(共13张PPT)
第十四章 全等三角形
全等三角形的判定综合
三角形全等的判定综合
如图，点E，F在AD上，AB∥CD，AB＝CD，增加下
列一个条件：①∠B＝∠C；②AE＝DF；③BF＝CE. 其中能判定
△ABF≌△DCE的有 .
①②
如图，将两块相同的三角板(含30°角)按图中所示位置摆
放，若BE交CF于点D，AC交BE于点M，AB交CF于点N，则下
列结论中错误的是
( B )
B
A. ∠EAC＝∠FAB
B. ∠EAF＝∠EDF
C. △ACN≌△ABM
D. AM＝AN
如图，A，F，C，D四点在同一直线上，AB⊥BC，
DE⊥EF，AC＝DF，AB＝DE. 求证：BF∥CE.
证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠A＝∠D.
∵AC＝DF，∴AC－FC＝DF－FC，即AF＝DC.
在△ABF和△DEC中，
∴△ABF≌△DEC(SAS).
∴∠AFB＝∠DCE. ∴∠BFC＝∠ECF. ∴BF∥CE.
EF与BC交于点O，AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF，
∠1，∠2，∠3，∠4如图所示.求证：EB∥CF.
证明：∵AB∥CD，∴∠3＝∠4.
在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌△DOC(ASA).∴OB＝OC.
∵AE＝DF，OA＝OD，∴OE＝OF.
在△OBE和△OCF中，
∴△OBE≌△OCF(SAS).∴∠E＝∠F. ∴EB∥CF.
证明三角形全等的思路：
已知 两边 两角 一边一角(直角)
要找 第三边或夹角或直角 任一边 另一边或一角
判定方法 SSS或SAS或HL ASA或AAS SAS(HL)或AAS或ASA
基础过关
1. 如图，已知CA＝CD，∠1＝∠2，若只添加一个条件(不加辅助
线)使△ABC≌△DEC，则添加的条件不能为
( A )
A. AB＝DE
B. ∠B＝∠E
C. BC＝EC
D. ∠A＝∠D
A
2. 如图，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，下列结论中不成立的是
( C )
A. ∠DAE＝∠CBE B. CE＝DE
C. △DAE与△CBE不一定全等 D. ∠1＝∠2
C
能力过关
3. 在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC 于点E，
DF⊥AC于点F，CF＝AE，BC＝DA. 求证：Rt△ABE≌Rt△CDF.
证明：在Rt△ADC和Rt△CBA中，
∴Rt△ADC≌Rt△CBA(HL).
∴DC＝BA. ∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CDF中， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).
4. 如图，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，
∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上.
(1)求证：△ABC≌△ADE；
证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD.
∴∠BAC＝∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(ASA).
(2)若∠B＝23°，∠APC＝63°，则∠BCD的度数为 .
40°
思维过关
5. 【推理能力】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝BC，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上.
(1)如图①，求证：∠BCO＝∠CAO；
证明：∵∠ACB＝90°，
∠AOC＝90°，
∴∠BCO＋∠ACO＝90°＝∠CAO＋∠ACO.
∴∠BCO＝∠CAO.
(2)如图①，若OA＝5，OC＝2，求B点的坐标；
解：如图①，过点B作BD⊥y轴于点D，则
∠CDB＝∠AOC＝90°.
又∠BCO＝∠CAO，BC＝AC，
∴△CDB≌△AOC(AAS).
∴BD＝CO＝2，CD＝AO＝5.
∴OD＝5－2＝3.
∵点B在第三象限，∴B(－2，－3).
(3)如图②，点C(0，3)，Q为x轴上一点，若AQ＝12.以CQ为腰在
第二象限作等腰直角三角形QCD，连接DB交y轴于P点，则OP的
长为 .
9 (共13张PPT)
第十四章 全等三角形
三角形全等的判定(5)——HL(斜边、直角边)
三角形全等的判定(5)
(1)定理： 分别相等的两个直角三角形全等(HL).
斜边和一直角边
(2)几何语言：
如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF
( ).
HL
(教材P42)如图，BD，CE是△ABC的高，且BE＝CD.
求证：Rt△BEC≌Rt△CDB.
证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).
如图，D是△ABC边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，
且BF＝CE. 求证：∠B＝∠C.
证明：∵点D是△ABC的边BC的中点，
∴BD＝CD.
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°.
在Rt△BDF和Rt△CDE中，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL).∴∠B＝∠C.
(教材P43)如图，点C，E，B，F在一条直线上，AB⊥CF
于点B，DE⊥CF于点E，AC＝DF，AB＝DE. 求证：CE＝BF.
证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°.
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴BC＝EF.
∴BC－BE＝EF－BE，即CE＝BF.
如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，
BE＝CF.
(1)求证：△DBE≌△DCF；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°.
在Rt△DBE与Rt△DCF中，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL).
(2)已知AC＝18，AB＝12，求BE的长.
解：∵Rt△DBE≌Rt△DCF，∴DE＝DF.
在Rt△AED与Rt△AFD中，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴AE＝AF. ∴AB＋BE＝AC－CF.
∵BE＝CF，AC＝18，AB＝12，∴BE＝3.
基础过关
1. (2024·柳州期中)小明画∠AOB的平分线OP时，设计了以下作
法：如图，在边OA，OB上分别取OM＝ON，过点M，N分别作
OA，OB的垂线，交点为P，画出射线OP. 这种作法可由
△OMP≌△ONP得知，其全等的依据是
( D )
A. SSS B. SAS C. ASA D. HL
D
2. 在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，∠A＝∠A'＝α，点D，
D'分别在边AC和边A'C'上，BD＝B'D'，下列判断正确的是
( B )
①若α＝50°，则△ABD和△A'B'D'一定全等；
②若α＝90°，则△ABD和△A'B'D'一定全等.
A. ①对②错 B. ①错②对
C. ①②都对 D. ①②都错
B
能力过关
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE
于点D，CE⊥DE于点E，且AD＝CE. 求证：AB⊥AC.
证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL).∴∠DBA＝∠CAE.
∵∠BAD＋∠DBA＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°.
∴∠BAC＝180°－(∠BAD＋∠CAE)＝90°.
∴AB⊥AC.
4. 如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，AE＝
CF. 求证：AB∥CD.
证明：∵CF＝AE，∴CF＋EF＝AE＋EF，
即CE＝AF. ∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC＝∠BFA＝90°.
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL).
∴∠DCE＝∠BAF. ∴AB∥CD.
思维过关
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，F是BC上的一点，BD⊥AF，
CE⊥AF的延长线于点E，AD＝CE.
(1)求证：Rt△ABD≌Rt△CAE；
证明：∵BD⊥AF，CE⊥AF，
∴△ABD和△AEC是直角三角形.
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL).
(2)判断BD，DE，CE这三条线段之间的数量关系，并说明理由.
解：BD＝DE＋CE. 理由如下：
∵Rt△ABD≌Rt△CAE，
∴BD＝AE.
∵AE＝AD＋DE，AD＝CE，
∴BD＝DE＋CE.(共14张PPT)
第十四章 全等三角形
三角形全等的判定(2)(3)——ASA、AAS(角边角、角角边)
三角形全等的判定(2)
(1)定理： 分别相等的两个三角形全等(ASA).
两角和它们的夹边
(2)几何语言：
如图，在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF
( ).
ASA
如图，已知AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，OA＝
OC. 求证：△AOD≌△COB.
证明：在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB(ASA).
如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC
上.求证：△AEC≌△BED.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠AED＝∠2＋∠AED，
即∠AEC＝∠BED.
在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED(ASA).
三角形全等的判定(3)
(1)定理： 的两个三角
形全等(AAS).
两角分别相等且其中一组等角的对边相等
(2)几何语言：
如图，在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF
( ).
AAS
如图，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠C，AD＝AE.
求证：△ABD≌△ACE.
证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(AAS).
如图，点E，F在线段BC上，∠A＝∠D，∠B＝∠C，
BE＝CF. 求证：△ABF≌△DCE.
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE(AAS).
基础过关
1. 如图，下列三角形与△ABC 全等的是
( C )
A B C D
C
2. 如图，∠B＝∠C，要使△ABE≌△ACD，则添加的一个条件不
能是
( A )
A. ∠ADC＝∠AEB
B. AD＝AE
C. AB＝AC
D. BE＝CD
A
能力过关
3. 如图，△ABC的两条高AD，CE交于点F，AF＝BC.
(1)求证：△AEF≌△CEB；
证明：∵AD，CE是△ABC的两条高，
∴∠BDA＝90°，∠AEF＝∠CEB＝90°.
∴∠B＋∠FAE＝90°，∠B＋∠BCE＝90°.
∴∠BCE＝∠FAE.
在△AEF和△CEB中， ∴△AEF≌△CEB(AAS).
(2)若BE＝4，CF＝5，求AE的长度.
解：∵△AEF≌△CEB，BE＝4，CF＝5，
∴FE＝BE＝4，AE＝CE.
∴CE＝CF＋FE＝5＋4＝9.
∴AE＝CE＝9.
4. (2024·南宁期末)如图，在一个支架的横杆点O处用一根绳悬挂一
个小球A，小球A可以摆动，OA表示小球静止时的位置.当小球从
OA摆到OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D；当小球摆到OC位置
时，OB与OC恰好垂直，过点C作CE⊥OA于点E，测得CE＝12
cm，OA＝OB＝OC＝15 cm，则AD的长为 cm.
3
思维过关
5. 【模型观念】如图，AB⊥AC，AB＝AC，过点A作直线DE，
BD⊥DE，CE⊥DE.
(1)求证：△ABD≌△CAE；
证明：如图.∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°.
∴∠1＋∠3＝180°－∠BAC＝90°.
∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°.
∴∠2＋∠3＝90°.∴∠1＝∠2.
在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE(AAS).
(2)求证：DE＝BD＋CE.
证明：∵△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，AD＝CE.
∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.(共17张PPT)
第十四章 全等三角形
微专题3 巧构全等三角形
巧用“公共边”构造全等三角形
特点：条件往往给出两组边相等，连接公共边即可得到第三组
边相等，从而利用“SSS”证全等.
如图，点C，E分别为△ABD的边BD，AB上两点，且
AE＝AD，CE＝CD，∠D＝75°，∠ECD＝145°，求∠B的度数.
解：如图，连接AC.
在△ACD和△ACE中，
∴△ACD≌△ACE(SSS).
∴∠AEC＝∠D＝75°.∴∠BEC＝105°.
∵∠ECD＝∠B＋∠BEC，
∴∠B＝145°－105°＝40°.
如图，AB＝AD，BC＝DC，E，F分别是DC，BC的
中点.求证：AE＝AF.
证明：如图，连接AC.
在△ACD和△ACB中，
∴△ACD≌△ACB(SSS).
∴∠ACE＝∠ACF.
∵BC＝DC，E，F分别是DC，BC的中点，
∴CE＝CF.
在△ACE和△ACF中，
∴△ACE≌△ACF(SAS).
∴AE＝AF.
巧用“倍长中线法”构造全等三角形
特点：将中线延长一倍，然后利用“SAS”判定三角形全等.
如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，则BC边上的中线
AD的长x取值范围是 .
1＜x＜4
拓展变式：(数形结合思想)在△ABC中，已知AC＝5，BC边上中线
AD＝7，则AB边的取值范围是
( D )
A. 1＜AB＜29 B. 4＜AB＜24
C. 5＜AB＜19 D. 9＜AB＜19
D
利用“倍长中线法”，解决下列问题.
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，
求证：AD＝ BC.
证明：如图，延长AD至点F，使DF＝AD，连接CF.
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△BDA和△CDF中，
∴△BDA≌△CDF (SAS).
∴∠B＝∠DCF，AB＝CF.
∵∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠ACB＝90°.
∴∠DCF＋∠ACB＝90°，即∠ACF＝90°＝∠BAC.
在△ABC和△CFA中，
∴△ABC≌△CFA (SAS).
∴AF＝BC.
∴AD＝ AF＝ BC.
巧用“截长补短法”构造全等三角形
特点：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某
条线段延长，使之与特定线段相等.
如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和
∠DBA，CD过点E. 求证：AB＝AC＋BD.
证明：如图，在AB上取一点F，使AF＝AC，连接EF.
∵AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，
∴∠CAE＝∠FAE，∠EBF＝∠EBD.
在△ACE和△AFE中，
∴△ACE≌△AFE(SAS).∴∠C＝∠AFE.
∵AC∥BD，∴∠C＋∠D＝180°.
∵∠AFE＋∠EFB＝180°，∴∠EFB＝∠D.
在△BEF和△BED中，
∴△BEF≌△BED(AAS).∴BF＝BD.
∵AB＝AF＋BF，∴AB＝AC＋BD.
如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠D＝
110°，∠ACD＝40°，∠ACB＝80°，CE是△ABC的高，AD＝
7，EB＝2，求AB的长.
解：在AE上截取AF＝AD，连接CF，如图.
∵∠D＝110°，∠ACD＝40°，
∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝30°.
∵∠BAD＝60°，
∴∠FAC＝∠BAD－∠DAC＝30°.
∴∠DAC＝∠FAC.
在△DAC和△FAC中，
∴△DAC≌△FAC(SAS).
∴∠AFC＝∠D＝110°，AF＝AD＝7.
∴∠CFE＝180°－∠AFC＝70°.
∵∠ACB＝80°，∠FAC＝30°，
∴∠B＝180°－∠ACB－∠FAC＝70°.
∴∠B＝∠CFE.
∵CE⊥AB，∴∠CEF＝∠CEB＝90°.
在△CEF和△CEB中，
∴△CEF≌△CEB(AAS).
∴EF＝EB. ∴BF＝2EB＝4.
∴AB＝AF＋BF＝7＋4＝11.
巧用“角的平分线”构造全等三角形
特点：在处理角的平分线问题时，常常要通过延长线段或截取
线段，或者过角的平分线上的点作角两边的垂线段，使两个角所在
的三角形全等.
如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，
垂足为D. 求证：∠2＝∠1＋∠C.
证明：如图，延长AD交BC于点F.
∵AD⊥BE，∴∠ADB＝∠FDB＝90°.
∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠FBD.
在△ABD和△FBD中，
∴△ABD≌△FBD(ASA).∴∠2＝∠DFB.
∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.
如图，BD是∠ABC的平分线，AD＝CD.
求证：∠DAB＋∠BCD＝180°.
证明：如图，过点D作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F.
∵BD是∠ABC的平分线，∴DE＝DF.
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
∴∠DAE＝∠BCD.
∵∠DAB＋∠DAE＝180°，
∴∠DAB＋∠BCD＝180°.(共32张PPT)
14.3 角的平分线
14.3.1 角的平分线的性质
如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC. 将点A
放在角的顶点，AB和 AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE.
则△ABC △ADC，∠BAC ∠DAC.
≌
＝
角的平分线的画法
(教材P49)如图，请用尺规作∠AOB的平分线OC.
解：如图，OC即为所求.
用尺规作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说
明∠AOC＝∠BOC 的依据是
( A )
A. SSS B. ASA
C. AAS D. 角的平分线上的点到角两边的距离相等
A
角的平分线的性质
(1)角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)几何语言：
如图，∵PQ是∠MPN的平分线，QM⊥MP，QN⊥NP，
∴ .
QM＝QN
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，
DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF.
(1)求证：CF＝EB；
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∠C＝90°，∴DC＝DE.
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL).∴CF＝EB.
(2)直接写出AE，AF与BE之间的数量关系.
解：AF＋BE＝AE.
[提示]由(1)，可知DC＝DE，FC＝BE.
在Rt△DCA和Rt△DEA中，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA(HL).∴AC＝AE.
∴AF＋FC＝AE，即AF＋BE＝AE.
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB
于点E，作DF⊥AC于点F.
(1)求证：AE＝AF；
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).∴AE＝AF.
(2)若AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15，求DE的长.
解：∵S△ABC＝S△ADB＋S△ADC＝ AB·DE＋
AC·DF，DF＝DE，AB＝6，AC＝4，
S△ABC＝15，
∴ ×6DE＋ ×4DE＝15.解得DE＝3.
基础过关
1. 如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝3，F是射线
OB上的任一点，则DF的长度不可能是
( A )
A. 2.8 B. 3 C. 4.2 D. 5
A
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图，如图所示.若CD＝
5，AB＝14，则△ABD的面积是 .
35
能力过关
3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于
点E，且DE＝3 cm，BC＝8 cm，则BD＝ cm.
5
4. 【空间观念】在x轴、y轴上分别截取OA＝OB，再分别以点
A，B为圆心，以大于 AB 长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点
P. 若点P的坐标为(a，2)，则a＝ .
5. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝
7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是 .
－2
3
6. 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其
三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△AOC
等于
( C )
A. 1∶1∶1
B. 2∶4∶3
C. 4∶6∶5
D. 4∶6∶10
C
思维过关
7. 已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交
射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G.
(1)如图①，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数
量关系；
解：CF＝CG.
(2)如图②，若∠AOB＋∠DCE＝180°，试判断线段CF与CG的数
量关系，并说明理由.
解：CF＝CG. 理由如下：如图，过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N. ∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，
∴CM＝CN，∠CMO＝∠CNO＝90°.
∴∠AOB＋∠MCN＝360°－90°－90°＝180°.
又∠AOB＋∠DCE＝180°，
∴∠MCN＝∠DCE. ∵∠MCF＝∠MCN－∠DCN，
∠NCG＝∠DCE－∠DCN，∴∠MCF＝∠NCG.
在△MCF和△NCG中，
∴△MCF≌△NCG(ASA).∴CF＝CG.
第十四章 全等三角形
14.3.2 角的平分线的判定
角的平分线的判定
(1)角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分
线上.
(2)几何语言：
如图，∵PB⊥AB，PC⊥AC， ，
∴AP平分∠BAC.
PB＝PC
如图，ME⊥AB于点E，MF⊥BC于点F，且ME＝
MF，∠ABC＝70°，求∠EBM的度数.
解：∵ME⊥AB，MF⊥BC，ME＝MF，
∴BM平分∠ABC.
∴∠EBM＝ ∠ABC.
∵∠ABC＝70°，
∴∠EBM＝ ×70°＝35°.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，
DE⊥AB于点E，且DE＝DC. 若∠A＝40°，求∠DBC的度数.
解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝50°，DC⊥BC.
又DE⊥AB，DE＝DC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠DBC＝ ∠ABC＝ ×50°＝25°.
(教材P52)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF. 求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL).
∴DE＝DF. 又DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
如图，已知E，F分别为AB，AC上的点，且BF⊥AC，
CE⊥AB，BD＝CD. 求证：点D在∠BAC的平分线上.
证明：如图，连接AD.∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE＝DF.
∴AD平分∠BAC，即点D在∠BAC的平分线上.
(教材P51)如图，在△ABC中，两个内角∠ABC和∠ACB
的平分线交于点O，连接AO，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F.
求证：AO平分∠BAC.
证明：过点O作OM⊥BC于点M，如图.
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE＝OM，OF＝OM. ∴OE＝OF.
∴AO平分∠BAC.
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交
于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上.
证明：如图，过点F分别作AE，BC，AD的垂线FP，FM，FN，
点P，M，N为垂足，连接AF.
∵CF是∠BCE的平分线，
∴FP＝FM. 同理，FM＝FN.
∴FP＝FN. ∴AF平分∠DAE，
即点F在∠DAE的平分线上.
基础过关
1. 如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，
∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝ .
150°
2. 如图，有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造
一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位
置P.
解：如图，作∠AOB的平分线交MN于点
P，点P即为该超市的位置.
能力过关
3. 如图，AB＝AC，BE⊥AC 于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF
交于点D. 给出下列结论：
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；
③点D在∠BAC的平分线上.其中，正确的是
( D )
A① B. ② C. ①② D. ①②③
D
4. 已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点
E，F，G分别是OA，OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG. 求
证：OC是∠AOB的平分线.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDF＝∠PEG＝90°.
在Rt△PFD和Rt△PGE中，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL).
∴PD＝PE. ∵P是OC上一点，∴OC是∠AOB的平分线.
思维过关
5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点I到Rt△ABC三边的距离
相等，则∠AIB的度数为 .
拓展变式：如图，在△ABC中，∠A＝50°，点P到△ABC三边所在
的直线的距离相等，则∠P的度数为 .
135°
25°
拓展变式图
6. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，
DE平分∠ADC. 求证：
(1)AE平分∠BAD；
证明：如图，过点E作EF⊥DA于点F.
∵∠C＝90°，DE平分∠ADC，EF⊥DA，
∴CE＝EF. ∵E是BC的中点，
∴BE＝CE. ∴BE＝EF. 又∠B＝90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠BAD.
(2)△ADE是直角三角形.
证明：∵∠B＝∠C＝90°，∴∠B＋∠C＝180°.
∴AB∥CD. ∴∠ADC＋∠BAD＝180°.
∵DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，
∴∠ADE＝ ∠ADC，∠DAE＝ ∠BAD.
∴∠ADE＋∠DAE＝ ∠ADC＋ ∠BAD＝90°.
∴∠AED＝90°.∴△ADE是直角三角形.(共14张PPT)
第十四章 全等三角形
微专题2 三角形全等的四大常考模型
平移模型
(1)模型特征：如图，沿同一直线平移可使两三角形重合.
(2)判断三角形全等的关键：
①加(减)共线部分，得某一对应边相等；
②利用平行线的性质找对应角相等.
如图，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF. 求证：
AB＝DE.
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS).
∴AB＝DE.
如图，点C，D在线段AF上，AD＝CF，BC∥EF，
∠B＝∠E. 求证：AB＝DE.
证明：∵AD＝CF，∴AD＋CD＝CF＋CD，
即AC＝DF. ∵BC∥EF，
∴∠ACB＝∠F.
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF(AAS).∴AB＝DE.
翻折模型
(1)模型特征：如图，所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分
能完全重合.
(2)判断三角形全等的关键：
①找公共边、中点、相等边、线段的和差等条件得对应边相等；
②找公共角、垂直、对顶角等条件得对应角相等.
如图，AD＝AB，BC＝CD. 求证：DE＝BE.
证明：在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC(SSS).
∴∠DAE＝∠BAE.
在△ADE和△ABE中，
∴△ADE≌△ABE(SAS).∴DE＝BE.
已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，BD，CE相交于点
O. 求证：OD＝OE.
证明：在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).∴∠B＝∠C.
∵AB＝AC，AD＝AE，∴AB－AE＝AC－AD，
即BE＝CD. 在△BOE和△COD中，
∴△BOE≌△COD(AAS).∴OD＝OE.
旋转模型
(1)模型特征：如图，绕某顶点旋转(或旋转后再平移)可得两三角
形重合.
(2)判断三角形全等的关键：加(减)共顶点的角的公共角部分得一组对
应角相等.
如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE.
求证：△ABC≌△ADE.
证明：∵AB⊥AD，AC⊥AE，
∴∠DAB＝∠CAE＝90°.
∴∠DAB＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS).
如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，点
D在BC上，∠BAC＝∠DAE.
(1)求证：△ABD≌△ACE；
证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)若CE＝5，CD＝3，则BC＝ .
8
一线三等角型
(1)模型特征：如图，一条直线上有三个角相等，也可把一线三等角
模型平移一定的距离.
(2)判断三角形全等的关键：
①由外角的性质可得一组角相等；
②若∠1＋∠2＝α，∠3＋∠2＝α，
则∠1＝∠3.
解决问题：
(1)如图①，∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝BC. 猜想
DE，AD，BE之间的数量关系： .
(2)如图②，将(1)中条件改为∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝α(90°＜α
＜180°)，AC＝BC，请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请
给出证明；若不成立，请说明理由.
DE＝AD＋BE
解：成立.证明如下：
∵∠ADC＝∠CEB＝∠ACB，∠BCE＋∠ACD＝180°－∠ACB，∠ACD＋∠CAD＝180°－∠ADC，
∴∠CAD＝∠BCE.
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB(AAS).
∴AD＝CE，CD＝BE. ∴DE＝AD＋BE.
(3)如图③，在△ABC中，点D为AB上一点，DE＝DF，∠A＝
∠EDF＝∠B，AE＝3，BF＝5，则AB的长为 .
8 (共14张PPT)
第十四章 全等三角形
三角形全等的判定(4)——SSS(边边边)
三角形全等的判定(4)
(1)定理： 的两个三角形全等(SSS).
三边分别相等
(2)几何语言：
如图，在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
如图，已知AC＝AD，BC＝BD.
求证：△ABC≌△ABD.
证明：在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD(SSS).
如图，已知AB＝DE，BC＝EF，AF＝DC.
求证：∠B＝∠E.
证明：∵AF＝DC，
∴AF－CF＝DC－CF，
即AC＝DF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS).∴∠B＝∠E.
(教材P37)如图，AB＝AC，D是BC的中点.求证：
∠BAD＝∠CAD.
证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠BAD ＝∠CAD.
如图，AC＝BD，AD＝BC.
求证：∠ACD＝∠BDC.
证明：在△ADC和△BCD中，
∴△ADC≌△BCD(SSS).
∴∠ACD＝∠BDC.
用尺规作一个角等于已知角
如图，已知∠AOM.
求作：∠A'O'M'，使∠A'O'M'＝∠AOM.
解：如图，∠A'O'M'即为所求.
如图，点C在∠AOB的边OB上.求作：射线CD(在OB上
方)，使CD∥OA.
解：如图，射线CD即为所求.
基础过关
1. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判定
△C1O1D1≌△COD的依据是 .
SSS
2. 如图，AB＝AC，BD＝CD，则可推出
( B )
A. △BAD≌△BCD
B. △ABD≌△ACD
C. △ACD≌△BCD
D. △ACE≌△BDE
B
能力过关
3. (分类讨论思想)如图，△ABC的顶点分别为A(0，3)，B(－4，
0)，C(2，0)，若△BCD与△ABC全等，则点D的坐标可以
是 .
(－2，3)或(－2，－3)或(0，－3)
4. 如图，AB＝CD，AD＝BC. 求证：∠B＝∠D.
证明：如图，连接AC.
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(SSS).
∴∠B ＝∠D.
思维过关
5. 如图，点C，E分别为△ABD的边BD，AB上的点，AE＝AD，
CE＝CD，∠B＝30°，∠ECD＝140°，则∠D的度数为 .
70°
6. 如图，已知AB＝AC，AD＝AE，点B，D，E在同一条直线上，
BD＝CE，BE交AC于点O，且∠BAC＝68°.求∠BEC的度数.
解：在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SSS).
∴∠ABD＝∠ACE. 又∠ABO＋∠BAC＝∠BOC，
∠ACE＋∠BEC＝∠BOC，∴∠BAC＝∠BEC.
∵∠BAC＝68°，∴∠BEC＝∠BAC＝68°.(共16张PPT)
第十四章 全等三角形
三角形全等的判定(1)——SAS(边角边)
三角形全等的判定(1)
(1)定理： 分别相等的两个三角形全等(SAS).
两边和它们的夹角
(2)几何语言：
如图，在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF
( ).
SAS
(教材P34)如图，点F，C在BE上，BF＝CE，AB＝
DE，∠B＝∠E. 若∠A＝35°，求∠D的度数.
解：∵BF＝CE，
∴BF＋FC＝CE＋FC.
∴BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
∴∠D＝∠A＝35°.
如图，已知AB＝AD，AC平分∠BAD，△ABC与
△ADC全等吗？为什么？
解：△ABC≌△ADC. 理由如下：
∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC.
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SAS).
如图，已知AB，CD相交于点O，OA＝OC，OB＝
OD. 求证：△AOD≌△COB.
证明：在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB(SAS).
如图，AD＝BC，AD∥BC，△ABC与△CDA全等吗？
为什么？
解： △ABC≌△CDA. 理由如下：
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(SAS).
如图，BA＝BE，BC＝BD，∠ABD＝∠EBC. 求证：
△ABC≌△EBD.
证明：∵∠ABD＝∠EBC，
∴∠ABD－∠CBD＝∠EBC－∠CBD.
∴∠ABC＝∠EBD.
在△ABC和△EBD中，
∴△ABC≌△EBD(SAS).
如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2.求证：∠B＝∠D.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC.
在△BAC和△DAE中，
∴△BAC≌△DAE(SAS).
∴∠B ＝∠D.
三角形全等中常见的角相等类型：①已知两角相等(如母题演变
1)；②利用角平分线的定义(如变式训练2)；③对顶角相等(如经典例
题3)；④两直线平行，同位角、内错角相等(如变式训练4)；⑤利用
角的和差得角相等(如经典例题5、变式训练6).
基础过关
1. 如图，AB＝AC，根据“SAS”判定△ABD≌△ACE，还需添加
的条件是
( B )
A. BD＝CE
B. AE＝AD
C. BO＝CO
D. 以上都不对
B
2. 如图，已知AB＝DF，AB∥DF，BE＝FC.
求证：△ABC≌△DFE.
证明：∵BE＝FC，
∴BE＋CE＝FC＋CE，即BC＝FE.
∵AB∥DF，∴∠B＝∠F.
在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE(SAS).
能力过关
3. 如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝
EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，∠FAC＝40°，则∠BFE等于
( B )
A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°
B
4. 如图，D是△ABC边AB上的一点，E是AC的中点，F在线段DE
的延长线上，且EF＝DE. 求证：CF∥AD，CF＝AD.
证明：∵E是AC的中点，
∴AE＝CE.
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE(SAS).
∴∠A＝∠ECF，CF＝AD.
∴CF∥AD.
思维过关
5. 如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点
D为AB的中点.如果点P在线段BC上以2 cm/s的速度由B点向C点
运动，同时，点Q在线段CA上以m cm/s的速度由C点向A点运动，
设运动时间为t(s)(0＜t＜3).
(1)用含t的代数式表示PC的长度.
解：由题意可知BP＝2t cm，
∴PC＝BC－BP＝(6－2t)cm.
(2)若点P，Q的运动速度相等，经过1 s后，△BPD与△CQP是否全
等，请说明理由.
解：△BPD和△CQP全等.理由如下：
∵t＝1 s，∴BP＝CQ＝2×1＝2(cm).
∴CP＝BC－BP＝6－2＝4(cm).
∵AB＝8 cm，点D为AB的中点，
∴BD＝4 cm.∴PC＝BD.
在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP(SAS).
(3)若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的速度m为多少时，能使
△BPD与△CQP全等？
解：∵点P，Q的运动速度不相等，∴BP≠CQ.
又∠B＝∠C，则当BP＝PC＝ BC＝3 cm，
CQ＝BD＝ AB＝4 cm时，△BPD≌△CPQ，
∴点P，点Q运动的时间t＝ ＝ s.
∴m＝ ＝ ＝ (cm/s).
∴当点Q的运动速度m为 cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等.(共16张PPT)
第十四章 全等三角形
14.1 全等三角形及其性质
全等形
(1)全等形：能够 的两个图形叫作全等形.
(2)一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小
都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形 .
完全重合
全等
下列各组的两个图形属于全等图形的是
( D )
D
下列说法正确的是
( B )
A. 两个面积相等的图形一定是全等形
B. 两个全等形形状一定相同
C. 两个周长相等的图形一定是全等形
D. 两个等边三角形一定是全等形
B
全等三角形及其性质
(1)全等三角形：能够 的两个三角形叫作全等三角形(即
形状、大小完全相同).
(2)全等的表示方法：如图，△ ≌△ (表示对应顶点的字母要写在对应位置上).
(3)全等三角形的性质：全等三角形的对应边 ，对应角
.
完全重合
ABC
DEF
相等
相
等
如图，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重叠.
(1)△ABC≌ ；
(2)AB的对应边是 ，BC的对应边是 ；
(3)∠BAC的对应角是 ，∠B的对应角是 .
△ADC
AD
DC
∠DAC
∠D
如图，已知△ABD≌△CDB，完成下面的推理过程.
(1)∵△ABD≌△CDB，
∴AB＝ ，AD＝ ，
∠A＝ ，∠ADB＝ .
CD
CB
∠C
∠CBD
(2)∵△ABD≌△CDB，
∴∠ABD＝ .
∴AB∥ .
∠CDB
CD
如图，点B，E，C，F在同一直线上，△ABC≌△DEF.
求证：(1)AB∥DE；(2)BE＝CF.
证明：(1)∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF.
∴AB∥DE.
(2)∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF.
∵BE＝BC－EC，CF＝EF－EC，∴BE＝CF.
如图，△ABC≌△ADE，点C在DE上，AD，BC相交于
点O. 求证：(1)∠1＝∠2；(2)∠1＝∠3.
证明：(1)∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC.
∴∠1＝∠2.
(2)∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D.
又∠AOB＝∠DOC，∠1＝180°－(∠B＋∠AOB)，
∠3＝180°－(∠D＋∠DOC)，∴∠1＝∠3.
基础过关
1. 下列汽车标志中，不是由多个全等形组成的是
( B )
A B C D
B
2. 如图，△ABC≌△ADE，D在BC边上，∠E＝35°，∠DAC＝
30°，则∠BDA的度数为 .
65°
能力过关
3. 如图，△ABC≌△DBE，若AB＝10，BE＝4，则CD的长为
( C )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
C
4. 如图，△ABC≌△DEF，点B，E，C，F共线，已知∠B＝
40°，∠D＝80°，则∠ACF的度数为
( C )
A. 135°
B. 125°
C. 120°
D. 100°
C
思维过关
5. (2024·北京期中)如图，已知△ABD≌△EBC，AB＝3 cm，BC＝
4.5 cm，且点B在线段AC上.
(1)求DE的长；
解：∵△ABD≌△EBC，
∴BD＝BC＝4.5 cm，BE＝AB＝3 cm.
∴DE＝BD－BE＝1.5(cm).
(2)求证：AC⊥BD；
证明：∵△ABD≌△EBC， ∴∠ABD＝∠EBC.
∵点B在线段AC上，∴∠ABD＋∠EBC＝180°.
∴∠ABD＝∠EBC＝90°.∴AC⊥BD.
(3)猜想CE与AD的位置关系，并说明理由.
解：CE⊥AD. 理由如下：
如图，延长CE交AD于点F.
∵△ABD≌△EBC， ∴∠D＝∠C.
∵在Rt△ABD中，∠A＋∠D＝90°，
∴∠A＋∠C＝90°.
∴∠AFC＝90°. ∴CE⊥AD.
