝ ； (4) ＋ ＝ .
1
(2024·广西模拟)化简： － .
解：原式＝ ＝ ＝ ＝x.
计算：
(1) ＋ ；
解：原式＝
＝
＝x.
(2) ＋ .
解：原式＝
＝
＝x＋2.
化简 － 的结果是
( B )
A. a＋b
B. a－b
C.
D.
B
同分母分式(以及可以转化为同分母的分式)相加减的一般步骤：
(1)分母不变，把分子相加减，若分子是多项式，则添加括号后相
加减；
(2)分子去括号，合并同类项；
(3)把结果化成最简分式或整式.
异分母分式相加减(分母为单项式)
异分母分式相加减，先 ，变为同分母的分式，再加减.用式
子表示为 ± ＝ ± ＝ .
通分
计算：
(1) － ；
解：原式＝ －
＝ .
(2) ＋ .
解：原式＝ ＋
＝ .
计算：
(1) ＋ ；
解：原式＝ ＋
＝ .
(2) － .
解：原式＝ －
＝ .
基础过关
1. (2024·桂林二模)计算 ＋ 的结果为
( C )
A. B. 1 C. x D. －x
C
2. 化简 ＋ 的结果是
( A )
A. B. 0 C. 2 D.
A
3. 计算 ＋ 的结果为
( D )
A. 1 B. 2 C. D.
D
4. 化简 ＋ 的结果是
( D )
A. B. C. D.
D
5. 计算：
(1) － ；
解：原式＝
＝
＝2.
(2) － .
解：原式＝
＝
＝－x－1.
6. 计算：
(1) － ；
解：原式＝ －
＝ .
(2) ＋ .
解：原式＝ －
＝
＝
＝2x＋3.
能力过关
7. 已知公式 ＝ ＋ ，其中R，R1，R2均不为零，且R1＋R2≠0.
若用含有R1，R2的式子表示R，则R为
( D )
A. R1＋R2 B.
C. D.
D
8. 已知ab＝3，a＋b＝4.求 ＋ 的值.
解： ＋ ＝ ＝ .
将ab＝3，a＋b＝4代入，得原式＝ ＝ .
思维过关
9. (类比思想)观察下列各式的变形规律：
＝1－ ， ＝ － ， ＝ － ，…
解答下面的问题：
(1)若n为正整数，则 ＝ － ，并证明.
证明： － ＝ － ＝ .
－
(2)计算： ＋ ＋ ＋…＋ .
解：原式＝1－ ＋ － ＋ － ＋…＋ －
＝1－
＝ .(共15张PPT)
第十八章 分式
第7课 分式的混合运算
分式混合运算的顺序
先算乘方，再算 ，最后算 ，有括号先算括号里
面的.
乘除
加减
解：原式＝ · ＋
＝ ＋
＝ .
计算：
÷ ＋ .
计算：
1－ ÷ .
解：原式＝1－ ·
＝1－
＝－ .
计算：
()2÷ ＋ · .
解：原式＝ · ＋ ·
＝ ＋
＝ ＋
＝ .
计算：
·()2－ ÷ .
解：原式＝ · － ·2(y－2x)
＝ － ＝ －
＝
＝－1.
计算：
(＋ )÷ .
解：原式＝ ·
＝ ·
＝－ .
计算：
÷(1－ ).
解：原式＝ ÷(－ )
＝ ÷ ＝ ·
＝ .
(教材P155)计算：
·(x＋2－ ).
解：原式＝ ·
＝ ·
＝3x(x＋3)
＝3x2＋9x.
计算：
(－x＋1)÷ .
解：原式＝ ·
＝ ·
＝ ·
＝－x2－x.
基础过关
1. 化简(1－ )÷ 的结果是
( C )
A. a＋1 B.
C. D.
C
2. 计算 ＋(－ )÷(－ )2的结果是 .
能力过关
3. 先化简，再求值： － ÷ ，从1，2中选取一个合适
的数作为a的值代入求值.
解：原式＝ － ·
＝ － ＝ .
∵a－1≠0，a＋1≠0，∴a≠±1.
∴当a＝2时，原式＝ ＝2.
4. 先化简，再求值：(－ )÷ ，其中x＝－3.
解：原式＝ ÷
＝ ÷
＝ ·
＝ .
当x＝－3时，原式＝ ＝3.
思维过关
5. 已知 ＝ ，求(＋1)÷ 的值.
解：原式＝ ·
＝ · ＝ .
∵ ＝ ，∴2n＝3m.
∴原式＝ ＝ ＝2.
6. 已知T＝(m＋ )· .
(1)化简T；
解：T＝ ·
＝ ·
＝m(m＋2)
＝m2＋2m.
(2)若m2＋2m－3＝0，求T的值.
解：∵m2＋2m－3＝0，
∴m2＋2m＝3.
∴T＝m2＋2m＝3.(共17张PPT)
第十八章 分式
第3课 分式的乘法与除法(1)
计算：
(1) × ＝ ；(2) ÷ ＝ × ＝ .
分式的乘法
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积
作为积的分母.用式子表示为 · ＝ .
(1) · ；
解：原式＝
＝ .
(教材P146)计算：
(2) · .
解：原式＝ ·
＝
＝ .
计算：
(1)－ ·(－ )；
解：原式＝ ·
＝
＝ .
(2) · .
解：原式＝ ·
＝
＝ .
分式的除法
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，
与被除式 .用式子表示为 ÷ ＝ · ＝ .
相乘
·
(教材P146)计算：
(1) ÷ ；
解：原式＝ ·
＝
＝ .
(2) ÷ .
解：原式＝ ·
＝
＝－ .
计算：
(1) ÷ ；
解：原式＝ ·
＝
＝ .
(2) ÷ .
解：原式＝ ·
＝
＝ .
进行分式的乘除运算时，当分子、分母是多项式，且可以因式分解
时，通常先分解因式再约分.
基础过关
1. 化简 · 的结果为
( C )
A. B. C. D.
C
2. 计算(x2－xy)÷ 的结果是
( A )
A. x2 B. x2－y C. (x－y)2 D. x
A
3. 计算：
(1) · ；
解：原式＝
＝ .
(2)－3x2y÷ .
解：原式＝－3x2y·
＝－
＝－4y2.
4. 计算：
÷ .
解：原式＝ ·
＝ .
能力过关
5. 化简 · 的结果是 .
6. (1)若 ÷A＝ ，则A＝ ；
(2)若 ·A＝ ，则A＝ .
a
2x－3
7. 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m t.现在改用喷灌方式，
可使同样m t的水量多用5天.漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天
用水量的
( D )
A. B. C. D.
D
8. 一条船往返于水路相距100 km的A，B两地之间，已知水流的速
度是2 km/h，船在静水中的速度是x km/h(x＞2)，那么船在往返一次
过程中，顺水航行的时间与逆水航行的时间比是 .
思维过关
9. (数形结合思想)如图，A玉米试验田是半径为R m(R＞1)的圆去掉
宽为1 m的出水沟后剩下的部分，B玉米试验田是半径为R m的圆中
间去掉半径为1 m的圆后剩下的部分，两块试验田的玉米都收了450
kg.问：
(1)哪块试验田的单位面积产量高？
解：根据题意，可知A玉米试验田的面积是π(R－1)2m2，单位面积
产量是 kg/m2；B玉米试验田的面积是π(R2－12)m2，单位面积
产量是 kg/m2.∵(R2－12)－(R－1)2＝2(R－1)＞0，
∴0＜(R－1)2＜R2－12.
∴ ＜ .
∴A玉米试验田的单位面积产量高.
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解： ÷
＝ ×
＝ ，
∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍.(共11张PPT)
第十八章 分式
第12课 分式方程的应用(1)——
工程问题
工程问题：工作时间＝ .
利用分式方程解决工程问题
t1＝t2
(教材P168)已知甲做360个零件与乙做480个零件所用的时
间相同，两人每天共做140个零件，则甲每天做多少个零件？
解：设甲每天做x个零件.根据题意，得 ＝ .
解得x＝60.检验：当x＝60时，x(140－x)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝60.答：甲每天做60个零件.
随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的
交通工具，现在平均每人每周比原来多投递快件80件，若快递公司
的快递员人数不变，公司投递快件的能力由每周3 000件提高到4 200
件，则原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投
递快件x件，根据题意可列方程为 .
＝
t1－t2＝时间差
(教材P173)(2024·南宁期末)水退清淤不停歇，“洁”尽全
力护家园.郁江2024年第1号洪水退水后，南宁市市政和园林管理局
开展邕江沿岸清淤工作.该工作采用了人工冲洗和设备冲洗结合的方
式，一台设备的工作效率相当于一名工人工作效率的10倍，用这台
设备清理淤泥面积6 000 m2比5名工人清理这些淤泥少用20 h.设一名
工人每小时清理淤泥面积x m2，可列方程为
( B )
A. －20＝ B. ＝ －20
C. ＋20＝5× D. ＝5× ＋20
B
在绿美城市建设中，某县计划在道路两侧种植900棵树，
受雨水天气的影响，实际劳动中平均每小时植树的数量比原计划少
了10％，结果晚4 h完成任务.求原计划每小时植树的数量.
解：设原计划每小时植树x棵，则实际每小时植树(1－10％)x棵.
由题意，得 － ＝4.
解得x＝25.检验：当x＝25时，(1－10％)x≠0.
所以，原分式方程的解为x＝25.
答：原计划每小时植树的数量为25棵.
t1＋t2＝总时间
某市为了治理城市污水污染，需要铺设一段全长为300 m
的污水排放管道.铺设120 m后，为了尽可能减少施工对城市交通造
成的影响，施工队每天的工作量是原计划的1.2倍，结果共用了27天
完成了这一任务，则原计划每天铺设管道 m.
某服装厂准备加工380套运动装，在加工完160套后，采用
了新技术，使得工作效率比原计划提高了10％，结果共用了18天完
成任务，原计划每天加工服装 套.
10
20
基础过关
1. 乡村振兴，交通先行.某村准备修一条5 400 m长的道路，在修建
600 m后，由于采用新的修建技术，这样每天修建道路长度是原来的
2倍，共用15天就完成了全部任务，求原来每天修建道路多少米.
解：设原来每天修建道路x m.
根据题意，得 ＋ ＝15.解得x＝200.
检验：当x＝200时，2x≠0.所以，原分式方程的解为x＝200.
答：原来每天修建道路200 m.
能力过关
2. 无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行
病虫害防治，可以提高效率.已知使用无人机每小时对茶园打药的作
业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对
600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20 h，求使用
无人机每小时对茶园打药的作业面积.
解：设人工每小时对茶园打药的作业面积为x亩，则使用无人机每小
时对茶园打药的作业面积为6x亩.根据题意，得 － ＝20.
解得x＝10.检验：当x＝10时，6x≠0.所以，
原分式方程的解为x＝10.∴6x＝60.
答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积为60亩.
思维过关
3. 在某市“创文”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担.已
知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，
乙工程队参与工作，两队又共同工作了36天完成.
(1)乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
解：设乙工程队单独完成这项工作需要x天.
由题意，得 ＋36×(＋ )＝1.解得x＝80.
检验：当x＝80时，120x≠0.所以，原分式方程的解为x＝80.
答：乙工程队单独完成这项工作需要80天.
(2)因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了a天
完成，乙做另一部分用了b天完成.若乙工程队还有其他工作任务，
最多只能做52天，则甲工程队至少应做多少天？
解：由题意，得 ＋ ＝1.解得b＝80－ a.
∵b≤52，∴80－ a≤52.解得a≥42.
答：甲工程队至少应做42天.(共16张PPT)
第十八章 分式
第8课 整数指数幂
已知m，n为正整数，则(1)am·an＝ ；
(2)(am)n＝ ；(3)(ab)m＝ .
am＋n
amn
ambm
负整数指数幂的运算
一般地，当n是正整数时，a－n＝ (a≠0).
(教材P161)计算：
(1)3－2＝ ＝ ；
(2)(－3)－2＝ ＝ ；
(3) ＝ ＝ ；
(4) ＝ ＝ .
32
9
(－3)2
9
已知a＝(－4)－2，b＝ ，c＝ ，则下列关于
a，b，c的大小关系正确的是
( C )
A. a＞b＞c B. c＞b＞a
C. b＞c＞a D. b＞a＞c
计算：
(－2)2＋(－ )0＋(－ )－2－ .
解：原式＝4＋1＋4－3
＝6.
C
计算：
(－1)－2 025＋(2 025－π)0－ ＋(－2)3.
解：原式＝－1＋1－ －8
＝－ .
整数指数幂的运算
整数指数幂的运算性质(ab≠0，m，n是整数)：
(1)am·an＝ am+n ； (2)(am)n＝amn； (3)(ab)n＝anbn.
(教材P160)计算：
(1)a2·a－3＝ ； (2)x－5÷x2＝ ；
(3)(a－3b2)2＝ ； (4)(x－1y3)－2＝ ；
(5)()－2＝ .
计算：
(1)x－4·x－1＝ ；
(2)x4÷x－7＝ ；
(3)(x2)－3＝ ；
(4)(2x－1)－2＝ ；
(5)()2＝ .
x11
x2
x2y6
(教材P161)计算：
(1)x－1y2·(x2y－2)－1；
解：原式＝x－1y2·x－2y2
＝x－3y4
＝ .
(2)(3xy－1)2÷(x－3y3)2.
解：原式＝9x2y－2÷x－6y6
＝9x8y－8
＝ .
计算：
(1)x2y－3·(x－1y)3；
解：原式＝x2y－3·x－3y3
＝x－1
＝ .
(2)(2ab2c－3)－2÷(a－2b)3.
解：原式＝ a－2b－4c6÷a－6b3
＝ a4b－7c6
＝ .
基础过关
1. 若(2x＋5)－3有意义，则x满足的条件是
( B )
A. x＞－ B. x≠－
C. x≠0 D. x＜－
B
2. 若a＝－52，b＝(－ )0，c＝(－ )－2，则下列大小关系正确的
是
( D )
A. a＞b＞c
B. a＞c＞b
C. b＞c＞a
D. c＞b＞a
D
3. 已知3m＝ ，2－n＝16，则mn的值是 .
4. 计算：()－1＋ －(π－2)0－(－3)－2.
解：原式＝5＋ －1－
＝4.
能力过关
5. 若 －1＜x＜0，则x－1，x，x2的大小关系是
( B )
A. x2＜x－1＜x
B. x－1＜x＜x2
C. x2＜x＜x－1
D. x＜x－1＜x2
B
6. 化简，并将结果化为仅含正整数指数幂的形式：
·xy÷(－2x－2y).
解：原式＝4x2y－2·xy÷(－2x－2y)
＝4x3y－1÷(－2x－2y)
＝－2x5y－2
＝－ .
思维过关
7. (新定义问题)已知实数a，b，定义运算：
a*b＝ 若(a－2)*(a＋1)＝1，求a的值.
解：∵a－2＜a＋1，
∴(a－2)*(a＋1)＝(a－2)－(a＋1)＝1.∴(a－2)a＋1＝1.
则a－2＝1或a－2＝－1(a＋1为偶数)或a＋1＝0(a－2≠0).
解得a＝3或a＝1或a＝－1.
故a的值为3或1或－1.(共13张PPT)
第十八章 分式
第1课 从分数到分式
1. 若长方形的面积为20 cm2，长为9 cm，则宽为 cm；若长方
形的面积为S，长为a，则宽为 .
2. 一辆汽车以60 km/h的速度行驶83 km，行驶的时间是 h；
若汽车行驶的路程为s，速度为v，则汽车行驶的时间为 .
分式的概念
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有 ，那么式
子 叫作分式.在分式 中，A叫作 ，B叫作 .
字母
分子
分母
下列式子中属于分式的有 ，属于整式的有
(填序号).
①－ ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥2－ .
π是一个常数.
②④⑥
①
③⑤
下列不是分式的是
( D )
A. ＋1 B. C. D.
D
分式有意义的条件
(1)分式的 不为0，即当B≠0时，分式 有意义；
(2)分式的分母等于0，即当 时，分式 无意义.
分母
B＝0
(教材P139)下列分式中的字母满足什么条件时分式有
意义？
(1) ；
解：要使分式 有意义，则分母2x≠0，即x≠0.
(2) ；
解：要使分式 有意义，则分母4－2x≠0，即x≠2.
(3) .
解：要使分式 有意义，则分母2y－6x≠0，即y≠3x.
(1)若分式 无意义，则a的值是 － ；
(2)要使分式 有意义，则x应满足 ；
(3)要使分式 有意义，则x应该满足 .
－
x≠－1且x≠2
x≠－1
(1)当x＝ 时，分式 的值为0；
(2) 当x＝ 时，分式 的值为0；
(3)当x＝ 时，分式 的值为0.
1
－2
－3
分式的值为0的条件
当A＝0且B≠0时，分式 的值为0.
(1)当x 时，分式 有意义；
(2)如果分式 的值为0，那么x的值是 .
≠1
1
基础过关
1. 在 ， ， ， ， ， 中，分式的个数为
( D )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
2. 当x＝1时，下列分式没有意义的是
( B )
A. B. C. D.
3. (2024·贵港期末)分式 的值是零，则x的值为
( D )
A. 2 B. 5 C. －2 D. －5
B
D
4. 若分式 有意义，则a的取值范围是 .
a≠3
能力过关
5. 若分式 无意义，则x的值为 .
6. 对于分式 ，当x 时，分式有意义；当x
时，分式的值为0.
±3
≠3
＝－3
思维过关
7. 下列关于分式的判断，正确的是
( A )
A. 当x＝2时， 无意义
B. 当x≠3时， 有意义
C. 当x＝－1时， 值为0
D. 无论x为何值， 的值总为正数
A
8. 已知当x＝－2时，分式 无意义，当x＝4时，此分式的值为
0，求a＋b的值.
解：∵当x＝－2时，分式 无意义，当x＝4时，
此分式的值为0，∴ 解得
∴a＋b＝2＋4＝6.(共14张PPT)
第十八章 分式
第4课 分式的乘法与除法(2)
计算：
(1)(ab)n＝ ； (2)(5x)2＝ ；
(3)(3a3)2＝ ； (4) ＝ .
anbn
25x2
9a6
分式的乘方
一般地，当n是正整数时， ＝ .这就是说，分式乘方要把分
子、分母 .
分别乘方
(教材P149)计算：
(1) ＝ ＝ ；
(2) ＝ ＝ .
计算：
(1) ；
解：原式＝ ＝ .
(2) .
解：原式＝ ＝－ .
当分式的分子或分母是多项式时，要给多项式加上括号，作为一个
整体再乘方.
分式的乘方、乘法与除法的混合运算
(教材P150)计算：
(1) · ÷ ；
解：原式＝ · ·
＝ .
(2) ÷ · .
解：原式＝ ÷ ·
＝－ · ·
＝－ .
计算：
(1) ÷ · ；
解：原式＝ · ·
＝ x2.
(2)()3÷(－ )2· .
解：原式＝ ÷ ·
＝ · ·
＝－ .
(1)当一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘
方，再算乘除；
(2)在运算过程中，可以灵活运用交换律、结合律、分配律；
(3)结果中分子或分母的系数是负数时，一般要把分子或分母本身的
“－”提到分式的前面；
(4)分式的运算与分数的运算一样，结果必须是最简形式.
基础过关
1. 下列各式从左到右的变形正确的是
( D )
A. (－ )2＝ B. ＝
C. (－ )3＝(－ )2 D. (－ )2＝
D
2. (1)化简()2· 的结果是 ；
(2)化简 ÷()2的结果是 .
3. 计算 ÷ 的结果是
( B )
A. B. y2 C. y4 D. x2y2
B
4. 计算12a2b4·(－ )÷(－ )的结果是
( D )
A. －9a B. 9a C. －36a D. 36a
D
能力过关
5. 计算：
(1)()2÷(－ )· ；
解：原式＝－ · ·
＝－ .
(2) ÷ ÷(x－1)2.
解：原式＝ · ·
＝ .
6. 小明在做一道化简求值题(xy－x2)÷ · 时，不小心把
条件x＝2 025 错抄成了x＝2 205，你说他能算出这道题的正确结果
吗？为什么？
解：能.理由如下：
∵原式＝x(y－x)· · ＝－y，
∴这道题的结果与x的取值无关.
∴他能算出这道题的正确结果.
思维过关
7. 已知A＝ · ÷ .
(1)化简A，并从±2中选一个合适的数作为a的值代入求值；
解：A＝ · ·(a－1)＝a－2.
∵当a＝－2时，分式无意义，
∴a＝2，此时A＝a－2＝0.
(2)若a满足a2－a＝0，求A的值.
解：∵a2－a＝a(a－1)＝0，
∴a＝0或a＝1.
①当a＝0时，A有意义.
将a＝0代入，得A＝0－2＝－2.
②当a＝1时，a－1＝0，则A无意义，不符合题意，舍去.
综上所述，A的值为－2.(共16张PPT)
第十八章 分式
第6课 分式的加法与减法(2)
(1) 和 的最简公分母是 ；
(2) 和 的最简公分母是 .
a2－4
x2－1
异分母分式相加减(分母中含多项式)
(教材P153)计算：
(1) ＋ ；
解：原式＝ ＋
＝ ＝ .
(2) － .
解：原式＝ －
＝ ＝ .
计算：
(1) － ；
解：原式＝ －
＝ .
(2) － .
解：原式＝ －
＝
＝－ .
先化简，再求值： － － ，其中 x＝2 025.
解：原式＝ ＋ －
＝
＝ .
当x＝2 025时，原式＝ ＝－ .
先化简，再求值： ＋ － ，其中x＝1.
解：原式＝ － －
＝
＝－ ＝－ .
当x＝1时，原式＝－ ＝ .
整式与分式相加减
(教材P153)计算： －x－1.
解：原式＝ －
＝
＝ .
计算： －a＋1.
解：原式＝ －
＝ ＝ .
(1)异分母分式相加减，当分式的分子与分母中含有多项式，且可以
因式分解时，注意先分解因式，再通分计算；(2)整式与分式相加
减，将整式化成同分母分式，再计算.
基础过关
1. 计算 － 的结果为
( C )
A. B. C. D.
C
2. 化简 ＋a－2的结果是
( B )
A. 1 B. C. D.
B
3. 计算：
(1) －2x－2y；
解：原式＝ －2x－2y
＝x－y－2x－2y
＝－x－3y.
(2) － .
解：原式＝ －
＝
＝ .
4. 先化简，再求值： ＋ ，其中x＝－2.
解：原式＝ ＋
＝ ＝
＝ .
当x＝－2时，原式＝ ＝3.
能力过关
5. 若 ＝ ＋ ，则A，B的值分别为
( B )
A. 3，－2
B. 2，3
C. 3，2
D. －2，3
B
6. 已知分式A＝ ，B＝ ＋ ，其中 x≠±2，则A与B的关
系是
( B )
A. A＝B
B. A＝－B
C. A＞B
D. A＜B
B
思维过关
7. 【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是
利用“作差法”，即要比较代数式 M，N的大小，只要作出差M－
N：若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N
＜0，则M＜N.
【解决问题】(1)若a＜0，则 0(填“＞”“＝”或
“＜”)；
＞
解：A＞ .理由如下：
A－ ＝ － ＝ － ＝ －
＝ － ＝ ＝－ .
∵x＜－1，∴x＋1＜0.∴－ ＞0.∴A＞ .
(2)已知A＝ ，B＝ ，当x＜－1时，比较A与 的大小，
并说明理由.(共15张PPT)
第十八章 分式
第11课 分式方程的解法(2)
解分式方程(2)
解方程： － ＝ .
解：方程两边乘2(x－3)，得
1－(x－3)＝6.解得x＝－2.
检验：当x＝－2时，2(x－3)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝－2.
解方程： － ＝1.
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得
(x－1)2－3＝(x＋1)(x－1).解得x＝－ .
检验：当x＝－ 时，(x＋1)(x－1)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝－ .
求字母参数的值
关于x的分式方程 ＝ 的解为x＝2，则常数a的值为
( A )
A. －1 B. 1 C. 2 D. 5
已知x＝2是分式方程 ＋ ＝1的解，那么k的值为
( D )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
A
D
若关于x的方程 ＝ 有正数解，则k的取值范围是
( A )
A. k＜2
B. k≠3
C. －3＜k＜－2
D. k＜2且k≠－3
A
若关于x的分式方程 － ＝5的解为非负数，则a的
取值范围为 .
若关于x的分式方程 ＝2＋ 无解，求m的值.
a≤17且a≠7
解：方程两边乘(x－3)，得x－2＝2(x－3)＋m.
∴x－2＝2x－6＋m.∴x＝4－m.
∵该分式方程无解，∴x－3＝0，解得x＝3.
∴4－m＝3，解得m＝1.∴m的值为1.
若关于x的分式方程 ＝m－3无解，求m的值.
解：方程两边乘(2x＋1)，得
m(x＋1)－5＝(2x＋1)(m－3).解得x＝ .
∵关于x的分式方程 ＝m－3无解，
∴6－m＝0或2x＋1＝0.
①当6－m＝0时，m＝6；
②当2x＋1＝0时，x＝－ ，此时 ＝－ ，解得m＝10.
故m的值为6或10.
分式方程无解的两种情况：
(1)将分式方程转化为整式方程后，得到的整式方程无解；
(2)将分式方程转化为整式方程后，得到的整式方程有解，但这个解
使得分式方程中的分母为0(此时该解被称为分式方程的增根).
基础过关
1. 已知x＝2是方程 － ＝1的解，则k的值为
( A )
A. －2 B. 2 C. 1 D. －1
A
2. (2024·梧州期末)已知关于x的方程 ＝3的解是正数，则m的取
值范围为 .
m＜6且m≠4
3. 解方程： ＋2＝ .
解：方程两边乘x(x＋1)，得x＋6＋2x(x＋1)＝2x2.
解得x＝－2.
检验：当x＝－2时，x(x＋1)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝－2.
4. 解方程： － ＝1.
解：方程两边乘(x＋2)(x－2)，得(x－2)2－16＝(x＋2)(x－2).
解得x＝－2.
检验：当x＝－2时，(x＋2)(x－2)＝0.
所以，原分式方程无解.
能力过关
5. 若关于x的方程 － ＝2的解为负数，则m的取值范围
是 .
6. 若关于x的方程 ＝ 有解，则a的值不可能为
( D )
A. 3 B. 2 C. D.
m＜－8
D
7. 已知关于x的分式方程 ＝ 与分式方程 ＝ 的解相同，求
m2－2m的值.
解：方程 ＝ 两边乘2x(x－1)，得3(x－1)＝2x.
解得x＝3.检验：当x＝3时，2x(x－1)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝3.
把x＝3代入 ＝ ，得 ＝ ，解得m＝ .
把m＝ 代入m2－2m，得原式＝()2－2× ＝－ .
8. (易错题)已知关于x的方程 － ＝ 无解，求m的值.
解：当(x＋3)(x－3)＝0时，x＝±3.
方程两边乘(x－3)(x＋3)，得m(x－3)＋(x＋3)＝m＋4.
整理，得(m＋1)x＝1＋4m.∵原分式方程无解，∴m＋1＝0或x＝±3.
①当m＋1＝0时，解得m＝－1；
②当x＝3时，3(m＋1)＝1＋4m，解得m＝2；
③当x＝－3时，－3(m＋1)＝1＋4m，解得m＝－ .
综上所述，m的值为－1或2或－ .
思维过关
9. 【运算能力】(2025·上海月考)若数a使关于x的不等式组
无解，且使关于x的分式方程 － ＝－3有正整数
解，则满足条件的整数a的值之积为 .
4 (共14张PPT)
第十八章 分式
第13课 分式方程的应用(2)——行程问题、销售问题
利用分式方程解决行程问题
(教材P167)某列车提速，平均提速40 km/h.用相同的时
间，该列车提速前行驶120 km，提速后比提速前多行驶60 km.求该
列车提速前的平均速度.
解：设该列车提速前的平均速度为x km/h.
依题意，得 ＝ .解得x＝80.
经检验，x＝80是原分式方程的解.
答：该列车提速前的平均速度为80 km/h.
轮船顺水航行80 km所需要的时间与逆水航行60 km所需
要的时间相同.已知水流的速度是3 km/h，设轮船在静水中的速度为
x km/h，则可列方程为 .
＝
(教材P168)八(1)班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开
展活动，基地离学校有60 km，队伍12：00从学校出发，张老师因有
事情，12：15从学校自驾小车以大巴车速度的1.5倍追赶，追上大巴
车后继续前行，结果比队伍提前15 min到达基地.问：
(1)大巴车与小车的平均速度各是多少？
解：设大巴车的平均速度是x km/h，则小车的平均速度是1.5xkm/h.
根据题意，得 ＝ ＋ ×2.解得x＝40.
检验：当x＝40时，60x≠0.所以，原分式方程的解为x＝40.
1.5×40＝60(km/h).
答：大巴车的平均速度是40 km/h，小车的平均速度是60 km/h.
解：设张老师追上大巴车的地点到基地的路程有y km.
根据题意，得 ＋ ＝ .解得y＝30.
答：张老师追上大巴车的地点到基地的路程有30 km.
(2)张老师追上大巴车的地点到基地的路程有多远？
为更好地开展党史教育，激发中学生爱党爱国的深厚情
感，某校组织初二年级同学参观中国共产党历史展览馆，师生统一
坐大巴车前往.从学校到展览馆计划行驶12 km，活动当天由于天气
原因，下雨造成道路湿滑，大巴车平均行驶速度降为原计划的 ，途
中又遇到交通管制，临时改变了行车路线，最终全程行驶了18 km，
比计划行驶时间多用20 min.请问原计划大巴车平均每小时行驶多少
千米？
解：设原计划大巴车平均每小时行驶x km，
则实际大巴车平均每小时行驶 x km.
根据题意，得 － ＝ .解得x＝45.
经检验，x＝45是原分式方程的解.
答：原计划大巴车平均每小时行驶45 km.
利用分式方程解决销售问题
端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午
节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进
价每盒便宜10元，某商家用8 000元购进的猪肉粽和用6 000元购进的
豆沙粽盒数相同，则豆沙粽每盒进价为 元.
30
某商场进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元
购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商场又用17.6万元购进了第
二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2倍，但单价贵了4元，
很快售完，商场第二批销售这种衬衫 件.
4 000
基础过关
1. (数学文化)《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记
录了一道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到900里
远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时
间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设
规定时间为x天，则可列出正确的方程为
( B )
A. 2× ＝ B. 2× ＝
C. ＝2× D. ＝ ×2
B
2. (2024·柳州期末)小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记
本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记
本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上
次多买了2本.若设他上月买了x本笔记本，则可列方程为
( B )
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
B
能力过关
3. 杭州湾跨海大桥是中国第一座真正意义上的跨海大桥，全长40
km.现计划经过路面改造，实施提高限速，提高限速后比提高限速前
增加了20 km/h，汽车最快通过大桥的时间可以减少10 min，大桥在
现有条件下安全行驶速度不得超过100 km/h.请你用学过的知识说明
在大桥的现有条件下是否还可以再提高限速？
解：在大桥的现有条件下还可以再提高限速.理由如下：
设原来限速为x km/h，则提高限速后为(x＋20)km/h.
由题意，得 － ＝ .解得x＝60.
经检验，x＝60是原分式方程的解.∴x＋20＝80.
∵80＜100，∴在大桥的现有条件下还可以再提高限速.
思维过关
4. 某文具店王老板用180元购进一批文具，很快售完；王老板又用
600元购进第二批文具，所购套数是第一批的3倍，但进价比第一批
每套多了2元.
(1)第二批文具每套进价为多少元？
解：设第二批文具每套进价为x元，则第一批文具每套进价为
(x－2)元.依题意，得 ＝3× .解得x＝20.
检验：当x＝20时，x(x－2)≠0.所以，原分式方程的解为x＝20.
答：第二批文具每套进价为20元.
(2)王老板以每套25元的价格销售第二批文具，售出60％后，为了尽
快售完，决定打折促销.要使第二批文具的销售总利润不少于60元，
剩余的文具每套售价最低打几折？
解：第二批购进文具的套数为600÷20＝30(套).
设剩余的文具每套售价打y折.依题意，得
25×30×60％＋25× ×30×(1－60％)－600≥60.
解得y≥7.
答：剩余的文具每套售价最低打七折.(共17张PPT)
第十八章 分式
第9课 科学记数法
用科学记数法表示下列各数：
(1)73 000＝ ；(2)－730 000＝ .
7.3×104
－7.3×105
用科学记数法表示绝对值小于1的数
(教材P162)用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 745＝ ；
(2)0.000 000 502＝ ；
(3)－0.000 013 14＝ ；
(4)－0.008 002＝ .
7.45×10－4
5.02×10－7
－1.314×10－5
－8.002×10－3
用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 56＝ ；
(2)－0.000 72＝ ；
(3)0.000 001 08＝ ；
(4)－0.000 000 802＝ .
5.6×10－4
－7.2×10－4
1.08×10－6
－8.02×10－7
下列是用科学记数法表示的数，写出其原数：
(1)3.35×10－5＝ ；
(2)8.2×10－3＝ ；
(3)－6.06×10－6＝ ；
(4)－3.04×10－7＝ .
0.000 033 5
0.008 2
－0.000 006 06
－0.000 000 304
下列是用科学记数法表示的数，写出其原数：
(1)8.5×10－5＝ ；
(2)5.67×10－6＝ ；
(3)－2.01×10－4＝ ；
(4)－9×10－3＝ .
0.000 085
0.000 005 67
－0.000 201
－0.009
已知某种细菌的直径约为0.000 008 02 m，将0.000 008 02
用科学记数法表示为
( A )
A. 8.02×10－6
B. 8.02×10－7
C. 8.02×106
D. 8.02×107
A
( C )
A. 7.6×108 g
B. 7.6×10－7 g
C. 7.6×10－8 g
D. 7.6×10－9 g
C
世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种
植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000 000 076 g，用科学
记数法表示是
(教材P162)计算：
(3×10－5)×(3.2×103).
解：原式＝3×3.2×10－5×103
＝9.6×10－2.
计算：
(3×10－7)2÷(10－4)3.
解：原式＝(9×10－14)÷(10－12)
＝9×10－2.
基础过关
1. 下列各数的表示形式中，不是科学记数法形式的是
( D )
A. 5.01×105
B. 9.99×10－6
C. －6.5×10－8
D. 25×104
D
2. 一粒大米的质量约为 2.1×10－5 kg，用小数表示为 kg.
3. 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 024＝ ；
(2)－0.000 010 2＝ ；
(3)370×10－7＝ ；
(4)－0.009×10－2＝ .
0.000021
2.4×10－5
－1.02×10－5
3.7×10－5
－9×10－5
4. 我国自主研发的北斗三号新信号22 nm工艺射频基带一体化导航
定位芯片已实现规模化应用.已知22 nm＝0.000 000 022 m，数据
0.000 000 022 用科学记数法表示为
( B )
A. 2.2×108
B. 2.2×10－8
C. 0.22×10－7
D. 22×10－9
B
能力过关
5. 已知1 nm＝0.000 000 001 m，则2.5 nm用科学记数法表示
为
( B )
A. 2.5×10－8 m
B. 2.5×10－9 m
C. 2.5×10－10 m
D. 25×10－9 m
B
6. 一本200页的书厚度约为1.8 cm，用科学记数法表示一页纸的厚度
约为 m.
7. 计算(结果用科学记数法表示)：
9×10－5
(1)(3×10－3)×(5×10－4)；
解：原式＝3×5×10－3×10－4
＝15×10－7
＝1.5×10－6.
(2)(6×10－3)2÷(2×10－1)2.
解：原式＝(36×10－6)÷(4×10－2)
＝(36÷4)×(10－6÷10－2)
＝9×10－4.
8. (跨学科命题)(2024·南京)水由氢、氧两种元素组成.一个水分子包
含两个氢原子和一个氧原子.一个氢原子的质量约为1.674×10－27
kg，一个氧原子的质量约为2.657×10－26 kg，一个水分子的质量大
约是
( C )
A. 3.613 7×10－25 kg
B. 2.824 4×10－26 kg
C. 2.991 8×10－26 kg
D. 3.613 7×10－27 kg
C
思维过关
9. 【运算能力、应用意识】世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小
蜂科的一种卵蜂，体长仅0.021 cm，其质量也只有0.000 005 g.
(1)用科学记数法表示上述两个数据.
解：0.021 cm＝2.1×10－2 cm，
0.000 005 g＝5×10－6 g.
(2)一个鸡蛋的质量大约是50 g，多少只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质
量相等(结果用科学记数法表示)？
解：50÷(5×10－6)＝1×107(只).
答：1×107只卵蜂的质量和与这个鸡蛋的质量相等.(共17张PPT)
第十八章 分式
第14课 第十八章复习
分式的相关概念
1. 下列式子① ，② (x＋y)，③ ，④ ，⑤ 中，分式的
个数是
( B )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
2. 下列分式中一定有意义的是
( C )
A. B. C. D.
C
分式的基本性质
3. 如果把分式 中的x和y都扩大2倍，那么分式的值
( D )
A. 不变
B. 扩大2倍
C. 扩大4倍
D. 缩小到原来的
D
4. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是
( C )
A. ＝
B. ＝
C. ＝
D. ＝－
C
5. 下列各式计算错误的是
( D )
A. · ＝－
B. ÷ ＝
C. ÷(a2－ab)＝
D. (－a)3÷ ＝b
D
分式的运算
6. 计算：
(1) · － ；
解：原式＝ · －
＝ －
＝1.
(2)(－ )÷ .
解：原式＝ ·
＝ ·
＝ · ＝ .
7. 先化简，再求值：
(－1)÷ ，其中x＝4.
解：原式＝ ÷
＝ ·
＝ .
当x＝4时，原式＝ ＝ .
整数指数幂
8. 刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主
研发的5 nm刻蚀机已获成功，5 nm就是0.000 000 005 m.数据
0.000 000 005用科学记数法表示为
( B )
A. 5×10－8 B. 5×10－9
C. 0.5×10－8 D. 50×10－9
B
9. 计算：(－ )－2－(－ )2 025×22 025＋2 0250＝ .
6
分式方程的解法
10. 解下列分式方程：
(1) ＋ ＝4；
解：方程两边乘(2x－3)，得x－5＝4(2x－3).
解得x＝1.
检验：当x＝1时，2x－3≠0.
所以，原分式方程的解为x＝1.
(2) － ＝ .
解：方程两边乘2(3x－1)，得3(3x－1)－2＝5.
解得x＝ .
检验：当x＝ 时，2(3x－1)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝ .
分式方程的实际应用
11. 某优秀毕业生向我校赠送1 080本课外书.现用A，B两种不同型
号的纸箱包装运送，单独使用B型纸箱比单独使用A型纸箱可少用6
个；已知每个B型纸箱比每个A型纸箱可多装15本书.若设每个A型
纸箱可以装书x本，则根据题意可列方程为
( C )
A. ＝ ＋6 B. ＝ －6
C. ＝ －6 D. ＝ ＋6
C
12. 甲、乙两船从相距150 km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而
行，甲船从A地顺流航行90 km时与从B地逆流航行的乙船相遇.甲、
乙两船在静水中的航速均为30 km/h，则江水的流速为 km/h.
6
13. 已知a2＋b2＝6ab，则 的值为
( A )
A. B. C. 2 D. 4
A
14. 若方程 ＝ 无解，则m＝
( A )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 以上都不对
A
15. 对于非零的两个实数a，b，规定a*b＝ － ，若5*(3x－1)＝
2，则x的值为 .
16. (2025·上海月考)已知关于x的分式方程 －2＝ 的解是非负
数，则m的取值范围是 .
m≤5且m≠3
17. (2024·河池期末)生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多
“中国绿”.某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲、乙两种树苗，
购买甲种树苗花了1 200元，购买乙种树苗花了900元，甲种树苗的单
价是乙种树苗单价的1.5倍，购买甲种树苗的数量比购买乙种树苗的
数量少10棵.
(1)求甲、乙两种树苗的单价分别是多少元？
解：设乙种树苗的单价是x元，则甲种树苗的单价是1.5x元.
依题意，得 ＝ －10.解得x＝10.
经检验，x＝10是原分式方程的解.
∴1.5x＝1.5×10＝15.
答：甲种树苗的单价是15元，乙种树苗的单价是10元.
(2)为扩大园区绿化面积，该小区准备再次购进甲、乙两种树苗共100
棵，若总金额不超过1 314元，问最少购进多少棵乙种树苗？
解：设购进乙种树苗m棵，则购进甲种树苗(100－m)棵.
依题意，得10m＋15(100－m)≤1 314.
解得m≥37.2.
又m为整数，∴m的最小值为38.
答：最少购进38棵乙种树苗.(共14张PPT)
第十八章 分式
第2课 分式的基本性质
分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的
值 .用式子表示为 ＝ ， ＝ ，其中A，B，
C(C≠0)是整式.
不变
(教材P141)填空：
(1) ＝ ， ＝ ；
(2) ＝ ， ＝ .
下列分式的变形中，从左到右一定正确的是
( B )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
B
分式的约分
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的 约
去，叫作分式的约分.分子与分母没有公因式的分式，叫作
.
公因式
最简分
式
(教材P142)约分：
(1) ；
解：原式＝ ＝ .
(2) ；
解：原式＝ ＝ .
(3) .
解：原式＝ ＝ .
约分：
(1) ；
解：原式＝ ＝ .
(2) ；
解：原式＝ ＝－(x－3)＝3－x.
(3) .
解：原式＝ ＝－ .
分式的通分
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式
相等的同分母的分式，叫作分式的通分.几个分式通分时，一般取各
分母的所有因式的最高次幂的 作公分母，它叫作
.
积
最简公分
母
(教材P143)通分：
(1) 与 ；
解：最简公分母是12a2b2c.
＝ ＝ ，
＝ ＝ .
(2) 与 .
解：最简公分母是(x＋y)(x－y).
＝ ，
＝ .
通分：
(1) 与 ；
解：最简公分母是24x3y2.
＝ ＝ ，
＝ ＝ .
(2) 与 .
解：最简公分母是2(a＋3)(a－3).
＝ ＝ ，
＝ ＝ .
基础过关
1. 下列从左到右的变形一定正确的是
( D )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
D
2. 下列各分式中，是最简分式的是
( C )
A. B. C. D.
C
能力过关
3. 约分：
(1) ；
解：原式＝ ＝ .
(2) .
解：原式＝ ＝ .
4. 通分：
与 .
解：最简公分母是2(x＋3)(x－3).
＝ ＝ ，
＝ ＝ .
思维过关
5. 如果使分式 有意义的a和b的值都扩大为原来的2倍，那么分
式的值也扩大为原来的2倍.其中整式A可以是
( C )
A. 2a＋2b B. 4a＋4b C. ab D. a2b2
拓展变式：将分式 ， ， ， 中的x和y都扩大10
倍，分式的值也扩大10倍的有 个.
C
2
6. (整体思想)已知 ＝4，求 的值.
解：∵ ＝4，∴b－a＝4ab，即a－b＝－4ab.
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ .
由 ＝4，可得b－a＝4ab.(共16张PPT)
第十八章 分式
微专题9 分式的计算
分式的运算
1. 下列变形不正确的是
( B )
A. ＝ B. ÷(－ )＝ －
C. ＝－ D. ()3＝－
B
2. 计算：
(1) － ＝ ；
(2) ＋ ＝ .
x－3
1
3. 计算：
(1) ÷ ；
解：原式＝ ·
＝ .
(2)()2· － ÷ ；
解：原式＝ · － ·
＝ －
＝0.
(3)(x－1－ )÷ .
解：原式＝(－ )·
＝ ·
＝ ·
＝ .
4. 计算：
(1)()2÷ ·()；
解：原式＝ · ·
＝ .
(2) ÷(a－1－ )；
解：原式＝ ÷
＝ ·
＝ .
(3)(－ )÷ .
解：原式＝ ·
＝ ·
＝ ·
＝ .
化简求值
5. 先化简，后求值：
(1－ )÷ ，其中a＝2 025.
解：原式＝(－ )÷
＝ · ＝ .
当a＝2 025时，原式＝ ＝ .
6. 先化简，再求值：
(＋1)÷ ，其中x＝－1.
解：原式＝ ·
＝ ·
＝ .
当x＝－1时，原式＝ ＝1.
引入参数求值
7. 已知 ＝ ＝ ，2x＋y≠0，求 的值.
解：设 ＝ ＝ ＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k.
∴ ＝ ＝ ＝－ .
8. 已知a∶b∶c＝2∶3∶5，求代数式 的值.
解：∵a∶b∶c＝2∶3∶5，
∴设a＝2k，b＝3k，c＝5k(k≠0).
∴ ＝ ＝ ＝ .
整体代入求值
9. 已知m2－3m＋2＝0，则 的值为 .
10. 已知 － ＝ ，则分式 的值是
( D )
A. － B. － C. D. －
2 025
D
11. (2024·北京期末)已知2a－b＝3，求代数式 的值.
解：∵2a－b＝3，
∴原式＝
＝
＝
＝
＝ .
12. 已知非零实数a，b满足a＋3b＋2ab＝0，求分式(－ )÷
的值.
解：∵a＋3b＋2ab＝0，∴a＋3b＝－2ab.
∴原式＝ ÷
＝ ·
＝ ＝＝－2.
利用倒数法求值
13. 已知 ＝－1，求 的值.
解：∵ ＝－1，∴x≠0.
∴ ＝－1，即x＋ ＝2.
∴ ＝x2－7＋ ＝ －2－7＝22－9＝－5.
∴ ＝－ .
14. 已知 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，求 的值.
解：∵ ＋ ＝ ， ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，
∴2(＋ ＋ )＝ ＋ ＋ ＝ .
∴ ＋ ＋ ＝ .∵ ＝ .
∴ ＝ .(共17张PPT)
第十八章 分式
第10课 分式方程的解法(1)
分式方程的概念
分母中 未知数的方程叫作整式方程，分母中含有
的方程叫作分式方程.
在方程①2x＋ ＝10；②x－ ＝2；③ －3＝0；
④ ＋ ＝0中，属于分式方程的是
不含
未知数
( B )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
B
下列方程不是分式方程的是
( D )
A. ＝1
B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝2
D. － ＝x
D
解分式方程(1)
解分式方程的步骤：
①去分母(两边同乘 化为整式方程)；
②解整式方程；
③检验(将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为
0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方
程的解).
最简公分母
(教材P165)解方程：
(1) ＝ ；
解：方程两边乘x(x－3)，得2x＝x－3.
解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，x(x－3)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝－3.
(2) ＝2－ .
解：方程两边乘(x－3)，得x－2＝2(x－3)＋1.
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x－3＝0.
所以，原分式方程无解.
解方程：
(1) ＝ ；
解：方程两边乘(x－3)(x－1)，得
x(x－1)＝(x＋1)(x－3).
解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，(x－3)(x－1)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝－3.
(2)(2024·柳州期末) －1＝ .
解：方程两边乘(x＋3)(x－3)，得
x(x－3)－(x＋3)(x－3)＝2(x＋3).
解得x＝ .
检验：当x＝ 时，(x＋3)(x－3)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝ .
解分式方程的注意事项：
(1)当用最简公分母乘方程两边各项时，不要漏乘不含分母的项；
(2)如果分式的分子是多项式，去分母时要加上括号；
(3)解分式方程必须检验.
基础过关
1. 下列是分式方程的是
( D )
A. ＋ B. ＋ ＝0
C. (x－2)＝ x D. ＋1＝0
D
2. 解分式方程 － ＝ 时，去分母后得到的方程正确的
是
( C )
A. 2x－(x－2)＝x－1
B. 4x－2(x－2)＝x－1
C. 4x＋2(x－2)＝x－1
D. 2x＋(x－2)＝x－1
C
3. (2024·广州)解方程： ＝ .
解：方程两边乘x(2x－5)，得x＝3(2x－5).
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x(2x－5)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝3.
4. 解方程： ＋ ＝1.
解：方程两边乘x(x－2)，得(x＋1)(x－2)＋x＝x(x－2).
解得x＝1.
检验：当x＝1时，x(x－2)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝1.
能力过关
5. (新定义问题)定义：如果一个关于x的分式方程 ＝b的解是x＝
，那么我们把这样的分式方程称为和解方程.例如方程 ＝－4就
是和解方程.已知关于x的分式方程 ＝2 024－n是和解方程，那么n
的值是 .
解：依题意，得 － ＝1.
方程两边乘(x＋3)(x－2)，得
x(x－2)－6(x＋3)＝(x＋3)(x－2).
解得x＝－ .
检验：当x＝－ 时，(x＋3)(x－2)≠0.
所以，原分式方程的解为x＝－ .
6. 已知分式 的值比 的值小1，求x的值.
思维过关
7. 【创新意识】阅读材料：关于x的方程：x＋ ＝c＋ 的解为x1＝
c，x2＝ ；x＋ ＝c＋ 的解为x1＝c，x2＝ ；…；x－ ＝c－ (可
变形为x＋ ＝c＋ )的解为x1＝c，x2＝ .
根据以上材料解答下列问题：
(1)①方程x＋ ＝2＋ 的解为 x1＝2，x2＝ ；
②方程x－1＋ ＝2＋ 的解为 x1＝3，x2＝ .
x1＝2，x2＝
x1＝3，x2＝
(2)解关于x的方程：x－ ＝a－ (a≠2).
解：原方程可变形为(x－2)－ ＝(a－2)－ (a≠2)，
由题意，得x－2＝a－2或x－2＝－ .
解得x1＝a，x2＝ .
∴原方程的解为x1＝a，x2＝ .
