1.5 两条直线的交点坐标
课时目标
会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标，会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.
逐点清(一) 两条直线的交点坐标
[多维度理解]
对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，其交点坐标就是方程组的解.
(1)若方程组有唯一解，则两条直线________，此解就是____________；
(2)若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线________.反之，亦成立.
[细微点练明]
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若点A(1，－1)在直线Ax＋By＝0上，则A＝B.( )
(2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.( )
(3)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.( )
(4)若直线2x＋y＋1＝0与直线x－y－4＝0的交点为(a，b)，则a－b＝4.( )
2.直线x－2y－6＝0与直线2x＋y－2＝0的交点坐标为( )
A.(0，－3) B.(1,0)
C.(3，－4) D.(2，－2)
3.直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为( )
A.－24 B.24
C.6 D.±6
4.若三条直线2x＋ky＋8＝0，x－y－1＝0和2x－y＝0交于一点，则k的值为( )
A.－2 B.－
C.3 D.
5.已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________.
逐点清(二) 两条直线的位置关系的判断
[多维度理解]
方程组解的个数与两条直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 ____
直线l1与l2的公共点的个数 一个 ____ 零个
直线l1与l2的位置关系 ____ 重合 ____
微点助解
(1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用.
(2)两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
[细微点练明]
1.若关于x，y的方程组无解，则m＝( )
A. B.－
C.2 D.－2
2.直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则实数k的值为( )
A.k≠1或k≠9 B.k≠1或k≠－9
C.k≠1且k≠9 D.k≠1且k≠－9
3.分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标.
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
逐点清(三) 过两条直线交点的直线系方程
过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).
[典例] 已知两条直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P.求：
(1)过点P与Q(1,4)的直线方程；
(2)过点P且与直线x－3y－1＝0垂直的直线方程.
听课记录：
[方法技巧] 求过两条直线交点的直线方程的方法
方程 组法 一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直线方程
直线 系法 先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程
[针对训练]
1.无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为( )
A.(1,3) B.(－1,3)
C.(3,1) D.(3，－1)
2.经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( )
A.x＋y＋1＝0 B.x－y＋1＝0
C.x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 D.x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0
两条直线的交点坐标
[逐点清(一)]
[多维度理解] (1)相交 交点坐标
(2)无公共点 平行
[细微点练明]
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.选D 由解得
则交点坐标为(2，－2).
3.选A 联立解得因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，所以y＝＝0，解得k＝－24.
4.选C 联立解得
把代入2x＋ky＋8＝0得k＝3.
故选C.
5.解析：联立方程组解得即交点坐标为，因为交点位于第四象限，所以>0且<0，解得－
答案：
[逐点清(二)]
[多维度理解] 无解 无数个 相交 平行
[细微点练明]
1.选A 由题意知，直线2x＋y＝1与直线x＋my＝1平行，故2m－1＝0，解得m＝.
2.选D 因为直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则3(2k－3)－k[－(k＋2)]≠0，即(k＋9)(k－1)≠0，解得k≠1且k≠－9，所以实数k的值为k≠1且k≠－9.
3.解：(1)联立方程组
解得因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).
(2)联立方程组
①×2得4x－12y＋8＝0.
①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，直线l1与l2重合.
(3)联立方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
[逐点清(三)]
[典例] 解：设过直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0交点的直线方程为x＋2y－6＋m(x－2y＋2)＝0，
即(m＋1)x＋(2－2m)y＋2m－6＝0①.
(1)把点Q(1,4)代入方程①，
化简得3－5m＝0，解得m＝.
所以过两直线交点P与Q的直线方程为
x＋y－＝0，即2x＋y－6＝0.
(2)由直线①与直线x－3y－1＝0垂直，
得m＋1－3(2－2m)＝0，解得m＝，
所以所求直线的方程为x＋y－＝0，
即3x＋y－8＝0.
[针对训练]
1.选D 直线方程可化为2x＋y－5＋k(x－y－4)＝0，则此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点.由
解得因此所求定点为(3，－1).
2.选C 设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝.由＝，得λ＝或λ＝.所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.(共75张PPT)
1.5
两条直线的交点坐标
(概念课—逐点理清式教学)
课时目标
会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标，会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 两条直线的交点坐标
逐点清(二) 两条直线的位置关系的判断
逐点清(三) 过两条直线交点
的直线系方程
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 两条直线的交点坐标
01
多维度理解
(1)若方程组有唯一解，则两条直线_____，此解就是__________ ；
(2)若方程组无解，则两条直线___________，此时两条直线_______．反之，亦成立．
相交
交点坐标
无公共点
平行
细微点练明
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若点A(1，－1)在直线Ax＋By＝0上，则A＝B. ( )
(2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交． ( )
(3)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解． ( )
(4)若直线2x＋y＋1＝0与直线x－y－4＝0的交点为(a，b)，则a－b＝4.
( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．直线x－2y－6＝0与直线2x＋y－2＝0的交点坐标为( )
A．(0，－3) B．(1,0)
C．(3，－4) D．(2，－2)
√
3．直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为( )
A．－24 B．24
C．6 D．±6
√
解得k＝－24.
√
5．已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是____________．
因为交点位于第四象限，
逐点清(二) 两条直线的位置
关系的判断
02
多维度理解
方程组解的个数与两条直线的位置关系
无解
无数个
相交
平行
微点助解
(1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
(2)两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
细微点练明
√
2．直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则实数k的值为( )
A．k≠1或k≠9 B．k≠1或k≠－9
C．k≠1且k≠9 D．k≠1且k≠－9
√
解析：因为直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，
则3(2k－3)－k[－(k＋2)]≠0，
即(k＋9)(k－1)≠0，
解得k≠1且k≠－9，
所以实数k的值为k≠1且k≠－9.
3．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点坐标．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
①×2得4x－12y＋8＝0.
①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，直线l1与l2重合．
逐点清(三) 过两条直线交点
的直线系方程
03
过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
[典例] 已知两条直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P.求：
(1)过点P与Q(1,4)的直线方程；
(2)过点P且与直线x－3y－1＝0垂直的直线方程．
解：设过直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0交点的直线方程为x＋2y－6＋m(x－2y＋2)＝0，
即(m＋1)x＋(2－2m)y＋2m－6＝0①.
(1)把点Q(1,4)代入方程①，
(2)由直线①与直线x－3y－1＝0垂直，
得m＋1－3(2－2m)＝0，
求过两条直线交点的直线方程的方法
方法技巧
方程组法 一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件求出直线方程
直线系法 先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程
1．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(3,1) D．(3，－1)
针对训练
√
解析：直线方程可化为2x＋y－5＋k(x－y－4)＝0，
则此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点．
2．经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( )
A．x＋y＋1＝0
B．x－y＋1＝0
C．x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0
D．x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0
√
解析：设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，
即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0，令x＝0，
课时跟踪检测
04
1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )
A．(3,2) B．(2,3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
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2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点
( )
A．(－3，－1) B．(－2，－1)
C．(－3,1) D．(－2,1)
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解析：直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，
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解得k＝4，
所以实数k＝4.
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4．若直线2x－y＋m＝0和直线3x－y＋3＝0的交点在第二象限，则m的取值范围为( )
A．(－∞，3) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(2,3)
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所以交点为(m－3,3m－6)，
由于(m－3,3m－6)在第二象限，
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解得2所以m的取值范围为(2,3)，故选D.
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6．若直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p的值为( )
A．20 B．－4 C．12 D．4
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解析：因为直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，
所以2m＋4×(－5)＝0，
解得m＝10，
所以直线mx＋4y－2＝0为5x＋2y－1＝0，
又垂足为(1，p)，
可得5×1＋2p－1＝0，
解得p＝－2，
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则垂足为(1，－2)．
又其在2x－5y＋n＝0上，
可得2×1－5×(－2)＋n＝0，
解得n＝－12.
所以m－n＋p＝10－(－12)＋(－2)＝20.
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7．已知直线l经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且l的一个方向向量为v＝(－3,2)，则直线l的方程为( )
A．2x－3y＋1＝0 B．2x＋3y－5＝0
C．3x－2y－5＝0 D．2x＋3y－1＝0
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即直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点为(1,1)，
又直线l的一个方向向量为v＝(－3,2)，
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即直线l1与l2的交点为M(1,1)，
因为直线l1：3x＋y＝4，l2：x－y＝0，l3：2x－3my＝4不能构成三角形，
所以l3过点M，或l3分别与l1，l2平行，
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若l3过点M，
则2－3m＝4，
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11．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为_______________．
2x＋y－4＝0
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∴交点坐标为(0,4)，
即y－4＝－2x，
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.
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法二 设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，
解得λ＝5.
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.
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12．已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点P，且垂直于直线x＋y－2＝0，则直线l的方程为_______________．
x－y－1＝0
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即点P的坐标为(2,1)，
因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，
所以直线l的斜率为1，
由点斜式得直线l的方程为y－1＝1×(x－2)，
即x－y－1＝0.
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13．已知定点A(0,1)，点B在直线x＋y＋1＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是___________．
(－1,0)
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解析：当直线AB和直线x＋y＋1＝0互相垂直时，线段AB最短．
即直线AB 的方程的斜率为k＝1，
所以直线AB的方程为y＝x＋1.
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14．已知平行四边形ABCD中，AB边所在直线方程为x＋y－1＝0，AD边所在直线方程为3x－y＋4＝0.
(1)求点A的坐标；
(2)若点C的坐标为(3,3)，分别求BC与DC边所在直线的方程．
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(2)因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，设CD边所在直线的方程为x＋y＋m＝0，代入点C的坐标(3,3)，得m＝－6，
所以CD边所在直线的方程为x＋y－6＝0，
同理AD∥BC，设BC边所在直线的方程为3x－y＋n＝0，代入点C的坐标(3,3)，得n＝－6，
所以BC边所在直线的方程为3x－y－6＝0.
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15.如图，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．
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同理可求得C点的坐标为(5,0)．
13课时跟踪检测(八) 两条直线的交点坐标
1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )
A.(3,2) B.(2,3)
C.(－2，－3) D.(－3，－2)
2.不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点( )
A.(－3，－1) B.(－2，－1)
C.(－3,1) D.(－2,1)
3.若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝( )
A.4 B.2
C. D.
4.若直线2x－y＋m＝0和直线3x－y＋3＝0的交点在第二象限，则m的取值范围为( )
A.(－∞，3) B.(2，＋∞)
C.(－∞，2)∪(3，＋∞) D.(2,3)
5.过两直线x＋y－3＝0,2x－y＝0的交点，且与直线y＝x平行的直线方程为( )
A.x＋3y＋5＝0 B.x＋3y－5＝0
C.x－3y＋5＝0 D.x－3y－5＝0
6.若直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p的值为( )
A.20 B.－4
C.12 D.4
7.已知直线l经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且l的一个方向向量为v＝(－3,2)，则直线l的方程为( )
A.2x－3y＋1＝0 B.2x＋3y－5＝0
C.3x－2y－5＝0 D.2x＋3y－1＝0
8.下面三条直线l1：3x＋y＝4，l2：x－y＝0，l3：2x－3my＝4不能构成三角形，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.[多选]已知直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，则( )
A.若l1⊥l2，则a2＝1
B.若l1∥l2，则a2＝
C.当a＝1时，l1与l2相交，交点为(1，－2)
D.当0≤a≤1时，l2不经过第三象限
10.已知直线l1：x＋2y－6＝0，l2：x－y－3＝0，则l1，l2，x轴及y轴围成的四边形的面积为( )
A.8 B.6
C. D.3
11.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________.
12.已知直线l经过直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点P，且垂直于直线x＋y－2＝0，则直线l的方程为____________.
13.已知定点A(0,1)，点B在直线x＋y＋1＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是________.
14.已知平行四边形ABCD中，AB边所在直线方程为x＋y－1＝0，AD边所在直线方程为3x－y＋4＝0.
(1)求点A的坐标；
(2)若点C的坐标为(3,3)，分别求BC与DC边所在直线的方程.
15.如图，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程.
课时跟踪检测(八)
1．选B 解方程组得
2．选C 直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，令解得∴直线l恒过定点(－3,1)．
3．选A 解方程组得直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点，依题意，＝k，解得k＝4，所以实数k＝4.
4．选D 联立解得所以交点为(m－3,3m－6)，由于(m－3,3m－6)在第二象限，所以解得25．选C 由解得则直线x＋y－3＝0,2x－y＝0的交点为(1,2)．又直线y＝x的斜率为，则所求直线方程为y－2＝(x－1)，整理得x－3y＋5＝0.
6．选A 因为直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，所以2m＋4×(－5)＝0，解得m＝10，所以直线mx＋4y－2＝0为5x＋2y－1＝0，又垂足为(1，p)，可得5×1＋2p－1＝0，解得p＝－2，则垂足为(1，－2)．又其在2x－5y＋n＝0上，可得2×1－5×(－2)＋n＝0，解得n＝－12.所以m－n＋p＝10－(－12)＋(－2)＝20.
7．选B 联立解得即直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点为(1,1)，又直线l的一个方向向量为v＝(－3,2)，所以直线l的斜率为－，故直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0，故选B.
8．选C 由解得即直线l1与l2的交点为M(1,1)，因为直线l1：3x＋y＝4，l2：x－y＝0，l3：2x－3my＝4不能构成三角形，所以l3过点M，或l3分别与l1，l2平行，若l3过点M，则2－3m＝4，即m＝－；若l3∥l1，则＝－3，即m＝－；若l3∥l2，则＝1，所以m＝.综上，m的可能取值为－，，－.
9．选BD 直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，若l1⊥l2，则a(a＋1)＋a(1－a)＝0，解得a＝0，即a2＝0，故A错误；若l1∥l2，则解得a2＝，故B正确；当a＝1时，直线l1：2x＋y＋2＝0，l2：x－1＝0，∴l1与l2相交，交点为(1，－4)，故C错误；当a＝1时，l2：x－1＝0，不经过第三象限；当00，当y＝0时，x＝>0，∴l2不经过第三象限；当a＝0时，l2：y－1＝0，不经过第三象限．综上，当0≤a≤1时，l2不经过第三象限，故D正确．
10．选C 解方程组得即直线l1，l2的交点坐标为(4,1)；直线l1：x＋2y－6＝0与x轴、y轴的交点坐标分别为(6,0)，(0,3)；直线l2：x－y－3＝0与x轴、y轴的交点坐标分别为(3,0)，(0，－3)．如图所示，可得所求四边形的面积为×6×3－×3×1＝.
11．解析：法一 由方程组得
∴交点坐标为(0,4)，即y－4＝－2x，
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.
法二 设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，∴k＝＝－2，解得λ＝5.
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.
答案：2x＋y－4＝0
12．解析：由得
即点P的坐标为(2,1)，因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以直线l的斜率为1，由点斜式得直线l的方程为y－1＝1×(x－2)，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
13．解析：当直线AB和直线x＋y＋1＝0互相垂直时，线段AB最短．即直线AB 的方程的斜率为k＝1，所以直线AB的方程为y＝x＋1.
联立解得
即B(－1,0)．
答案：(－1,0)
14．解：(1)联立
解得所以A.
(2)因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，设CD边所在直线的方程为x＋y＋m＝0，代入点C的坐标(3,3)，
得m＝－6，
所以CD边所在直线的方程为x＋y－6＝0，
同理AD∥BC，设BC边所在直线的方程为3x－y＋n＝0，代入点C的坐标(3,3)，
得n＝－6，
所以BC边所在直线的方程为3x－y－6＝0.
15．解：设B(x0，y0)，则AB的中点E的坐标为，
由条件可得
解得即B(6,4)．
同理可求得C点的坐标为(5,0)．故所求直线BC的方程为＝，即4x－y－20＝0.