1.4.2 两条直线垂直
课时目标
1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.会用垂直的条件判定两条直线是否垂直.
3.运用两直线垂直时斜率的关系解决相应几何问题.
1.斜率与两条直线垂直的关系
(1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2 k1k2＝______.
(2)特殊地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线垂直.
2.两条直线垂直时一般式中系数的关系
设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
微点助解
(1)已知两直线垂直，若其中一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为零.
(2)两直线垂直的充要条件是两直线的夹角为90°.
[基点训练]
1.已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2( )
A.平行 B.垂直
C.重合 D.非以上情况
2.若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有( )
A.α1－α2＝90° B.α2－α1＝90°
C.|α2－α1|＝90° D.α1＋α2＝180°
3.若经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________.
题型(一) 判定两直线垂直
[例1] 判断直线l1与l2是否垂直.
(1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(2)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)；
(3)l1经过点A(－1,2)，B(5，－1)，l2经过点C(1,0)，D(4,6)；
(4)直线l1：－3x＋4y＋1＝0，直线l2：8x＋6y－3＝0.
听课记录：
[方法技巧] 判定两直线垂直的常用方法
斜率法 有两斜率均存在和一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零两种情形
向量法 用直线的方向向量或法向量
系数法 用两直线一般式的系数等式(A1A2＋B1B2＝0)
[针对训练]
1.已知两条直线l1和l2，其斜率分别是一元二次方程k2＋2 024k＝1的两不等实数根，则其位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.重合 D.异面
2.[多选]满足下列条件的直线l1与l2，其中l1⊥l2的是( )
A.l1的倾斜角为45°，l2的斜率为1
B.l1的斜率为－，l2经过点A(2,0)，B(3，)
C.l1经过点P(2,1)，Q(－4，－5)，l2经过点M(－1,2)，N(1,0)
D.l1的方向向量为(1，m)，l2的方向向量为
题型(二) 根据直线垂直求参数或点的坐标
[例2] 若直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0互相垂直，则a的值是( )
A.－3 B.1
C.0或－ D.1或－3
听课记录：
[例3] 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a的值为______.
听课记录：
(1)由两直线垂直求参数，用A1A2＋B1B2＝0更方便，可避开讨论斜率是否存在的情形；
(2)由垂直关系求点的坐标，先设出点的坐标，再利用k1k2＝－1或直线的方向向量、法向量垂直求解.
[针对训练]
3.已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x－by－2＝0，则“＝－1”是“l1⊥l2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.在平面直角坐标系内点A(4,2)，B(1，－2)，若在x轴上存在点C，使∠ACB＝，则点C的坐标为( )
A.(3,0) B.(0,0)
C.(5,0) D.(0,0)或(5,0)
题型(三) 求与已知直线垂直的直线方程
[例4] 已知△ABC的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,4).
(1)求BC边上的中线的直线方程；
(2)求BC边上的高的直线方程；
(3)求AC边的垂直平分线.
听课记录：
与已知直线垂直的直线方程的求法
(1)由已知直线求出斜率，再利用垂直直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出所求直线方程.但要注意一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况.
(2)待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0，再由直线所过的点确定m.
[针对训练]
5.求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程.
两条直线垂直
?课前环节
1.(1)－1
[基点训练]
1.选B 根据斜率乘积为－1，可知两条直线垂直.
2.C
3.解析：由题意可知m≠2，则kl＝＝，解得m＝.
答案：
?课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解：(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1＝－10，k2＝＝，
因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2.
(2)由点A，B的横坐标相等，得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴，设直线l2的斜率为k2，
则k2＝＝0，
所以l2∥x轴，故l1⊥l2.
(3)法一 直线l1的斜率k1＝＝－，
直线l2的斜率k2＝＝2，
因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2.
法二 直线l1的方向向量＝(6，－3)，
直线l2的方向向量＝(3,6)，
因为·＝0，所以⊥，所以l1⊥l2.
(4)法一 由－3x＋4y＋1＝0得其斜率为k1＝，由8x＋6y－3＝0得其斜率为k2＝－，故k1k2＝－1，所以这两条直线互相垂直.
法二 因为A1A2＋B1B2＝－3×8＋4×6＝0，
所以这两条直线互相垂直.
[针对训练]
1.选B 由题意，设两条直线l1和l2的斜率分别为k1，k2，且为一元二次方程k2＋2 024k＝1的两不等实数根，则k1k2＝－1，所以l1⊥l2.
2.选BCD kl1＝tan 45°＝1，kl2＝1，kl1·kl2≠－1，所以A不正确；kl2＝＝，kl1kl2＝－×＝－1，故B正确；kl1＝＝1，kl2＝＝－1，kl1kl2＝－1，故C正确；因为(1，m)·＝1－1＝0，所以两直线的方向向量互相垂直，故l1⊥l2，故D正确.
[题型(二)]
[例2] 选D ∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.
[例3] 解析：因为直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，所以l2的斜率存在，而l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，则其斜率可能不存在，当l1的斜率不存在时，a－2＝3，即a＝5，此时l2的斜率为0，则l1⊥l2，满足题意；当l1的斜率存在时，a－2≠3，即a≠5，此时直线l1，l2的斜率均存在，由l1⊥l2得k1k2＝－1，即·＝－1，解得a＝0.综上，a的值为0或5.
答案：0或5
[针对训练]
3.选A 因为直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x－by－2＝0，所以当l1⊥l2时，a·1＋(－1)(－b)＝0，即a＋b＝0，即＝－1或a＝b＝0，所以“＝－1”能推出“l1⊥l2”，“l1⊥l2”不能推出“＝－1”，所以“＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.
4.选D 设C(x0,0)，则kAC＝，kBC＝.∵∠ACB＝，∴AC⊥BC，则kAC·kBC＝－1，即·＝－1，解得x0＝0或x0＝5，∴点C的坐标为(0,0)或(5,0).故选D.
[题型(三)]
[例4] 解：(1)由B(6,7)，C(0,4)和中点坐标公式得BC的中点为，又A(4,0)，由直线方程的两点式得BC边上的中线的直线方程为＝，整理得11x＋2y－44＝0.
(2)由B(6,7)，C(0,4)，得kBC＝＝，所以BC边上的高的直线的斜率为－2.又A(4,0)，则BC边上的高的直线方程为y－0＝－2(x－4)，整理得2x＋y－8＝0.
(3)因为A(4,0)，C(0,4)，所以其中点坐标为(2,2)，而kAC＝＝－1，则AC边的垂直平分线的斜率为1，所以其方程为y－2＝x－2，即x－y＝0.
[针对训练]
5.解：由题意，可设所求直线的方程为
3x＋4y＋b＝0.
令x＝0，可得y＝－，即A，
令y＝0，可得x＝－，即B，
又∵△AOB的周长为10，
即|OA|＋|OB|＋|AB|＝10，
∴＋＋＝10，解得b＝±10.
故所求直线的方程为3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0.(共76张PPT)
两条直线垂直
(强基课—梯度进阶式教学)
1.4.2
课时目标
1．理解并掌握两条直线垂直的条件.
2．会用垂直的条件判定两条直线是否垂直．
3．运用两直线垂直时斜率的关系解决相应几何问题．
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1．斜率与两条直线垂直的关系
(1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2 k1k2＝_____.
(2)特殊地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线垂直．
2．两条直线垂直时一般式中系数的关系
设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
－1
微点助解
(1)已知两直线垂直，若其中一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为零．
(2)两直线垂直的充要条件是两直线的夹角为90°.
基点训练
√
2．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有( )
A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90°
C．|α2－α1|＝90° D．α1＋α2＝180°
√
3．若经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
[例1] 判断直线l1与l2是否垂直．
(1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(2)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)；
(3)l1经过点A(－1,2)，B(5，－1)，l2经过点C(1,0)，D(4,6)；
(4)直线l1：－3x＋4y＋1＝0，直线l2：8x＋6y－3＝0.
题型(一) 判定两直线垂直
解：(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，
因为k1k2＝－1，
所以l1⊥l2.
(2)由点A，B的横坐标相等，得l1的倾斜角为90°，
则l1⊥x轴，设直线l2的斜率为k2，
所以l2∥x轴，
故l1⊥l2.
因为k1k2＝－1，
所以l1⊥l2.
故k1k2＝－1，
所以这两条直线互相垂直．
法二 因为A1A2＋B1B2＝－3×8＋4×6＝0，
所以这两条直线互相垂直．
判定两直线垂直的常用方法
方法技巧
斜率法 有两斜率均存在和一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零两种情形
向量法 用直线的方向向量或法向量
系数法 用两直线一般式的系数等式(A1A2＋B1B2＝0)
1．已知两条直线l1和l2，其斜率分别是一元二次方程k2＋2 024k＝1的两不等实数根，则其位置关系是( )
A．平行 B．垂直 C．重合 D．异面
解析：由题意，设两条直线l1和l2的斜率分别为k1，k2，且为一元二次方程k2＋2 024k＝1的两不等实数根，则k1k2＝－1，所以l1⊥l2.
针对训练
√
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解析：kl1＝tan 45°＝1，kl2＝1，kl1·kl2≠－1，所以A不正确；
题型(二) 根据直线垂直求参数或点的坐标
√
解析：∵l1⊥l2，
∴a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
即(a－1)(a＋3)＝0，
解得a＝1或a＝－3.
[例3] 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a的值为________．
0或5
(1)由两直线垂直求参数，用A1A2＋B1B2＝0更方便，可避开讨论斜率是否存在的情形；
(2)由垂直关系求点的坐标，先设出点的坐标，再利用k1k2＝－1或直线的方向向量、法向量垂直求解．
方法技巧
针对训练
√
√
[例4] 已知△ABC的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,4)．
(1)求BC边上的中线的直线方程；
(2)求BC边上的高的直线方程；
(3)求AC边的垂直平分线．
题型(三) 求与已知直线垂直的直线方程
所以BC边上的高的直线的斜率为－2.
又A(4,0)，
则BC边上的高的直线方程为y－0＝－2(x－4)，整理得2x＋y－8＝0.
(3)因为A(4,0)，C(0,4)，
所以其中点坐标为(2,2)，
则AC边的垂直平分线的斜率为1，
所以其方程为y－2＝x－2，即x－y＝0.
与已知直线垂直的直线方程的求法
(1)由已知直线求出斜率，再利用垂直直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出所求直线方程．但要注意一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况．
(2)待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0，再由直线所过的点确定m.
方法技巧
5．求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程．
针对训练
解：由题意，可设所求直线的方程为3x＋4y＋b＝0.
课时跟踪检测
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解析：∵直线2x＋y＋1＝0的斜率为k1＝－2，
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4．已知A(－2,1)，C(0,5)，则AC的垂直平分线所在直线方程为
( )
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x－2y＋5＝0 D．2x－y＋5＝0
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所以其中点坐标是(－1,3)，
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5．已知四边形MNPQ的顶点M(1,1)，N(3，－1)，P(4,0)，Q(2,2)，则四边形MNPQ的形状为( )
A．平行四边形 B．菱形
C．梯形 D．矩形
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解析：因为kMN＝－1，kPQ＝－1，
所以MN∥PQ，
又因为kMQ＝1，kNP＝1，
所以MQ∥NP，所以四边形MNPQ为平行四边形．
又因为kMN·kMQ＝－1，
所以MN⊥MQ，所以四边形MNPQ为矩形．
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6．若直线l1：2x＋3y－1＝0的方向向量是直线l2：ax－y＋2a＝0的法向量，则实数a的值等于____．
解析：由题意得l1⊥l2，
∴2a－3＝0，
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7．过原点作直线l的垂线，若垂足为(－2,3)，则直线l的方程是________________．
2x－3y＋13＝0
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8．当直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直时，a＝________.
解析：∵l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝±1.
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故a＝±1.
±1
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∴k1k2＝－1，
则l1⊥l2.
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法二 由两直线方程可得它们的法向量分别为n1＝(4,3)，n2＝(3，－4)．
∵n1·n2＝0，
∴l1⊥l2.
(3)∵l1的斜率为0，l2的斜率不存在，
∴l1⊥l2.
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10.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q (1－2t，2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状．
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所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，
从而OP∥QR，OR∥PQ.
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所以四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，
所以OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形．
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解析：设M(x,0)．①当x＝3时，PM⊥x轴，点Q在原点，此时t＝0；
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13．已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为________．
解析：∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，
∴n－(n－2)m＝0，∴2m＋n＝mn，
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14．已知直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝___________.
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解析：如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
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15．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使得四边形ABCD为直角梯形．
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解：①当∠A＝∠D＝90°时，如图①所示．
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AB∥DC且AD⊥AB，易求得m＝2，n＝－1.
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②当∠A＝∠B＝90°时，如图②所示．
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AD∥BC且AB⊥BC，
∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1，
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16．已知M(1，－1)，N(2,2)，P(3,0)．
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．
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解：(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，
由PQ⊥MN，
得kPQ·kMN＝－1，
由已知得kPN＝－2，
由PN∥MQ，
得kPN＝kMQ，
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联立①②，解得x＝0，y＝1，
即Q(0,1)．
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(2)设Q(x,0)，∵∠NQP＝∠NPQ，
∴kNQ＝－kNP，
即x＝1，
∴Q(1,0)．
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又∵M(1，－1)，
∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
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16课时跟踪检测(七) 两条直线垂直
A级——综合提能
1.直线l1，l2的斜率分别为－，－，若l1⊥l2，则实数a的值是( )
A.－ B.－
C. D.
2.下列直线与直线2x＋y＋1＝0垂直的是( )
A.2x－y＋1＝0 B.x－2y－1＝0
C.x＋2y－1＝0 D.x＋y＋1＝0
3.若直线2x＋6y－1＝0与直线mx－2y＋7＝0垂直，则m＝( )
A.6 B.4
C.－ D.－2
4.已知A(－2,1)，C(0,5)，则AC的垂直平分线所在直线方程为( )
A.x＋2y－5＝0 B.2x＋y－5＝0
C.x－2y＋5＝0 D.2x－y＋5＝0
5.已知四边形MNPQ的顶点M(1,1)，N(3，－1)，P(4,0)，Q(2,2)，则四边形MNPQ的形状为( )
A.平行四边形 B.菱形
C.梯形 D.矩形
6.若直线l1：2x＋3y－1＝0的方向向量是直线l2：ax－y＋2a＝0的法向量，则实数a的值等于________.
7.过原点作直线l的垂线，若垂足为(－2,3)，则直线l的方程是________________________.
8.当直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直时，a＝________.
9.判断下列两条直线是否垂直，并说明理由.
(1)l1：y＝－3x＋2，l2：y＝x＋5；
(2)l1：4x＋3y＝10，l2：3x－4y＝5；
(3)l1：y＝2 025，l2：x＝2 024.
10.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q (1－2t，2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状.
B级——应用创新
11.[多选]已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：x－by＋2＝0，则( )
A.若l1⊥l2，则＝－3
B.若l1∥l2，则ab＝3
C.若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则a＝±
D.当b<0时，l2不经过第一象限
12.已知点P(3,1)，Q(0，t)是y轴上的动点，若在x轴上存在点M，使得MP⊥MQ，则实数t的取值范围是( )
A. B.
C. D.
13.已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为________.
14.已知直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________.
15.已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使得四边形ABCD为直角梯形.
16.已知M(1，－1)，N(2,2)，P(3,0).
(1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.
课时跟踪检测(七)
1．选A ∵l1⊥l2，∴－×＝－1，∴a＝－.
2．选B ∵直线2x＋y＋1＝0的斜率为k1＝－2，∴与直线2x＋y＋1＝0垂直的直线的斜率k2＝＝，对照A、B、C、D各项，只有B项的斜率等于，故选B.
3．选A 由题意可知2m－12＝0，解得m＝6.
4．选A 因为A(－2,1)，C(0,5)，所以其中点坐标是(－1,3)，又kAC＝＝2，所以AC的垂直平分线所在直线方程为y－3＝－(x＋1)，即x＋2y－5＝0.故选A.
5．选D 因为kMN＝－1，kPQ＝－1，所以MN∥PQ，又因为kMQ＝1，kNP＝1，所以MQ∥NP，所以四边形MNPQ为平行四边形．又因为kMN·kMQ＝－1，所以MN⊥MQ，所以四边形MNPQ为矩形．
6．解析：由题意得l1⊥l2，∴2a－3＝0，解得a＝.
答案：
7．解析：设垂足为A，则kOA＝＝－，由题意可知kl＝－＝，所以直线l的方程是y－3＝(x＋2)，整理得2x－3y＋13＝0.
答案：2x－3y＋13＝0
8．解析：∵l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，解得a＝±1.将a＝±1代入方程，均满足题意．故a＝±1.
答案：±1
9．解：(1)∵k1＝－3，k2＝，
∴k1k2＝－1，则l1⊥l2.
(2)法一 ∵k1＝－，k2＝，
∴k1k2＝－1，则l1⊥l2.
法二 由两直线方程可得它们的法向量分别为n1＝(4,3)，n2＝(3，－4)．
∵n1·n2＝0，∴l1⊥l2.
(3)∵l1的斜率为0，l2的斜率不存在，∴l1⊥l2.
10．解：由斜率公式得kOP＝＝t，
kQR＝＝＝t，kOR＝＝－，kPQ＝＝＝－.
所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，
从而OP∥QR，OR∥PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形．
又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形．
11．选BCD 当l1⊥l2时，a＋3b＝0，解得＝－3或a＝b＝0，故A错误．当l1∥l2时，－ab＋3＝0，解得ab＝3.故B正确．在直线l1：ax－3y＋1＝0中，当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝－，所以l1与坐标轴围成的三角形面
积为S＝··＝1，解得a＝±，故C正确．由题知当b<0时，l2：y＝x＋的图象如图所示，故D正确．
12．选B 设M(x,0)．①当x＝3时，PM⊥x轴，点Q在原点，此时t＝0；②当x＝0时，kMQ不存在，kMP＝，不合题意；③当x≠0且x≠3时，则由kMP·kMQ＝×＝－1，得t＝－x2＋3x＝－2＋≤且t≠0.综上所述，实数t的取值范围是.
13．解析：∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，
∴n－(n－2)m＝0，∴2m＋n＝mn，
∴＋＝1.
∴m＋2n＝(m＋2n)
＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当m＝n＝3时取等号．
答案：9
14．解析：如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝.∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－.∴＝－，
解得m＝4＋.
答案：4＋
15．解：①当∠A＝∠D＝90°时，如图①所示．
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AB∥DC且AD⊥AB，易求得m＝2，n＝－1.
②当∠A＝∠B＝90°时，如图②所示．
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AD∥BC且AB⊥BC，
∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1，
∴解得
综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－.
16．解：(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，
由PQ⊥MN，得kPQ·kMN＝－1，
即×3＝－1.①
由已知得kPN＝－2，由PN∥MQ，
得kPN＝kMQ，即＝－2.②
联立①②，解得x＝0，y＝1，即Q(0,1)．
(2)设Q(x,0)，∵∠NQP＝∠NPQ，
∴kNQ＝－kNP，又∵kNQ＝，kNP＝－2，
∴＝2，即x＝1，∴Q(1,0)．
又∵M(1，－1)，∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
