(共16张PPT)
第十五章 轴对称
微专题7 特殊三角形常见辅助线作法
利用等腰三角形的“三线合一”作辅助线
1. 已知：如图，在△ABC中，D，E为边BC上两点，AB＝AC，
AD＝AE. 求证：BD＝CE.
提示：底边无中点，作垂线.
证明：如图，过点A作AF⊥BC，垂足为F.
∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF.
∵AD＝AE，AF⊥BC，∴DF＝EF.
∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE.
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中
点，DE⊥AC于点E，AE＝8，求CE的长.
提示：底边有中点，连中线.
解：如图，连接AD.
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B＝∠C＝30°.
∴∠DAC＝ ∠BAC＝60°.
∵DE⊥AC于点E，∴∠AED＝90°.∴∠ADE＝30°.
在Rt△ADE中，AE＝8，∠ADE＝30°，∴AD＝2AE＝16.
在Rt△ADC中，AD＝16，∠C＝30°，∴AC＝2AD＝32.
∴CE＝AC－AE＝32－8＝24.
构造含30°角的直角三角形
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝15°，求△ABC
的面积.
提示：利用外角，补出含30°角的直角三角形.
解：如图，过点C作CD⊥AB交BA的延长线于点D.
∵∠B＝∠ACB＝15°，
∴∠CAD＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.
∵AC＝4，CD⊥AD，∴CD＝ AC＝ ×4＝2.
∴S△ABC＝ ×4×2＝4.
4. 如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝
90°，∠ADC＝120°，求CD的长.
提示：利用余角，补出含30°角的直角三角形.
解：如图，延长AD，BC交于点E.
∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°.
∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝60°.
∴△EDC是等边三角形.
设CD＝CE＝DE＝x.
在△ABE中，AD＝4，BC＝1，
∴2(1＋x)＝x＋4，解得x＝2.∴CD＝2.
利用垂直平分线的性质作辅助线
5. 如图，已知在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，点
E为CD中点，∠CAE＝25°，∠ACB＝65°.求证：BD＝AC.
提示：连接AD.
证明：如图，连接AD.
∵∠CAE＝25°，∠ACB＝65°，
∴∠AED＝∠CAE＋∠ACB＝90°，即AE⊥DC.
∵点E为CD中点，∴AE是DC的垂直平分线.
∴AD＝AC.
∵DM是AB的垂直平分线，∴BD＝AD. ∴BD＝AC.
6. 如图，点A，B分别在∠MON的边OM，ON上，∠MON的平分
线OC与AB的垂直平分线CD交于点C，CE⊥OM于点E，
CF⊥ON于点F.
(1)求证：AE＝BF；
证明：连接AC，BC，
∵CD垂直平分AB，∴AC＝BC.
∵CE⊥OM，CF⊥ON，OC平分∠MON，
∴CE＝CF，∠CEA＝∠CFB＝90°.
∴Rt△CEA≌Rt△CFB(HL). ∴AE＝BF.
提示：连接AC，BC.
( 2)若OB＝8，OE＝6，则OA的长为 .
4
利用平行线性质作辅助线
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长
线上，且BD＝CE，连接DE交BC于点F. 求证：DF＝EF.
提示：过点D(或点E)作腰的平行线，构造全等三角形.
证明：如图，过点D作DG∥AC交BC于点G.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵DG∥AC，∴∠ACB＝∠DGB，∠DGF＝∠ECF.
∴∠DGB＝∠B.
∴DB＝DG＝CE.
在△DFG和△EFC中，
∴△DFG≌△EFC(AAS). ∴DF＝EF.
8. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，连接BD，∠ABD＋
∠BDC＝180°，E为AB边上一点，连接CE与BD交于点F，且点
F为CE中点.求证：BE＝CD.
提示：利用同角的补角相等，可得△ABD为等腰三角形.
证明：如图，过点C作CM∥AB，交BD的延长线于点M.
∵∠ABD＋∠BDC＝180°，∠ADB＋∠BDC＝180°，∠ADB＝∠MDC，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠MDC.
又CM∥AB，∴∠ABD＝∠M. ∴∠M＝∠MDC. ∴CD＝CM.
∵点F是CE中点，∴EF＝CF.
在△BEF和△MCF中，
∴△BEF≌△MCF(AAS).
∴BE＝CM. ∴BE＝CD.
利用角平分线＋垂线性质作辅助线
9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，
BE⊥AD于点E. 求证：BE＝ (AC－AB).
提示：延长BE交AC于点F.
证明：如图，延长BE交AC于点F.
∵BF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEF.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE.
在△ABE和△AFE中，
∴△ABE≌△AFE(ASA).
∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF.
∵∠C＋∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，
∠ABF＋∠CBF＝∠ABC＝3∠C，
∴∠C＋2∠CBF＝3∠C. ∴∠CBF＝∠C.
∴BF＝CF. ∴BE＝ BF＝ CF.
∵CF＝AC－AF＝AC－AB，∴BE＝ (AC－AB).
10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BE是角平分线，
CD⊥BE交BE的延长线于点D. 求证：BE＝2CD.
证明：如图，延长BA，CD交于点Q.
∵∠CAQ＝∠BAE＝90°，CD⊥BE，
∴∠ACQ＋∠Q＝90°，∠ABE＋∠Q＝90°.
∴∠ACQ＝∠ABE.
在△ABE和△ACQ中，
∴△ABE≌△ACQ(ASA). ∴BE＝CQ.
提示：延长CD，BA交于点Q.
又CD⊥BE，∴∠BDC＝∠BDQ＝90°.
在△QDB和△CDB中，
∴△QDB≌△CDB(ASA).
∴CD＝DQ.
∴BE＝CQ＝2CD.
∵BD平分∠ABC，∴∠QBD＝∠CBD.(共16张PPT)
第十五章 轴对称
第5课 等腰三角形的性质
等腰三角形的性质1
(1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“ ”).
等边对等角
(2)几何语言：
如图，在△ABC中，∵AB＝AC，∴ .
∠B ＝∠C
(教材P84)已知等腰三角形的一个角是140°，则三角形的
另外两个角的度数分别为 .
20°，20°
(易错题)已知等腰三角形的一个角是50°，则它的另外两
个角的度数分别是 .
65°，65°或50°，80°
(教材P80)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD
＝50°，求∠B和∠C的度数.
解：∵AB＝AD，∠BAD＝50°，
∴∠B＝∠ADB＝(180°－50°)× ＝65°.
又AD＝DC，
∴∠C＝∠CAD＝ ∠ADB＝ ×65°＝32.5°.
(教材P84改编)如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB
＝AC，BD＝CE. 求证：AD＝AE.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AD＝AE.
等腰三角形的性质2
(1)等腰三角形底边上的中线、 重合(简写
成“三线合一”).
如图，在△ABC中，
高及顶角平分线
①∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴BD＝ ，AD⊥ .
②∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠1＝ ，AD⊥ .
③∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝ ，∠1＝ .
CD
BC
∠2
BC
CD
∠2
如图，在△ABC中，AB＝BC.
(1)若BD⊥AC，∠ABC＝80°，则∠ABD＝ °；
(2)若BD平分∠ABC，CD＝5，则AC＝ ；
(3)若AD＝CD，∠ABD＝40°，则∠ABC＝ °.
40
10
80
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E是
AC边上的一点，且∠CBE＝∠CAD. 求证：BE⊥AC.
证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC. ∴∠CDA＝90°.
∴∠CAD＋∠C＝90°.
又∠CBE＝∠CAD，
∴∠CBE＋∠C＝90°.
∴∠BEC＝180°－90°＝90°.∴BE⊥AC.
基础过关
1. 若等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则这个等腰三角形的
周长是
( D )
A. 8 cm B. 13 cm
C. 8 cm或13 cm D. 11 cm或13 cm
D
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝
20°，则∠CAD的度数为
( C )
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
C
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，以点A为圆
心，AC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠BCD的度数
是 .
20°
4. (分类讨论思想)在等腰△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线
与AC所在直线相交所成的锐角为50°，则这个三角形的底角度数
为 .
70°或20°
能力过关
5. 如图，已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AM⊥CD于点
M. 求证：CM＝MD.
证明：如图，连接AC，AD.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SAS).∴AC＝AD.
∵AM⊥CD，∴CM＝MD.
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点
D，交AB于点E，∠C＝75°.
(1)求∠A的度数；
解：∵AB＝AC，∠C＝75°，
∴∠ABC＝∠C＝75°.
∴∠A＝180°－∠ABC－∠C＝180°－75°×2＝30°.
(2)求∠CBD的度数.
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB.
∴∠ABD＝∠A＝30°.
由(1)，知∠ABC＝75°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝75°－30°＝45°.
思维过关
7. 如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF
平分∠DCE.
(1)证明：△ADC≌△BCE；
证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠B.
在△ADC和△BCE中，
∴△ADC≌△BCE(SAS).
(2)若CF＝3，DF＝4，求△DCE的面积.
解：由(1)知△ADC≌△BCE，∴DC＝EC.
又CF平分∠DCE，∴CF⊥DE，DF＝EF.
∵CF＝3，DF＝4，∴DE＝2DF＝8.
∴S△DCE＝ ＝ ＝12.(共14张PPT)
第十五章 轴对称
第6课 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).
(2)几何语言：
如图，在△ABC中，
∵∠B＝∠C，∴ .
AB＝AC
(教材P81)如图，把一张长方形的纸ABCD沿EF折叠，重
合部分是△MEF. 问：△MEF是等腰三角形吗？为什么？
解：△MEF是等腰三角形.理由如下：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC.
∴∠MEF＝∠EFC.
∵长方形的纸ABCD沿EF折叠，重合部分是△MEF，
∴∠MFE＝∠EFC. ∴∠MEF＝∠MFE.
∴ME＝MF，即△MEF是等腰三角形.
如图，直线AB∥CD，∠1＝60°，∠2＝30°.求证：
△FCE是等腰三角形.
证明：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠1＝60°.
又∠2＝30°，
∴∠E＝∠DFE－∠2＝60°－30°＝30°.
∴∠2＝∠E.
∴CF＝EF.
∴△FCE是等腰三角形.
用尺规作等腰三角形
(教材P81)已知线段a，b.求作等腰三角形ABC，使底边
AB＝a，底边上的高CD＝b.(要求用尺规作图，不写作法，保留作
图痕迹)
解：如图，△ABC即为所求三角形.
尺规作图(只保留作图痕迹，不要求写出作法)已知：线段
a，∠α，求作：等腰△ABC，使其腰长AB＝a，顶角∠A＝α.
解：如图所示，△ABC即为所求.
基础过关
1. 下列能确定△ABC为等腰三角形的是
( A )
A. ∠A＝50°，∠B＝80°
B. ∠A＝42°，∠B＝48°
C. ∠A＝2∠B＝70°
D. AB＝4，BC＝5，周长为15
A
2. 一个三角形的一个外角为 130°，且它恰好等于一个不相邻的内
角的 2 倍，则这个三角形是
( C )
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等边三角形
C
3. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点
E. 若∠B＝∠ADB，AB＝2，则DC的长是 .
2
4. 如图，在小长方形组成的网格中，每个小长方形的长为4，宽为2，A，B两点在网格的格点上，若点C也在网格的格点上，且△ABC是
等腰三角形，则满足条件的点C的个数是
( C )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
C
能力过关
5. 如图，已知线段MN，直线l.请在图中作点P，使得点P在直线l
上，且△PMN为等腰三角形(不写作法，保留作图痕迹；请作出所有
满足条件的P点).
解：如图，P1，P2，P3，P4，P5即为所求作的点.
6. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分
∠ABC交AD于点F，交AC于点E. 求证：△AEF为等腰三角形.
证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠BAD＋∠CAD＝90°，∠CAD＋∠C＝90°.
∴∠BAD＝∠C.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBE.
∵∠AFE＝∠ABF＋∠BAD，∠AEF＝∠CBE＋∠C，
∴∠AFE＝∠AEF.
∴AF＝AE. ∴△AEF为等腰三角形.
思维过关
7. 如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC交AB，AC于点E，F. 试回答：
(1)图①中共有 个等腰三角形；EF，BE，CF之间的数量关系
是 .
5
EF＝BE＋CF
(2)如图②，若AB≠AC，图②中共有 个等腰三角形，在第(1)问
中EF，BE，CF间的关系还存在吗？请说明理由.
2
解：(1)中的结论仍然成立.理由如下：
∵OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB.
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO.
∴EO＝EB，FO＝FC.
∴EF＝EO＋OF＝BE＋CF.(共12张PPT)
第十五章 轴对称
第9课 课题学习 最短路径问题
如图，高速公路l的两侧有M，N两城镇，要在高速公路上建一
个出口P，使M，N两城镇到P的距离之和最短.请你找出P的位置
(不写作法，保留作图痕迹).
解：如图，点P即为所求.
“两定一动”型
(教材P94)如图，牧童在A处放牛，他的家在B处，l为河
流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮一次水.饮水的地点(用点P
表示)选在何处时，牧童所走的路程最短(保留作图痕迹，不写作法)？
解：如图，点P即为饮水的地点.
(2025·百色期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，
BE是△ABC的两条中线，AD＝6，BE＝7，P是AD上的一个动点.
连接PE，PC，则PC＋PE的最小值是 .
7
“两动一定”型
(教材P95)如图，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形
成30°的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地吃草，然后再去河
边饮水，最后回到A地.已知O，A两点之间的距离为2 km，请在图
中设计一条路线，使所走的路径最短，并直接写出整个过程所走的
路程(不写作法，保留作图痕迹).
解：如图，线段AD，DE，EA即为所求最短路线.总路程为2 km.
(2024·绥化)如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内
部一点，点M为射线OA上的动点、点N为射线OB上的动点，当
△PMN的周长最小时，则∠MPN＝ .
80°
“两定两动”型
如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后
赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直
路，请你为他设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置(保留作
图痕迹，不写作法).
解：如图，放羊的位置为C点，饮水的位置为D点.线段AC，CD，
DB即为所求最短路线.
如图，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分
别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP＋
PQ＋QN最小时，β－α＝40°，则∠AOB的度数为
( A )
A. 20° B. 40° C. 10° D. 60°
A
“平移”型
(教材P96)如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，
现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互垂直)，桥建在何处才能
使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并写出作法.
解：如图，先确定AA'与河等宽，且AA'⊥l2，连接BA'，交l1于点
C，过点C作CD⊥l2，垂足为D，
连接AD. CD即为所求的桥的位置，
线段AD，DC，CB即为所求最短路线.
方案一： ①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B 交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2 于点N，MN即为桥的位置.
方案二： ①连接AB交l1于点M； ②过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN 即为桥的位置.
如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是
( A )
A
A. 唯方案一可行 B. 唯方案二可行
C. 方案一、二均可行 D. 方案一、二均不可行
“垂线段最短”型
(2025·贵港期末)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC
＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和AC上
的动点，则PC＋PQ的最小值是 .
9.6
如图，在△ABC中，AD⊥BC于D点，BE⊥AC于E点，∠ABC＝60°，∠BAC＝70°，若点P，Q分别是线段AD，AB上的动点，则与 BP＋PQ的最小值相等的线段是
( B )
A. BD B. AD C. AB D. AC
B(共17张PPT)
第十五章 轴对称
第8课 含30°角的直角三角形的性质
含30°角的直角三角形的性质
(1)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边
等于 .
斜边的一半
(2)几何语言：
如图，在△ABC中，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝ .
AB
如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝4，则
AB＝ .
8
如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，
BD＝2，则AD的长为 .
6
如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，PC∥OA 交 OB 于点 C，PD⊥OA 于点D，若OC＝3，则 PD的长为
( C )
A. 3 B. 2 C. 1.5 D. 1
C
如图，∠BAC＝30°，AB＝AC，AD⊥BC，AE＝
BE，若BC＝4，则AE＝ .
若一个等腰三角形的底角为15°，则与顶角相邻的外角
为30°.
4
含30°角的直角三角形的性质的实际应用
(教材P83)如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横
梁AD，AB＝BD，∠ABD＝120°，BC＝4 m，求AB的长度.
解：∵AB＝BD，∠ABD＝120°，
∴∠A＝∠D＝ ＝30°.
∵BC⊥AD，∴∠ACB＝90°.
∴AB＝2BC＝8 m.
如图，树AB垂直于地面.为测树高，小明在C处测得
∠ACB＝15°.他沿CB方向走了20 m，到达D处，测得∠ADB＝
30°.你能帮助小明计算出树的高度吗？
解：∵∠ADB＝30°，∠ACB＝15°，
∴∠CAD＝∠ADB－∠ACB＝30°－15°＝15°.
∴∠ACB＝∠CAD. ∴AD＝CD＝20 m.
又∠ABD＝90°，∴AB＝ AD＝ ×20＝10(m).
∴树的高度为10 m.
构造含30°角的直角三角形的方法：
(1)如图①，含有30°角直接构造直角三角形；
(2)如图②，含有15°角看外角；
(3)如图③，含有60°角看余角；
(4)如图④，含有150°角看补角.
基础过关
1. 如图，一棵树在一次强台风中距离地面 3 m处折断倒下，倒下部
分与地面成 30° 角，这棵树在折断前的高度为
( B )
A. 6 m B. 9 m C. 12 m D. 15 m
B
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分
线交BC于点D. 若BD＝6，则AC的长为
( A )
A. 3 B. 3 C. 4 D. 5
A
3. 将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若 AB＝10，则阴影部分的
面积为 .
12.5
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB交BC
于点D，AD＝6，则BC的长是
( D )
A. 10 B. 12 C. 16 D. 18
D
能力过关
5. 【应用意识】桔槔俗称“吊杆”“称杆”(如图①)，是我国古代农
用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，桔槔示意图如图②所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3 m，AB是杠杆，AB＝6 m，OA∶OB＝2∶1，当点A位于最高点时，∠AOM＝120°，此时，点A到地面的距离为 .
5 m
6. 如图，在∠AOB＝60°的两边上有两点P和Q在运动，且点P从
离点O有1 cm远的地方出发，以1 cm/s运动，点Q从点O出发以2
cm/s运动，则△POQ为直角三角形时，两点的运动时间为 s.
思维过关
7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是(0，2)，以
OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为
点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的
垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，
按此规律继续作下去，得到等边三角形
O2 024A2 024A2 025，则点A2 025的纵坐标
为 .
()2 024
8. 如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点，且
AE＝CD，AD，BE交于点P，BQ⊥AD于点Q.
(1)求证：∠ABE＝∠CAD；
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°.
又AE＝CD，
∴△ABE≌△CAD(SAS).
∴∠ABE＝∠CAD.
(2)若PQ＝3，PE＝1，求BE的长.
解：∵∠ABE＝∠CAD，∠BAD＋∠CAD＝60°，
∴∠BAD＋∠ABE＝60°.
∴∠BPD＝∠ABE＋∠BAD＝60°.
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝90°－∠BPD＝30°.
∴BP＝2PQ＝6.
∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7.(共19张PPT)
第十五章 轴对称
第7课 等边三角形的性质与判定
等边三角形的性质
(1)三边 ；
(2)三个内角 且等于 ；
(3)三线合一；
(4)是 图形，有 条对称轴.
相等
相等
60°
轴对称
3
如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，AB＝2，
则CD＝ .
1
如图，直线m∥n，等边三角形ABC的顶点B在直线n
上，∠2＝35°，则∠1的度数为
( B )
B
A. 40° B. 25° C. 30° D. 35°
如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点
E，使CE＝CD，则下列结论错误的是
( D )
D
A. ∠CED＝30° B. ∠BDE＝120°
C. DE＝BD D. DE＝AB
如图，在等边三角形ABC中，在边BC，AC上截取BD＝
CE，连接AD，BE交于点F.
(1)求证：△ABD≌△BCE；
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°.
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE(SAS).
(2)∠AFE的度数为 .
60°
(1)等边三角形是特殊的 三角形，具备 三角形的所
有性质；
(2)等边三角形各边上的高、中线、对应角的平分线 ，且长
度 .
等腰
等腰
重合
相等
等边三角形的判定
(1)三条边都 的三角形是等边三角形；
(2)三个角都 的三角形是等边三角形；
相等
相等
(3)有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.
60°
如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧
交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与
弧AB交于点C，则△AOC的形状为 .
等边三角形
【应用意识】如图，在一个池塘两旁有一条笔直的小路
(B，C为小路的两端点)和一棵小树(A为小树位置)，测得相关数据为
∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝50 m，则AB＝ m.
50
(教材P93)如图，D，E，F分别是等边三角形ABC各边
上的点，且AD＝BE＝CF. 求证：△DEF是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C.
又AD＝BE＝CF，∴AB－AD＝BC－BE＝AC－CF，
即BD＝CE＝AF. 在△ADF和△CFE中，
∴△ADF≌△CFE(SAS).∴DF＝FE.
同理，可得DF＝DE，∴DF＝DE＝FE.
∴△DEF是等边三角形.
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，
DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF. 求证：△ABC是等
边三角形.
证明：∵D为AB的中点，∴AD＝BD.
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠AED＝∠BFD＝90°.
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL).
∴∠A＝∠B. ∴CA＝CB.
又AB＝AC，∴AB＝BC＝AC. ∴△ABC是等边三角形.
基础过关
1. 如图，边长为5 cm的等边三角形ABC向右平移1 cm，得到等边三
角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为 cm.
12
2. 如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆CD与支杆BC相等
(CD＝BC)，∠BCE＝120°.若CD的长度为45 cm，则此时 B，D两
点之间的距离为
( B )
A. 40 cm B. 45 cm C. 50 cm D. 55 cm
B
能力过关
3. 如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB.
(1)求∠C的度数；
解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠C＝∠B＝ ×(180°－120°)＝30°.
(2)求证：△ADE是等边三角形.
证明：由(1)，得∠B＝∠C＝30°.
∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠DAC＝∠BAE＝90°.
∴∠ADC＝∠AEB＝60°.
∴∠EAD＝180°－∠ADC－∠AEB＝60°.
∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD.
∴△ADE是等边三角形.
4. 已知：如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且DE＝DF，∠A＝120°.
(1)求证；△BDE≌△CDF；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
∵D是BC边的中点，∴BD＝CD.
又DE＝DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
(2)求证：△DEF是等边三角形.
证明：由(1)，得△BDE≌△CDF，∴∠B＝∠C.
∵∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝ ×(180°－120°)＝30°.
∴∠BDE＝∠FDC＝90°－30°＝60°.
∴∠EDF＝180°－∠BDE－∠CDF＝60°.
又DE＝DF，∴△DEF是等边三角形.
思维过关
5. 如图，C是线段AB上一点，且△ACD和△BCE都是等边三角形，BD与AE相交于点O，AE与DC相交于点M，BD与CE相交于点N，连接MN，则下列所给的结论中：①AE＝BD；②CM＝CN；③MN∥AB；④∠AOB＝120°.其中结论正确的个数是
( D )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D(共18张PPT)
第十五章 轴对称
第4课 画轴对称的图形
画轴对称的图形
画出点A关于直线l的对称点A'.
解：如图所示，点A'即为所求.
画出线段AB关于直线l的对称线段A1B1.
解：如图所示，线段A1B1即为所求.
(教材P72)画出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'.
解：如图所示，△A'B'C'即为所求.
画出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'.
解：如图所示，△A'B'C'即为所求.
画轴对称的图形的步骤：
(1)找——在原图上找特殊点(如线段的端点，多边形的顶点等)；
(2)画——画各特殊点关于对称轴的对称点；
(3)连——顺次连接对称点.
用坐标表示轴对称
(教材P74)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的
坐标分别为A(4，0)，B(－1，4)，C(－3，1).
(1)在图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称；
解：如图所示，△A'B'C'即为所求.
(2)写出点A'，B'，C'的坐标.
解：点A'的坐标为(4，0)，点B'的坐标为(－1，－4)，点C'的坐
标为(－3，－1).
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A(－2，
2)，点B(－3，－1)，点C(－1，1).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
解：如图所示，△A1B1C1即为所求.点A1的坐标为(2，2).
(2)求出△A1B1C1的面积.
△A1B1C1的面积为2×3－ ×1×1－ ×2×2－ ×1×3＝2.
关于坐标轴对称的点的坐标变化规律：
(1)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为 ；
(2)点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为 .
(x，－y)
(－x，y)
基础过关
1. 填空：
(1)点A(－5，3)关于y轴对称的点的坐标是 ；
(2)点B(0，－2)关于x轴对称的点的坐标是 ；
(3)如果点A的坐标是(4，－2)，点B的坐标是(4，2)，那么点A和点
B关于 对称；
(4)在一次数学活动中，小华同学先将点A(－2，－3)关于x轴对称得
对应点A1，再将点A1关于y轴对称得对应点A2，则点A2的坐标为
.
(5，3)
(0，2)
x轴
(2，3)
2. 剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对
称美.如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系
中，如果图中点E的坐标为(m，2)，其关于y轴对称的点F的坐标为
(5，n)，则m＋n的值为
( D )
A. 7 B. －7 C. 3 D. －3
D
能力过关
3. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－
1，3)，B(－3，1)，C(－1，0)，直线l上各点的纵坐标都为－1.
(1)在网格中画出与△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
解：如图，△A1B1C1即为所求.
(2)写出点A1，B1，C1的坐标.
解：A1(－1，－5)，B1(－3，－3)，C1(－1，－2).
4. 已知点P(a＋1，2)关于y轴的对称点为Q(b，b－1)，求(a＋b)2 025
的值.
解：由题意，得a＋1＝－b，b－1＝2，
∴a＝－4，b＝3.
∴(a＋b)2 025＝(－4＋3)2 025＝(－1)2 025＝－1.
思维过关
5. (易错题)如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的
△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称，且也以格点为顶
点的三角形，这样的三角形共有
( C )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
C
6. 【推理能力】如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往
复的轴对称变换，若原来点A的坐标是(a，b)，则经过第2 025次变
换后所得点A的坐标是 .
(a，－b) (共16张PPT)
第十五章 轴对称
微专题4 共顶点的等腰(等边)三角形
将两个三角形绕着公共顶点(即头)旋转某一角度后能完全重合，
则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“SAS”
判定定理证明全等。
【模型图示】
【常见模型】
1. 如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是
( C )
A. 135°
B. 125°
C. 120°
D. 110°
C
2. 如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝
( A )
A. 55° B. 50° C. 45° D. 60°
A
3. 如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝50°，连接
BD，CE，射线BD交CE于点F，则∠BFC＝ .
50°
4. 如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ. 则下列结论：①∠AOB＝60°；
②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤△ACD≌△BCE. 其中正确的是 .
①②③⑤
5. 如图，在△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝90°，在△ACE中，AC＝AE，∠EAC＝90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：
①DC＝BE；②∠BDC＝∠BEC；③DC⊥BE；④FA平分∠DFE. 其中，正确的结论有
( B )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
B
6. 已知：如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D，E
分别是AB，AC上的点，AD＝AE，不难发现BD，CE之间的关系.
(1)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，求出BD，CE之间的数量
关系.
解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE(SAS).∴BD＝CE.
(2)当∠BAC＝90°时，将△ADE绕点A旋转到图③的位置.
①猜想BD与CE有什么数量关系和位置关系？请就图③的情形进行
证明；
②当点C，D，E在同一直线上时，直接写出∠ADB的度数.
解：①BD＝CE，BD⊥CE. 证明如下：
如图③，BD交AC于点F，交CE于点M.
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE(SAS).
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.
在△BAF和△CMF中，∠ABD＝∠ACE，∠AFB＝∠MFC，
∴∠FMC＝∠FAB. ∵∠BAC＝90°，∴∠FMC＝90°.
∴BD⊥CE. ∴BD＝CE，BD⊥CE.
②∠ADB的度数为45°或135°.
7. 已知在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是BM上
一点.
【问题解决】
(1)如图①，若∠ABC＝60°，射线BM在∠ABC内部，∠ADB＝
60°，求证：∠BDC＝60°.
小明同学展示的做法是：在BM上取一点E，使得
AE＝AD，通过已知的条件，从而求得∠BDC的
度数，请你帮助小明写出证明过程.
证明：如图①，在BM上取一点E，连接AE，使AE＝AD.
∵∠ADB＝60°，∴△ADE是等边三角形. ∴∠EAD＝60°.
∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形.
∴∠BAC＝60°.∴∠BAC＝∠EAD.
∴∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC，即∠BAE＝∠CAD.
在△BAE和△CAD中，
∴△BAE≌△CAD(SAS). ∴∠ADC＝∠AEB＝120°.
∴∠BDC＝120°－60°＝60°.
【类比探究】
(2)如图②，已知∠ABC＝∠ADB＝28°.
①当射线BM在∠ABC内部，求∠BDC的度数.
②当射线BM在BC下方，如图③所示，请问∠BDC的度数会变化
吗？若不变，请说明理由；若改变，请求出∠BDC的度数.
解：①如图②，在BD上取一点E，连接AE，使AE＝AD.
∵∠ABC＝∠ADB＝28°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝28°，∠AED＝∠ADE＝28°.
∴∠BAC＝∠EAD＝124°.∴∠BAE＝∠CAD.
在△BAE和△CAD中，
∴△BAE≌△CAD(SAS). ∴∠ADC＝∠AEB＝180°－28°＝152°.
∴∠BDC＝152°－28°＝124°.
②∠BDC的度数会变化.理由如下：
如图③，在DB延长线上取一点E，连接AE，使AE＝AD.
同①的方法可证△BAE≌△CAD，
∴∠ADC＝∠E＝∠ADE＝28°.
∴∠BDC＝∠ADE＋∠ADC＝28°＋28°＝56°.(共19张PPT)
第十五章 轴对称
第3课 线段的垂直平分线的有关作图
如图，在△ABC中，求作点P，使点P到AB和AC的距离相等，
且点P在BC上.
解：如图所示，点P即为所求作的点.
作已知线段的垂直平分线
(教材P67)尺规作图：已知线段AB，作出它的垂直平分线
(保留作图痕迹，不写作法).
解：如图所示，直线CD即为所求作的垂直平分线.
(教材P71改编)如图，已知公路l附近有两个村庄A和B.
要在公路旁边建一个公交站，使公交站到两个村庄的距离相等.请确
定公交站的位置(公交站用点P表示；保留作图痕迹，不写作法).
解：如图所示，点P即为公交站的位置.
过已知点作直线的垂线
(教材P68)下面是晓东设计的“经过已知直线外一点作这
条直线的垂线”的尺规作图过程.
已知：直线l及直线l外一点P.
求作：直线l的垂线，使其经过点P.
作法：如图，①以点P为圆心，适当长为半径作弧交直线l于A，B
两点；②分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径作弧，两弧在直
线l下方交于点C；③作直线PC即为所求.
(1)根据晓东设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形(保留
作图痕迹)；
解：如图，直线PC即为所求.
(2)完成下面的证明.
证明：如图，连接PA，PB，AC，BC.
∵PA＝PB，∴ .
∵ ，∴点C在线段AB的垂直平分线上.
∴直线PC为线段AB的垂直平分线，即PC⊥l.
点P在线段AB的垂直平分线上
AC＝BC
下面是“过直线上一点作已知直线的垂线”的尺规作
图过程：
已知：如图，点P在直线l上.
求作：直线PQ，使PQ⊥l.
作法：如图，①以点P为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于A，
B两点；②分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧在
直线l上方交于点Q；③作直线PQ即为所求.
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
解：如图，直线PQ即为所求.
(2)完成下面的证明.
证明：如图，连接AQ，BQ.
∵根据作法，有AQ＝ ，AP＝ ，
∴点P，Q在线段AB的 上.
∴PQ⊥AB，即PQ⊥l.
BQ
BP
垂直平分线
作对称轴
(教材P69)如图，是由等腰三角形ABC(AC＝BC)和以AB
为直径的半圆组成的轴对称图形，借助尺规作出它的对称轴(保留痕
迹，不写作法).
解：如图，直线CD即为所求.
如图，△ABC与△DEF 关于直线l对称，请用无刻度的直
尺作出它们的对称轴.
解：如图所示，直线l即为所求.
基础过关
1. 如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕
迹，可以判断以下结论错误的是
( D )
A. ED＝CD
B. AC＝AE
C. ∠EDB＝∠CAB
D. ∠DAC＝∠B
D
2. 如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于 BC长为半
径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交AC于点D，交BC于
点E，连接BD. 若AB＝9，BC＝6，AC＝13，则△ABD的周长为
( B )
A. 28 B. 22 C. 19 D. 15
B
能力过关
3. 如图①是小飞制作的蝴蝶风筝，蝴蝶风筝的骨架图如图②所示，
其中AB＝DC，OB＝OC，∠B＝∠C，∠AOD＋∠BOC＝210°.
(1)∠AOB＝ °；
(2)用尺规作图②的对称轴MN(不写作法).
解：如图②，直线MN即为所求.
75
4. 【应用意识】(教材P71改编)如图，道路AO，OB的交叉区域(∠AOB的内部)为东山公园，C，D分别是两处游乐场地，若设置一个游乐场售票点M，使M到两条道路的距离相等，且MC＝MD，这个售票点的位置应建在何处？请作出这个点(保留作图痕迹，不写作法).
解：如图，点M即为所求.
思维过关
5. 为了促进旅游发展，我市要在三条公路围成的一块△ABC平地上
修建一个信号发射塔M和度假村N. 请按要求完成以下作图(保留作
图痕迹，不写作法).
(1)要使这个信号发射塔M到三条公路的距离相等，请用尺规在图①
中作出M的位置.
解：如图①，点M即为所求.
(2)要使度假村N到三个交叉路口的距离相等，请用尺规在图②中作
出N的位置.
解：如图②，点N即为所求.
(3)请探究说明(2)中作法的正确性.由此你能得出什么结论？
解：如图②，连接NB，NA，NC.
∵点N在BC的垂直平分线上，
∴NB＝NC.
∵点N在AB的垂直平分线上，
∴NB＝NA. ∴NA＝NB＝NC.
结论：三角形各边垂直平分线的交
点到三角形三个顶点的距离相等.(共15张PPT)
第十五章 轴对称
微专题6 等腰(等边)三角形的性质与判定综合
1. 数学课上，老师画出一个等腰三角形ABC并标注：AB＝AC＝
10，∠A＝30°，然后让同学们提出有效问题并解决.请你结合同学
们提出的问题给予解答.
(1)甲同学提出：如图①，过点C作CH⊥AB于点H，可求出CH
＝ ；
(2)乙同学提出：△ABC的面积为 ；
5
25
(3)丙同学提出：如图②，点D为边BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足为E，F，请求出DE＋DF的值；
解：如图②，连接AD. ∵AB＝AC＝10，
∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD
＝ AB·DE＋ AC·DF
＝ AC(DE＋DF)
＝5(DE＋DF).
由(2)，知S△ABC＝25，∴5(DE＋DF)＝25.
∴DE＋DF＝5.
(4)丁同学说受丙同学启发，如图③，点D为边BC上任一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CH⊥AB，垂足为E，F，H，则有DE＋DF＝CH，
请你为丁同学说明理由.
解：如图③，连接AD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，CH⊥AB，
∴S△ABD＝ AB·DE，S△ACD＝ AC·DF，S△ABC＝ AB·CH.
∵S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，AB＝AC，
∴ AB·DE＋ AC·DF＝ AB·CH，
即AB·(DE＋DF)＝AB·CH. ∴DE＋DF＝CH.
2. 综合与实践
问题情境：数学课上，同学们以等腰三角形和平行线为背景展开探
究.如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，过点A
作BC的平行线l.
独立思考：(1)在图①中的直线上取点E(点E在点A左侧)，使AE＝
BD，连接DE交AB于点F，得到图②.试判断EF与DF的数量关
系，并说明理由.
解：EF＝DF. 理由如下：
∵AE∥BC，∴∠AEF＝∠BDF.
又AE＝BD，∠AFE＝∠BFD，
∴△AFE≌△BFD(AAS).
∴EF＝DF.
模型探究：(2)在图①中的直线上取点G，H(点G，H分别在点A的
两侧)，使AG＝AH，连接DG交AB于点M，连接DH交AC于点
N，得到图③.小宇发现GM＝HN，请你帮她说明理由.
解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵直线l∥BC，
∴∠GAM＝∠B，∠HAN＝∠C. ∴∠GAM＝∠HAN.
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.
∵直线l∥BC，∴AD⊥GH.
∵AG＝AH，∴DA是GH的垂直平分线.
∴DG＝DH.
∴∠DGA＝∠DHA.
∴△AGM≌△AHN(ASA).∴GM＝HN.
合作交流：(3)同学们在图③的基础上展开了更深入的探究，若
∠BAC＝40°，当△AGM是等腰三角形时，直接写出∠GDH的度数.
解： ∠GDH为40°或70°或100°.
3. 综合与实践
已知：等边△ABC.
【观察猜想】(1)如图①，D为线段AB上一点，DE∥BC，交AC于
点E. 可知△ADE为 三角形.
等边
【深入探究】D为线段AB上一点，F为线段CB延长线上一点，且
DF＝DC.
(2)特殊感知：如图②，已知等边三角形
的边长为2，当点D为AB的中点时，线
段BF的长为 .
1
(3)特例启发：如图③，当D为AB上任意一点，其余条件不变，猜想
线段AD与BF的数量关系，并说明理由.
解：AD＝BF. 理由如下：
如图③所示，过点D作DH∥CF，交AC于点H.
由【观察猜想】可得△ADH是等边三角形，
∴∠AHD＝60°，AD＝DH.
∴∠CHD＝180°－∠AHD＝180°－60°＝120°.
∵∠ABC＝60°，
∴∠DBF＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°＝∠CHD.
∵DF＝DC，∴∠F＝∠DCF.
∵∠F＋∠FDB＝∠ABC＝60°，∠DCF＋∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴∠FDB＝∠DCH.
在△BDF和△HCD中，
∴△BDF≌△HCD(AAS).
∴BF＝DH.
又AD＝DH，∴AD＝BF.
4. 综合与实践
教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形；等边三
角形的三个内角都相等，并且都等于60°；三个角都相等的三角形
是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
探究问题：等边三角形的三个内角都等于60°，由此可得等边三角
形的每一个外角都等于120°，那么等边三角形与120°的角是否还
有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你
帮助他们完成证明过程或解答过程.
(1)如图①，△ABC是等边三角形，点D，E分别在CB和BC的延长
线上，且∠DAE＝120°，该兴趣小组的同学发现，当∠D的度数确
定时，∠E的度数也随之确定.
①若∠D＝26°，则∠E的度数为 .
②求证：∠D＝∠EAC.
34°
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，∠ABC＝60°.
∴∠D＋∠BAD＝60°.
又∠EAC＋∠BAD＝∠DAE－∠BAC＝60°，
∴∠D＝∠EAC.
(2)如图②，△ABC是等边三角形，点P是三角形内一点，且∠APB
＝120°，延长AP交BC于点D，延长BP交AC于点E，判断线段
PA，PB，PD，PE之间有什么数量关系，并说明理由.
解：PA＋PD＝PB＋PE. 理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°.
∴∠EBC＋∠BEC＝120°.
∵∠APB＝120°，∴∠EBC＋∠ADB＝120°.
∴∠BEC＝∠ADB. ∴△ABD≌△BCE(AAS).
∴AD＝BE，即PA＋PD＝PB＋PE.
(3)如图③，△ABC是等边三角形，点P是三角形外一点，且∠BPC
＝120°，连接AP，直接写出线段PA，PB，PC之间的数量关系.
解：PA＝PB＋PC.(共14张PPT)
第十五章 轴对称
微专题5 等腰三角形的综合实践题
1. 综合与实践：
我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等，那么不相等
的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？
【观察猜想】
(1)在△ABC中，AB＞AC，猜想∠C与∠B的大小关系.
解：在三角形中大边对应大角，猜想∠C＞∠B.
【操作证明】
(2)如图①，某同学发现在△ABC中，若AB＞AC，可将△ABC折
叠，使边AC落在AB上，点C落在边AB上的点E，折痕交BC于点
D，连接ED，发现∠AED＝∠B＋∠EDB，……，请用上述思路证
明(1)中猜想的结论.
解：由折叠可知∠AED＝∠C，
∵∠AED＝∠B＋∠EDB，
∴∠C＝∠B＋∠EDB，即∠C＞∠B.
【操作发现】
同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角，大角对大边”，发
现存在图①中的四边形AEDC，满足AE＝AC，DE＝DC. 查阅资
料，如图②有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.
【拓展应用】
(3)资料显示，“筝形”仪器可用于检测门框是否水平.如图③，某同
学将“筝形”仪器AEDC上的点A处绑一条细绳，细绳另一端挂一个
铅锤，并将仪器上的点E，C紧贴门框上方，若观察到细绳恰好经过
点D，则可判断门框是水平的.请说明此同学做法的理由.
解：在△ADE和△ADC中，
∴△ADE≌△ADC(SSS).
∴∠DAE＝∠DAC，即AD为∠CAE的平分线.
∵AE＝AC，∴AD⊥CE.
∵AD为铅锤线，∴CE是水平的，即门框是水平的.
(4)如图④，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，
E，F分别是边AB，BC上的动点，当四边形AEFC
为“筝形”时，请求出∠BFE的度数.
解：∵∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠ACB＝60°.
①当AE＝FE，AC＝FC时，如图.
∵四边形AEFC为“筝形”，∴△ACE≌△FCE.
∴∠EFC＝∠A＝90°.
∴∠BFE＝90°.
②当AE＝AC，FE＝FC时，如图.
∵四边形AEFC为“筝形”，∴△AFE≌△AFC.
∴∠AEF＝∠ACB＝60°.
∴∠BFE＝∠AEF－∠B＝30°.
综上所述，∠BFE＝90°或30°.
2. 【问题背景】
折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，传
到全世界.折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为
了现代几何学的一个分支.在综合与实践课上，同学们以“长方形纸
片的折叠”为主题展开探究活动.
操作
探究
一 动手操作： 步骤1：如图①，将长方形纸片ABCD对折，使
AB与DC重合，得到折痕MN，展平纸片； 步骤2：再沿着过点A的直线折叠纸片，使点B
的对应点E落在折痕MN上，展平纸片，得到的
新折痕与BC边交于点 F，连接AE，DE，FE.
【操作探究】
操作
探究
一 问题探究一： (1)试说明：DE＝AB；
解：根据折叠可知，MN⊥AD，AM＝DM，AB＝AE，
∴AE＝DE.
∴DE＝AB.
操作探 究一 (2)若点D，E，F在同一条直线上，连接BE，求∠EBF的度数.
解：在长方形纸片ABCD中，∠ABF＝90°，AD∥BC.
根据折叠可知∠AEF＝∠ABF＝90°，BF＝EF.
∵点D，E，F在同一条直线上，∴∠AED＝180°－90°＝90°.
∵AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE＝ ×(180°－90°)＝45°.
又AD∥BC，∴∠NFE＝∠ADE＝45°.
∵BF＝EF，∴∠EBF＝∠BEF.
∵∠EBF＋∠BEF＝∠EFN＝45°，
∴∠EBF＝ ×45°＝22.5°.
操
作
探
究
二 动手操作： 步骤1：如图②，将长方形纸片ABCD对折，使AD
与BC重合，得到折痕PQ，展平纸片； 步骤2：再沿着直线AQ折叠纸片，点D的对应点G
落在长方形纸片ABCD内，连接AG，QG，PG.
问题探究二： (3)判断AQ与PG的位置关系，并说明理由.
解：AQ∥PG. 理由如下：
如图②，设PQ与AG交于点M.
根据折叠可知，AD＝AG，∠DAQ＝∠GAQ，AD∥PQ，AD＝PQ，∴∠DAQ＝∠AQP. ∴∠AQP＝∠GAQ. ∴AM＝QM.
又AD＝AG，AD＝PQ，∴AG＝PQ.
∴AG－AM＝PQ－MQ，即PM＝GM.
∴∠MPG＝∠MGP.
∵∠AMQ＝∠PMG，
∴∠MPG＋∠MGP＝∠AQP＋∠GAQ.
∴∠MPG＝∠MGP＝∠AQP＝∠GAQ. ∴AQ∥PG.(共19张PPT)
第十五章 轴对称
第10课 第十五章复习
轴对称及轴对称图形
1. 现在的图书馆不单是人们学习知识的地方，更成为人们休闲的好
去处.下列图书馆标志的图形中不是轴对称图形的是
( B )
A B C D
B
2. 若点A(a，－1)与点B(2，b)关于y轴对称，则a－b的值是
( A )
A. －1
B. －3
C. 1
D. 2
A
线段垂直平分线的性质与判定
3. 如图，AC＝AD，BC＝BD，则有
( A )
A. AB垂直平分CD
B. CD垂直平分AB
C. AB与CD互相垂直平分
D. CD平分∠ACB
A
4. 下列尺规作图中，点P到三角形三个顶点的距离相等的是
( C )
C
等腰(等边)三角形的性质与判定
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，若∠1＝30°，
则∠2的度数是
( A )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
第5题图
A
6. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线
上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ °.
第6题图
15
7. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E
作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N. 若△AMN的周长为18，
BC＝6，则△ABC的周长为
( C )
A. 21 B. 22 C. 24 D. 26
C
含30°角的直角三角形的性质
8. 如图，D为等边△ABC的边AB上一点，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为点E，F，D. 若AB＝9，则BE＝ .
3
最短路径问题
9. (1)请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
解：(1)如图，△A'B'C'即为所求.
(2)直接写出A'，B'，C'三点的坐标：
A' ，B' ，C' ；
(2，3)
(3，1)
(－1，－2 )
(3)在y轴上找出点P，使PA＋PB最小.
解： (3)如图，连接AB'，AB'与y轴
的交点P即为所求.
10. 如图，在△ABC中，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发
以3 cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2 cm/s的速度向
点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当
△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 s.
第10题图
4
11. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝
6，点O是AB的中点，点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接
OD，则OD＋ CD的最小值为 .
第11题图
3
12. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，且E为
边BC的中点，连接AE，以AE为边向上作等边三角形ADE，连接
BD，则BD的长为 .
6
13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，
BC，AC上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△DBE和△ECF中，
∴△DBE≌△ECF(SAS).∴DE＝EF.
∴△DEF是等腰三角形.
(2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数.
(2)解：由(1)，得△DBE≌△ECF，
∴∠BDE＝∠CEF.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°，
∴∠B＝ ×(180°－40°)＝70°.
∴∠BDE＋∠BED＝110°.
∴∠CEF＋∠BED＝110°.
∴∠DEF＝70°.
14. 【操作实验】如图①，把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开，
发现被折痕分成的两个三角形成轴对称，所以△ABD≌△ACD. 所
以∠B＝∠C.
【归纳结论】如果一个三角形
有两条边相等，那么这两条边
所对的角也相等.
根据上述内容，回答下列问题：
【探究应用】如图②，CB⊥AB，垂足为B，DA⊥AB，垂足为
A，E为AB的中点，AB＝BC，CE⊥BD.
(1)AD与BE是否相等？为什么？
解：(1)AD＝BE. 理由如下：
∵BD⊥EC，DA⊥AB，CB⊥AB，
∴∠CEB＋∠1＝90°，∠1＋∠ADB＝90°，∠DAB＝∠EBC＝90°.
∴∠ADB＝∠BEC.
在△ADB和△BEC中，
∴△ADB≌△BEC(AAS).∴AD＝BE.
(2)小明认为AC垂直并且平分线段DE，你认为对吗？说说你的理由.
解：(2)对.理由如下：∵E是AB中点，∴AE＝BE.
∵AD＝BE，∴AE＝AD.
∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA.
∵CB⊥AB，DA⊥AB，∴AD∥BC.
∴∠DAC＝∠BCA. ∴∠BAC＝∠DAC.
在△ADC和△AEC中，
∴△ADC≌△AEC(SAS).∴DC＝EC.
∴点C在线段DE的垂直平分线上.
∵AD＝AE，∴点A在线段DE的垂直平分线上.
∴AC垂直平分线段DE.
(3)∠DBC与∠DCB相等吗？试说明理由.
解：(3)相等.理由如下：
由(1)，可知△ADB≌△BEC，∴BD＝CE.
由(2)，可知AC垂直平分线段DE，∴CD＝CE.
∴CD＝BD. ∴∠DBC＝∠DCB.(共14张PPT)
第十五章 轴对称
第1课 轴对称及其性质
轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，这个图形就叫作 ，这条直线就是它的
.
轴对称图形
对称
轴
( B )
A B C D
秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式是小篆，“飞龙在
天”这个成语的小篆字体如下，其中是轴对称图形的是
B
下列图形中，是轴对称图形的是
( D )
D
成轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，
那么就说这两个图形关于这条直线 ，这条直线叫
作 ，折叠后重合的点是对应点，叫作 .
(成轴)对称
对称轴
对称点
(教材P65)如图，△ABC沿直线l对折后和△DEF重合，则
称△ABC与△DEF成 ，直线l叫作 ，则
(1)点A的对称点是 ；
(2)AB的对应线段为 ；
(3)∠C的对应角是 ；
(4)△ABC △DEF.
轴对称
对称轴
点D
DE
∠F
≌
下列四个图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的是
( D )
A B C D
D
轴对称的性质
(1)垂直平分线的概念：经过线段 并且 于这条线段
的直线，叫作这条线段的垂直平分线.
(2)轴对称的性质：
①成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴 .
②无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其
任意一对对称点所连线段的 .
中点
垂直
垂直平分
垂直平分线
(教材P70)如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，连接BB'交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是
( D )
A. BC＝B'C' B. CO＝C'O
C. AA'⊥MN D. AB＝B'C'
如图，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，
下列结论中不正确的是
D
( D )
D
A. ∠1＝∠2 B. ∠3＝∠4
C. l垂直平分AB，CD D. OA＝OC，OB＝OD
基础过关
1. 在下列图形中，对称轴的条数最多的图形是
( A )
A B C D
A
2. 如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为
( B )
A. 4 cm2 B. 8 cm2 C. 12 cm2 D. 16 cm2
B
能力过关
3. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，
垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点
B'，则∠CAB'的度数为
( A )
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
A
4. 如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中
方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来
的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是
( B )
A. 1号袋 B. 2号袋 C. 3号袋 D. 4号袋
B
思维过关
5. 如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，沿过点B的直线折叠这个
三角形，使点C落在AB边上的点E处，BD为折痕，若S△BCD＝
S△ABC，则AB边的长为
( C )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
C
6. 如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延
长线交BC于点D，若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC等于
( D )
A. 30° B. 45° C. 52° D. 72°
D(共19张PPT)
第十五章 轴对称
第2课 线段的垂直平分线的性质与判定
线段的垂直平分线的性质
(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 ；
相等
(2)几何语言：
如图，∵CD是AB的垂直平分线，点P，Q在直线CD上，
∴PA＝ ，QA＝ .
PB
QB
如图，在△ABC中，直线CD是线段AB的垂直平分线，
垂足为D.
(1)AD＝ ，∠ADC＝∠BDC＝ ，AC＝ ；
BD
90°
BC
(2)若AD＝3，AC＝5，则△ABC的周长为 .
16
如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，△ABC的周长为
20，AD＝4，则△ACE的周长为 .
12
线段的垂直平分线的判定
(1)与线段两个端点距离相等的点在这条线段的 上；
(2)几何语言：
如图，∵ ，直线m是线段AB的垂直平分线，
∴点P在直线m上.
垂直平分线
PA＝PB
(教材P67)如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在直线AD
上，求证：BE＝CE.
证明：∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上.
∵DB＝DC，
∴点D在BC的垂直平分线上.
∴AD垂直平分BC.
∵点E在直线AD上，
∴BE＝CE.
如图，点E是∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OA，
ED⊥OB，垂足分别为C，D.
求证：(1)△OCE≌△ODE；
证明：∵点E是∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC＝ED.
在Rt△OCE和Rt△ODE中，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL).
(2)OE是线段CD的垂直平分线.
证明：∵Rt△OCE≌Rt△ODE，
∴OC＝OD.
又EC＝ED，
∴点O，E在线段CD的垂直平分线上.
∴OE是线段CD的垂直平分线.
逆命题
(1)题设、结论正好相反的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫
作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
(2)如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定
理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆
定理.
(教材P67)写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是
否成立.
(1)内错角相等，两直线平行；
解：逆命题：两直线平行，内错角相等.逆命题成立.
(2)对顶角相等.
解：逆命题：相等的角是对顶角.逆命题不成立.
下列命题的逆命题成立的是
( A )
A. 同旁内角互补，两直线平行
B. 等边三角形是锐角三角形
C. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等
D. 全等三角形的对应角相等
A
基础过关
1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，若AC＝6
cm，BC＝7 cm，则△BCD的周长为
( C )
A. 20 cm B. 19 cm C. 13 cm D. 12 cm
C
2. 在锐角△ABC内有一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC
的
( D )
A. 三条角平分线的交点
B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点
D. 三边垂直平分线的交点
D
能力过关
3. 如图，在△ABC中，BC＝10 cm，AC的垂直平分线交BC于点
D，连接AD，AB的垂直平分线交AD于点F，则△BDF的周长是
( B )
A. 5 cm B. 10 cm C. 15 cm D. 20 cm
B
4. 如图，BD垂直平分AG于点D，CE垂直平分AF于点E，若BF
＝1，FG＝3，GC＝2，则△ABC的周长为 .
15
思维过关
5. 【几何直观、推理能力】如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直
平分AC和BC，分别交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.
(1)若△CMN的周长为15 cm，则AB＝ ；
15 cm
解：∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD＋∠BNE＝∠NMF＋∠MNF＝110°.
∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝180°－(∠AMD＋
∠BNE)＝180°－110°＝70°.
(2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数.
∵AM＝CM，DM＝DM，BN＝CN，NE＝NE，
∴Rt△AMD≌Rt△CMD(HL)，
Rt△BNE≌Rt△CNE(HL).
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.
∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝180°－2×70°＝40°.
6. (教材P71改编)如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于
点P.
(1)求证：PA＝PB＝PC.
证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC. ∴PA＝PB＝PC.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？请说明理由.
解：在.理由：
∵PA＝PC，∴点P在边AC的垂直平分线上.
